Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

WR 1
W. Merz
Kapitel 6
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
W. Merz
Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1
FAU
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
1 Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
auf höchstens abzählbaren Ergebnismengen
2 Die wichtigsten diskreten Verteilungen
3 Erwartungswert und Varianz
4 (Diskrete) Zufallsvariable
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Charakterisierung von Wahrscheinlichkeiten
WR 1
W. Merz
Problemstellung
Wie beschreibt man eine Wahrscheinlichkeit P : A −→ R bzw.
P(A) durch eine Formel?
bzw.
Was muss man mindestens über P wissen, um —im Prinzip—
P(A) für jedes Ereignis A berechnen zu können?
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Laplace-Experimente
Formel:
Die erzeugende
Funktion
|A|
P(A) =
|Ω|
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Ausgangsbasis:
P{ω} = p
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
1. Fall: Wahrscheinlichkeitsräume mit endlichen oder
abzählbar unendlichen Ergebnismengen Ω.
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Oberbegriff: Ω ist abzählbar.
Erwartungswert
Abzählbare Ergebnismengen
Ist die Ergebnismenge Ω abzählbar, dann auch jede Teilmenge
A ⊂ Ω.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
A = {ω1 , ω2 , . . . , ωn , . . .} = {ω1 } + {ω2 } + · · · + {ωn } + · · ·
X
X
=
{ωk } =
{ω}
k
ω∈A
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Sind alle einelementigen Mengen {ω} Elemente der σ-Algebra
A, so ist A ∈ A und
X
X
P(A) =
P{ωk } =
P{ω}
k
ω∈A
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
P
Wegen P(A) = ω∈A P{ω} genügt die Kenntnis der
Wahrscheinlichkeiten f (ω) = P{ω} der Elementarereignisse,
um die Wahrscheinlichkeit jedes beliebigen Ereignisses
berechnen zu können.
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
WR 1
W. Merz
Definition
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit einer abzählbaren
Ergebnismenge Ω und der Ereignisalgebra A = 2Ω heißt ein
diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P heißt in diesem Fall eine
diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Die Funktion f : Ω −→ R mit f (ω) = P{ω} heißt die
Wahrscheinlichkeitsfunktion von P.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion Wesentliche Eigenschaften
der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
P{ω} ≥ 0 ⇒
P(Ω) = 1 ⇒
f (ω) ≥ 0
X
f (ω) = 1
ω∈Ω
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Satz
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Jede Funktion f : Ω −→ R auf einer abzählbaren
PMenge Ω mit
den Eigenschaften f (ω) ≥ 0 für alle ω ∈ Ω und ω∈Ω f (ω) = 1
legt durch
P
P(A) = ω∈A f (ω)
eine eindeutig bestimmte diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung
P auf 2Ω fest.
P
( ω∈∅ f (ω) := 0)
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Beispiel
1
1
1
π2
+ 2 + 2 + ··· =
2
1
2
3
6
6 1
π 2 n2
ist Wahrscheinlichkeitsfunktion zu einer Wahrscheinlichkeit auf
Ω = {1, 2, 3, . . .}.
f (n) =
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Aber wozu ist die gut?
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
WR 1
W. Merz
• Übersicht über die wichtigsten diskreten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
• Herleitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion aus
Eigenschaften von Zufallsexperimenten
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Sprechweise
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
• Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt auch
kurz eine diskrete Verteilung.
• Diese Kurzbezeichnung verwendet man meist dann, wenn
die Ergebnismenge Ω eine Teilmenge eines Rn ist.
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Laplace-Verteilung
Ist Ω ist eine endliche Menge, so ist
f (ω) =
1
|Ω|
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Bezeichnung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dieser
Wahrscheinlichkeitsfunktion heißt Laplace-Verteilung auf Ω
oder kurz L(Ω)-Verteilung.
Die geometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Anwendung
Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche
Chance hat.
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Hypergeometrische Verteilung K , N und n seien natürliche
Zahlen mit 1 ≤ K < N und 1 ≤ n ≤ N
Satz
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
f (k ) =
K
k
N−K
n−k
N
n
ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω = {0, 1, 2, . . . , n}
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Beweis.
Die Ereignisse Bk : „k schwarze Kugeln unter n gezogenen“
bilden eine Partition von Ω̂N
n:
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
1 = P(B0 ) + P(B1 ) + · · · + P(Bn ) = f (0) + f (1) + · · · + f (n)
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Hypergeometrische Verteilung
W. Merz
Bezeichnung
Die Verteilung auf Ω = {0, 1, 2, . . . , n} mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion
K N−K
f (k ) =
k
n−k
N
n
heißt die Hypergeometrische Verteilung mit Parametern N, K
und n oder kurz H(N, K , n)-Verteilung.
Anwendung
Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als
Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen
interpretieren kann.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Binomialverteilung p sei eine reelle Zahl mit 0 < p < 1 und
q = 1 − p.
Satz
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
n k n−k
f (k ) =
p q
k
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω = {0, 1, 2, . . . , n}
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Beweis.
Die erzeugende
Funktion
Nach der Binomialformel ist
1 = (p + q)n =
n X
n
k =0
k
pk q n−k =
n
X
k =0
Die Momente diskreter
Verteilungen
f (k )
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Binomialverteilung
WR 1
W. Merz
Bezeichnung
Die Verteilung auf Ω = {0, 1, 2, . . . , n} mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion
n k n−k
f (k ) =
p q
k
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
heißt Binomialverteilung mit Parametern n und p oder kurz
B(k ; n, p)-Verteilung.
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Anwendung
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Summe der Erfolge bei einer Bernoulli-Versuchsreihe.
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Wartezeit bis zum Eintreffen eines Ereignisses
Ein Zufallsexperiment wird so lange wiederholt, bis ein
bestimmtes Ereignis zum ersten Mal eintritt.
Z.B. Würfeln so lange, bis eine Sechs kommt.
Ergebnismenge ist Ω = N ∪ {∞} = {1, 2, 3, . . .} ∪ {∞}
Dabei steht n ∈ N für das Ergebnis, dass das Ereignis beim
n-ten Versuch zum ersten Mal eintritt und ∞ dafür, dass es
niemals eintritt.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Das Ereignis „Es werden mehr als n Versuche benötigt“ wird in
Ω durch die Menge
An = {n + 1, n + 2, n + 3, . . . , ∞}
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
mit n = 0, 1, 2, . . . beschrieben.
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Gedächtnislosigkeit Ansatz für eine Wahrscheinlichkeit P: Die
Gedächtnislosigkeit der Versuchsreihe.
Zum Beispiel ist es nicht vorstellbar, dass sich ein Würfel beim
(m + 1)-ten Wurf daran erinnert, dass bereits m-mal keine
Sechs kam und daher die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten
einer Sechs erhöht.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Gedächtnislosigkeit
Die Hypergeometrische
Verteilung
Für alle m, n = 0, 1, 2, . . . gilt
P(Am+n |Am ) = P(An )
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Umformung
Der Mittelwert
Definition
Wenn P(An ) > 0 für alle n, dann ist das äquivalent zu
P(Am+n ∩ Am )
= P(An )
P(Am )
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
bzw.
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
P(Am+n ∩ Am ) = P(Am )P(An )
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Gedächtnislosigkeit
Wegen
Am+n = {m + n + 1, m + n + 2, . . .} ⊂ {m + 1, m + 2, . . .} = Am
ist Am+n ∩ Am = Am+n und daher erhält man als
Charakterisierung der
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Gedächtnislosigkeit
Die Laplace-Verteilung
Für alle m, n = 0, 1, 2, . . . gilt
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
P(Am+n ) = P(Am )P(An )
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Konsequenz: Die Folge der Zahlen qn := P(An ) erfüllt die
Gleichungen qm+n = qm qn
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
q2
q3
q4
=
q1 q1 = q12
=
q2 q1 = q12 q1 = q13
=
q3 q1 = q13 q1 = q14
usw.
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
W. Merz
Satz
Mit q := q1 = P(A1 ) gilt für n = 0, 1, 2, . . .:
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
P(An ) = q n
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Anmerkung zum Fall n = 0: A0 = Ω und P(A0 ) = q 0 = 1.
Die Binomialverteilung
Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Für n = 1, 2, 3, . . . ist
An−1 = {n, n +1, n +2, . . .} = {n}+{n +1, n +2, . . .} = {n}+An
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
und daher
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
P(An−1 ) = P{n} + P(An )
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
oder
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
f (n) = P{n} = P(An−1 ) − P(An ) = q
n−1
n
− q = (1 − q)q
n−1
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion Ist 0 < q < 1, so ergibt die
Summation der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n)
über alle natürlichen Zahlen (nicht über ∞)
∞
X
n=1
f (n) = (1 − q)
∞
X
n=1
q n−1 = (1 − q)
∞
X
m=0
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
q m = (1 − q)
1
=1
1−q
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Daher ist zwangsläufig die Wahrscheinlichkeit, dass das
Ereignis niemals eintritt, nämlich f (∞) = 0.
Bei der Definition der Verteilung der Wartezeit unter
Gedächtnislosigkeit lässt man das Ergebnis ∞ daher weg.
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die geometrische Verteilung
WR 1
W. Merz
Definition
Sei q eine reelle Zahl mit 0 < q < 1 und p := 1 − q. Dann heißt
die diskrete Verteilung auf der Menge N = {1, 2, 3, . . .} der
natürlichen Zahlen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f (n) = pq n−1
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
die geometrische Verteilung mit Parameter p oder kurz
G(p)-Verteilung.
Anwendung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das
erstmalige Eintreten eines Ereignisses unter der Annahme der
Gedächtnislosigkeit.
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die geometrische Verteilung
WR 1
W. Merz
Interpretation des Parameters p
p = f (1) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis gleich
beim ersten Versuch eintritt.
Wartet man beim Würfeln mit einem regulären Würfel auf eine
Sechs, so ist also p = 1/6 zu setzen.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Poisson-Verteilung
W. Merz
Definition
Sei µ eine reelle Zahl mit µ > 0. Dann heißt die diskrete
Verteilung auf der Menge N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} der
nichtnegativen ganzen Zahlen mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f (k ) =
µk −µ
e
k!
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
die Poisson-Verteilung mit Parameter µ oder kurz
P(k ; µ)-Verteilung.
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Anwendung
Die Poisson-Verteilung beschreibt die Häufigkeit des Eintreten
eines Ereignisses, das zu zufälligen Zeitpunkten eintritt.
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Poisson-Verteilung
W. Merz
Interpretation des Parameters µ
Strebt in der B(k ; n, p)-Verteilung n → ∞ und p → 0 so, dass
np = µ konstant bleibt, dann
µk −µ
lim B(k ; n, p) =
e
für k = 0, 1, 2, . . .
n→∞
k!
np=µ
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
µ
Es gilt mit p = :
n
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
lim
n→∞
1−
µ n
= e−µ .
n
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Folgerung
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
B(k ; n, p) ≈ P(k ; np) für n 1 und p 1.
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Serum von einem
Patienten nicht vertragen wird sei p = 0.001. Es werden 2000
Personen geimpft. Sei k die Anzahl der durch die Impfung
erkrankten Personen, dann gilt:
B(k ; 2000, 0.001) ≈ P(k ; 2).
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Für k = 1, . . . , 7 stimmen die Näherungen auf mindestens drei
Stellen mit dem exakten Wert überein.
Speziell
B(0; 2000, 0.001) ≈ e−2 = 0.135,
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
B(1; 2000, 0.001) ≈ 2 · e−2 = 0.271,
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
B(2; 2000, 0.001) ≈
2
2
2
· e−2 = 0.271,
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
B(3; 2000, 0.001) ≈
3
2
6
· e−2 = 0.180.
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die erzeugende Funktion
Eine diskrete Verteilung mit einer Ergebnismenge Ω ⊂ N0 kann
man als eine Verteilung auf der Ergebnismenge N0 ansehen,
wenn man die Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n) für n 6∈ Ω gleich
f (n) := 0 setzt.
D.h. man ersetzt die Aussage „Das Ergebnis n ist nicht
möglich“ durch „Das Ereignis {n} hat die Wahrscheinlichkeit
Null“, was für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
äquivalent ist.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Definition
Ist P eine diskrete Verteilung auf N0 mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n), so heißt die Funktion
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
f̂ (z) :=
∞
X
Definition
f (n)z n
n=0
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
für 0 ≤ z ≤ 1 die erzeugende Funktion von P
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die erzeugende Funktion
P∞
Wegen f (n) ≥ 0 und n=0 f (n) = 1 besitzt die Potenzreihe
∞
X
f (n)z
n
n=0
∞
X
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
einen Konvergenzradius R ≥ 1 und es gilt
f̂ (1) =
WR 1
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
f (n) = 1
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
n=0
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die erzeugende Funktion
Beispiel: Die erzeugende Funktion der Binomialverteilung.
Die Binomialformel liefert
∞
n X
X
n k n−k k
k
f̂ (z) =
f (k )z =
p q
z
k
k =0
k =0
n X
n
=
(pz)k q n−k
k
k =0
=
n
(pz + q)n = (1 + p(z − 1))
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die erzeugende Funktion
Ist f̂ (z) die erzeugende Funktion einer Verteilung P mit der
Potenzreihenentwicklung
f̂ (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n + · · ·
um z = 0, so folgt aus der Eindeutigkeit der
Potenzreihendarstellung, dass an = f (n) der Wert der
Wahrscheinlichkeitsfunktion an der Stelle n ist.
Jeder Wahrscheinlichkeitsfunktion f entspricht also genau eine
erzeugende Funktion f̂ und umgekehrt.
Für diskrete Verteilungen auf N0 ist die erzeugende Funktion
eine zur Verteilungsfunktion äquivalente Charakterisierung.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Momente diskreter Verteilungen
WR 1
W. Merz
(X , 2X , P) sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
X ⊂ R.
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f : X −→ R enthält die
vollständige Information über P.
• Wir suchen Kenngrößen mit summarischer Information,
die die allgemeine Gestalt der Verteilung P
charakterisieren.
• Die wichtigsten Kenngrößen sind Mittelwert und Varianz
• Sie sind Spezialfälle der sogenannten absoluten und
zentralen Momente
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Der Mittelwert
Die Formel für den Mittelwert einer Verteilung kann man auf
zwei Weisen herleiten:
1
2
Aus Häufigkeitsbetrachtungen bei der Wiederholung eines
Zufallsexperiments: Der statistische Mittelwert.
In Analogie zur Physik als Schwerpunkt der
Wahrscheinlichkeitsmasse.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der statistische Mittelwert
Als Beispiel für den statistischen Mittelwert betrachten wir die
Prämienberechnung bei einer Kfz-Versicherung:
N sei Anzahl der Versicherungsnehmer (VN)
x = 0, 1, 2, . . . seien die möglichen Schadenssummen pro Jahr
(in 1000 EURO), die ein VN meldet.
Nachträgliche Berechnung der mittleren Schadenssumme pro
VN:
AN {x}: Anzahl der VN mit Schadenshöhe x
P∞
S = x=0 x · AN {x}: Gesamtschaden
S
: durchschnittlicher Schaden pro VN und Jahr
N
Statistischer Mittelwert
x=
∞
∞
X
AN {x} X
x=
x
=
xHN {x}
N
x=0
x=0
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Theoretischer Mittelwert
W. Merz
∞
∞
X
AN {x} X
x=
x
=
xHN {x}
N
x=0
x=0
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Prämienkalkulation
P{x}: Wahrscheinlichkeit, mit der ein VN den Schaden x
produziert.
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Theoretischer Mittelwert: Schätzwert für den mittleren
Schaden pro VN
m1 (P) =
∞
X
x=0
xP{x} =
∞
X
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
xf (x)
x=0
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Prämie = Theoretischer Mittelwert + Sicherheitsaufschlag +
Verwaltungskosten
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Physikalische Interpretation
Wir interpretieren den Wahrscheinlichkeitsraum (X , 2X , P) mit
abzählbarem X ⊂ R als unendlich langen masselosen Stab,
auf dem an den Positionen x ∈ X Massenpunkte mit der
(Wahrscheinlichkeits-) Masse P{x} sitzen.
Der Schwerpunkt dieses Systems ist
P
P
X
xP{x}
xP{x}
x = Px∈X
= x∈X
=
xf (x)
P(X )
x∈X P{x}
x∈X
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Der Mittelwert einer diskreten Verteilung
WR 1
W. Merz
Definition
P sei eine diskrete Verteilung auf einer abzählbaren Teilmenge
X ⊂ R der P
reellen Zahlen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f (x). Falls x∈X |x|f (x) < ∞, heißt
X
m1 = m1 (P) =
x f (x)
x∈X
der Mittelwert der Verteilung P.
Falls die Summe nicht absolut konvergiert und damit der Wert
eventuell von der Summationsreihenfolge abhängig ist, sagt
man, dass die Verteilung P keinen Mittelwert besitzt.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Mittelwert der Poissonverteilung
m1 (P)
=
∞
X
∞
ne−µ
n=0
= µe
W. Merz
−µ
X
µn
µn
=
ne−µ
n!
n!
n=1
∞
X
µn−1
(n − 1)!
n=1
= µe−µ
∞
X
n=0
=
µ
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
µn
= µe−µ eµ
n!
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Mittelwert der geometrischen Verteilung
m1
=
∞
X
npq n−1 = p
n=1
d
= p
dq
= p
=
∞
∞
X
X
d n
d n
q =p
q
dq
dq
n=1
∞
X
n=0
!
qn
d
=p
dq
1
1
=p 2
(1 − q)2
p
1
p
W. Merz
n=0
1
1−q
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die absoluten Momente
W. Merz
Definition
P
Ist für k ∈ {1, 2, 3, . . .} die Summe x∈X |x|k f (x) < ∞, so
heißt
X
mk = mk (P) =
x k f (x)
x∈X
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
das k -te (absolute) Moment der Verteilung P.
Die Hypergeometrische
Verteilung
Andernfalls sagt man, dass die Verteilung P kein k -tes Moment
besitzt.
Die geometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Berechnung
Für den Fall, dass X ⊂ [0, ∞), gibt es als
Berechnungsverfahren für die absoluten Momente die
momenterzeugende Funktion
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die momenterzeugende Funktion
WR 1
W. Merz
Definition
Für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (X , 2X , P) mit
X ⊂ [0, ∞), der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) und t < 0
heißt
X
M(t) =
etx f (x)
x∈X
die momenterzeugende Funktion von P.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Eigenschaften
• M(0) =
P
f (x) = 1
• Ableitungen nach t dürfen summandenweise gebildet
werden
x∈X
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Ableitungen
W. Merz
1. Ableitung
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
X ∂
X
d
M 0 (t) = M(t) =
etx f (x) =
xetx f (x)
dt
∂t
x∈X
x∈X
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
2. Ableitung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
M 00 (t) =
X ∂
X
d2
d 0
tx
M(t)
=
M
(t)
=
xe
f
(x)
=
x 2 etx f (x)
dt 2
dt
∂t
x∈X
x∈X
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
k -te Ableitung
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
M (k ) (t) =
X ∂k
X
dk
tx
M(t)
=
e
f
(x)
=
x k etx f (x)
dt k
∂t k
x∈X
x∈X
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Berechnung der Momente
W. Merz
Weitere Eigenschaft
Der Limes t → 0 darf bei allen Ableitungen mit der Summe
vertauscht werden.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Berechnung der absoluten Momente
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
M (k ) (0)
:=
=
lim M (k ) (t) =
t→0
X
x∈X
lim x k etx f (x) =
t→0
X
x k f (x)
x∈X
mk (P)
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Falls das k -te Moment nicht existiert, erhält man — da alle
Summanden nichtnegativ sind — für M (k ) (0) den Wert ∞.
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Poissonverteilung
W. Merz
Mit etn = (et )n ist
M(t)
=
∞
X
(et )n e−µ
n=0
µn
= e−µ
n!
∞
X
n=0
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
t
(et µ)n
= e−µ ee µ
n!
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
= e
Die Hypergeometrische
Verteilung
µ(et −1)
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
M 0 (t) = M(t)µet
⇒
m1 = M 0 (0) = µ
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Produktregel:
Der Mittelwert
M 00 (t) = M 0 (t)µet + M(t)µet
⇒
m2 = M 00 (0) = µ2 + µ
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die geometrische Verteilung
M(t)
=
∞
X
W. Merz
(et )n pq n−1 = pet
n=1
∞
X
(qet )n−1 = pet
n=1
∞
X
(qet )n
n=0
t
=
pe
1 − qet
M 0 (t) =
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
(pet )(1 − qet ) − (pet )(−qet )
pet
=
t
2
(1 − qe )
(1 − qet )2
m1 = M 0 (0) =
p
=
(1 − q)2
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
1
p
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
M 00 (t) = (M 0 (t))0 = . . . =
t
t
pe (1 + qe )
(1 − qet )3
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
1+q
p(1 + q)
m2 = M (0) =
=
(1 − q)3
p2
00
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Varianz
W. Merz
Interpretation
• Mittlere (quadratische) Abweichung der Ergebnisse vom
Mittelwert
• Trägheitsmoment als Maß für die Streuung der
Wahrscheinlichkeitsmasse um den Schwerpunkt
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Definition
Die Poisson-Verteilung
Ist P eine diskrete Verteilung auf X ⊂ R mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f und existiert der Mittelwert
m1 (P), so heißt die Größe
X
m̂2 = m̂2 (P) =
(x − m1 (P))2 f (x)
x∈X
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
die Varianz der Verteilung P.
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Divergiert diese Summe, so spricht man von einer unendlichen
Varianz.
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Steinersche Satz
W. Merz
Berechnung der Varianz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
m̂2
=
X
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
(x − m1 )2 f (x)
Spezielle diskrete
Verteilungen
x∈X
=
X
Die Laplace-Verteilung
(x 2 − 2m1 x + m12 )f (x)
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
x∈X
=
X
x 2 f (x) − 2m1
x∈X
= m2 − 2m1 m1 +
= m2 − m12
X
x∈X
m12
xf (x) + m12
X
x∈X
Die geometrische
Verteilung
f (x)
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Beispiele
W. Merz
Poissonverteilung
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
m̂2 = (µ2 + µ) − (µ)2 = µ
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Geometrische Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
2
1+q
1
q
m̂2 =
−
= 2
2
p
p
p
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Ungleichung von Tschebyscheff
W. Merz
Abschätzung der Wahrscheinlichkeit, dass man ein Ergebnis
erhält, das vom Mittelwert weit entfernt liegt:
Bε = {x ∈ X ; |x − m1 (P)| > ε}
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Theorem
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
P(Bε ) ≤
Die Binomialverteilung
m̂2 (P)
ε2
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Beweis.
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
m̂2 (P) ≥
X
2
(x − m1 (P)) f (x)
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
x∈Bε
Für x ∈ Bε ist (x − m1 (P))2 > ε2
X
m̂2 (P) ≥ ε2
f (x) = ε2 P(Bε )
x∈Bε
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die zentralen Momente
W. Merz
Definition
Für k = 2, 3, . . . heißen die Größen
X
m̂k (P) =
(x − m1 (P))k f (x)
x∈X
soweit sie existieren, die k -ten zentralen Momente der
Verteilung P.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Zufallsvariable
W. Merz
(Ω, A, P) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine abzählbare
Teilmenge von R und
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
X : Ω −→ X
eine Funktion, die jedem Ergebnis ω ∈ Ω des
Zufallsexperiments einen Wert X (ω) ∈ X zuordnet.
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
• „X nimmt bei Durchführung des Experiments einen Wert
in einer vorgegebenen Menge A an“.
• „X nimmt bei Durchführung des Experiments einen Wert
y ∈ X an“.
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Diskrete Zufallsvariable
WR 1
W. Merz
Diese Ereignisse werden durch die Urbildmengen
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
(X ∈ A) = {ω ∈ Ω ; X (ω) ∈ A}
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
bzw.
(X = y ) = {ω ∈ Ω ; X (ω) = y } = (X ∈ {y })
von A bzw. {y } unter der Abbildung X beschrieben.
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Damit man überhaupt von Ereignissen oder der
Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse sprechen kann, müssen
diese Urbilder im Definitionsbereich der Wahrscheinlichkeit P,
d.h. in der σ-Algebra A liegen.
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Definition
X heisst diskrete Zufallsvariable, wenn für alle A ⊂ X gilt:
(X ∈ A) ∈ A.
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so ist die Wahrscheinlichkeit
P(X ∈ A), dass X einen Wert in der Menge A annimmt,
wohldefiniert.
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Rechenregeln für Urbilder
WR 1
W. Merz
Für das weitere werden einige Eigenschaften der
Mengenabbildung A 7−→ (X ∈ A) benötigt.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Rechenregeln
1
2
3
4
5
6
Spezielle diskrete
Verteilungen
(X ∈ A ∪ B) = (X ∈ A) ∪ (X ∈ B)
(X ∈ A ∩ B) = (X ∈ A) ∩ (X ∈ B)
A ∩ B = ∅ ⇒ (X ∈ A) ∩ (X ∈ B) = ∅
Daraus folgt insbesondere
(X ∈ A + B) = (X ∈ A) + (X ∈ B)
(X ∈ X ) = Ω
Für A = {y1 , y2 , y3 , . . .} ist
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
(X ∈ A) = (X = y1 ) + (X = y2 ) + · · · =
X
(X = y )
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
y ∈A
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Identitäten beweist man nach dem Schema: „ω ist ein
Element der linken Seite genau dann, wenn es ein Element der
rechten Seite ist“.
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Diskrete Zufallsvariable
Aus Regel 6 erhält man eine einfachere Charakterisierung
einer diskreten Zufallsvariablen:
Theorem
X ist eine diskrete Zufallsvariable, wenn für alle y ∈ X gilt:
(X = y ) ∈ A.
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Beweis.
• Jede Teilmenge A ⊂ X ist abzählbar: A = {y1 , y2 , y3 , . . .}
• Für jedes k ist (X = yk ) ∈ A
• Dann ist auch
(X ∈ A) = (X = y1 ) + (X = y2 ) + (X = y3 ) + · · · ∈ A
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Es muss also nur nachgeprüft werden, ob (X = y ) ∈ A für alle
y ∈ X.
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Verteilung einer Zufallsvariablen
W. Merz
Durch P X (A) := P(X ∈ A) wird eine Mengenfunktion P X auf
den Teilmengen von X definiert.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Ω
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
X
X
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
P(X∈A)
X
P (A)
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Verteilung einer Zufallsvariablen
WR 1
W. Merz
Theorem
Die Abbildung P X : 2X −→ R definiert durch
P X (A) = P(X ∈ A)
ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf X mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f X (y ) = P(X = y ).
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Beweis.
⇒ 0 ≤ P X (A) ≤ 1
Axiom 2: (X ∈ X ) = Ω ⇒ P X (X ) = P(Ω) = 1
Axiom 3: P X (A + B) = P(X ∈ A + B) = P[(X ∈ A) + (X ∈
B)] = P(X ∈ A) + P(X ∈ B) = P X (A) + P X (B)
P
P
Axiom 4: Genauso zeigt man P X ( k Ak ) = k P X (Ak )
f X (y ) = P X {y } = P(X ∈ {y }) = P(X = y )
• Axiom 1: 0 ≤ P(X ∈ A) ≤ 1
•
•
•
•
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Verteilung einer Zufallsvariablen
WR 1
W. Merz
Bezeichnungen
• P X heißt die Verteilung der Zufallsvariablen X
• f X (y ) heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Zufallsvariablen X
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Schematische Darstellung
Die Poisson-Verteilung
X
(Ω, A, P) −→ (X , 2X , P X )
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Funktionen von Zufallsvariablen
Berechnung der Verteilung einer Funktion Z = F (X , Y ) aus
den Verteilungen von X und Y .
Beispiel: Die Summe zweier Zufallsvariabler
• X : Ω −→ N0 , Y : Ω −→ N0
• Bekannt sei f X (n) = P X {n} = P(X = n) und
f Y (n) = P Y {n} = P(Y = n)
• Frage: Ist Z (ω) := X (ω) + Y (ω) eine Zufallsvariable und
wie berechnet man f Z (n)?
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Ansatz
Wegen f Z (n) = P(Z = n) muss zunächst (Z = n) mit Hilfe von
X und Y dargestellt werden.
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Summe von Zufallsvariablen
Das Prinzip sieht man am besten mit einem konkreten n, hier
n = 3:
Z (ω) = 3
⇔
X (ω) = 0 und Y (ω) = 3
oder (X (ω) = 1 und Y (ω) = 2)
oder (X (ω) = 2 und Y (ω) = 1)
oder (X (ω) = 3 und Y (ω) = 0)
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
{ω ; Z (ω) = 3} =
3
X
Die erzeugende
Funktion
{ω ; X (ω) = k und Y (ω) = 3 − k }
k =0
=
3
X
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
{ω ; X (ω) = k } ∩ {ω ; Y (ω) = 3 − k }
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
k =0
Beispiele
Die Varianz
(Z = 3) =
3
X
Die zentralen Momente
(X = k ) ∩ (Y = 3 − k )
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
k =0
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Summe von Zufallsvariablen
WR 1
W. Merz
Allgemein gilt offensichtlich
(Z = n) =
n
X
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
(X = k ) ∩ (Y = n − k )
k =0
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Daraus folgt auch schon, dass Z eine Zufallsvariable ist, denn
für alle n und k gilt:
• X Zufallsvariable ⇒ (X = k ) ∈ A
• Y Zufallsvariable ⇒ (Y = n − k ) ∈ A
• A Mengenalgebra ⇒ (Z = n) ∈ A
• D.h. Z ist Zufallsvariable
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Z
Z
f (n) = P {n} = P(Z = n)
n
X
=
P[(X = k ) ∩ (Y = n − k )]
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
k =0
Beispiel
Erwartungswert
Stochastische Unabhängigkeit
f Z (n) =
n
X
P[(X = k ) ∩ (Y = n − k )]
k =0
Um weiterrechnen zu können, benötigt man eine Produktregel
P[(X = k ) ∩ (Y = n − k )] = P(X = k )P(Y = n − k )
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Diese ist aber nicht automatisch gegeben, sondern eine
zusätzliche Eigenschaft, die man fordern muss: Die
stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen:
Die erzeugende
Funktion
Definition
Die Momente diskreter
Verteilungen
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Der Mittelwert
Diskrete Zufallsvariable X1 , X2 , . . . , Xm auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit Werten in Mengen
X1 , X2 , . . . , Xm heißen stochastisch unabhängig, wenn für
beliebige Teilmengen A1 ⊂ X1 , A2 ⊂ X2 , . . . , Am ⊂ Xm gilt
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
P [(X1 ∈ A1 ) ∩ (X2 ∈ A2 ) ∩ . . . ∩ (Xm ∈ Am )]
= P(X1 ∈ A1 )P(X2 ∈ A2 ) · · · P(Xm ∈ Am )
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Die Summe von Zufallsvariablen
W. Merz
Sind X und Y stochastisch unabhängig, so gilt
f Z (n)
=
=
=
n
X
k =0
n
X
k =0
n
X
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
P(X = k )P(Y = n − k )
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
X
Y
P {k } P {n − k }
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
X
Y
f (k ) f (n − k )
k =0
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Die Faltung
Beispiele
Die absoluten Momente
X
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f ∗ f
Y
mit
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
f X ∗ f Y (n) =
n
X
Die Varianz
f X (k ) f Y (n − k )
k =0
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
heißt die Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen f X und f Y .
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Die Summe von Zufallsvariablen
WR 1
W. Merz
Folgerung
Sind X und Y stochastisch unabhängige N0 -wertige
Zufallsvariable, so gilt
f X +Y = f X ∗ f Y
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Beispiel
W. Merz
X und Y seien stochastisch unabhängig und Poisson-verteilt
mit Parametern λ bzw. µ:
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
f X (k )
f Y (m)
k
λ
k!
m
−µ µ
= e
m!
= e−λ
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
f X +Y (n)
=
n
X
e−λ
k =0
λk −µ µn−k
e
k!
(n − k )!
k =0
= e
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
n
X
1
λk µn−k
k !(n − k )!
k =0
n 1 X n k n−k
λ µ
= e−(λ+µ)
n!
k
= e−(λ+µ)
Die erzeugende
Funktion
−(λ+µ) (λ
+ µ)n
n!
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Folgerung
WR 1
W. Merz
Theorem
Sind X und Y stochastisch unabhängige und mit Parametern λ
bzw. µ Poisson-verteilte Zufallsvariable, so ist ihre Summe
X + Y eine mit Parameter λ + µ Poisson-verteilte
Zufallsvariable.
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Erwartungswert
W. Merz
Sei X ⊂ R abzählbar, X : Ω −→ X eine diskrete Zufallsvariable
und f X (y ) = P X {y } = P(X = y ) die
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Definition
Die Laplace-Verteilung
Der Mittelwert
m1 (P X ) =
X
y f X (y )
y ∈X
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
der Verteilung von X heißt auch der Erwartungswert der
Zufallsvariablen X .
m1 (P X ) = EP X = EX
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Ist der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), auf dem X definiert
ist, diskret, so kann man EX auf eine andere Weise berechnen.
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Erwartungswert
W. Merz
(Ω, A, P) sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (ω) = P{ω}.
Die Ereignisse By = (X = y ) = {ω ; X (ω) = y } sind abzählbar
und bilden eine Partition von Ω:
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
y1 6= y2
und
X
y ∈X
⇒
Die Hypergeometrische
Verteilung
By1 ∩ By2 = ∅
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
By =
X
y ∈X
(X ∈ {y }) = (X ∈
X
y ∈X
Die Poisson-Verteilung
{y }) = (X ∈ X ) = Ω
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Erwartungswert
X
m1 (P )
W. Merz
X
=
X
y f (y ) =
y ∈X
X

X
=

X
y
y ∈X
f (ω)
ω∈By
X X
=
y P(By )
y ∈X
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
(y f (ω))
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
y ∈X ω∈By
Die Poisson-Verteilung
Für ω ∈ By ist y = X (ω):
m1 (P X )
Die erzeugende
Funktion
X X
=
X (ω)f (ω)
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
y ∈X ω∈By
X X
=
Definition
Beispiele
X (ω)P{ω}
y ∈X ω∈By
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
P
y ∈X
P
ω∈By
... =
P
ω∈Ω
X
. . .:
m1 (P ) =
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
X
ω∈Ω
Die Verteilung einer ZV
X (ω)P{ω}
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Der Erwartungswert
W. Merz
Theorem
Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X auf
einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) existiert, ist
X
EP X =
X (ω)P{ω}
ω∈Ω
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Der Erwartungswert
WR 1
W. Merz
Beispiel
• Beim Würfelspiel „Die verflixte Sechs“ kann man eine
beliebige Anzahl von Würfeln vom Tisch nehmen und
werfen.
• Ist unter den geworfenen Augenzahlen mindestens eine
Sechs, so ist der Gewinn Null.
• Andernfalls erhält man die Summe der geworfenen
Augenzahlen als Gewinn gutgeschrieben.
• Wieviele Würfel sollte man nehmen?
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Beispiel
W. Merz
Werfen von n regulären Würfeln: Laplace-Experiment mit
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Ωn = {ω = (w1 , w2 , . . . , wn ) ; wi ∈ {1, . . . , 6}}
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
|Ωn | = 6n , fn (ω) = Pn {ω} = 1/6n .
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Gewinnfunktion: Mit
Die Binomialverteilung
An = {ω = (w1 , w2 , . . . , wn ) ; wi ∈ {1, . . . , 5}}
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
ist
Xn (ω) =
w1 + w2 + · · · + wn
0
falls ω ∈ An
sonst
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
der Gewinn bei Ergebnis ω = (w1 , w2 , . . . , wn ).
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Beispiel Kriterium für die optimale Anzahl von Würfeln:
X
gn = EXn = EPn Xn =
Xn (ω)Pn {ω}
ω∈Ω
1 X
gn = n
w1 + w2 + · · · + wn
6
ω∈An
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Beispiel
Überschlagsrechnung: Mittlerer Gewinn pro Spiel bei N
Runden:
Positiver Gewinn bei ungefähr
n
5
|An |
N=
N
M = P(An )N =
|Ωn |
6
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Runden.
Bei M Runden insgesamt Mn Würfe, wobei die fünf
Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 etwa gleich oft, d.h. Mn/5-mal
vertreten sind.
Die Gesamtsumme der geworfenen Augenzahlen ist daher
n
5
Mn
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3n
N
5
6
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
Beispiel
Mittlere Augenzahlsumme pro Runde
n
5
g̃n = 3n
6
WR 1
W. Merz
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Durch vollständige Induktion nach n beweist man, dass die
Überschlagsrechnung das korrekte Ergebnis liefert:
n
5
gn = EXn = 3n
6
Welches n ist optimal?
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Die erzeugende
Funktion
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert
WR 1
Beispiel
W. Merz
gn+1
gn

>1
5n+1 
=1
=
=

6 n
<1
für n < 5
für n = 5
für n > 5
Denn z.B.
5n+1
> 1 ⇔ 5(n + 1) > 6n ⇔ 5n + 5 > 6n ⇔ 5 > n
6 n
Charakterisierung von
Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Wahrscheilichkeitsräume
Spezielle diskrete
Verteilungen
Die Laplace-Verteilung
Die Hypergeometrische
Verteilung
Die Binomialverteilung
Die geometrische
Verteilung
Die Poisson-Verteilung
Daher ist
Die erzeugende
Funktion
g1 < g2 < g3 < g4 < g5 = g6 > g7 > g8 > . . .
Die Momente diskreter
Verteilungen
Der Mittelwert
Definition
Beispiele
Die absoluten Momente
Momenterzeugende
Funktion
Beispiele
Die Varianz
Die zentralen Momente
Zufallsvariable
Die Verteilung einer ZV
Funktionen von ZVen
Stoch. Unabhängigkeit
Beispiel
Erwartungswert