Dynamik des Plasmas II

Dynamik des Plasmas II
Plasma mit Neutralgas
Von
ARNULF
SCHLÜTER
Aus dem Max-PIanck-Institut für Physik, Göttingen
(Z. Naturforschg. 6 a , 73—78 [1951]; e i n g e g a n g e n am 16. D e z e m b e r 1950)
Aus der Impulsbilanz zweier entgegengesetzt geladener Teilchensorten (Ionen und Elektronen) und einer neutralen Komponente werden die Gleichungen für die Gesamtbewegung,
die ambipolare Diffusion und den elektrischen Strom in einem elektromagnetischen Felde hergeleitet. Es wird darauf hingewiesen, daß man nicht einfach von einer verminderten elektrischen
Leitfähigkeit quer zu den magnetischen Feldlinien sprechen kann. Als Anwendungsbeispiel
wird der Einfluß des magnetischen Eigenfeldes auf eine Glimmentladung untersucht.
Impulsbilanz
I
Reihe 1
n der ersten Untersuchung dieser
hatten
wir ein Gas betrachtet, das so weitgehend ionisiert
ist, daß die Wirkung des nicht ionisierten Gasteils
(des „Neutralgases") sowohl auf die elektrischen
(Leitfähigkeit) als auch auf die mechanischen Eigenschaften dieses „Plasmas" vernachlässigt werden
konnten. Für viele Anwendungen, besonders in der
Astrophysik, ist diese Näherung durchaus berechtigt,
während bei den meisten terrestrischen Plasmen der
Ionisationsgrad wenige Prozent nicht übersteigt.
Für solche Plasmen wollen wir nun wieder Bewegungs- und Diffusionsgleichungen aufstellen, indem wir von den Impulsgleichungen der einzelnen
Komponenten ausgehen und diese algebraisch umformen. Um dabei zu nicht allzu unübersichtlichen
Ausdrücken zu gelangen 2 , führen wir außer den Annahmen, die wir in der ersten Untersuchung gemacht
hatten (als geladenes Teilchen werden Ionen mit der
Ionen
Ladung
Masse
Teilchendidite [ c m - 3 ]
Massendidite
Geschwindigkeit4
Partialdruck
+ e
mi
N{=Np
9i = m{ Np
Elektronen
Ladung + e und in gleicher räumlicher Dichte Elek:
tronen der Ladung — e angenommen, von der inneren Reibung der einzelnen Komponenten wird abgesehen), noch folgende ein:
1. Als ponderomotorische Kräfte mögen neben den
elektromagnetischen Kräften nur die Gradienten der
Partialdrucke und ein äußeres Schwerefeld (mit der
Beschleunigung g) auftreten.
2. Die gegenseitigen Geschwindigkeiten der einzelnen Komponenten seien so gering, daß wir für
alle substantiellen zeitlichen Ableitungen schreiben
d
3
können
=
+ (ü grad), wobei Ii die mittlere
Geschwindigkeit (Schwerpunktsgeschwindigkeit) aller
Komponenten bedeutet — der einzige hierdurch vernachlässigte Effekt, der von Interesse sein könnte, ist
die Änderung der Diffusion im Geschwindigkeitsgefälle 3 .
Wir führen nun folgende Bezeichnungen ein:
Geladene Teilchen
insgesamt („Plasma")
Neutralgas
— e
0
me
mn
£*e =
me
®i
e
Pi
Pe
N
P
Bei den meisten Anwendungen kann wegen der
vernachlässigbaren Elektronenmasse o p = o; und
1 A. S c h l ü t e r ,
Dynamik des Plasmas I. Z. Naturforschg. 5 a, 72 [1950]. Die Kenntnis dieser Arbeit wird
im folgenden nicht vorausgesetzt.
2 Die allgemeinsten Gleichungen finden sich wieder in
dem Werke von S. C h a p m a n u. T. G. C o w l i n g :
The mathematical theory of non-uniform gases, Cambridge 1939.
2 Np
Qp =0i+
Qe
=
+ Q e * e )¡Q p
Pn = Pi + Pe
K
On = mn
®n
Pn
Insgesamt
2
Nn
Np+Nr
» = (?r
P = Pp +
0n»n )lQ
Pn •
t>p — t>i gesetzt werden. Wir schreiben die Formeln
aber so, daß sie auch dann gelten, wenn die negativen Ladungsträger ebenfalls Ionen sind.
Wenn man nun noch entsprechend der ersten
3 Die Bedeutung dieses Effektes wird in der dritten
Untersuchung dieser Reihe erläutert.
4 Geschwindigkeit im Sinne der Hydrodynamik, nicht
Molekülgeschwindigkeit.
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Näherung der kinetischen Gastheorie annimmt, daß
die Impulsübertragung zwischen den einzelnen Komponenten proportional ihren Geschwindigkeitsdifferenzen ist, sehen die Gleichungen, die die Impulsbilanz für jede Komponente darstellen, so aus 5 :
multipliziert, so daß sie, soweit Mehrfachstöße nicht
betrachtet zu werden brauchen, reine Temperaturfunktionen unabhängig von allen Dichten darstellen.
Mit der Zahl der „auslöschenden" Stöße y, die wir
in I eingeführt hatten, hängen sie zusammen wie:
(d»i/dt) + Np2 a, e(t>. - »e) + Np Nn a, n (». - »n)
= Np e { £ + [(»j/c), £ ] } - grad
Oe (d»Jdt)
+ NpS.^e-»!)
+ Np Nn ain(»n
+ o; 9;
°ie = 7 i e w i m e /(p i + o e ).
(1)
+
- Npe { € + [(oe/c) ,S?]}fn (dön/di)
Pi
grad p e + o e g ;
(2)
- »,) + Np Nn «en (*>n -
»e)
= — grad pn + QnQ.
(3)
Auf den rechten Seiten stehen die diffusionserzeugenden Kräfte (pro Volumeneinheit): Als Repräsentant der äußeren Kräfte ist nur die Schwerkraft angegeben. Das Auftreten der Gradienten der Partialdrucke entspricht dem bekannten Ergebnis der Gastheorie 6 , daß sich diese wie äußere Kräfte verhalten.
Für die geladenen Teilchen tritt dann noch das Glied
hinzu, das die Lorentz-Kraft auf die in einem elektromagnetischen Felde bewegten Ladungen darstellt. Es
könnten noch weitere diffusionserzeugende Faktoren
berücksichtigt werden: z. B. Thermodiffusion (die
aber in einer verwickelten Weise von den Moleküleigenschaften abhängt, und zwar nicht nur dem Betrage nach, sondern auch im Vorzeichen), Strahlungsdruck. Von diesen wird hier aber bewußt abgesehen.
Der Strahlungsdruck erfordert stets, wenn er überhaupt interessiert, eine eigene Behandlung. Die
Thermodiffusion ist meist unbedeutend gegenüber
der Druckdiffusion, da die relativen Temperaturunterschiede fast immer klein gegen die relativen
Unterschiede der Partialdrucke sind — bei thermischer Ionisation schon deswegen, weil dann i. a. die
Elektronendichte stärker als linear von der Temperatur abhängt.
Die Koeffizienten a der Kopplungsglieder haben
wir mit den Dichten der beteiligten Komponenten
5 Ein ähnliches Gleichungssystem, das sich aber nur
auf stationäre Verhältnisse bezieht, wird von W. W e i z e l
und G. E c k e r in einer neueren Arbeit (Z. Physik 127,
495 [1950]) betrachtet und zusammen mit der Annahme
örtlich konstanten Gasdrucks diskutiert. Tatsächlich kann
der Gasdruck im stationären Fall, wenn ein elektrischer
Strom quer zu einem Magnetfeld (z. B. seinem eigenen)
fließt, nicht überall der gleiche sein, da die Lorentz-Kraft
nur durch einen Druckgradienten kompensiert werden
kann.
(4)
In guter Näherung hängen die Stoßzahlen und damit
die a nicht von den äußeren Kräften ab.
In höherer Näherung kann in einem stark verdünnten
Gas eine gewisse Abhängigkeit vom Magnetfeld dadurdi
eintreten, daß die statistische Unabhängigkeit der Stöße
gestört wird und insbesondere eine Erhöhung der Wahrscheinlichkeit für eine Wiederholung des Stoßes zwischen
denselben Partnern (wenn wenigstens einer von ihnen
geladen ist) auftreten wird, da sie sich auf ihren Kreisbahnen um die Feldlinien wieder nähern können. Dieser
Effekt ist schwer quantitativ zu fassen, besonders im Fall
der Coulomb-Wechselwirkung zweier geladener Teilchen;
ändert aber auch unter recht extremen Verhältnissen nicht
die Größenordnung der Ergebnisse 7 .
Wir formen diese Gleichungen algebraisch um, indem wir außer der Massengeschwindigkeit t> (vgl.
Tabelle) einführen:
Geschwindigkeit der ambipolaren Diffusion:
ÜA
= »p -
»n = [1 + (Pp/pn)] (»p -
*)
(5)
Stromdichte:
i = eNp
(»j-tg
(6)
und erhalten
9 (dü/dt) = ~ [j £ ] Pn (dün/df) = a (»A + b j) 9p b o (d»p/dt) + (4
grad p + o g,
grad pn + gn 9,
(7)
(8)
o • d (j'/«p2) /dt) + \
= o(<5m + e e )
(9)
mit
a = 2Vp Nn (a i n + a e n ) [g c m " 3 s e c " 1 ] ,
b
= (oeain-Qiae
n)/e
Pp Np (ai n + «e n)
[cm:! L a d u n g - 1 ] ,
a = e2a/(ß aie +
(10)
(11)
Nn2ainaen)
• [g —1 c m - 3 sec 1 Ladung 2 ],
(12)
0 z. B. Gl. 8. 30, 10, S. 141, gemeinsam mit 8. 41, 7,
S. 144, des Buches von C h a p m a n und C o w 1 i n g für den Sonderfall eines zweikomponentigen Gemisches.
7 Die zur Berechnung erforderliche zweite gaskinetische
Näherung wurde von T. G. C o w l i n g angegeben.
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4 -T e~ o Jmi
me [sec
2]
,
® + [(»p/c), J&],
ei
= ¿»(grad p — og — y
— NJea
(13)
(14)
dü
«ie = * 2 /a i e ,
dt
[cten grad Pi + a i n grad pe
+
(15)
(piaen-oeain)g].
Gl. (7) stellt die gesamte Impulsbilanz dar, bei der
natürlich die Lorentz-Kraft des Stromes auftritt.
Gl. (8) ist die Gleichung der ambipolaren Diffusion;
sie wird etwas anschaulicher, wenn man die Gl. (7)
subtrahiert:
a
= — §rad
PP + Pp
d
A §rad
(2AÜ
»en=(VNnMe2/aen)-
Der Vergleich der Gin. (7) und (9) mit (15) mit den
früher ohne Berücksichtigung des Neutralgases abgeleiteten (die man aus den vorliegenden Gleichungen natürlich wiedergewinnt, wenn man Nn — 0
setzt) zeigt, daß sich nichts Grundlegendes geändert
hat.
1
(16)
(17)
ist also nur richtig, wenn nicht nur die Schwere- und
Trägheitskräfte verschwinden, sondern auch kein
Temperaturgradient vorhanden ist, [ } § ] und
abj
verschwinden. Es gilt dann
A
=
(Np/Nn)(eVain),
— ¡ / « f f .
Ambipolare Diffusion wird also erzeugt durch den
Teil des Gradienten des Partialdruckes des Plasmas,
der nicht von den Trägheits- und Schwerekräften auf
das Plasma und der Lorentz-Kraft des Stromes kompensiert wird, sowie wegen der verschiedenen Wechselwirkung mit dem Neutralgas durch einen Strom
direkt. Die übliche Schreibweise
D
oin =
- (d»p/df)]
+ [{\lc),Sp\-ab\.
»a = -
geben durch die Kombination der drei Kopplungskonstanten, die für eine Plasmastrecke der Länge l
und des Querschnittes Q dem gezeichneten Ersatzschaltbild (Abb. 1) entsprechen:
kT/a.
Gl. (9) vertritt das Ohmsche Gesetz. Auf der linken
Seite stehen neben der Stromdichte noch Trägheitsglieder, die nur für die Theorie der Wellen und
Schwingungen im Plasma von Bedeutung sind und
hier nicht diskutiert werden sollen. Von diesen Termen abgesehen, wird der Strom hervorgerufen durch
die im mit der Geschwindigkeit der Plasmakomponente mitbewegten Koordinatensysteme gemessene
elektrische Feldstärke
und durch eine „eingeprägte" Feldstärke (£e, die die Wirkung der Druckgradienten und der Trägheitskräfte auf die relative
Diffusion der Elektronen gegen die Ionen beschreibt 8 .
Die Leitfähigkeit ist unabhängig vom Magnetfeld ge8 Auch hier ist die wirkliche Thermodiffusion nicht berücksichtigt, d. h. die Tatsache, daß ein Temperaturgefälle
audi bei Konstanz der Partialdrucke und Abwesenheit
äußerer Kräfte zu einer Diffusion führt.
f
i/acfen—
I1
V
Abb. 1. Ersatzsdialtbild eines Plasmazylinders (Länge l,
Querschnitt Q).
Die Aufgabe dieser Arbeit soll es wiederum nicht
sein, die auftretenden Koeffizienten zu bestimmen.
Um aber einen Anhalt für die in Frage kommenden
Größenordnungen zu geben, entnehmen wir einer
Arbeit von C o w 1 i n g die folgenden Werte:
« i e « 1 , 9 • 1 0 - " r - % { 6 , 7 - 'l log10 Np + 2 log10 r } ,
«in~2,2-10-32,
(18)
« e n « 9 , 4 • 10-37 r/2,
« in erg cm sec = g cm 3 s e c - 1 , T in 0 K , N in c m - 3
Die logarithmische Dichteabhängigkeit von aie
liegt daran, daß die fernen Vorübergänge wegen der
großen Reichweite der Coulomb-Kraft sehr wirksam
sind und die Integration über alle Abstände beim
Stoß bei einer Entfernung von der Ordnung des mittleren gegenseitigen Abstandes Ion—Elektron abgeschnitten werden muß.
Zylindersymmetrischer
Fall
Die oben abgeleiteten Gleichungen sollen nun für
einige Anwendungen spezialisiert werden. Wir betrachten die zylindersymmetrische Säule einer statio-
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nären Gasentladung. Alle Größen sollen nur von dem
Abstand r von der Achse abhängen. Da Trägheitswirkungen nicht in Frage kommen, kann (d/dt) — 0
gesetzt werden. Ferner sei t) = 0, d. h. das Gas bewege sich nicht als Ganzes.
Die Kontinuitätsgleichungen für die einzelnen Bestandteile unseres Gemisches ergeben dann:
d i v ( N p * p ) - d i v ( N n V = 0,
(19)
jr = 0
(20)
und aus den Grundgleichungen (7—9) wird (q = 0).
Elektronen vernachlässigt werden kann. Wegen der
hohen Elektronentemperaturen überwiegen (besonders dann, wenn keine negativen Ionen gebildet werden können) im Inneren die Ionisationen bei weitem
die Rekombinationen, die praktisch nur auf der Gefäßwand vor sich gehen. Setzen wir die Zahl der
pro cm 3 und sec erzeugten Ionen gleich %Nnpe, so
ist x e i n e Funktion allein der Elektronentemperatur
T e , wenn die Ionisation nur in einfachen Stößen
zwischen Elektronen und Neutralatomen im Grundzustand erfolgen. Wenn das Magnetfeld vom Strom
durch die Entladung herrührt, haben wir eine Lösung
des folgenden Gleichungssystems zu suchen:
Komponenten 11 zur Achse Komponenten i zur Achse
(21a),
(22 a),
i = oSa
(23 a),
grad p = ± [jJp]
a » A X = gradp n (22 b),
=
(23 b ) .
Dabei ist das elektrische Feld aufgeteilt in das angelegte äußere Feld E a (|| Achse) und das Raumladungsfeld E r , das sich automatisch so einstellt, daß
die Gl. (23b) befriedigt wird. Der Term (1/c) [t>P£>]
ist in der Regel sehr klein gegen (£a, wenn es sich nur
um das von der Entladung selbst erzeugte Magnetfeld handelt. Die Gl. (22 a) bestimmt lediglich den
nichtinteressierenden achsenparallelen Teil der ambipolaren Diffusion. Von Interesse sind also nur die
Gin. (21b), (22b) und (23 a), und wenn im folgenden
von „elektrischem Feld" und „ambipolarer Diffusion"
die Rede sein wird, ist stets 0fa bzw. t> Ai gemeint.
Die zu diesen Gleichungen hinzutretenden Beziehungen richten sich nun nach der speziellen Natur der
betrachteten Gasentladung.
Glimmentladung
mit E i g e n m a g n e t f e l d 9
In der positiven Säule einer Glimmentladung liegen dadurch verhältnismäßig einfache Verhältnisse
vor, daß die Elektronentemperatur erheblich über der
Temperatur der Ionen und des Neutralgases liegt,
so daß der Ionenpartialdruck gegen den Druck der
9 Erst nach Durchführung der folgenden
Rechnung
wurde Verf. durch eine Bemerkung von H. F e t z darauf
aufmerksam, daß dieses Problem bereits in einer während
des Krieges erschienenen Arbeit von L . T o n k s (Phvsic.
Rev. 56, 360 [1939]) behandelt worden ist. Der Vergleich
beider Behandlungsweisen zeigt den Nutzen unseres Verfahrens, nämlich von umgeformten Systemen der Gl. (7)
. . . (9) auszugehen und nicht von den Gl. (1) . . . (3) direkt,
welche denen von Tonks benutzten äquivalent sind.
(24)
- [) $>] = grad p ,
(21b),
(25)
«iniVniVpÖA= g f a d ( P - P e )
<\A p g a = (c/4 .T) rot Sp
(26)
n®en
(27)
div (N p * A ) = y . N n P e ,
N=pJkTe.
(28)
Hierbei ist vorausgesetzt, daß der Ionisationsgrad
so gering ist, daß die Stöße zwischen Elektronen und
Ionen gegenüber den Stößen mit den neutralen Teilchen vernachlässigt werden können. Das heißt wir
haben OL\ e ^ dtp n neben Oen
öi n vorausgesetzt.
Mit den Bezeichnungen
2.trNp|
| = F(r);
2.t/;(/)/dr'
J(r) = (c/2)|£|r;
E = |
I
und
(29)
r-
(30)
d F (o)/do = x Nn pe (o),
(31)
O=
.T
wird daraus
d/ (o)/do = (e2 E/Nn «en k Te) • Pe (o),
«in ^n *"(?) =
(32)
-(4.te2E/c*NnaenkTe)
' J (q) p e (9) — 2.T o (dpe (o)/do).
(33)
Der Unterschied zur ursprünglichen Theorie von
S c h o t t k y 1 0 liegt in dem Gliede mit J p e , das mit
10 W . S c h o 11 k v , Physik. Z. 25, 342, 635 [1924],
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seinem negativen Vorzeichen den kontrahierenden
Einfluß des Eigenfeldes darstellt. Zur Integration
machen wir im Anschluß an Schottky die Annahmen,
daß die Neutralgasdichte Nn, die Elektronentemperatur 7 e und mit dieser %, aCn und ai U über den
Querschnitt konstant seien: Die Berechtigung dieser
Annahmen wird noch diskutiert werden. Aus den
Gin. (31) und (32) folgt dann sofort F(o) ~ J(o), da
beide Funktionen den Anfangswert 0 für o = 0 besitzen müssen. Die Elimination von F und pe ergibt
dann die Differentialgleichung
o (d27/do2) + 2 (e2 E/Nn aenkTe
c2) J
(dJ/do)
+ (z/2.T)Nn2«enain/=0.
(34)
Zu der bereits benutzten Anfangsbedingung J (0) = 0
tritt eine Bedingung am Rand, deren genaue Formulierung eine Theorie der Vorgänge an der Wand des
Entladungsgefäßes erfordert. Statt dessen fordern
wir, daß Stromdichte und Elektronendruck = 0 für
r = R e ff, (wobei der „effektive Radius" R e ff etwas
größer ist als der wahre Radius des Gefäßes) oder
dJ/do — 0 für o = 71 R'cff.
Die Lösungen dieses Randwertproblemes gewinnt
man aus der Lösung des Anfangswertproblems
x (d2 i/dx2) + v i (di/dx) + i = 0 ,
i (0) = 0 ,
(di/dx)x = o = 1 ,
v beliebig > 0
(35)
durch zwei Ähnlichkeitstransformationen. Wenn der
Wert von x, an dem die erste Nullstelle von di/dx
liegt, mit x0 (v) und der Wert i (x 0 ) mit i 0 (v) bezeichnet
wird und als effektiver Gesamtstrom J e ff der Strom
eingeführt wird, der durch die Entladung insgesamt
fließen würde, wenn sie sich bis zum effektiven Radius
Reff erstrecken würde, ergeben sich diese Transformationen aus
e2EJef{/NnaenkTec2
= vi0(r)
(36)
und
(z/2)Nn2ainR*e{i=xo(v),
(37)
so daß
/ ( 0 ) = UeJio (v)]i(*)
mit
x = (o/.T R 2 e f f ) xq
(o = .T r 2 ).
Die beiden Gin. (36) und (37) müssen simultan gelöst werden. Die erste bestimmt im wesentlichen aus
dem gesamten Leistungsumsatz E J e ff den Wert von v,
d. h. die Größe des Einflusses des magnetischen
Eigenfeldes auf die Strom- und Elektronendruck-Ver-
teilung. Die zweite Gleichung bestimmt bei vorgegebenem NnRctt und v das Produkt
; da beide
Größen Funktionen nur der Elektronentemperatur
sind, bestimmt diese Gleichung also in erster Linie
diese.
Die Strom-Feldstärke-Beziehung, also die Charakteristik, ist durch unsere bisherigen Gleichungen noch
nicht bestimmt. Wir müssen dazu außer der Impulsbilanz für die 3 Komponenten, die den 3 Gin. (24),
(25) und (26) zugrunde liegt, auch die Energiebilanz betrachten. Die vom Entladungsstrom erzeugte
Joulesche Wärme kommt zunächst fast ausschließlich
den Elektronen zugute, von diesen wird sie zum Teil
bei den Stößen an die schweren Teilchen abgegeben
und im übrigen durch Ausstrahlung, gewöhnliche
Wärmeleitfähigkeit und durch konvektiven Transport
bei der ambipolaren Diffusion nach außen geschafft.
Wir machen nun die plausible Annahme, daß sowohl
die Ausstrahlung (die in optisch dünner Schicht erfolgt) als auch die Wärmeabgabe an die schweren
Teilchen proportional zum Elektronendruck (oder der
Elektronendichte) ist mit einem Koeffizienten, der
(außer von der nach wie vor als konstant angesehenen
Neutralgasdichte) nur von der Elektronentemperatur abhängt, so daß wir den Energieverlust pro cm 3
und sec durch diese beiden Prozesse zu einem Glied
xp(Te)pti zusammenfassen können. Wir erhalten damit die Energiebilanz
j E = ip (T e ) pe + div {[e Ui + (3/2) k Te] Np o A }
+ div{x(Te,pe)gradTe}
(38)
(Ui — Ionisationsspannung, x = Wärmeleitvermögen).
Nun zeigt die Gl. (27), daß unter der Voraussetzung konstanter Elektronentemperatur div(Npt>A)
~ p e und Gl. (26), daß dann ebenfalls 7 ~ p e - Wenn
dies aber der Fall ist, ist der Ansatz T e = const auch
mit der Energiebilanz (38) verträglich. Wir erhalten
daher bestimmt eine Lösung unseres vollständigen
Systems mit T e = const — es ist aber nicht auszuschließen, daß auch noch andere Lösungen existieren.
Mit T e = const trägt die gewöhnliche Wärmeleitung zum Energietransport nicht bei, und wir können die Energiebilanz (nach einmaliger Integration)
so schreiben:
[e + (v/z Nn)] F = JE,
B = e\J. + (3/2) k Te .
Daraus folgt
e2 E2 = (f y.Nn + y<) Nnaenk
Te;
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(39)
d. h. die Entladung brennt nur bei einer bestimmten,
allein von der Elektronentemperatur (und N n ) abhängigen Feldstärke. Die Stromstärke ist noch (innerhalb gewisser Grenzen) frei wählbar, sie beeinflußt
den Spannungsbedarf nur dann, wenn das Eigenmagnetfeld erheblich ist, über v und xn{v) [Gl. (37)]
hinweg.
Diese Ergebnisse gelten natürlich nur soweit, wie
die gemachten Voraussetzungen gültig sind. Die Voraussetzungen konstanter Elektronentemperatur haben
wir oben gerechtfertigt, so daß vor allem noch die
Annahme konstanter Neutralgasdichte geprüft werden muß. Nun nimmt der Neutralgasdruck bestimmt
— Abstand von der Achse
des Gefäßes wurde so bestimmt, daß die Meßpunkte
möglichst gut auf die gerechneten Kurven fielen. Die
damit erreichte Übereinstimmung im Verlauf ist angesichts der in der Rechnung gemachten Annahmen
(besonders bezüglich Nn) überraschend. Wahrscheinlich wird die Abnahme der Neutralgasdichte zum
Mittelpunkt dadurch teilweise kompensiert, daß dort
die Ionisation auch von angeregten Zuständen aus
erfolgt.
Die gefundene Übereinstimmung kann vor allem
als Beweis dafür angesehen werden, daß die elektrische Leitfähigkeit in der Tat vom Magnetfeld unabhängig ist. Die magnetische Feldstärke betrug bei
80 A Gesamtstrom am Rande etwa 5 örsted, der zugehörige Larmor-Radius der Elektronen von etwa
2 0 0 0 0 ° im Mittel ungefähr 1 cm, so daß man bei
einer freien Weglänge der Elektronen von 10 cm
(nach Fetz) dort eine Verminderung der Leitfähigkeit
um 2 Zehnerpotenzen hätte erwarten können. Es ist
sicher, daß ein derartiger Effekt zu einer viel stärkeren Konzentrierung der Entladung und zu einer beträchtlichen Erhöhung der benötigten Feldstärke
geführt hätte.
Andere
Abb. 2. Relative Strom- und Elektronendichte in einer
Glimmentladung, v = Parameter des Eigen-Magnetfeldes;
Meßwerte von H. F e t z : • 20 A ; x 40 A ; o 80 A.
zum Rande hin zu, da sein Gradient für die ambipolare Diifusion verantwortlich ist [Gl. (22 b)], außerdem nimmt die Temperatur des Neutralgases sicher
nach innen zu, beides bewirkt, daß Nn im Mittelpunkt kleiner als am Ende ist.
Um die hergeleiteten Beziehungen prüfen zu können, wurde das Anfangswertproblem der Gl. (35) für
verschiedene Werte des Parameters durch numerische
Integration 11 gelöst. Die Abb. 2 zeigt die relative
Strom- und Elektronendichte, also im wesentlichen
die Funktion di(v,x)/dx für verschiedene Parameterwerte.
Zum Vergleich sind Werte für die relative Elektronendichte gegeben, die Kurven entnommen sind, die
H. F e t z veröffentlicht hat 12 . Sie beziehen sich auf
eine Glimmentladung in Hg von 2 mTorr Druck in
einem Gefäß von 10 cm Radius. Der effektive Radius
11 Für deren Durchführung bin ich Frl. Dr. E . T r e f f t z
und der Rechengruppe des Institutes zu Dank verpflichtet.
12 H. F e t z , Ann. Physik (5) 40, 595 [1943].
Anwendungen
Die Rechnung des vorangehenden Abschnittes ist
nur ein Beispiel für die Verwendbarkeit unseres Gleichungssystems ( 7 ) . . . (15). Entscheidend dafür, daß
wir unter unseren Voraussetzungen alle Glimmentladungen durch eine einparametrige Schar von Kurven
beschreiben konnten, war die Möglichkeit, die Konstanz der Temperatur über den Entladungsquerschnitt
zu begründen. Im allgemeinen wird die Temperatur
nicht mehr konstant sein, und dann werden die
Größen a (die Koeffizienten der gegenseitigen Reibung), x (der Koeffizient der Stoßionisation) und xp
(Koeffizient des Wärmeverlustes der Elektronen durch
Ausstrahlung und durch Stöße mit schwereren Teilchen) Ortsfunktionen. Dies ist schon bei Glimmentladungen in einem äußeren Magnetfeld, insbesondere aber auch bei allen Bogenentladungen
der Fall.
Die Theorie der Bögen (zunächst ohne Magnetfeld)
geht ja direkt aus von der Energiebilanz, nämlich der
Elenbaas-Hellerschen Differentialgleichung. Der Einfluß von Magnetfeldern auf Bogenentladungen soll
wegen dieser Komplikationen hier nicht untersucht
werden.
Über Anwendungen der Plasmagleichungen auf die
Ionosphäre soll an anderer Stelle berichtet werden.
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