9. ¨Ubung zur Einf¨uhrung in die Plasmaphysik Mittlere

9. Übung zur Einführung in die Plasmaphysik
Prof. Kaufmann, SS 1999
Lösungen
Mittlere Stoßfrequenzen
Wir geben (ohne Beweis, in Wiederholung der Vorlesung) die mittleren Stoßfrequenzen zwischen Ionen und Elektronen, Ionen und Ionen, und Elektronen und Elektronen an. Die Mittelung
erfolgt über eine Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen und Ionen.
Ladungszahl der Ionen: Z, Dichte: n
Coulomb-Logarithmus:
12 Z n 3D
Debye-Länge:
1 2
0 Te
D
n2e 1
ZTe Ti
Die mittleren Stoßfrequenzen sind:
2 ni Ze4 ln
ei
12
3 2 2
0
1 2
me
neZe4 ln
ee
3 2
Te
2
0
1 2
me
ni Ze4 ln
ii
3 2
Te
12
3 2 2
0
1 2
mi
3 2
Ti
Spezifischer Plasmawiderstand
Wir betrachten den Stromfluß in Richtung des Magnetfeldes bzw. ohne Magnetfeld. Durch Reibung der Elektronen und Ionen aneinander wird eine Kraft ausgeübt, die für konstanten Stromfluß durch ein anliegendes elektrisches Feld aufgebracht werden muß:
Rei
wobei
ei
mene
ei
ve
vi
neeE
die Stoßfrequenz zwischen Elektronen und Ionen ist. Mit j
me ei
me ei
ve vi
j
e
e2 ne
hat also die Form
E
Der spezifische Widerstand
ne ve
vi
j
me ei
e2 ne
(1)
1. Diffusion im vollionisierten Gas
Wir zeigen, daß bei endlicher elektrischem spezifischen Widerstand auch ein Transport von Materie senkrecht zum Magnetfeld aus den MHD-Gleichungen im Einfls̈sigkeitsbild folgt (“klassische Diffusion”).
In allgemeiner Form lautet das verallgemeinerter Ohm’sche Gesetz
pe
ne
Die Flüssigkeits-Bewegungsgleichung lautet
E
v
B
1
j
B
ne
j
(2)
dv
j B
p
dt
Wir nehmen eine stationäre Strömung ( v t 0) und mn v
v
dient groß gegen Strömungskräfte) und verwenden die Kraftbilanz
mn
p
j
p an (d.h. Druckgra-
B
Um die Stromdichte zu eliminieren, setzen wir in Gleichung 2 die Kraftbilanz für den j
Term ein
E
v
pe
ne
B
p
ne
E
v
B
pi
ne
j
B
p
B-
und bilden das Kreuzprodukt mit B
E
B
v
Mit der Vektorrelation
B
B vB
Magnetfeld
B
B
C
pi
ne
B
A
A
B
B
j
C
A CB
A B C gilt v
B
B2 v. Nach Division durch B2 ergibt sich für die Komponente senkrecht zum
E
pi
B
p B
neB2
B2
Wir können nun die Geschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld v in die Komponenten
parallel und senkrecht p aufspalten. Das E-Feld verläuft für hinreichend langsame Zeitskalen
parallel zu p, da Potentialunterschiede innerhalb der Flußflächen durch parallele elektrische
Leitfähigkeit rasch ausgeglichen werden.
Wir erhalten die Geschwindigkeits-Komponente senkrecht zu p und B
v
B
B2
E
pi
B neB
die, wie in der idealen MHD, die E B-Drift und die diamagnetische Drift enthält. Die
Geschwindigkeits-Komponente parallel zu p und senkrecht zu B beträgt
Mit p
v
1
v
2
p
B2
nT ergibt sich der Teilchenfluß in Richtung von
p
n
nT
n2
T
n
n
T
n
T
2
B2
B2
B2
und, eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung, unter der Annahme konstanter Temperatur,
T 0,
nv
n
t
p
n
B2
D
2
n
D
p
B2
(3)
“Random walk”: Der Diffusionskoeffizient aus Gl. 3 ergibt mit Hilfe von Gl. 1
D
nT
B2
T me
e2 B2
2
m2e vth
e
ei
2
vth
e
ei
e2 B2
ei
2
c
rL2 e
ei
Diese Form entspricht einer “Random walk” Diffusion (D
x 2 t) mit Schrittweite
x rL e (Elektronen-Gyroradius, gemittelt über thermische Geschwindigkeitsverteilung) und
1
Zeitintervall t
ei (mittlere Stoßzeit).
Stöße gleicher Teilchen: Da der Widerstand nur von der Elektronen-Ionen Stoßrate abhängt,
findet offenbar auch die klassiche Diffusion von Materie senkrecht zum Magnetfeld nur durch
Elektronen-Ionen Stöße statt. Tragen Stöße gleicher Teilchen also nicht zur Diffusion bei?
Zur Vereinfachung betrachten wir 90o Stöße. Zwei gleiche Teilchen, deren Gyrozentren in
y-Richtung versetzt sind, stoßen, so daß nach dem Stoß ihre Gyrozentren in x-Richtung versetzt
sind:
y
1,i
Gz 1,i
Gz 2, f
2,f
1,f
Gz 1, f
Gz 2, i
2,i
x0
x
Zunächst gilt Impulserhaltung in x und y-Richtung für die Teilchen. Die Koordinaten der
Teilchen und die des Gyrozentrums (Gz) xGz sind gemäß
xGz
x
vy
yGz
c
y
vx
c
miteinander verknüpft. Da der Gesamtimpuls z. B. in y-Richtung erhalten bleibt ( mvy i
mvy f ), gilt für die x- Positionen der Gyrozentren vor (Index i) und nach (Index f ) dem Stoß:
xGz1 i
xGz2 i
xGz1 f
xGz2 f
Es findet durch den Stoß keine Verschiebung des Schwerpunkts in x-Richtung statt, wohl
aber werden Gyrozentren in x-Richtung versetzt. Wir müssen daher fragen, ob bei endlichem
Dichtegradienten (dn dx 0) ein Transport staffindet.
Die Teilchen sollen eine isotrope thermische Geschwindigkeitsverteilung haben. Für jeden
“Vorwärts”-Stoß (i
f ) gemäß der Abbildung gibt es auch die Möglichkeit eines umgekehrten
“Rückwärts”-Stoßes ( f
i), der den Versatz der Gyrozentren in x-Richtung gerade wieder
aufhebt. Wenn die gesamte Rate der “Vorwärts”- und “Rückwärts”-Stösse gleich ist, findet kein
Netto-Transport statt. Die gesamte Rate der Stöße ist proportional des Quadrats der Dichte der
Gyrozentren (Massenwirkungsgesetz). Für “Vorwärts”-Stöße:
rv
nGz1 inGz2 i
3
n2 x0
Für “Rückwärts”-Stöße:
rr
nGz1 f nGz2
n x0
f
rL
dn
dx
n x0
rL
dn
dx
n2 x0
rL2
dn
dx
2
Bis zur ersten Ordnung von rL Ln (Ln n n ) kompensieren sich also Vorwärts- und RückwärtsStöße. In zweiter Ordnung tun sie das auch, wenn die Verteilungsfunktion der Teilchengeschwindigkeit nicht vom Ort abhängt (konstante Temperatur). Nur in höherer Ordnung von
rL Ln, oder in zweiter Ordnung, aber mit höheren Ableitungen von n nach x, bzw. Temperaturgradienten gibt es einen Beitrag gleicher Teilchen zur Diffusion, der aber i.a. gegenüber der
Diffusion durch ungleiche Teilchen vernachlässigbar ist.
Es soll allerdings nicht unerwähnt bleiben, daß in realen Plasmen selten die klassische Diffusion senkrecht zum Feld beobachtet werden kann. Im gekrümmten Magnetfeld kommt es
zur Erhöhung des effektiven radialen Versatzes je Stoß durch den Versatz der Driftbahnen gegenüber den Flußflächen (sowohl für im Magnetfeldspiegel gefangene wie auch umlaufende
Teilchen, s. Übung 4). Durch hohe Wärmeflüsse und steile Dichte- und Temperaturgradienten
wird außerdem Turbulenz erzeugt, in deren Folge z. B. durch fluktuierende poloidale elektrische Felder und daraufhin erfolgende E B-Drift weitaus höhere Teilchenflüsse entstehen als
durch die obige Betrachtung vorhergesagt.
2. Magnetfeld-“Diffusion”
Wir vereinfachen das verallgemeinerte Ohm’sche Gesetz (Gl. 2 durch die Annahme eines kleinen Druckgradienten:
E
v
B
j
v
B
B
0
wobei wir die Stromdichte noch mit dem Ampere’schen Gesetz durch die Rotation des Magnetfelds ausgedrückt haben.
Das elektrische Feld eliminieren wir mit Hilfe des Faraday-Gesetzes B˙
E:
B˙
v
B
B
0
Mit der Vektorrelation
B
B˙
2B
B
v
2
B
B
2B
ergibt sich:
(4)
0
Der linke Term auf der rechten Seite beschreibt die Konvektion des magnetischen Feldes mit
v, der rechte Term die Diffusion des Magnetfeldes mit der Diffusionskonstanten DB
mu0.
Im ideal leitfähigen Plasma (
0, ideale MHD) bewegt sich das Magnetfeld nur mit der
materiellen Strömung (Flußerhaltung). Bei endlicher Leitfähigkeit kann das Magnetfeld in umgekehrter Richtung zum Gradienten diffundieren, und zwar um so schneller, je höher der spezifische Widerstand ist.
Skin-Effekt Die obige Gleichung 4 gilt sinngemäß für jeden Leiter, auch z. B. für eine elektrisch leitfähige Wand. Ein Wechselfeld der Winkelfrequenz
2 f wird in einen Leiter nur
begrenzt eindringen. Die exponentielle Abfallänge (Skin-Tiefe) beträgt:
4
1 e
0
Magnetische Reynolds-Zahl Das Verhältnis Remag vL
0 (eine dimensionslose Zahl)
bezeichnet man als “magnetische Reynolds-Zahl”. L bezeichnet hier die Skalenlänge des betrachteten Systems, so daß die magn. Reynolds-Zahl das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit zur “Diffusionsgeschwindigkeit” DB L senkrecht zum Magnetfeld, d.h. oft auch senkrecht
zur Hauptströmung beschreibt. Für ein ideales Plasma ist Remag 0, resistive Plasmen können
sehr hohe Werte (Remag 108 ) aufweisen.
Die Definition der magnetischen Reynolds-Zahl geschieht in Analogie zur Reynolds-Zahl
der Strömungslehre Re 2r v
für die Strömung einer Flüssigkeit der Viskosität
und
Dichte in einem Rohr des Innenradius r. Für Re 3000 wird eine Strömung turbulent; für
Re 2000 ist sie laminar.
Die magnetische Reynolds-Zahl allerdings drückt nicht unmittelbar Stabilität oder Instabilität eines magnetisierten Plasmas aus, da eine Reihe von Instabilitäten unter sehr unterschiedlichen Bedingungen, z. B. auch im ideal leitfähigen Plasma (Remag 0), auftreten können.
3. Diffusion im schwach ionisierten Gas
In einem schwach ionisiertes Gas ist die Neutralteilchendichte weit höher als die Ionen- und
Elektronendichten, so daß Stöße der geladenen Teilchen mit Neutralteilchen weitaus gegenüber
Stößen der geladenen Teilchen untereinander dominieren. Neutralteilchen können Impuls wegbzw. hinzufügen, so daß keine Impulserhaltung in der Gesamtheit der geladenen Teilchen gelten
muß.
Falls Elektronen- und Ionen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten transportiert werden,
ergibt sich eine Ladungstrennung, die nach kurzer Zeit zu hohen elektrischen Feldern führen
würde. Das entstehende elektrische Feld wird im allgemeinen dafür sorgen, daß durch die
zusätzliche Coulomb-Kraft Elektronen und Ionen gleiche Geschwindigkeiten bekommen, d.h.
die Strömung “ambipolar” ist. Das durch unterschiedlichen Elektronen- und Ionentransport entstehende elektrische Feld heißt daher “ambipolares elektrisches Feld”. Die Raumladung, die
selbst zu hohen elektrischen Feldern (aufgrund des Poisson-Gesetzes) gehört, ist allerdings so
klein, daß in jedem Fall n
ni ne angenommen werden kann.
(a) Diffusion ohne B-Feld bzw. parallel zum Feld
In die Kraftbilanz muß ein Term aufgenommen werden, der die Impulsänderung einer jeden
Spezies (Elektronen, Ionen) durch Stösse mit den Neutralteilchen beschreibt (q sei die Ladung,
q
e, und n die mittlere Stoßfrequenz mit den Neutralen):
dv
qnE
dt
bzw. im stationären Fall (dv dt 0):
mn
p
mn nv
qE
p
(5)
m n mn n
Ohne elektrisches Feld würden die Elektronen aufgrund ihrer kleineren Masse schneller diffundieren als die Ionen. Das entstehende elektrische Feld wird jedoch die Elektronen zurückv
5
halten (und die Ionen etwas beschleunigen). Wir berechnen das ambipolare elektrische Feld aus
der Bedingung vi ve :
eE
me
pe
me n en
en
eE
mi in
pi
mi n in
und nach Umformen:
E
1
ne
pi me
mi
pemi
me en
en
in
in
Wir nehmen nun den realistischen Fall an, daß der Unterschied zwischen Elektronen-und
Ionendruckgradient nicht das Massenverhältnis aufwiegen kann, pi pe mi me. Außerdem
gilt näherungsweise en
in , so daß
E
Wenn z. B. Te
1
ne
pi me
mi
pemi
pe
ne
me
const.:
Te n
e n
Die elektrische Feldstärke können wir nun in Gl. 5 für die Ionen einsetzen und erhalten für
den “Teilchendichtefluß”
E
pe
nvi
Im Fall Te Ti
mi
pi
mi
in
in
const. gilt:
Te Ti
mi in
nvi
n
Die Kontinuitätsgleichung lautet also
dv
Te Ti
dt
mi in
mit dem “ambipolaren Diffusionskoeffizienten”
Da
Te
Ti
2
mi
n
Da
2
n
in
Die Diffusion parallel zum B-Feld wird durch Stöße behindert und wird mit steigender Stoßfrequenz daher langsamer.
(a) Diffusion senkrecht zum B-Feld
Für die Strömung senkrecht zum B-Feld kommt in der Kraftgleichung der Hall-Term v
hinzu:
dv
qn E
dt
Stationär gilt für Ionen und Elektronen
mn
v
B
6
p
mn nv
B
0
0
en E
v
en E
v
B
mi n
in v
pe
men
en v
B
pi
Durch den v B-Term sind beide Komponenten senkrecht zu B miteinander verkoppelt.
Wir machen nun einen Ansatz für die Komponenten von v senkrecht zu B in lokalen kartesischen Koordinaten, wobei wir die z-Richtung in Richtung von B wählen. Die x-Richtung sei in
Richtung von n.
1
vx
eB
m n
1
eB
vx
m n
vy
2
eB m
n
2
eB
m n
1
eB m
eB
m n
1
Da c
schreiben:
eB m (Zyklotronfrequenz) und
1
vx
qEx
m n
2 2
n
1
n
n
T
n
m n n
1
qEx
m n
T
n
m n n
qEx
m n
T
n
m n n
2
Ex
B
2
n
vy
T n
qB n
(mittlere Stoßzeit), können wir auch
1
2 2
n
2 2
n
Ex
B
T n
qB n
Wir müssen natürlich zeigen, daß der Ansatz die Kraftbilanz erfüllt, und zwar für die xKomponente ( v B x vy B)
0
qn
1
1
2
E
2 x
n
1
2 2
n
2 2
n
und für die y-Komponente ( v
qn Ey
qn Ey
B
2 2
n
1
B
1
2 2
n
qEx
m n
qEx
m n
T n
q n
B
qn
0
qn Ey
mn
n
T n mn nvx
T n
0
q n
2 2
n
2 2
n
vxB)
y
T
m n
T
m n
1
qn Ex vy B
1
E
2 2 x
1
n
n
n
n
n
qn
1
1
B
vx B
2 2
n
2 2
n
2 2
n
T n mn nvy
Ex
T n
B qB n
qEx
T
n
m n m n n
Die Gleichung ist erfüllt, wenn Ey 0, d.h. das ambipolare elektrische Feld verläuft in
Richtung von n (x-Richtung).
Der Parameter c n beschreibt, wieviele Gyrationszyklen im Mittel zwischen zwei Stößen
erfolgen. Im Falle eines starken Magnetfeldes bzw. geringer Stoßfrequenz (heißes, nicht zu
dichtes Plasma) wird sehr schnell 2c 2n 1 und es gilt vereinfacht:
7
vx
m2 2n
e2B2
qEx
m n
T
n
m n n
Ohne elektrisches Feld würde die Geschwindigkeit in Richtung von n mit zunehmender
Masse steigen, d.h. die Ionen eilen bei der Diffusion aufgrund ihres größeren Gyroradius voraus. Das entstehende elektrische Feld hält jedoch die Ionen zurück und bindet die ambipolare
Diffusion an den Transport der Elektronen.
Der Teilchendichtefluß beträgt:
m in
neEx T n
e2 B2
Wir berechnen nun das ambipolare elektrische Feld Ex aus vx i
nvx i
1
mi
eEx
in
Ti
n
n
2
eB
me en
1
Mit der vereinfachenden Annahme
1
me
2 2
c n
eEx
Te
en
eB mi
in
2
(6)
vx e :
n
n
1
eB
mi in
2
0 (dies impliziert auch eB me
en
0)
eEx
Ti
n e2 B2
n me en
eEx
n e2B2
n mi in
Te
bzw.
eEx 1
me
mi
en
Ti
in
n
n
me
mi
en
Te
in
n
n
und damit
Ex
1
n
Ti
1
e n
me
mi
en
in
1 me
e mi
en
in
Te
n
n
Näherungsweise ist das ambipolare elektrische Feld also
n
ne
Mit dieser Näherung jedoch wäre der Teilchendichtefluß (Gl. 6) gerade Null. Wir nehmen
also noch die nächste Ordnung mit und erhalten:
Ex
Ti
me en
Te Te n
e2 B2
Der ambipolare Diffusionskoeffizient senkrecht zum B-Feld beträgt also
nvx
me en
Te Ti
e2B2
Die Diffusion senkrecht zum Feld wird durch eine erhöhte Stoßfrequenz beschleunigt. Ohne
Stöße gibt es in diesem Bild keinen Transport senkrecht zum Magnetfeld.
Da
8
2