Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie

Mathematische Grundlagen der Ökonomie
Übungsblatt 
Abgabe Donnerstag . Oktober, : in H
+++ =  Punkte
Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben
. Bezeichne mit Ω die Grundmenge. Skizziere zwei Mengen A und B so dass
die vier Mengen A\B, B\A, A∩B und Ω\(A∪B) nicht leer sind und markiere
diese vier Mengen in der Skizze. Ist jedes Element aus Ω in genau einer der
dieser vier Mengen enthalten (d.h. bilden die vier Mengen eine Partition von
Ω)? Ja.
Veranschauliche anhand solcher Skizzen die Regeln von De Morgan
(a) Ω \ (A ∪ B) = (Ω \ A) ∩ (Ω \ B)
(b) Ω \ (A ∩ B) = (Ω \ A) ∪ (Ω \ B)
Da eine Skizze wie oben gewünscht eine Partition von Ω darstellt, erhält man
eine vollständige Fallunterscheidung. Deshalb kann man anhand solcher
Skizzen die Rechenregeln für Mengen wirklich nachvollziehen.
Wenn man in die Skizze einträgt, aus welchen der vier Mengen der Partition
A \ B, B \ A, A ∩ B und Ω \ (A ∪ B) die Mengen auf der rechten und linken Seite
der Gleichungen jeweils bestehen, erhält man folgendes Ergebnis:
Ω \ (A ∪ B) = (Ω \ (A ∪ B))
(Ω \ A) ∩ (Ω \ B) = (Ω \ (A ∪ B))
Ω \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (Ω \ (A ∪ B))
(Ω \ A) ∪ (Ω \ B) = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (Ω \ (A ∪ B))
Der Zusammenhang mit den Regeln für eine Verneinung von ‘oder’ bzw.
‘und’ ist wie folgt (es war in der Aufgabe nicht verlangt, diesen Zusammenhang herzustellen): Auf der linken Seite von (a) steht die Menge alle jener
Elemente aus der Grundmenge, die nicht in einer der beiden Mengen A oder
B enthalten sind. Das logische Gegenteil von ‘in A oder in B’ ist ‘(nicht in A)
und (nicht in B)’, und die Menge auf der rechten Seite von (a) enthält tatsächlich diejenigen Elemente aus der Grundmenge, die nicht in A enthalten sind
und zudem auch nicht in B enthalten sind. Ein entsprechender Zusammenhang besteht für (b) da das logische Gegenteil von ‘in A und in B’ die Aussage
‘(nicht in A) oder (nicht in B)’ ist.
. Stelle die beiden folgenden periodischen Dezimalbrüche als Bruch aus zwei
ganzen Zahlen dar:
(a) x = 9.87
99x = 100x − x = 987.87 − 9.87 = 978 und folglich x =
978
99
=
326
33 .
(b) y = 1.2345
9990x = 10000x − 10x = 12345.345 − 12.345 = 12333 und folglich x =
12333
4111
9990 = 3330 .
. Es sei i die imaginäre Einheit mit i 2 = −1. Vereinfache
(a)
(b)
(c)
(d)
(1 + i)2 = 12 + 2i + i 2 = 1 + 2i − 1 = 2i
(2 − 3i)2 = 22 − 12i + 9i 2 = 4 − 12i − 9 = −5 − 12i
(1 − 2i)(1 + 2i) = 12 − 4i 2 = 1 + 4 = 5
(a+bi)(a−bi) = a2 −b2 i 2 = a2 +b2 mit a, b ∈ R; man hat damit den Zusammenhang zwischen Multiplikation mit der konjugiert komplexen Zahl
und dem Quadrat des Betrages nachgerechnet (a+bi)(a + bi) = (a+bi)(a−
bi) = a2 + b2 = |a + bi|2
. Zeige mit Hilfe einer vollständigen Induktion, dass für alle natürlichen
Zahlen n ∈ {1, 2, 3, . . . } und alle reellen Zahlen a ∈ R und r ∈ R \ {−1, 0} die
folgende Formel gilt:
!
n
X
a
a
1
= 1−
(1 + r)n
(1 + r)k r
k=1
Mögliche Anwendung: Für n aufeinanderfolgende Jahre wurde jeweils zum
Jahresende eine Zahlung von a Einheiten versprochen. Man möchte wissen,
welchen Wert die versprochenen Zahlungen zu Beginn des ersten Jahres insgesamt haben und geht jedes Jahr von einem Zinssatz r aus.
Dies ist eine Variante der geometrischen Summenformel.
Induktionsanfang n = 1:
1
X
k=1
!
!
a
a
a 1+r −1
a
1
− 1−
=
−
= 0.
(1 + r) r (1 + r)
(1 + r)1
(1 + r)k r
Induktionsschritt n → n + 1:
Wir nehmen für einen Augenblick an, es gelte
n
X
k=1
a
a
1
= 1−
k
r
(1 + r)n
(1 + r)
!
und wollen zeigen, dass unter dieser Annahme auch
!
n+1
X
a
a
1
= 1−
.
(1 + r)n+1
(1 + r)k r
k=1
Dies ist tatsächlich richtig, denn aufgrund der Induktionsannahme ist
!
n
n+1
X
X
a
a
a
a
1
a
=
+
= 1−
+
n
n+1
k
k
r
(1
+
r)
(1 + r)
(1 + r)n+1
(1 + r)
(1 + r)
k=1
k=1
!
!
!
a
1
r
a
1+r −r
a
1
= 1−
+
= 1−
= 1−
.
r
(1 + r)n (1 + r)n+1
r
r
(1 + r)n+1
(1 + r)n+1
