Analysis I/II 1 Grundlagen

Prof. Dr. Friedrich Juhnke, Fakultät für Mathematik, Universität Magdeburg
Analysis I/II
Vorlesung für Physiker und Lehramt, Gliederung/Inhaltsabriss, 2007/2008
1
Grundlagen
1.1
Mengen und Abbildungen
Menge, Teilmenge, leere Menge ∅,
Verknüpfungen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung, Komplement, Mengendifferenz,
Disjunktheit, Produktmenge, Potenzmenge P (M )
N := {1, 2, 3, . . .} natürliche Zahlen
N0 := {0, 1, 2, 3, . . . , }
Z := {.
. . ,−2, −1, 0, 1, 2,3, . . .} ganze Zahlen
Q := pq p ∈ Z, q ∈ N rationale Zahlen
R ∼ reelle Zahlen
C ∼ komplexe Zahlen
Abbildung f : X → Y (von X in Y )
b = f (a) ∼ b = das Bild von a, a = ein Urbild von b
f (A) := {f (a) | a ∈ A ⊆ X} ∼ Bild der Menge A
f −1 (B) := {a ∈ X | f (a) ∈ B ⊆ Y } ∼ vollständiges Urbild der Menge B
f ist surjektiv, wenn f (X) = Y
f ist injektiv, wenn für ∀b ∈ Y gilt: f −1 (b) einelementig oder leer
f ist bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist
Komposition (= ”Zusammensetzung”, = ”Verkettung”, = ”Multiplikation”):
h = f ◦ g ∼ h(x) = (f ◦ g)(x) := f (g(x)) Hintereinanderausführung
Mächtigkeit |M | (oder ]M ) der Menge M
gleichmächtig, größere Mächtigkeit, abzählbar
Satz 1: |Q| = |N| (Cantorsches Diagonalverfahren)
Satz 2: |R| > |N|
Satz 3: |P (M )| > |M |
1.2
Natürliche Zahlen, Vollständige Induktion
Induktionsprinzip:
Aussage A(n) ist wahr für alle n ∈ N, wenn
(I) A(1) ist wahr
(II) A(m) ist wahr =⇒ A(m + 1) ist wahr
Anwendungsbeispiele:
•
n
P
k=1
•
n
P
k=1
•
n
P
k=0
k=
n(n+1)
2
k2 =
1
6
n (n + 1)(2n + 1)
qk = 1 + q + q2 + . . . + qn =
1−q n+1
1−q
• Bernoullische Ungleichung: (1 + h)n > 1 + nh für n ≥ 2, h 6= 0, 1 + h > 0.
bzw.: (1 + h)n ≥ 1 + nh für n ≥ 1, 1 + h ≥ 0
1
Permutationen,
Binomialkoeffizienten,
n
=
Anzahl
der
k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge
k
n
P
n n−k k
Binomischer Satz: (a + b)n =
b
k a
k=0
1.3
Reelle Zahlen
√
Unvollständigkeit von Q: Inkommensurabilität, 2 ∈
/ Q.
Historisches: Pythagoräer, Hippasos von Metapont [5. Jh. v. Chr.]: Seitenlänge und Diagonale im regelmäßigen Fünfeck sind inkommensurabel.
Axiomatik: Körperaxiome, Anordnungsaxiome, Vollständigkeitsaxiom,
obere/untere Schranke, obere/untere Grenze, Supremum/Infimum,
Wurzelexistenzsatz.
1.4
Ungleichungen und Beträge
Lösen von Ungleichungen
∼ Fallunterscheidung:
Testintervall,
Lösungsmenge
a, wenn a ≥ 0
1, wenn a > 0
Definition: |a| :=
, sign a :=
−a, wenn a < 0
−1, wenn a < 0
Eigenschaften: Für alle a, b ∈ R gelten
1. |a| ≥ 0
2. |a| ≥ a und |a| ≥ −a
3. | − a| = |a|, also |a − b| = |b − a|
4. |ab| = |a||b|
5. ab = |a|
|b| (b 6= 0)
6. |x| = |a| √
⇔ x = a oder x = −a ⇔ x2 = a2
Beachte: a2 = |a|
7. |a| = a · sign a
und
a = |a| · sign a
8. |a| < ε ⇔ −ε < a < ε
|x − a| < ε ⇔ a − ε < x < a + ε
9. |a ± b| ≤ |a| + |b|
10. |a ± b| ≥ ||a| − |b||
1.5
Komplexe Zahlen
Historisches: Cardano, Bombelli, Descartes, Leibniz, Euler, Gauss, Hamilton
Körper C := (x, y) ∈ R2 , +, · , z = x + iy ∈ C, i2 = −1, Realteil Re z = x,
Imaginärteil Im z = y, konjugiert komplexe Zahl z := x − iy, komplexe
p Zahlenebene,
Polarkoordinaten z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ), Betrag r := |z| := x2 + y 2 ,
Argument arg z = ϕ = arctan xy , Multiplikation/Division in C ∼ Drehstreckung
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ, n ∈ N - de Moivre (1667 - 1754)
Eigenschaften:
|z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0
z + u = z + u, zu = z u
z + z = 2Re z, z − z = 2i Im z
z = z ⇔ z ist reell
|z| = |z|
|Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|
2
|z|
|zu| = |z||u|, uz = |u|
arg (zu) = arg z + arg u,
arg uz = arg z − arg u
|z + u| ≤ |z| + |u|,
|z + u| ≥ ||z| − |u||

1, n ≡ 0 (4) d.h. n = 4k



i, n ≡ 1 (4)
n = 4k + 1
Potenzen von i:
in =
−1,
n
≡
2
(4)
n = 4k + 2



−i, n ≡ 3 (4)
n = 4k + 3
n-te Wurzeln w1 , . . . , wn aus der komplexen Zahl z = r(cos α + i sin α):
√
α
2π
α
2π
+ (k − 1)
+ i sin
+ (k − 1)
, k = 1, . . . , n.
wk = n r cos
n
n
n
n
Im Körper C lässt sich keine Anordnung definieren, die den Anordnungsaxiomen von R
genügt.
2
2.1
Zahlenfolgen, Grenzwerte, Konvergenz
Allgemeines
∞
Zahlenfolge (ZF ) {xn } , {xn }n=1 : Abb. N → C bzw. R
o n
∞
n−1
, n+1
Beispiele: n1 , {2n } , (−1)n−1 , (−1)n
, a2k−1 = k+1
n
k , a2k = −1 k=1 ,
n n o n ∞
−1
√
, {a0 = 0, a1 = 1, an := an−1 + an−2 }n=2
, 1 + n1
2
nach oben/nach unten beschränkte ZF, monotone ZF
Beispiel:
n
)
0 < 1 + n1 < 3 für ∀n ∈ N
n n+1
ist streng monoton wachsend und beschränkt
=⇒ 1 + n1
1
1 n
1 + n < 1 + n+1
2.2
Konvergenz von Zahlenfolgen
Definition: {an } heißt konvergent mit Grenzwert g, wenn
∀ε > 0 ∃n0 (ε) derart, dass {n ≥ n0 (ε) ⇒ |an − g| < ε}
offene/abgeschlossene ε-Umgebung Uε (g),
bestimmte/unbestimmte Divergenz, Teilfolge, Nullfolge
Eigenschaften konvergenter ZF:
G1) Grenzwert einer konvergenten ZF ist eindeutig bestimmt
G2) Jede konvergente ZF ist beschränkt
G3) Aus an → g folgt ank → g für jede Teilfolge {ank } von {an }
G4) Aus lim an = g folgt lim |an | = |g|
n→∞
n→∞
G5) Ist {an } bestimmt divergent, so ist
n
1
an
o
eine Nullfolge
G6) Das Hinzufügen, Streichen oder Abändern endlich vieler Glieder einer ZF ändert
nichts an deren Konvergenzverhalten
G7) Sandwich-Theorem:
Sind {an } , {bn } konvergente ZF mit demselben Grenzwert g und gilt an ≤ xn ≤ bn
für n ≥ n1 , so konvergiert auch {xn } gegen g.
3
G8) Aus lim an = a und lim bn = b folgen
n→∞
n→∞
(1) lim(an + bn ) = a + b
(2) lim(an − bn ) = a − b
(3) lim(an bn ) = a · b
(4) lim abnn = ab , falls b 6= 0
√
√
(5) lim k an = k a, falls a ≥ 0
√
Aus an → ∞ folgt k an → ∞
Erweiterung: (1) bis (4) gelten für beliebig (endlich) viele Summanden/Faktoren.
Monotonie-Kriterium: Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent.
2.3
Intervallschachteln
def
In = [an , bn ], {In } Intervallschachtel ⇐
=
⇒ In+1 ⊆ In , 0 < bn − an → 0
Satz: Jede Intervallschachtel bestimmt genau eine reelle Zahl s mit s ∈ In für ∀n ∈ N.
Schreibweise:
(an /bn) =: s
n+1 n
Beispiel:
= e = 2, 718 281 828 . . .
1 + n1 , 1 + n1
2.4
Spezielle Zahlenfolgen

0, |a| < 1



1, a = 1
n
1. lim a =
∞, a > 1
n→∞



unbest. div. für a ≤ −1
√
2. n a → 1 für jedes reelle a > 0
√
3. n n → 1
4.
2.5
nk
an
→0
für
∀a > 1, ∀k ∈ N
Häufungspunkte
Definition:
h ∈ C heißt Häufungspunkt (HP) der unendlichen Teilmenge A ⊆ R oder A ⊆ C,
wenn in jeder ε-Umgebung von h unendlich viele Elemente aus A liegen.
n n
Beispiel: A = (−1) n+1 n ∈ N hat HP 1 und -1
Satz (Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte unendliche Teilmenge A ⊆ C besitzt mindestens einen HP. Ist h ein HP
von A, so lässt sich aus A eine ZF aussondern, die gegen h konvergiert:
∃ {an } ⊆ A, an → h.
Satz
Q liegt dicht in R,
Folgerung:
d. h.: a, b ∈ R, a < b
⇒
∃r ∈ Q mit a < r < b
Jedes a ∈ R ist als Grenzwert einer rationalen ZF {rn } darstellbar.
Dabei kann {rn } (streng) monoton fallend oder auch (streng) monoton
wachsend gewählt werden.
4
2.6
Cauchysches Konvergenzkriterium
Satz (Cauchy):
{an } ⊆ C ist konvergent
⇐
=
⇒ ∀ε > 0 ∃n0 (ε) : n, m ≥ n0 (ε)
⇒ |am − an | < ε
(K)
⇐
=
⇒ ∀ε > 0 ∃n0 (ε) : n ≥ n0 (ε), p ∈ N ⇒ |an+p − an | < ε
Eine Folge mit der Eigenschaft (K) heißt Cauchy-Folge (CF), auch Fundamentalfolge oder
in-sich-konvergente Folge.
3
Unendliche Reihen
3.1
∞
P
k=0
∞
P
k=0
∞
P
Grundlagen
ak ∼ Symbol der ZF {sn }, sn :=
n
P
ak (”Partialsumme”),
ak ∼ Glied der Reihe,
k=0
ak heißt konvergent mit Summe s, wenn lim sn =: s ∼ existiert,
n→∞
s ∼ Reihensumme,
ak heißt (bestimmt) divergent, wenn {sn } (bestimmt) divergiert.
k=0
Schreibweise im Konvergenzfall:
∞
P
ak = s,
rn :=
k=0
∞
P
Beispiele:
k=0
∞
P
k=1
3.2
qk =
1
kα
1
1−q
für |q| < 1,
∞
P
ak ”Reihenrest”
k=n+1
∞
P
k=0
1
k! ,
∞
P
k=1
1
k
=∞
∼ allgemeine harmonische Reihe (konvergiert genau dann, wenn α > 1)
Konvergenz
Notwendiges Konvergenzkriterium:
Ist
∞
P
ak konvergent, so gilt lim ak = 0
k=0
k→∞
Cauchysches Konvergenzkriterium:
∞
P
ak konvergiert ⇐
=
⇒ ∀ε > 0 ∃n0 (ε), so dass: {n, m ≥ n0 (ε) ⇒ |sn − sm | < ε}
k=0
⇐
=
⇒
3.3
∀ε > 0 ∃n0 (ε), so dass:
{n ≥ n0 (ε) ⇒ |sn+p − sn | < ε für ∀p ∈ N}
Rechnen mit unendlichen Reihen; absolute und bedingte Konvergenz
R1) Aus
∞
P
ak = s und
k=0
∞
P
k=0
bk = t folgt
∞
P
(αak + βbk ) = αs + βt.
k=0
R2) Das Hinzufügen, Weglassen oder Abändern endlich vieler Glieder einer Reihe ändert
nichts an deren Konvergenzverhalten.
R3) In konvergenten Reihen können beliebig Klammern gesetzt, jedoch i. a. nicht weggelassen werden:
∞
X
ak = s
⇒
(a0 + . . . + an1 ) + (an1 +1 + . . . + an2 ) + (an2 +1 + . . .) + . . . = s
k=0
R4) Konvergenzkriterium für Reihen mit nichtnegativen Gliedern:
(”Monotoniekriterium” für Reihen)
Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern ist genau dann konvergent, wenn die Folge
ihrer Partialsummen beschränkt ist.
5
R5) (Folgerung aus R4)):
Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern ist entweder beschränkt oder bestimmt divergent.
∞
P
R6) Die Reihe
bk entstehe aus
∞
P
ak dadurch, dass alle (oder einige) ”Nullglieder”
P
P
(Glieder ai mit ai = 0) gestrichen werden. Dann sind
ak und
bk entweder
gleichzeitig konvergent (mit übereinstimmender Reihensumme) oder gleichzeitig bestimmt divergent oder gleichzeitig unbestimmt divergent.
k=0
R7) Konvergiert
k=0
∞
P
k=0
Def.
∞
P
∞
P
|ak |, dann konvergiert auch
ak .
k=0
ak heißt absolut konvergent, wenn
k=0
∞
P
|ak | konvergiert.
k=0
∞
P
Def. Die Reihe
bk heißt Umordnung der Reihe
∞
P
ak , wenn es eine bijektive
k=0
k=0
Abbildung ϕ : N0 → N0 (Permutation) gibt, so dass bk = aϕ(k) , k = 0, 1, 2, . . ..
Def. Eine konvergente Reihe
Umordnung von
∞
P
andernfalls heißt
k=0
∞
P
∞
P
ak = s heißt unbedingt konvergent, wenn jede
k=0
ak ebenfalls konvergiert mit der gleichen Summe s;
ak bedingt konvergent.
k=0
Satz 1 (Dirichlet 1837): Sei ak ∈ C (oder ak ∈ Cd , d ∈ N).
∞
∞
P
P
ak ist absolut konvergent ⇐
=
⇒
ak ist unbedingt konvergent.
k=0
k=0
Satz 2 (Umordnungssatz, Bernhard Riemann 1826 - 1866)
∞
P
Ist
ak eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen, so gibt es zu jedem w ∈ R
k=0
eine Umordnung der Reihe, die gegen w konvergiert. Ferner gibt es Umordnungen
∞
P
von
ak , die bestimmt divergent sind gegen ∞ bzw. −∞.
k=0
Satz 3 (Multiplikationssatz)
∞
∞
P
P
Seien
ai = s und
bj = t zwei absolut konvergente Reihen. Dann gilt
i=0
j=0
für jede Anordnung der einzelnen Produkte ai bj (i, j = 0, 1, 2, 3, . . .) zu einer Folge
∞
P
∞
{dk }k=0 , dk = aik bjk , dass auch die Reihe
dk absolut konvergiert mit
∞
P
k=0
dk = s · t. Insbesondere ist die Cauchysche Produktreihe
k=0
∞
X
n=0
cn :=
∞
n
X
X
n=0
!
ak bn−k
=s·t
k=0
absolut konvergent.
3.4
Konvergenz- und Divergenzkriterien
Die vorgelegte Reihe
P
ak ist auf Konvergenz zu untersuchen.
(I) Vergleichskriterien
(Majoranten/Minoranten-Kriterium):
P
P
Seien
ck ∼ konvergente R.,
dk ∼ divergente R., ak , bk ≥ 0.
P
(1) Gilt 0 ≤ ak ≤ ck für k ≥ k0 , so ist
ak konvergent.
P
(2) Gilt ak ≥ dk für k ≥ k0 , so ist
ak divergent.
6
(II) Quotientenkriterium
P
P
(a) Gilt aan+1
≤ q < 1 für n ≥ n0 , so ist |ak | und folglich auch ak konvergent.
n
P
(b) Gilt aan+1
ak divergent.
≥ 1 für n ≥ n0 , so ist
n
Folgerung:
Existiert der Grenzwert lim aak+1
=: g, so gilt:
k
k→∞
P
g < 1 ⇒ P ak konvergent
g>1 ⇒
ak divergent
(g = 1 gestattet keine Konvergenzaussage)
(III) Wurzelkriterium
p
P
P
(a) Gilt n |an | ≤ q < 1 für n ≥ n0 , so ist |ak | und folglich auch ak konvergent.
p
P
ak divergent.
(b) Gilt n |an | ≥ 1 für n ≥ n0 , so ist
p
Folgerung: Existiert der Grenzwert lim k |ak | =: w, so gilt:
k→∞
P
w < 1 ⇒ P ak konvergent
w>1 ⇒
ak divergent
(w = 1 gestattet keine Konvergenzaussage)
(IV) Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen:
Sei {an } eine monoton fallende Nullfolge. Dann gilt
(a)
∞
P
(−1)k ak ist konvergent.
k=0
(b) Für die Reihensumme s gilt: |s − sn | ≤ an+1
(Bei Abbruch der Reihe ist der entstehende Fehler höchstens gleich dem Betrag
des ersten vernachlässigten Gliedes.)
3.5
Potenzreihen
Konvergenzsatz: Konvergiert die Potenzreihe
∞
P
an xn (an , x ∈ C) für ein x = ξ 6= 0, so
n=0
ist sie für jedes x ∈ C mit |x| < |ξ| absolut konvergent.
Folgerung: Ist
P
an xn für x = x̃ divergent, so divergiert sie für jedes x ∈ C mit |x| > |x̃|.
Konvergenzradius r := obere Grenze der Beträge aller Konvergenzpunkte.
p
n 1
n
Es gilt: r = lim 1an+1 = lim aan+1
|a| .
, r = lim
|
|
n→∞
an
n→∞
n→∞
∞
P
xk
Exponentialreihe:
k! =: exp (x); besitzt Konvergenzradius r = ∞.
k=0
7