Industrieökonomik Sommersemester 2007 8. Vorlesung, 08.06.2007
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Industrieökonomik Sommersemester 2007 8. Vorlesung, 08.06.2007 PD Dr. Jörg Naeve∗ Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Nationalökonomie insbes. Wirtschaftstheorie ∗ mailto:[email protected] http://www.uni-saarland.de/fak1/fr12/albert 0681 302 4864 (Mittwoch bis Freitag) 1 / 49 Preiswettbewerb bei homogenen Produkten Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Im Cournot Duopol mit homogenen Produkten lautet die Preis–Absatz–Funktion p(Y ) = α − βY. Dabei ist Y die Gesamtmenge des Produkts auf dem Markt, die sich als Summe der von den beiden Duopolisten angebotenen Mengen ergibt Y = y1 + y2 . So können wir zwar abbilden, dass beide Unternehmen jeweils ihre Menge wählen, aus Sicht das Marktes, d. h. insbesondere der Nachfrager, gibt es aber nur eine Menge und jedenfalls nur einen Preis. 2 / 49 Nachfragefunktion und Preiswettbewerb Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Damit können wir die Preis–Absatz–Funktion zwar leicht invertieren und erhalten 1 α Y (p) = − p = a − bp. β β Wir haben aber aus zwei Gründen Schwierigkeiten Preiswettbewerb zu modellieren: 1. Preiswettbewerb führt dazu, dass es zwei unterschiedliche Preise für das homogene Produkt geben kann; es stellt sich die Frage, wie daraus der für die Nachfrage relevante Preis entsteht. 2. Als Ergebnis liefert die Nachfragefunktion die insgesamt auf dem Markt nachgefragte Menge, wir wollen aber wissen, wieviel jeder der beiden Duopolisten verkauft. Im Cournot Modell konnten wir ihre Mengen addieren, die umgekehrte Richtung ist aber unklar. 3 / 49 Der niedrigste Preis entscheidet Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wenn wir überlegen, was homogene Produkte bedeuten, wird klar, dass der für die Marktnachfrage relevante Preis stets das Minimum der Preise der Oligopolisten ist. Wir können die Nachfragefunktion demnach schreiben als Y (p1 , p2 ) = a − b min{p1 , p2 }. Damit ist auch die zweite Frage im wesentlichen geklärt: Das Unternehmen mit dem niedrigeren Preis zieht die komplette Marktnachfrage auf sich, während das teurere nichts verkauft. 4 / 49 Nachfragefunktionen im Bertrand Modell Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Offen ist nur noch, wie sich die Nachfrage auf die Unternehmen verteilt, wenn beide den selben Preis setzen. Wenn beide Unternehmen ein homogenes Produkt verkaufen, gibt es aus Sicht der Konsumentinnen bei gleichen Preisen keinen Grund, lieber bei dem einen als bei dem anderen unternehmen zu kaufen. Wr müssen daher eine Rationierungsregel einführen, die determiniert, wie sich die Nachfrage auf die beiden Unternehmen aufteilt. Jede derartige Regel ist für sich genommen willkürlich. Ohne spezielle Gründe für eine andere Annahme, liegt es aber nahe, bei gleichen Preisen anzunehmen, dass beide Unternehmen jeweils die Hälfte der Marktnachfrage bedienen. 5 / 49 Nachfragefunktionen im Bertrand Modell Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Damit könnnen die Nachfragefunktionen des Bertrand–Duopolisten Unternehmen i wie folgt schreiben. falls pi > p−i oder pi > a 0, yi (pi , p−i ) = 12 (a − bpi ) , falls pi = p−i ≤ a a − bpi , falls pi < p−i und pi ≤ a. Die Fallunterscheidung wird durch den Minimumoperator in der Nachfragefunktion nötig gemacht. Das führt zu einer Unstetigkeit in den Nachfragefunktionen, die die Analyse des Modells erschwert; jedenfalls können wir die Techniken, die wir bisher verwendet haben in diesem Modell nicht einsetzen. 6 / 49 Kostenfunktionen und Gewinne im Bertrand Modell Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wie im Cournot–Modell nehmen wir an, dass beide Duopolisten konstante Grenzkosen haben, d. h., ihre Kostenfunktionen haben die Form Ci (yi ) = ci yi , i = 1, 2 , mit c1 , c2 ≥ 0. Damit ergeben sich die Gewinne in Abhängigkeit von den Preisen als πi (pi , p−i ) = pi yi (pi , p−i ) − ci yi (pi , p−i ) , i = 1, 2. 7 / 49 Definition des Bertrand–Nash–Gleichgewichts Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Definition Ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht besteht aus Mengen y1b und y2b sowie Preisen pb1 und pb2 derart, dass gilt 1. der Preis pb1 löst das Maximierungsproblem max π p1 , pb2 = (p1 − c1 ) y1 p1 , pb2 , p1 2. der Preis pb2 löst das Maximierungsproblem b b max π p1 , p2 = (p2 − c2 ) y2 p1 , p2 p2 3. und y1 und y2 sind durch die Nachfragefunktion bestimmt. Die Preise im Bertrand–Nash–Gleichgewicht bilden also gegenseitige beste Antworten. 8 / 49 Unstetigkeit im Bertrand–Modell Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Ein wichtiger Punkt im Bertrand–Modell ist die Unstetigkeit des Gewinns bzw. der Auszahlungsfunktionen. Wenn die von beiden Unternehmen gesetzten Preise gleich sind, ändert sich die Auszahlung unstetig, sobald ein unternehmen seinen Preis ändert: Bei einem auch nur etwas höheren Preis eines Unternehmens ist dessen Marktanteil und damit der Gewinn gleich 0. Eine geringe Senkung des Preises führt dazu, dass es einen zusätzlichen Marktanteil von 50% erhält. Wir werden im weiteren unterstellen, dass die Unternehmen ihre Preise kontinuierlich ändern können, d. h., dass es keine kleinste Geldeinheit gibt. 9 / 49 Bertrand-Modell ohne Kapazitätsschranken Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Implizit wird im Bertrand–Modell angenommen, dass beide Uternehmen stets in der Lage sind, die auf se entfallende Nachfrage auch zu befriedigen. Wir nehmen also an, dass es keine Kapaztätsschranken gibt, die Unternehmen also beliebige Menge zu den vorgegebenen konstanten Grenzkosten herstellen können. Wir werden später analysieren, wie sich die Ergebnisse des Modells ändern, wenn wir Kapazitätsschranken einführen. 10 / 49 Symmetrisches Bertrand–Nash–Gleichgewicht Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Für symmetrische Unternehmen, die die selben Grenzkosten aufweisen, ist das Bertrand–Nash–Gleichgewicht wie folgt charakterisiert. Satz: Wenn die Unternehmen die gleiche Kostenstruktur aufweisen (c1 = c2 = c) und a > c gilt, dann ist das eindeutige Bertrand–Nash–Gleichgewicht durch pb1 = pb2 = c und y1b = y2b = a−c 2b gegeben. 11 / 49 Herleitung des symmetrischen Bertrand–Nash–Gleichgewichts Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Beweis: Wir beginnen mit zwei Vorüberlegungen. Da jedes Unternehmen sich Nullgewinne sichern kann (etwa durch überbieten des Konkurrenten) können die Gewinne im Gleichgewicht nicht negativ sein. Daher muss für i = 1, 2 gelten, dass pi ≥ ci ist, wenn pi der niedrigste Preis ist. Der niedrigste Preis im Gleichgewicht wird niemals über dem Monopolpreis liegen, da das Unternehmen mit diesem Preis ja die gesamte Nachfrage erhält und unter diesen Umständen der Monopolpreis gewinnmaximierend ist. 12 / 49 Herleitung des symmetrischen Bertrand–Nash–Gleichgewichts (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Als nächstes wird gezeigt, dass im Bertrand–Nash–Gleichgewicht beide Unternehmen den gleichen Preis setzen werden. Angenommen, dies sei nicht der Fall, d. h. o. B. d. A., dass pb1 > pb2 . Falls pb2 > c ist, könnte Unternehmen 1 seinen Preis auf p̃1 mit pb2 > p̃1 > c setzen, den gesamten Markt bekommen und einen positiven Gewinn (statt Nullgewinn) machen, sich also verbessern. Falls pb2 = c ist, könnte Unternehmen 2 seinen Preis etwas erhöhen und dennoch unter dem Preis von Unternehmen 1 bleiben. Damit würde es einen positiven Gewinn (statt Nullgewinn) machen, sich also verbessern. 13 / 49 Herleitung des symmetrischen Bertrand–Nash–Gleichgewichts (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wir wissen nun, dass gelten muss pb1 = pb2 . Angenommen, es wäre pb1 = pb2 > c. Dies kann kein Gleichgewicht sein, denn in diesem Fall kann ein Unternehmen seinen Preis etwas senken, um dadurch die gesamte Nachfrage (statt der Hälfte) zu erhalten und so seinen Gewinn zu erhöhen. Q.E.D. Wenn also die beiden Unternehmen die gleiche Kostenstruktur haben, dann ergeben sich im Bertrand–Nash–Gleichgewicht — genau wie bei vollständiger Konkurrenz — für beide Unternehmen Preise gleich den Grenzkosten und die angebotene Menge ist die gleiche wie bei vollkommenem Wettbewerb. 14 / 49 Ökonomische Interpretation des symmetrischen Bertrand–Nash–Gleichgewichts Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Die ökonomische Erklärung ist die folgende: Wenn beide Unternehmen Preise oberhalb der Grenzkosten setzen, dann könnte ein Unternehmen den gesamten Markt erhalten, wenn es den Preis nur um einen infinitesimalen Betrag unterbieten würde. Der Erlös pro Stück würde sich daher nicht (bzw. fast nicht) verändern, aber die abgesetzte Menge würde sprunghaft ansteigen. Das andere Unternehmen würde dann seinerseits den Preis des Konkurrenten unterbieten. Dieses gegenseitige Unterbieten führt dazu, dass die Preise sich immer mehr den Grenzkosten annähern. Erreichen die Preise die Grenzkosten, lohnt sich ein weiteres Unterbieten nicht mehr, da es zu Verlusten führen würde. 15 / 49 Vergleich Mengen und Preiswettbewerb Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Dieses Ergebnis des Bertrand–Modells ist sehr bemerkenswert und steht in krassem Gegensatz zu unseren Erkenntnissen aus der Analyse des Mengenwettbewerbs. Dort hatten wir gesehen, dass wir mit zunehmender Zahl der Unternehmen eine schrittweise Entwicklung mit sinkendem Preis und steigender Menge vom Monopol über das Duopol und Oligopol bis hin zum vollkommenen Wettbewerb hatten, den wir als Grenzfall eines Oligopols mit unendlich vielen Unternehmen erhalten. Während es beim Monopol keinen Unterschied macht, ob wir es als preis- oder mengensetzendes Unternehmen modellieren, ergibt sich ein völlig anderes Bild, sobald wir mehrere Unternehmen betrachten: Schon im Duopol führt Bertrand–Wettbewerb zum gleichen Ergebnis wie vollkommener Wettbewerb. 16 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: Intuition Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Wenn wir die Symmetrieannahme aufgeben, d. h. zwei Unternehmen mit unterschiedlichen Grenzkosten betrachten, handeln wir uns technische Probleme ein. Wir nehmen im Folgenden an, dass c2 > c1 ist. Cournot versus Bertrand Intuitiv scheint klar zu sein, was das Ergebnis des Bertrand–Wettbewerbs sein wird: Das effiziente Unternehmen 1 kann Unternehmen 2 unterbieten, indem es seinen Preis knapp unter dessen Grenzkosten setzt. Dadurch erhält es einen positiven Gewinn, der um so höher ausfällt, je größer die Kostendifferenz c2 − c1 ist. 17 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: Kein Gleichgewicht Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Es stellt sich aber heraus, dass diese Intuition im Modell nicht so leicht zu fassen ist. Wenn wir an der Annahme kontinuierlich veränderbarer Preise und der Rationierungsregel festhalten, gibt es kein Gleichgewicht. Das Problem ist, dass es keine beste Antwort von Unternehmen 1 gibt, da die Idee eines Preises „knapp unter c2 “ nicht wohldefiniert ist. Nehmen wir an, Unternehmen 2 wählt p2 = c2 . Dann kann Unternehmen 1 eine Preis p1 = c2 − ε wählen, mit sehr kleinem positiven ε. So lange c2 aber unterhalb des Monopolpreises von Unternehmen 1 liegt, könnte Unternehmen 1 sich noch weiter verbessern, indem es den Preis leicht auf p′1 = c2 − 2ε erhöht. Aus analogen Gründen ist aber auch p′1 keine beste Antwort. 18 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: alternative Modellierung Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Es gibt zwei mögliche Auswege, aus dieser Situation: 1. Wir können die Rationierungsregel ändern. 2. Wir können eine kleinste Geldeinheit einführen, d. h. statt kontinuierlicher nur noch diskrete Preisänderungen zulassen. Dadurch wäre klar, was ein Preis „knapp unter c2 “ bedeutet, nämlich ein Preis exakt eine kleinste Geldeinheit darunter. 19 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: alternative Rationierungsregel Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Wir beginnen mit der Änderung der Rationierungsregel. Bisher hatten wir angenommen, dass, falls p1 = p2 = p gilt, beide Unternehmen exakt die Hälfte der Gesamtnachfrage Cournot versus Bertrand Y (p) = a−p b erhalten. Nun unterstellen wir stattdessen, dass bei Preisgleichheit alle Konsumenten bei Unternehmen 1 kaufen. 20 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: alternative Rationierungsregel — Nachfragefunktionen Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Die Nachfragefunktionen der beiden Unternehmen sind also (1) Cournot versus Bertrand 0 0 y1 (p1 , p2 ) = a−p b a−p1 falls falls falls falls p1 p1 p1 p1 ≥a > p2 = p2 = p < a < min{a, p2 }. 0 0 y2 (p1 , p2 ) = 0 a−p2 falls falls falls falls p2 p2 p2 p2 ≥a > p1 = p1 = p < a < min{a, p1 }. b und (2) b 21 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: alternative Rationierungsregel — Gleichgewicht Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Mit dieser Rationierungsregel erhalten wir wieder ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht. 1 Satz: Wenn a+c 2 ≥ c2 > c1 gilt und die Rationierungsregel zu den Nachfragefunktionen gemäß den Gleichungen (1) und (2) führt, ist ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht gegeben durch pb1 = pb2 = c2 sowie y1b a − c2 = b und y2b = 0. 22 / 49 Herleitung des Bertrand–Nash–Gleichgewichts mit asymmetrischen Kosten und alternativer Rationierung Beweis: Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wir müssen lediglich zeigen, dass sich keines der beiden Unternehmen durch Abweichen verbessern kann. Unternehmen 1 macht positiven Gewinn. Würde es seinen Preis erhöhen, verlöre es die gesamte Nachfrage an Unternehmen 2 und sein Gewinn wäre null. Da es bei den gegebenen Preisen bereits die gesamte 1 Marktnachfrage erhält und der Preis unterhalb des Monopolpreises a−c 2 liegt, kann es sich auch durch eine Preissenkung nicht verbessern. Unternehmen 2 macht einen Gewinn von null. Durch eine Preiserhöhung würde es weiterhin nichts verkaufen und der Gewinn wäre immer noch null. Eine Preissenkung würde hingegen zwar dazu führen, dass Unternehmen 2 die gesamte Marktnachfrage erhält, da der Preis dann aber unter den Grenzkosten, die gleichzeitig die Durchschnittskosten sind, läge, würde es einen Verlust erleiden. Q.E.D. 23 / 49 Asymmetrische Kostenstruktur: alternative Rationierungsregel — multiple Gleichgewichte Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Leider verlieren wir aber mit der neuen Rationierungsregel die Eindeutigkeit des Bertrand–Nash–Gleichgewichts. Es existiert nämlich noch ein Kontinuum von (allerdings unplausiblen) Gleichgewichten, nämlich alle Preiskombinationen p1 = p2 = p mit c2 > p ≥ c1 .1 In diesen Gleichgewichten macht Unternehmen 2 jeweils einen Nullgewinn. Jedes Abweichen nach unten führt zu Verlusten, während ein Abweichen nach oben ebenfalls einen Nullgewinn ergibt. Unternehmen 1 macht (außer für p = c1 ) einen positiven Gewinn, der durch Abweichen nach unten sinkt. Durch Abweichen nach oben würde auch Unternehmen 1 einen Gewinn von null machen.2 1 Wir verzichten auf den Beweis, dass weitere Gleichgewichte nicht existieren. Weicht Unternehmen 1 nach oben ab, macht Unternehmen 2 Verluste, daher ist das Gleichgewicht unplausibel, es ist z. B. nicht ‚trembling hand‘ perfekt (vgl. Selten 1975). 2 24 / 49 Weitere Modifikation der Rationierungsregel als Ausweg Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wenn wir wollten, könnten wir allerdings das unerwünschte unplausible Gleichgewicht durch eine erneute Änderung der Rationierungsregel eliminieren, indem wir für gleiche Preise unterhalb c2 annehmen, dass wieder beide Unternehmen je die Hälfte der Nachfrage erhalten. Auf den ersten Blick mag es seltsam erscheinen, dass wir je nach Bedarf verschiedene Rationierungsregeln aus dem Hut zaubern. Wir müssen uns aber klar machen, dass jede solche Regel im Grunde willkürlich ist. Wenn die beiden Unternehmen das selbe homogene Produkt zu gleichen Preisen anbieten, gibt es für die Konsumenten keinen Grund, lieber bei dem einen oder dem anderen zu kaufen. Entweder stellen wir uns also eigentlich differenzierte Güter vor, oder jede Aufteilung der Gesamtnachfrage auf die beiden Unternehmen ist so plausibel wie jede andere. 25 / 49 Alternative Interpretation des Bertrand–Nash–Gleichgewichts Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Diese Überlegung motiviert uns zu einer alternativen Interpretation der Definition des Bertrand–Nash–Gleichgewichts. Die Definition lautete wie folgt. Definition: Ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht besteht aus Mengen y1b und y2b sowie Preisen pb1 und pb2 derart, dass gilt 1. der Preis pb1 löst das Maximierungsproblem max π p1 , pb2 , p1 2. der Preis pb2 löst das Maximierungsproblem max π pb1 , p2 p2 3. und y1 und y2 sind durch die Nachfragefunktion bestimmt. 26 / 49 Alternative Interpretation des Bertrand–Nash–Gleichgewichts (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Bislang hatten wir den dritten Punkt so interpretiert, dass die Mengen beider Unternehmen sich aus ihrer jeweiligen Nachfragefunktion ergeben muss, in der eine Rationierungsregel eingebaut ist. Im Grunde war ein Bertrand–Gleichgewicht also durch die Strategien, also pb1 und pb2 gegeben, die Menge ergaben sich daraus. Dies entspricht der spieltheoretischen Denkweise, etwa der Definition des Nash–Gleichgewichts, die ja auch nur eine Strategiekombination festlegt, aus der dann die Ergebnisse und Auszahlungen folgen. 27 / 49 Alternative Interpretation des Bertrand–Nash–Gleichgewichts (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Die Art, wie die Definition formuliert ist, erinnert aber eher an die Definition eines Walras–Gleichgewichts in der Theorie des allgemeinen Gleichgewichts. Ein Gleichgewicht besteht demnach aus Mengen und Preisen, die konsistent mit der Annahme an das individuelle Optmierungsverhalten sind. In diesem Sinne interpretieren wir den dritten Punkt nun als n o y1b + y2b = Y min pb1 , pb2 , d. h., wir fordern nur noch, dass die Gesamtmenge der gesamten Nachfrage entspricht, die sich ihrerseits aus dem niedrigsten Preis ergibt. 28 / 49 Alternative Interpretation des Bertrand–Nash–Gleichgewichts (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Dadurch taucht die Rationierungsregel nur noch implizit durch die Angabe der Mengen y1b und y2b auf. Unsere obigen Analysen laufen dann auf die folgenden Aussagen hinaus. b = 0, pb = pb = c ist ein 2 , y 1. Die Kombination y1b = a−c 2 2 1 2 b Bertrand–Nash–Gleichgewicht. b = 0, pb = pb = p, mit , y 2. Jede Kombination y1b = a−p 2 1 2 b p ∈ [c1 , c2 ), ist ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht (aber kein perfektes). b 2 3. Die Kombination y1b = a−c 2 b , y2 = Bertrand–Nash–Gleichgewicht. y1b a−c2 2b , pb1 = pb2 = c2 ist kein a−pb1 2b , 4. Keine Kombination = y2b = 0, pb1 < pb2 = c2 ist ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht. 29 / 49 Bertrand–Nash–Gleichgewichte mit kleinster Geldeinheit Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Unser zweite Ausweg aus dem Dilemma, dass für unterschiedliche Grenzkosten kein Bertrand–Nash–Gleichgewicht existiert, eine kleinste Geldeinheit einzuführen, liefert zwar das gewünschte Ergebnis, aber wieder tauchen zugleich eine Reihe zusätzlicher Gleichgewichte auf, von denen die meisten unplausibel erscheinen. Cournot versus Bertrand Wir machen uns dies an einem Beispiel klar. Sei c1 = 3, c2 = 4 und die kleinste Geldeinheit 0.01. Dann können wir uns überlegen, dass p1 = 3.99 und p2 = 4 ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht ist. Um dies zu tun, müssen wir für beide Unternehmen überprüfen, ob es eine Möglichkeit gibt, profitabel abzuweichen. 30 / 49 Bertrand–Nash–Gleichgewichte mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Unternehmen 1 erhält die gesamte Nachfrage, verkauft zu einem Preis oberhalb seiner Stückkosten und macht daher einen positiven Gewinn. Erhöht es seinen Preis um 0.01, erhält es nur noch die Hälfte der Nachfrage, die zudem durch die Preiserhöhung zurückgeht, dadurch sinkt sein Gewinn. Weitere Preiserhöhungen resultieren in einem Nullgewinn, da dann die Nachfrage für Unternehmen 1 verschwindet. Bezüglich einer Preissenkung ist der Effekt auf Unternehmen 1 wie der auf einen Monopolisten: Der Preis sinkt, die Menge steigt und der Effekt auf den Gewinn hängt von der Elastizität der Nachfrage ab. Da wir angenommen haben, dass der Monopolpreis für Unternehmen 1 oberhalb von c2 liegt, folgt aber, dass im relevanten Bereich der Gewinn von Unternehmen 1 bei einer Preissenkung zurückgeht. 31 / 49 Bertrand–Nash–Gleichgewichte mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Unternehmen 2 verkauft nichts, macht also eine Gewinn von null. Erhöht es seinen Preis, ändert sich an dieser Situation nichts. Eine Preissenkung durch Unternehmen 2 verschafft ihm zwar Nachfrage, da der Preis dann unterhalb der Stückkosten läge, würde dies aber zu Verlusten führen. Wir haben also ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht gefunden. Mit den selben Argumenten ergibt sich aber, dass auch p1 = 4 und p2 = 4.01 ein Bertrand–Nash–Gleichgewicht ist. Bei höheren Preisen würde sich stets ein Unternehmen durch Unterbieten des Konkurrenten um 0.01 verbessern können. 32 / 49 Bertrand–Nash–Gleichgewichte mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Allerdings gibt es noch viele weitere Gleichgewichte, in denen Unternehmen 2 Preise p2 < c2 , also unterhalb seiner Grenzkosten setzt. So lange der Preis aber oberhalb des Preises p1 des Konkurrenten liegt, verkauft Unternehmen 2 nichts und macht daher erneut einen Gewinn von null. Dass die folgenden Kombinationen (p1 , p2 ) Gleichgewichte sind, sieht man mit den selben Argumenten wie oben. Sie sind sämtlich nicht ‚trembling hand‘ perfekt: Würde Unternehmen 1 nach oben abweichen, wäre die Strategie von Unternehmen 2 keine beste Antwort mehr. Auf der nächsten Folie haben wir alle zusätzlichen Gleichgewichte aufgelistet. 33 / 49 Bertrand–Nash–Gleichgewichte mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand (3.98, 3.99), (3.92, 3.93), (3.86, 3.87), (3.80, 3.81), (3.74, 3.75), (3.68, 3.69), (3.62, 3.63), (3.56, 3.57), (3.50, 3.51), (3.44, 3.45), (3.38, 3.39), (3.32, 3.33), (3.26, 3.27), (3.20, 3.21), (3.14, 3.15), (3.08, 3.09), (3.02, 3.03), (3.97, 3.98), (3.91, 3.92), (3.85, 3.86), (3.79, 3.80), (3.73, 3.74), (3.67, 3.68), (3.61, 3.62), (3.55, 3.56), (3.49, 3.50), (3.43, 3.44), (3.37, 3.38), (3.31, 3.32), (3.25, 3.26), (3.19, 3.20), (3.13, 3.14), (3.07, 3.08), (3.01, 3.02). (3.96, 3.97), (3.90, 3.91), (3.84, 3.85), (3.78, 3.79), (3.72, 3.73), (3.66, 3.67), (3.60, 3.61), (3.54, 3.55), (3.48, 3.49), (3.42, 3.43), (3.36, 3.37), (3.30, 3.31), (3.24, 3.25), (3.18, 3.19), (3.12, 3.13), (3.06, 3.07), (3.95, 3.96), (3.89, 3.90), (3.83, 3.84), (3.77, 3.78), (3.71, 3.72), (3.65, 3.66), (3.59, 3.60), (3.53, 3.54), (3.47, 3.48), (3.41, 3.42), (3.35, 3.36), (3.29, 3.30), (3.23, 3.24), (3.17, 3.18), (3.11, 3.12), (3.05, 3.06), (3.94, 3.95), (3.88, 3.89), (3.82, 3.83), (3.76, 3.77), (3.70, 3.71), (3.64, 3.65), (3.58, 3.59), (3.52, 3.53), (3.46, 3.47), (3.40, 3.41), (3.34, 3.35), (3.28, 3.29), (3.22, 3.23), (3.16, 3.17), (3.10, 3.11), (3.04, 3.05), (3.93, 3.94), (3.87, 3.88), (3.81, 3.82), (3.75, 3.76), (3.69, 3.70), (3.63, 3.64), (3.57, 3.58), (3.51, 3.52), (3.45, 3.46), (3.39, 3.40), (3.33, 3.34), (3.27, 3.28), (3.21, 3.22), (3.15, 3.16), (3.09, 3.10), (3.03, 3.04), 34 / 49 Das Bertrand–Modell mit Kapazitätsschranken Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wir hatten bereits diskutiert, dass das Ergebnis des Bertrand–Modells, dass Preiswettbewerb schon im Duopol zu dem selben Ergebnis führt, wie vollständiger Wettbewerb bemerkenswert ist. Es heißt nämlich, dass die Zahl der Unternehmen für das Marktergebnis keine Bedeutung hat. Unabhängig von der Anzahl der Unternehmen realisiert sich immer das gleiche Ergebnis wie bei vollkommener Konkurrenz. Dies hätte die Konsequenz, dass falls Preiswettbewerb herrscht selbst in hochkonzentrierten Märkten keine Notwendigkeit zu staatlichen Eingriffen bestehen würde. Dies erschien vielen Ökonomen nicht zufriedenstellend. Sie kritisierten insbesondere die unrealistische Annahme, dass jedes Unternehmen jede beliebige Menge zu gleichen Stückkosten anbieten kann. 35 / 49 Das Bertrand–Modell mit Kapazitätsschranken (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Es erscheint sicherlich realistischer, davon auszugehen, dass die Unternehmen bei größeren Outputmengen nur mit steigenden Grenzkosten produzieren können. Im Extremfall können Kapazitätsschranken dazu führen, dass ein Unternehmen maximal die seiner Kapazität entsprechende Menge produzieren kann. Dies lässt sich auch so auffassen, dass die die Grenzkosten einer Produktion, die über der Kapazität der Unternehmen liegen, unendlich groß sind. 36 / 49 Das Bertrand–Modell mit Kapazitätsschranken (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Betrachten wir das folgende Beispiel mit 4 Konsumenten, von denen der erste maximal einen Preis von 3, der zweite von 2 und der dritte und der vierte von 0 für eine Einheit des Gutes zu zahlen bereit ist. Grafisch stellt sich die Nachfrage wie folgt dar. p 3 2 1 1 2 3 4 Y 37 / 49 Das Bertrand–Modell mit Kapazitätsschranken (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Angenommen, es gibt zwei Unternehmen, die mit konstanten Grenzkosten c1 = c2 = c = 0 produzieren. Ohne Kapazitätsschranken wäre das Bertrand–Nash–Gleichgewicht durch Preise pb1 = pb2 = 0 charakterisiert. Wenn die Unternehmen eine Kapazitätsschranke von einer Einheit haben, dann sind Preise p1 = p2 = 0 kein Gleichgewicht mehr. Unternehmen 1 könnte seinen Gewinn erhöhen, wenn es den Preis von 0 auf 3 erhöhen würde und eine Einheit des Gutes an den Konsumenten mit dem höchsten Reservationspreis verkaufen würde. Unternehmen 2 verkauft seine Produktion an einen der anderen Konsumenten zum Preis von 0. 38 / 49 Das Bertrand–Modell mit Kapazitätsschranken (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Allerdings wäre dies auch kein Gleichgewicht. Denn bei p1 = 3 und p2 = 0 würde Unternehmen 2 einen Preis von p1 − ε verlangen. In diesem Fall verkauft Unternehmen 1 nichts und Unternehmen 2 verkauft eine Einheit an den Konsumenten mit der höchsten Zahlungsbereitschaft. Diese Form des gegenseitigen Unterbietens würde weitergehen, bis p1 = p2 = 2 gilt. Dann würden beide Unternehmen eine Einheit verkaufen. Nun lohnt es sich aber wieder auf p1 = 3 abzuweichen und eine Einheit an Konsument 1 zu verkaufen. Es existiert im Rahmen dieses Modells kein Gleichgewicht. 39 / 49 Edgeworth–Zyklus Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Ein derartiges zyklische Verhalten der Preise wurde bereits von dem englischen Ökonomen Francis Edgeworth beobachtet. Das Resultat wird daher als Edgeworth–Zyklus (Edgeworth cycle) bezeichnet. Allerdings sind Kapazitätsschranken nicht die einzige Möglichkeit, bei Preiswettbewerb höhere als Grenzkostenpreise zu erklären. Alternativen dazu sind differenzierte Produkte oder wiederholte Interaktionen. 40 / 49 Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Cournot versus Bertrand 41 / 49 Cournot–Modell versus. Bertrand–Modell Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Wenn man das Cournot–Modell und das Bertrand–Modell vergleicht, ist es irritierend, dass eine einfache Änderung in den strategischen Variablen (von Mengen- zu Preissetzung) zu derart dramatischen Änderungen in den Marktergebnissen führt. Kreps und Scheinkman (1983) haben daher versucht, zwischen den beiden Modellen einen Zusammenhang herzustellen. In ihrem Modell wird das folgende zwei-Perioden-Spiel konstruiert: In der ersten Periode wählen die Unternehmen ihre produzierte Menge, d. h., sie bauen Lagerbestände auf. In der zweiten Periode können nur noch die Preise gewählt werden, die Mengen sind die in der ersten Periode festgelegten Lagerbestände. Es zeigt sich, dass in diesem Spiel die Ergebnisse die gleichen sind, wie im Cournot–Modell, in dem die Unternehmen nur die Mengen wählen. 42 / 49 Kombiniertes Modell: Kreps und Scheinkman (1983) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Das Modell soll hier nur an einem einfachen Beispiel illustriert werden. Cournot versus Bertrand Beide Unternehmen habe die selbe Kostenfunktionen, nämlich Die Preis–Absatz–Funktion ist gegeben durch p(Y ) = 10 − Y. ci (yi ) = yi . Wie immer wird zur Analyse eines zwei-Perioden-Spiels die Methode der Rückwärtsinduktion herangezogen. Zuerst wird untersucht, welche Preise die Unternehmen in der zweiten Periode für unterschiedliche produzierte Mengen verlangen. Danach wird dann die optimale Menge bestimmt, die sie in der ersten Periode produzieren. 43 / 49 Kreps und Scheinkman (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Die zweite Periode Angenommen, die Unternehmen haben in der ersten Runde die Kapazitäten (Mengen) y1c = y2c = 3 gewählt. Der Gesamtoutput ist dann Y = 6. Im Nash–Gleichgewicht in der zweiten Periode wählen die beiden Unternehmen Preise, die für die gewählten Mengen den Markt räumen. Jedes Unternehmen setzt also pi = 4 = p∗ . p 10 4 6 1044 / 49Y Kreps und Scheinkman (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Zwar können die Unternehmen beliebige Preise verlangen, aber andere Preise als p1 = p2 = p∗ = 4 können kein Gleichgewicht sein. Angenommen, Unternehmen 2 senkt seinen Preis auf p2 < 4 — gegeben den Preis p1 = 4. In diesem Fall führt die Preissenkung nicht zu einer Erhöhung der Verkaufsmenge, denn die Kapazität war ja in der ersten Periode auf 3 festgelegt worden. Eine Preiserhöhung auf p2 > 4 führt zu einer geringeren Verkaufsmenge y2 < 3 und erhöht ebenfalls nicht den Gewinn. Wenn Unternehmen 2 den Preis erhöht, dann bekommt es nur noch die Restnachfrage, die nach der von Unternehmen 1 verkauften Menge übrig bleibt. Da y1∗ = 3 ist, bleibt als Restnachfrage für Unternehmen 2 y2 (p2 ) = Y (p2 ) − 3 = 7 − p2 . Die entsprechende Preis–Absatz–Funktion ist p2 = 7 − y2 . 45 / 49 Kreps und Scheinkman (Forts.) Grafisch kann man sich diese Restnachfrage wie folgt verdeutlichen. Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand p p2 10 10 7 7 Grenzerlös 4 Restnachfrage 3 10 Y 33.5 7 10 y2 46 / 49 Kreps und Scheinkman (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Entscheidend ist, dass die Grenzerlöskurve für diese Restnachfrage positiv ist für alle Outputmengen, die kleiner sind als 3,5. In diesem Bereich ist die Restnachfrage also elastisch. Eine Preiserhöhung führt daher zu einer Senkung des Erlöses für Unternehmen 2. Wir können diesen Sachverhalt im folgenden Lemma festhalten. Lemma: Wenn für die in Periode 1 gewählten Outputniveaus gilt y1 + y2 ≤ 6, dann werden im Nash–Gleichgewicht in der zweiten Periode die Unternehmen die Preise so wählen, dass der Markt geräumt wird. 47 / 49 Kreps und Scheinkman (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Die erste Periode Wenn die Preise, die in der zweiten Periode gewählt werden, die markträumenden Preise sind, ist die Wahl der Kapazität, d. h.der Menge in der ersten Periode genau die gleiche, wie im üblichen Cournot–Modell. Das bedeutet, dass die Unternehmen in der ersten Periode die Cournot–Mengen y1 = y2 = 3 wählen. Die ökonomische Erklärung ist die folgende: In der ersten Periode wissen die Unternehmen, dass die Preise in der zweiten Periode so gewählt werden, dass der Markt — gegeben die in der ersten Periode produzierten Mengen — geräumt wird. Aufgrund dieser Tatsache ist das Problem in der ersten Periode identisch zum üblichen Cournot–Problem. 48 / 49 Kreps und Scheinkman (Forts.) Bertrand Bertrand–Nash– Gleichgewicht Symmetrische Kosten Asymmetrische Kosten Änderung der Rrationierungsregel kleinste Geldeinheit Kapazitätsschranken Cournot versus Bertrand Das obige Lemma ist jedoch kein Beweis für diese Behauptung, denn es gilt nur für den Fall y1 + y2 ≤ 6. Für den Fall y1 + y2 > 6 wurde keine Aussage getroffen. Auch für diesen Fall lässt sich eine entsprechende Aussage zeigen. Der Beweis ist jedoch aufwändiger und setzt die Verwendung gemischter Strategien voraus. Daher werden wir ihn hier nicht durchführen. 49 / 49
