Statistik für Business Administration

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Sommersemester 2010
Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Statistik für Business Administration
Aufgaben zur Wiederholung
Deskriptive Statistik
1. Bei einer Befragung wurden folgende jährliche Ausgaben für Reisen (in ¤) pro
Person ermittelt:
900 2000 1500 1900 2600 5000 1000 2000 1000 3100 2000 .
Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Standardabweichung und
die Spannweite.
Wieviel Prozent der Befragten haben mehr als 1600 ¤ ausgegeben?
2. Ein Fahrgast der Bahn AG legt 4 Teilstrecken einer Gesamtstrecke in folgenden Geschwindigkeiten zurück:
Teilstrecke
1
Länge in km
45
Geschwindigkeit in km/h 40
2
65
110
3 4
20 70
60 80
Mit welcher (auf der Gesamtstrecke konstant gehaltenen) Durchschnittsgeschwindigkeit würde er die Gesamtstrecke in der gleichen Zeit zurücklegen?
3. Während eines halben Jahres mit 120 Arbeitstagen wird täglich im Rahmen einer Untersuchung über den Publikumsverkehr beim Sozialamt einer Großstadt die
Anzahl der persönlich vorsprechenden Antragsteller festgehalten. Folgende Häufigkeitsverteilung hat sich ergeben:
Anzahl Antragsteller 0
Anzahl der Tage
5
1 2
4 10
3
12
4 5
29 18
6 7 8
9 12 15
9
3
10
3
Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Zentralwert für die Anzahl der Antragsteller, die pro Tag vorsprechen.
Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion für die Zahl der Antragsteller.
4. Von einem Merkmal X werden 6 verschiedene Ausprägungen ai , i = 1, ..., 6 mit
folgenden relativen Häufigkeiten registriert:
3,2
Ausprägung ai
relative Häufigkeit h(ai ) 10%
2,8
15%
2,7
20%
3,0
17%
3,1
25%
3,4
13%
Berechnen Sie den Modalwert, den Zentralwert, das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung vom Zentralwert für dieses Merkmal!
5. Für die Kaufkraft einer Währung wurden für 7 aufeinanderfolgende Jahre folgende
Werte ermittelt: 100; 95; 85; 80; 83; 78; 70. Bestimmen Sie den durchschnittlichen
prozentualen jährlichen Kaufkraftschwund.
6. Bei Fernsehgeräten eines bestimmten Herstellers wurden bei 1000 Geräten folgende
Lebensdauern (in Jahren) der Bildröhren ermittelt:
Lebensdauer
Anzahl Geräte
0 bis 2
33
über 2 bis 4 über 4 bis 6
276
404
über 6 bis 8
237
über 8 bis 10
50
Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer für diese Geräte.
Wie groß ist der Anteil der Bildröhren mit einer Lebensdauer über 6 Jahren?
1
7. Für ein Waschpulver eines bestimmten Herstellers wurden in 10 Geschäften in einer
Stadt folgende Preise für ein 1-kg-Paket ermittelt (in ¤):
1,40 1,60 1,70 1,50 1,40 1,80 1,70 1,60 1,50 1,80 .
Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung des Preises.
Bestimmen Sie das α-Quantil für α = 0, 45. Wie läßt sich dieser Wert interpretieren?
8. Folgende Tabelle enthält alle Ausprägungen und die unvollständige Verteilung zweier
Merkmale:
Y
1 2,1 3,2
4
X
2
0,02 0,15 0,1 0,03
4
0,08 0,07
α 0,05
5
0,1 0,08 0,1 0,02
(a) Berechnen Sie die Konstante α und die Randverteilungen beider Merkmale.
(b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel vom Merkmal Y .
(c) Sind die beiden Merkmale unabhängig? (Begründung!)
9. In der folgenden Tabelle sind einige absoluten Häufigkeiten der unabhängigen Merkmale X und Y gegeben. Bestimme Sie die restlichen Werte:
Y
X
0
1
1
2
1
3
10
30
100
Bestimmen Sie die bedingten Häufigkeiten h(X = 0|Y = 2) und h(Y = 1|X = 1).
10. Ein Bauunternehmer bezieht Fertigfenster von den drei Firmen F1, F2 und F3. Innerhalb eines Jahres nach dem Einbau der Fenster erhält er 100 Reklamationen. Es
werden folgende Fehler bemängelt:
Fehler A: Die Fenster werden blind.
Fehler B: Die Fenster bekommen Risse.
Fehler C: Die Fenster lassen sich nicht mehr schließen.
Es ergibt sich die folgende Kontingenztabelle:
A
B
C
F1 F2 F3
15 20 5
18 10 2
5 20 5
Berechnen Sie für diese Daten den Kontingenzkoeffizienten nach Pearson und interpretieren Sie den Wert.
11. Ein Handelsunternehmen für Lebensmittel analysiert die Umsätze seiner 10 gleichgroßen Filialen A,B,...,J einer Region. Die Filiale mit dem größten Umsatz erhält die
Nummer 1, die mit dem zweitgrößten Umsatz die Nummer 2, usw. In einer Fragebogenaktion wird die Kundenmeinung über die Verkaufskultur (Sauberkeit, Umgang
mit Kunden, Kundenservice) eingeholt. Die danach beste Filiale erhält die Nummer
1 usw., die schlechteste die Nummer 10:
Filiale
A B C D
Umsatz
7 1 5 8
Verkaufskultur 5 1 6 10
E F
4 9
7 8
2
G H
2 10
4 9
I
6
2
J
3
3
Besteht ein Zusammenhang zwischen Umsatz und Verkaufskultur in den Filialen
dieses Handelsunternehmens? Beantworten Sie die Frage mit Hilfe des Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman.
12. Aus 80 Wertepaaren der Merkmale X und Y wurde ein Korrelationskoeffizient rXY =
−0, 95 berechnet. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) Die Beobachtungswerte streuen eng um eine Gerade mit fallendem Anstieg.
(b) Ein Zusammenhang zwischen X und Y ist nicht erwiesen, da rXY < 0 gilt.
(c) Die Werte von X und Y sind annähernd umgekehrt proportional zueinander.
(d) Berechnet man für die Wertepaare eine Regressionsgerade Y = aX + b, dann
erhält man für a einen negativen Wert.
13. In der folgenden Tabelle sind die verfügbaren Monatseinkommen von 8 fiktiven
deutschen Haushalten sowie deren Ausgaben für öffentliche Verkehrsmittel angegeben (jeweils in ¤):
Verfügbares Einkommen
2500
Ausgaben für Verkehrsmittel 150
4900
70
2900
180
3500
90
3700
160
5600
90
6300
20
2400
100
(a) Berechnen Sie für diese beiden Merkmale den Korrelationskoeffizienten nach
Pearson. Wie läßt sich der Wert interpretieren?
(b) Ermitteln Sie eine lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten
Quadrate für diese beiden Merkmale.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Regressionsfunktion die monatlichen Ausgaben
für öffentliche Verkehrsmittel bei einem verfügbaren Einkommen von 4000 ¤.
14. Ein Unternehmen hat bei folgenden Preisen p die Absatzmengen m eines Produktes
pro Zeiteinheit beobachtet:
Preis p
Menge m
20
220
18
260
15
350
12
480
10
600
Berechnen Sie mit Regression eine Preis-Absatz-Funktion der Form m = a · pb .
15. Die Entwicklung der Bruttoerzeugung von Elektroenergie einer bestimmten Region
ist folgender Tabelle zu entnehmen:
Jahr
1992
Energie (in Mrd. kWh) 368,8
2002
449,5
2004
462,4
2005
453,2
2006
452,0
2007
455,9
Prognostizieren Sie die erzeugte Energiemenge für 2008 und 2009 mit Hilfe linearer
Regression.
16. Bestimmen Sie eine Regressionsfunktion vom Typ Exponentialfunktion y = abx für
xi 1 2 3 4 5
folgende Daten:
.
yi 3 7 12 26 51
17. Die Materialkosten eines Handwerksbetriebes entwickelten sich wie folgt:
Jahr
2001
Materialkosten (in 1000 ¤) 102
2002
103
2003
109
2004
111
2005
116
2006
122
2007
109
Prognostizieren Sie die Materialkosten für 2008 mittels exponentieller Glättung mit
Parameter α = 0, 6 und Startwert 102.
3
18. In einem Unternehmen wurden die Energiekosten über die Quartale von 4 Jahren
erfaßt
(in 1000 ¤):
Quartal/Jahr
I
II
III
IV
2003
38,2
36,1
39,4
42,1
2004
40,3
38,6
42,1
45,3
2005
43,1
40,9
46,1
49,0
2006
44,6
44,1
49,2
52,4
Glätten Sie die Werte mit Hilfe gleitender Durchschnitte mit einer geeignet gewählten Ordnung.
Den Daten wurde folgende lineare Trendfunktion angepaßt :
x̂ = 36, 34 + 0, 81 · t, t = 1, 2, ..., 16 .
Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, daß saisonale Schwankungen dem Trend
additiv überlagert sind, für das 4.Quartal die additive Saisonkomponente. Errechnen Sie daraus eine Prognose für das 4.Quartal 2007.
Wie lautet diese Prognose für das 4.Quartal 2007 im Fall des multiplikativen Modells?
19. Die folgende Tabelle enthält Preise (in ¤/kg) und Produktionsmengen (in kg) von
4 wichtigen Gütern der Lebensmittelbranche für die Jahre 2002, 2003 und 2004 :
Jahr
2002
2003
2004
Gut A
Preis Menge
31
1450
30
1500
32
1400
Gut B
Preis Menge
71
4800
70
4500
75
5000
Gut C
Preis Menge
14
3100
15
3200
16
3000
Gut D
Preis Menge
27
2600
29
2400
34
2800
Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres und den Mengenindex nach Lowe
jeweils für 2004 zur Basis 2002 .
Wahrscheinlichkeitsrechnung
20. Wir betrachten das Lottospiel 6 aus 49 und vernachlässigen der Einfachheit halber
die Zusatzzahl. Es bezeichne Ak das Ereignis „Genau k Richtige“, k = 0, 1, ..., 6.
(a) Begründen Sie, daß die Ereignisse A0 , A1 , ..., A6 paarweise (je zwei Ereignisse)
unvereinbar sind.
(b) Man gewinnt ab 3 Richtigen. Stellen Sie das Ereignis G: „Erreichen einer Gewinnstufe“ mit Hilfe der Ereignisse Ak dar.
(c) Berechnen Sie P (G) mit Hilfe folgender Wahrscheinlichkeiten: P (A3 ) = 0, 0176504,
P (A4 ) = 0, 0009686, P (A5 ) = 0, 0000184 und P (A6 ) = 0, 0000007.
21. In einer Tombola befinden sich 200 Lose, davon sind 90% Nieten. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von 5 Losen
(a) genau einen Gewinn,
(b) genau zwei Gewinne,
(c) mindestens zwei Gewinne zu erhalten?
22. Es seien A und B Ereignisse mit p = P (B) und q = P (A ∪ B), 0 ≤ p, q ≤ 1.
Berechnen Sie daraus P (A ∩ B̄) und P (Ā ∩ B̄).
4
23. Beim zweimaligen Würfeln werden folgende Ereignisse betrachtet:
A - Die Augenzahl beim ersten Wurf ist mindestens 5.
B - Die Augenzahl beim zweiten Wurf ist gerade.
Begründen Sie, daß die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.
24. Es wird ein roter und ein grüner Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Augensumme größer als 8 ist wenn der grüne Würfel eine 4
zeigt?
25. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die
3 schwarze und 7 weiße Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröße, die die Gesamtzahl gezogener schwarzer Kugeln angibt.
(a) Geben Sie für jede Realisierung xi von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit
pi = P (X = xi ) an.
(b) Berechnen Sie P (X ≤ 1).
(c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.
26. Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 4
schwarze und 6 weiße Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröße, die die Gesamtzahl gezogener schwarzer Kugeln angibt.
(a) Geben Sie für jede Realisierung xi von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit
pi = P (X = xi ) an.
(b) Berechnen Sie P (X ≤ 1).
(c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X.
27. Eine diskrete Zufallsgröße X sei durch folgende Realisierungen xi und Wahrscheinlichkeiten
P (X = xi ) gegeben:
xi
-3
P (X = xi ) 0.1
0
0.14
1
0.11
2
0.34
3
0.31
(a) Berechnen Sie P (X < 1) und P (X > 0).
(b) Bestimmen Sie außerdem den Erwartungswert und die Varianz von X.
(c) Wie lautet die Verteilungsfunktion FX der Zufallsgröße X? Skizzieren Sie FX .
28. Es sei bekannt, daß ein bestimmter Automat beim Herstellen von Schrauben 1,5%
Ausschuß produziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 100 zufällig
(bei laufender Produktion) herausgegriffenen Schrauben weniger als zwei defekte?
29. Beim einmaligen Werfen einer nicht homogenen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses “Zahl oben“ 55%. Wie oft muß die Münze
geworfen werden, daß mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 95% wenigstens einmal das Ereignis “Zahl oben“ eintritt?
30. In einer Autowerkstatt sei die zufällige Reparaturzeit X exponentialverteilt. Die
mittlere Reparaturzeit beträgt 4 Stunden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß die Reparaturzeit höchstens 6 Stunden beträgt!
5
31. Die Lebensdauer X einer Softeismaschine (in Jahren) sei eine exponentialverteilte
Zufallsgröße mit a = 61 .
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit “lebt“ die Maschine länger als 10 Jahre?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Lebensdauer kleiner als der Erwartungswert?
32. Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert µ = 6, 5 und der Standardabweichung σ = 1, 5.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X im Intervall I = [6; 8] liegt!
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X kleiner als 4, 5 ist?
(c) Welche reelle Zahl x0 besitzt die Eigenschaft, daß 85% aller Realisierungen von
X größer als x0 sind?
33. Es sei X die poissonverteilte Anzahl der Störungen pro Woche in einer Fertigungsanlage.
Im Durchschnitt werden 5 Störungen pro Woche registriert.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche weniger als 3 Störungen auf?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche mehr als 6 Störungen auf?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten für die Dauer einer Woche keine Störungen auf?
34. Die Länge X von Werkstücken, die auf einer Maschine gefertigt werden, sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert µ = 30mm und Standardabweichung
σ = 0, 02mm.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Länge mehr als 0, 03mm von µ ab?
(b) Welche Mindestlänge besitzen 85% aller gefertigten Werkstücke?
35. In einer Fußballmannschaft stammen statistisch gesehen 50% aller Torschüsse vom
Stürmer A, 40% vom Stürmer B und 10% entfallen auf den Rest der Mannschaft. Die
Trefferwahrscheinlichkeit von Stürmer A liegt bei 0,7, die von Stürmer B bei 0,8, die
restlichen Spieler treffen mit Wahrscheinlichkeit 0,3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
führt ein Torschuß dieser Mannschaft zu einem Tor?
36. Ein Posten von 100 Teilen enthält 60 Teile von Werk I und 40 Teile von Werk II. Es
ist bekannt, daß die Ausschußwahrscheinlichkeit in Werk I bei 3% liegt und in Werk
II bei 2%. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein zufällig ausgewähltes
Teil dieses Postens
(a) von Werk I stammt,
(b) Ausschuß ist,
(c) von Werk II stammt und kein Ausschuß ist,
(d) kein Ausschuß ist, wenn es von Werk II stammt,
(e) von Werk II stammt, wenn es kein Ausschuß ist?
6
37. Zwei Personen wollen sich an einem festgelegten Ort treffen, wobei beide garantiert
zwischen 14 Uhr und 15 Uhr erscheinen. Die genaue Ankunftszeit der beiden Personen ist unabhängig voneinander und kann jeder Zeitpunkt innerhalb dieser Stunde
sein. Sie vereinbaren, daß jeder 25 Minuten auf den anderen warten wird und dann
wieder geht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich beide Personen?
(Hinweis: Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe geometrischer
Wahrscheinlichkeiten.)
38. Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion FX :

0
falls
x<0

x3 (4 − 3x) falls 0 ≤ x < 1
FX (x) =
.

1
falls
x≥1
Ermitteln Sie die Dichte fX der Zufallsgröße X.
R∞
fX (x)d(x) = 1 .
Zeigen Sie, daß für die Dichte gilt
−∞
Berechnen Sie den Erwartungswert EX der Zufallsgröße.
Induktive Statistik
39. Die Zufallsgröße X beschreibe das Abfüllgewicht (in Gramm) von Maiskörnern in
Dosen. Dabei sei X näherungsweise normalverteilt. 100 Dosen wurden zufällig ausgewählt und der Inhalt gewogen. Ihr Gesamtgewicht beträgt 34584 g.
(a) Bestimmen Sie einen Schätzwert für den Erwartungswert µ von X.
(b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 0,95, falls die
Standardabweichung σ = 4, 5 g eine bekannte (unveränderliche) Maschinengröße ist.
(c) Wie groß muß der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit man bei bekannter Standardabweichung σ = 4, 5 g zum Konfidenzniveau 0,99 ein Konfidenzintervall für µ erhält, dessen Länge höchstens 1 g ist?
40. Die Wirkung eines Medikaments zur Fiebersenkung wird an 12 Patienten beobachtet. Die folgende Tabelle enthält die Körpertemperatur (in ◦ C) vor und eine Stunde
nach Verabreichung des Medikaments :
vor
nach
38,7 39,2 39,6
38,1 39,0 39,3
38,5 38,8 39,0 39,1 39,4 38,4 38,5 37,9 37,4
37,9 38,5 39,0 39,2 39,2 38,6 38,0 37,4 37,5
Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Senkung des Fiebers durch
dieses Mittel unter der Voraussetzung, daß die Werte normalverteilt sind.
41. Eine Abfüllmaschine für Kaffee ist auf ein Füllgewicht von 500 g eingestellt. Das
Abfüllgewicht sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit unbekannter Varianz. Durch
folgende Stichprobe vom Umfang n = 8 für das Füllgewicht (in g)
498 501 502 497 502 504 496 496
soll überprüft werden, ob das mittlere Gewicht von 500 g eingehalten wird. Prüfen
Sie die Hypothese H0 : µ = 500 gegen H1 : µ 6= 500 zum Niveau α = 0, 05.
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