2 KOMBINATORIK 2.1 Allgemeines Abzählprinzip

2 KOMBINATORIK
Die Kombinatorik ist eine wichtige Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie
befasst sich mit Problemen der Anordnung oder Gruppierung von Elementen.
Viele kombinatorische Überlegungen basieren auf dem allgemeinen Abzählprinzip.
Illustration: Von A nach B führen 3 Strassen, von B nach C deren 2. Auf wieviele Arten
kann man von A nach C gelangen?
A
B
C
Antwort: 3 · 2 = 6 Möglichkeiten.
2.1 Allgemeines Abzählprinzip
Kann eine erste Handlung auf n1 Arten, eine zweite auf n2 Arten, ... eine r-te auf nr Arten
ausgeführt werden, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten, die r Handlungen nacheinander
auszuführen, gleich n1 · n2 · ... · nr .
Anwendung:
2.2 Permutationen
Fragestellung:
Auf wieviele Arten können n verschiedene Elemente in einer Reihe angeordnet werden?
Beispiel: Elemente a, b, c
Anordnungen: abc bac cab
acb bca cba
Für die erste Position bestehen 3 Möglichkeiten, für die zweite dann je 2, die dritte Position
wird mit dem einen verbleibenden Element besetzt.
⇒ 3 · 2 · 1 = 6 Anordnungen
174
allgemein:
n verschiedene Elemente
. . . .
n Positionen
n
n-1 n-2
. . . .
1
Anzahl Besetzungsmöglichkeiten: Nach dem Abzählprinzip gilt
Satz 1:
Anzahl Permutationen = Pn = n · (n − 1) · ... · 3 · 2 · 1 = n!
Def.
("n-Fakultät")
Bemerkung:
Wir wollen noch folgende Spezialfälle durch formale Definitionen festlegen.
1! = 1
0! = 1
Beispiele
1) Bei der Wahl der "Miss World" nehmen die nationalen Schönheitsköniginnen aus 18
Ländern teil. Wieviele verschiedene Rangfolgen sind denkbar?
P 18 = 18! = 18 · 17 · 16 · 15 · ... · 3 · 2 · 1 ≈ 6′ 402′ 373′ 700′ 000′ 000
2) 5 Briefe werden zufällig in 5 adressierte Umschläge gesteckt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich alle Briefe im richtigen Umschlag befinden?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses x sei definiert als Quotient aus der Anzahl der
günstigen Ereignisse G und der Anzahl aller möglichen Ereignisse M.
P (x) =
G
M
175
x: alle Briefe im richtigen Umschlag.
1. Schritt:
Anzahl günstiger Ereignisse bestimmen. Günstig bedeutet:
Alle Briefe sind im richtigen Umschlag, also
G=1
2. Schritt:
Anzahl möglicher Ereignisse bestimmen.
M = 5! = 120
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen.
G
1
P (x) =
=
M
120
2.3 Variationen
Fragestellung:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n verschiedenen Elementen jeweils k zu wählen, unter
Berücksichtigung der Reihenfolge der Elemente?
Beispiel:
Elemente a, b, c, d, e;
k = 3;
n = 5.
Anordnungen von je 3:
abc
abd abe
acb
acd
bac
bad
bae
bca
bcd bce
cab
cad
cae
cba
dab dad
eab
eac
aec
aed
bda bdc bde
bea bec
bed
cbd cbe
cda
cdb
cde
cea
ceb
ced
dae
dba dbc dbe
dca
dcb
dce
dea
deb dec
ead
eba
eca
ecb
ecd
eda
edb edc
ebc
ace
ebd
adb
adc
ade
5 · 4 · 3 = 60 Möglichkeiten
Man beachte:
5·4·3=
allgemein: n verschiedene Elemente
k Positionen
176
5!
5·4·3·2·1
=
2·1
2!
aeb
Positionsnummer:
1
2
3
k
. . . .
Möglichkeiten:
n
n-1
n-2
n-(k-1)
Satz 2:
Anzahl Variationen von n Elementen zu je k ("zur k-ten Klasse") = Vnk .
n!
Vnk = n(n − 1)(n − 2)...(n − (k − 1)) =
(n − k)!
Beispiele
1) Wieviele 6-ziffrige Telephonnummern mit lauter verschiedenen Ziffern lassen sich mit
den Ziffern 1, 2, 3, 4 ... 9 bilden?
9!
V96 =
= 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 60′ 480
(9 − 6)!
Beachte:
Vnn = Pn
2) Wieviele dreistellige Zahlen kann man mit den ungeraden Ziffern bilden, wenn jede
Ziffer höchstens einmal auftritt?
n = 5,
k=3
Variationen ohne Wiederholungen
n!
(n − k)!
5!
= 60
=
2!
Vnk =
V53
2.4 Kombinationen
Fragestellung:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n verschiedenen Elementen eine Gruppe vom Umfang
k herauszuziehen (auf die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Gruppe soll es dabei
nicht ankommen)?
177
Beispiel:
Element a, b, c, d, e;
k = 3;
n =5.
Gruppen: (Kombinationen)
abc
acd ade bcd bde cde
abd ace
bce
abe
(10 Kombinationen)
Wir hätten diese Zahl auch auf folgendem Umweg finden können:
Von den 60 Variationen im Beispiel des Abschnittes 2.3 geben je 3! = 6 Anlass zu einund derselben Kombination. z. B.
abd bad dab
adb bda dba
allgemein:
→ Kombination abd
Von den
n!
(n − k)!
Variationen von n verschiedenen Elementen zu je k geben jeweils k! Anlass zur selben
Kombination (nämlich alle diejenigen, die nur Permutationen derselben Elemente
darstellen).
Folgerung:
Satz 3:
Die Anzahl Kombinationen von n Elementen zu je k wird nach folgender Formel berechnet:
n!
Cnk =
k!(n − k)!
Schreibweise: Für Cnk wird eine Abkürzung eingeführt:
n
n!
=
k
k!(n − k)!
heisst Binomialkoeffizient und wird als "n tief k" gelesen.
178
Beachte:
n
n!
=n
1!(n − 1)!
1
n
n!
n!
=
=1
=
0!(n − 0)!
1 · n!
0
=
Beispiele
1) Aus einem Spiel Jasskarten (36 Karten) werden 9 gezogen. Wieviele verschiedene
Ergebnisse dieses Versuches sind denkbar?
36 · 35 · 34 · 33 · 32 · 31 · 30 · 29 · 28
36!
36
=
= 94′ 143′ 280
=
9! · 27!
9·8·7·6·5·4·3·2·1
9
2) Eine Gruppe von 9 Personen erhält 5 Freikarten für ein Konzert. Auf wieviele Arten
kann man die Karten verteilen?
n = 9, k = 5
Kombinationen
n!
k!(n − k)!
9!
=
= 126
5! · 4!
Cnk =
C95
Zusammenfassung:
n verschiedene Elemente
Anordnungen aller
Anordnungen von je k
Gruppierungen je k
Elemente:
Elementen:(k < n)
Elementen: (k < n)
Permutationen.
Variationen.
Kombinationen.
Anzahl:
Anzahl:
Anzahl:
n
n!
=
k!(n − k)!
k
n!
n!
(n − k)!
Insbesondere bei Anordnungsproblemen, aber gelegentlich auch bei Kombinationen,
kann die Situation auftreten, dass Wiederholungen zugelassen sind.
179
2.5 Permutationen mit Wiederholungen
Beispiel: Wieviele verschiedene Permutationen können mit den Buchstaben
MISSISSIPPI gebildet werden?
Man beachte: Von den 11! Permutationen der 11 Buchstaben unterscheiden sich je 4!
nicht, welche nur auf Vertauschungen der verschiedenen Buchstaben S zurückzuführen
sind; ebenso sind je 4! gleich, die durch Vertauschung der I zustande kommen, und je 2
sind gleich, die durch Vertauschen der beiden P entstehen.
Folgerung:
Anzahl verschiedener Permutationen =
11!
= 34′ 650
4! · 4! · 2!
Allgemein:
Satz 4: Die Anzahl Permutationen von n Elementen, wovon n1 der 1. Art, n2 der 2.
Art, ... nr der r-ten Art sind, ist
Pn;n1 ,n2 ,...,nr =
n!
;
n1 !n2 !...nr !
(n1 + n2 + ... + nr = n)
Beispiele
1) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 rote, 3 blaue und 2 gelbe Perlen aneinanderzureihen?
Permutationen:
n=9
n1 = 4
n2 = 3
n3 = 2
Lösung:
P =
9!
= 1260
4! · 3! · 2!
2) Eine Gesellschaft von 10 Personen will eine Bootsfahrt unternehmen, wobei 3 Boote
zur Verfügung stehen. Boot A fasst 3, Boot B 2 und Boot C 5 Personen. Wieviele
Möglichkeiten gibt es, die Gesellschaft auf die Boote aufzuteilen?
180
Personen:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
eine mögliche Aufteilung: A B B C C C A C A C
Jede mögliche Aufteilung entspricht einer Permutation der Buchstaben AAABBCCCCC.
Lösung:
10!
= 2520 Möglichkeiten
3!2!5!
2.6 Variationen mit Wiederholungen
Fragestellung:
Gegeben seien n verschiedene Elemente. Wieviele Möglichkeiten gibt es, k Elemente
unter Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen, wenn jedes Element beliebig oft,
aber höchstens k mal, wiederholt werden darf?
(Beachte: k kann auch grösser als n sein)
Beispiel:
Elemente a, b; k = 4, n = 2
Variationen:
aaaa
aaab
aaba
abaa
baaa
aabb
abab
abba
baba
bbaa
baab
abbb
babb
bbab
bbba
bbbb
16 Variationen
Allgemein:
Jede der k Positionen kann mit jedem der n Elemente besetzt werden:
Folgerung:
Satz 5:
Die Anzahl Variationen mit Wiederholungen von n Elementen zu je k ist nk .
181
Beispiele
1) Wieviele 6-ziffrige Telephonnummern können mit den Zahlen 1, 2, 3, ..., 9 gebildet
werden?
Lösung:
96 = 531′ 441
2) Aus einer Urne, welche die Kugeln R , E , M enthält, wird viermal eine Kugel mit
Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit entsteht das Wort "MEER"?
a)
Günstige Ereignisse:
1
b)
Mögliche Ereignisse:
n = 3, k = 4, V = 34 = 81
c)
P =
1
= 0.0123
81
2.7 Kombinationen mit Wiederholungen
Beispiel:
2 nicht unterscheidbare Kugeln sollen auf 4 Zellen verteilt werden. Wieviele Zuordnungen
sind möglich, falls Doppelbelegungen zugelassen werden?
Jeder Zuordnung entspricht genau eine Kombination mit Wiederholungen.
Dies überlegt man sich wie folgt:
1
2
3
4
Die Anzahl der möglichen Zuordnungen der 2 Kugeln auf die 4 Zellen ist offenbar gleich
der Anzahl der Permutationen der 5 inneren Elemente · · | | | mit Wiederholungen, also
nach Satz 4 S. 180.
182
P5;2,3
5!
=
=
2!3!
5
= 10
2
Allgemein:
Auf wieviele Arten kann man aus n verschiedenen Elementen deren k herausgreifen, wenn
Wiederholungen gestattet sind und die Reihenfolge innerhalb der Anordnung nicht relevant ist?
Äquivalente Formulierung : k "Kugeln" auf n "Zellen" verteilen.
n - 1 Trennstriche |,
k Kugeln ◦
| | ◦◦ | ◦ | | ◦ | | ◦ ◦ ◦ |
Anzahl Elemente: n + k − 1
Anzahl Möglichkeiten = Anzahl Permutationen der n+k-1 Elemente, wovon je k bzw. n-1
gleich sind. Somit folgt nach Satz 4:
Satz 6:
Die Anzahl Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse mit Wiederholungen beträgt
(n + k − 1)!
=
k!(n − 1)!
n+k−1
k
Beispiele:
1) Ein Dominospiel umfasst jede mögliche Zweier-Kombination von
genau ein Mal (Wiederholungen zugelassen). Wieviele Steine enthält ein Spiel?
183
Lösung:
Den Augenzahlen 0,...,6 werden n = 7 Zellen zugeordnet. Nun geht es darum, herauszufinden auf wieviele Arten die beiden Hälften eines Dominosteines (k = 2) auf die
n = 7 Zellen verteilt werden können.
8·7
8
n+k−1
=
=
n = 7, k = 2,
= 28
2
k
2
2) In einer Urne befinden sich 4 Kugeln, nummeriert von 1 bis 4. Eine erste Kugel wird
gezogen, die Nummer notiert und die Kugel wieder zurückgelegt. Anschliessend wird
eine zweite Kugel gezogen.
Wieviele verschiedene Zweier-Stichproben sind möglich, wenn die Reihenfolge in der
Zweiergruppe nicht relevant ist?
Lösung:

11, 12, 13, 14 


22, 23, 24
10 Fälle
33, 34 

44 
n+k−1
5
n = 4, k = 2,
=
= 10
k
2
2.8 Der binomische Lehrsatz
Bestimmt man durch Ausmultiplizieren die Koeffizienten bei den Termen (a+b)0 , (a+b)1 ,
(a + b)2 , (a + b)3 , ..., so erhält man das Pascal’sche Dreieck.
k=0
n=0
1
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
n=5
184
1
1
1
2
3
4
5
k=1
1
3
6
10
k=2
k=3
1
4
10
k=4
1
5
k=5
1
Bildungsgesetz:
Die Summe zweier benachbarter Zahlen ergibt die dazwischenstehende Zahl der nächsten
Zeile.
Behauptung
In der n-ten Zeile und k-ten Diagonale steht gerade
n
k
,
d.h. der Koeffizient von ak bn−k in der Entwicklung von (a + b)n ist
Nachweis
n
k
.
Löst man in (a+b)n = (a+b)·(a+b)·(a+b)...(a+b) die Klammern durch Ausmultiplizieren
auf, so enthalten die entstehenden Summanden aus jeder Klammer entweder einen Faktor
a oder Faktor b. Die Anzahl Summanden mit k Faktoren a und somit (n - k) Faktoren b
( = Koeffizient von ak bn−k ) ist gleich der Anzahl Kombinationen von n Elementen zu je
n
.
k, also
k
Folgerung:
Satz 7:
n 2
n k n−k
(a + b) =
a b
k
k=0
n
Binomischer Lehrsatz
Bemerkung:
Das Bildungsgesetz im Pascal’schen Dreieck kann nun wie folgt formuliert werden:
n+1
n
n
=
+
k+1
k+1
k
Ferner gilt:
n
n
=
k
n−k
Symmetrie
Spezialfall:
n
n
n
n
+
+
+ ... +
a = b = 1 : (1 + 1) = 2 =
0
1
2
n
n
n
185
Zusammenfassendes Lösungsschema
Werden alle
Elemente
verwendet?
ja
Spielt die
Reihenfolge
eine Rolle?
nein
Spielt die
Reihenfolge
eine Rolle?
ja
nein
ja
Permutationen
Variationen
Kombinationen
Sind
Wiederholungen
zugelassen?
Sind
Wiederholungen
zugelassen?
Sind
Wiederholungen
zugelassen?
nein
ja
nein
n!
(n − k )!
 k + n − 1


 k 
n
 
k
ja
nein
ja
n!
n1 !⋅ n2 !...
n!
k
186
n
Beispiele, Anwendungen
1) Eine Urne enthält 5 weisse Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 5 nummeriert sind, und 6
rote Kugeln, die mit 1 bis 6 beschriftet sind.
3 Kugeln werden gezogen und nebeneinandergelegt.
a) Wieviele unterschiedliche Anordnungen bezüglich der Farbe sind denkbar?
b) Wieviele Anordnungen sind denkbar, wenn Farbe und Zahl berücksichtigt werden?
c) Wieviele unterschiedliche dreiziffrige Zahlen können so entstehen?
Lösung:
a) 8
b) 990
c) 195, nämlich
60 Zahlen ohne "6", ohne Wiederholung
60 Zahlen ohne "6", mit Wiederholung
60 Zahlen mit "6", ohne Wiederholung
15 Zahlen mit "6", mit Wiederholung
2) Ein Restaurant präsentiert folgende Speisekarte
Entrée
Suppe, Orangen- oder Grapefruitsaft
Hauptgericht
Rindsbraten, Poulet, Schnitzel
Beilagen
Reis, Nudeln, Spaghetti, Pommes frites
Gemüse
Bohnen, Tomaten, Karotten
Dessert
Glace, Apfelkuchen
Wieviele verschiedene fünfgängige Menues lassen sich aus diesem Angebot zusammenstellen?
Lösung: Anordnungen 3 · 3 · 4 · 3 · 2 = 216
187
3) Wieviele Möglichkeiten gibt es, von 4 verschiedenen Feldern je eines mit den Farben
rot, grün, gelb oder blau zu färben?
Lösung: n! = 4! = 24
4) Wieviele Möglichkeiten gibt es
a) 8 verschiedenfarbige Perlen,
b) 4 rote, 2 weisse und 2 grüne Perlen aneinanderzureihen?
Lösung:
a) Permutationen: 40’320
b) Permutationen mit Wiederholungen: 420
5) An einem Wettkampf nehmen 10 Personen teil. Wieviele verschiedene Ranglisten sind
theoretisch möglich?
Lösung:
Permutationen: 3’628’800
6) Ein Gewichtssatz besteht aus den Gewichten 10, 20, 50, 100, 500 und 1000g.
Wieviele verschiedene Zusammenstellungen der Gewichte sind möglich?
Lösung: 63
7) Die Blindenschrift nach Braille verwendet ein Schema mit folgenden 6 Positionen
.
Jede Position kann mit einer Ausbuchtung versehen werden.
Wieviele verschiedene Zeichen sind möglich?
Lösung:
n=2
k=6
Variationen mit Wiederholungen
V = nk = 26 = 64
188
8) Wieviele Personen befinden sich in einer Gesellschaft, wenn beim Anstossen 253 mal
die Gläser klingen?
Kombinationen: 23
Lösung:
9) Eine Menge enthält 20 Elemente. Wieviele verschiedene Teilmengen mit 7 Elementen
gibt es?
Lösung: Kombinationen: 77’520
10) Auf wieviele verschiedene Arten können 7 Kugeln auf 20 Schachteln aufgeteilt werden,
wenn keine Schachtel mehr als eine Kugel enthalten kann?
Lösung: Kombinationen: 77’520
11) Wieviele verschiedene 6-ziffrige Zahlen lassen sich mit den Ziffern 1, 1, 3, 3, 3, 7
schreiben?
Lösung: Permutationen mit Wiederholungen: 60
12) Das Morsealphabet besteht aus 2 Zeichen: "·" und " − ".
Wieviele Worte können mit mindestens einem aber höchstens fünf Zeichen geschrieben
werden?
Lösung: 62
13) Wieviele unterschiedliche Anordnungen der Buchstaben des Wortes
a)
PFEFFER
b)
SANDSTRAND
gibt es?
Lösung:
a) 420
b) 226’800
189