Zusammenfassung: Wigner-Eckart

Zusammenfassung: Wigner-Eckart-Theorem
Clebsch-GordanReihe:
Def. vonTensor -
Algebraische Version,
(via infinitesimaler
Rotation):
Clebsch-GordanReihe für Tensoren:
Wigner-EckartTheorem:
Geometrie
Dynamik
4. Symmetrien in der Quanten-Mechanik (Sakurai, Kap. 4)
4.1 Symmetrien, Erhaltungssätze, Entartungen
4.1.1 Symmetrien in
klassischer Physik:
Falls
invariant unter
Falls
invariant unter
Euler-Lagrange-Gl:
kanonischer Impuls
erhalten:
Hamiltonsche
Formulierung:
Hamiltonsche
Bewegungsgleichung:
4.1.2 Symmetrien in
d. Quantenmechanik:
sei unitärer Operator ("Symmetrie-Op.")
Schreibe infinitesimale Version als:
Sei
unter
invariant
:
Heisenberg's
Bewegungsgleichung:
Beispiele:
-Eigenkets bleiben
unter Zeitentwicklung
-Eigenkets:
G ist erhalten
Invarianz unter
Sei
dann
Translationen
4.1.3 Entartungen:
Sei
und
ist auch
Energie-Eigenket mit
gleichem Eigenwert:
Falls
sind
und
"entartet"
Beispiel: Rotationen
Eigenbasis v.
sind alle entartet
Rotation mischt entartete Basisvektoren:
zB: Zentralpotential:
zusätzliches
E-oder
-fache
Entartung
bricht Entartung, verursacht (2j+1)-fache Energie-Aufspaltung
(Details: Kapitel 5)
4.2 Diskrete Symmetrien: Parität (=Rauminversion) (Sakurai, 4.2)
4.2.1 Definition v.
unitärem Paritätsop.
mit
gilt für alle
(x, anti-vertauschen)
Ortseigenket
beliebiger Phasefaktor
per Konvention
nochmalige
Anwendung:
ist hermitesch,
mit Eigenwerten
4.2.2 Impuls:
Forderung:
Operator-Identität:
für infinitesimale
p, antivertauschen:
4.2.3 Drehimpuls:
Check:
Translation+Parität =
Parität +(-Translation)
4.2.4 Rotationen
für 3D Rotationen gilt:
Fordere dasselbe
für infinitesimale
und
vertauschen:
das gilt insbesondere
auch für Spin:
Definitionen:
"Polarvektoren" sind ungerade unter Parität
"Axial-" (oder "Pseudo-)Vektoren sind gerade unter Parität
"Skalare" sind gerade unter Parität
"Pseudoskalare sind ungerade unter Parität
4.2.5 Wellenfunktionen:
Betrachte spinloses Teilchen:
WF von paritätsinvertiertem Ket:
sei Paritätseigenket:
entsprechende WF
ist gerade/ungerade
unter Pariträt:
Beispiel: KugelflächenFunktionen:
alle Mitglieder des
Multiplets haben
dieselbe Parität:
(folgt aus expliziter Form von Y )
4.2.5 Theorem
Sei
Dann sind die nicht-entarteten
Energie-Eigenkets auch Paritäts-Eigenkets.
Beweis:
Gegeben:
Betrachte ParitätsEigenket,
mit Eigenwerten
Check:
nicht entartet.
ist auch
Energie-Eigenket
mit demselben
Aber
ist nicht-entartet:
ist Paritäts-Eigenket (siehe S8.3), mit Eigenwerten
Bemerkung:
Für schwache Wechselwirkung gilt "Paritätsverletzung",
denn
hängt zB ab von
Beispiel:
aber
also
nicht
Konsistent mit Theorem, denn
und
Eigenket
sind entartet.
Eigenkets:
Check:
Wellenfunktionen:
Beispiel:
Unendlich tiefer Topf:
Wellenfunktionen sind
Paritätseigenfktn:
Beispiel:
ansonsten
für n=ungerade
für n = gerade
Doppemuldenpotential- selber lesen (Sakurai, Abschnitt 4.2)
4.2.6 Paritätsauswahlregel:
Beweis:
Matrixelemente von Paritäts-ungeraden Operatoren
zwischen zwei Paritätseigenzuständen sind nur dann
wenn diese unterschiedliche Parität haben.
0,
A sei Paritäts-ungerade,
und
seien zwei Paritätseigenkets, mit
Dann:
oder
entweder
Bereits bekannt aus
der Wellenmechanik:
falls
und
dieselbe Parität haben
4.3 Gittersymmetrie als diskrete Symmetrie: selber lesen (Sakurai, 4.3)
4.4 Zeitumkehrinvarianz: "Bewegungsumkehr" (Sakurai,
4.4.1 Klassisch:
Wenn
Lösung ist von
Newton 2:
dann ist
Maxwell-Gl, und
Lorentz-Kraft:
sind invariant unter:
auch eine Lösung:
Stop bei
und Umkehr
4.4.2 Schrödinger-Gl:
ist keine Lösung, wegen 1.ste Ordnung Zeitabltng:
ist eine Lösung von
zunächst:
also ist
eine Lösung von
Expliziter Check mittels
Energie-Eigenket:
4.4.3 Bemerkungen zu
Symmetrie-Operatoren
Falls
unitär ist:
Allgemein reicht es
allerdings, zu fordern:
was auch folgende
Möglichkeit zuläßt:
4.4.4 Definition
einer "anti-unitären"
Transformation:
mit
und
Betrachte SymmetrieOperation:
folgende "Zerlegung"
ist immer möglich:
anti-unitärer
Operator
unitärer
"komplexKonjugator"
Wirkung von K:
Entwicklung von
in einer Basis:
Für Basiskets gilt:
Wirkung von K ist
basisabhängig:
In
-Basis:
In
-Basis:
denn
Basistransformation:
keine
komplexen
Zahlen
vorhanden
:
Check:
erfüllt
Berechne Wirkung auf
Bra lieber via Wirkung
auf Ket:
(
nicht definiert)
Skalarprodukt:
die Eigenschaften eines anti-unitären Operators?
4.4.5 ZeitumkehrOperator
Zeitumkehr-
anti-unitärer
Zeitumgekehrter Zustand
(genauer: Bewegungsumgekehrter Zustand)
Wir erwarten:
Zeitentwicklung von
Zeitentwicklung von
zeitumgekehrtem
Forderung, falls Bewegung
symmetrisch unter
Zeitumkehr verläuft:
etc.
gilt für
beliebige Kets:
kann nicht
unitär sein:
Wäre
dann folgte aus
Für Energieeigenket:
Für freies Teilchen
würde das bedeuten:
ist auch Eigenenergie!
Das ist unsinnig, denn Spektrum wäre nicht von unten begrenzt.
anstatt erwartetem
würde liefern:
Postulat:
ist anti-unitär.
Folgerung: falls
Bewegung symmetrisch
unter Zeitumkehr
abläuft, gilt:
dann:
Bemerkung:
und nicht
Formale Eigenschaften
von Matrixelementen
linearer Operatoren:
Identität:
Beweis:
Für hermitesche
Sei
dann gilt:
Sei
denn
ist nicht
A ist "gerade/ungerade"
unter Zeitumkehr, falls
entsprechende
und Erwartungswerte:
Beispiel: Impuls
Forderung:
Eigenwertgleichung:
Folglich identifizieren wir:
Analoges Beispiel:
Ortsoperator
Forderung:
Invarianz der
Vertauschungsrelation:
Analog: Invarianz der
Drehimpulsrelationen
erfordert
(S21.4) folgt auch aus
Zeitumkehrsymmetrie
von Rotationen:
Forderung