1 Vektoralgebra - ipc.uni-jena.de - Friedrich-Schiller

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Institut für Physikalische Chemie
BC 1.2 Mathematik
WS 2016/17
Prof. Dr. S. Gräfe
Dr. Thomas Bocklitz
BC 1.2 Mathematik
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra
1
Vektoralgebra
1. Der dreidimensionale Vektorraum R3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel
(x1 , x2 , x3 ) reeller Zahlen. Jedes geordnete
Tripel

 definiert einenPunkt des Raums.
 x1 
3


x
Die Zahlen xi heißen Koordinaten. R =
x1 , x2 , x3 ∈ R . Es wird zwischen
2


x3
Spalten- und Zeilenvektoren unterschieden.
2. Definition Vektor: Der Vektor ~a des Euklidischen Raums E3 ist eine gerichtete
Strecke durch die Punkte P (Anfang) und Q (Endpunkt): ~a = P~Q. Vektoren, die
über Parallelverschiebung erzeugt werden, sind gleich. Die Komponenten des Vektors
sind die Längen der Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen. Der Betrag
eines Vektors |~a| entspricht der Länge des Vektorpfeils.
3. Rechnen mit Vektoren:
    

a1
b1
a1 + b 1
• Addition: ~c = ~a + ~b = a2  + b2  = a2 + b2 
a3
b3
a3 + b 3


λa1
• Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar): ~c = λ · ~a = λa2 
λa3
• Es gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze
• Skalarprodukt: ~a · ~b = λ Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine Zahl (ein
Skalar): λ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
p
Geometrische Betrachtung: ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos α; |~a| = a21 + a22 + a23 ,
~
cos α = |~a~a|·|·b~b|
• Vektorprodukt: ~a × ~b = ~c. Das Ergebnis des Vektorprodukts ist ein Vektor ~c,
der senkrecht auf der von ~a und ~b aufgespannten Ebene steht:
    

a1
b1
a2 b 3 − a3 b 2
~a × ~b = a2  × b2  = a3 b1 − a1 b3  = ~c
a3
b3
a1 b 2 − a2 b 1
Das Assoziativgesetz ist im Allgemeinen nicht gültig; das Vektorprodukt ist
anti-kommutativ.
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4. Definition: Lineare Unabhängigkeit: Es seien k Vektoren a~1 , a~2 , ...a~k des ndimensionalen Raums Rn vorgegeben. Die k Vektoren heißen linear unabhängig, wenn
die lineare Vektorgleichung
λ1~a1 + λ2~a2 + . . . λk~ak = 0
nur für λ1 = λ2 = . . . λk = 0 erfüllt werden kann. Gibt es mindestens einen λi 6= 0,
so heißen die k Vektoren linear abhängig.
k Vektoren a~1 , a~2 , ...a~k in Rn sind dann und nur dann linear abhängig, wenn mindestens P
einer der k Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellbar ist:
ai .
~aj = k−1
i=1 λ̃k ~
In einem n-dimensionalen Vektorraums hat eine Menge linear unabhängiger Vektoren
höchstens n Elemente.
5. Definition Vektorraum: Eine nicht leere Menge V heißt Vektorraum, wenn gilt:
• Es gibt für jeden Vektor ~a eine Multiplikation mit Skalaren λ ∈ R, wobei das
Produkt λ~a ein Vektor ist, der auch zu V gehört: ~a ∈ V ⇒ (λ~a) ∈ V .
• Der Summenvektor zweier beliebiger Vektoren gehört auch zu V : ~a ∈ V, ~b ∈
V ⇒ ~a + ~b = ~c ∈ V .
Hierbei sollen die üblichen Rechenregeln gelten.
Es gibt k linear unabhängige Vektoren; mehr als k Vektoren sind immer linear
abhängig. Die Menge V heißt linearer Vektorraum der Dimension k, dim V = k
oder Vk . Der lineare Vektorraum Vk besteht aus der Gesamtheit der Linearkombinationen der linear unabhängigen Vektoren ~q1 , ~q2 , ...~qk ; diese bilden eine
sogenannte Basis des linearen Vektorraums. (Dies gilt für endlich-dimensionale
Vektorräume.)
6. Im euklidischen Raum (kartesische Metrik) ist die Länge eines Vektors |~a| = P~Q
als der Abstand zweier Punkte P = (p1 , p2 , ...pn ) und Q = (q1 , q2 , ...qn ) wie folgt
definiert:
v
u n
q
uX
|~a| = d(P, Q) = t (qi − pi )2 = a21 + a22 + ... + a2n
i=1
Vektoren der Länge 1 heißen normiert.
7. Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist, ~a · ~b = 0
8. Die Vektoren, die eine orthonormale Basis aufspannen, erfüllen die folgende Relation:
(
1 für i = j
q~i · q~j = δij =
0 für i 6= j
δij heißt das Kronecker-Symbol.
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9. Über das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren kann jede Basis aus n
linear unabhängigen Vektoren q~1 , ...q~n in Rn in eine orthogonale bzw. orthonormale
Basis e~1 , ...e~n überführt werden:
r~i = q~i −
i−1
X
(~
qi · e~j ) e~j ;
e~j =
j=1
r~i
|~
ri |
10. Im komplexen Vektorraum Cn ist das Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren wie
folgt definiert:
 
 
a1
b1
n
X
 ..  ~  .. 
~
~a =  .  ; b =  .  ; ha|bi = ~a · b =
a∗i bi = a∗1 b1 + a∗2 b2 + ... + a∗n bn = λ
i=1
an
bn
λ ist eine (komplexe) Zahl. Es gilt:
ha|bi = hb|ai∗ ;
2
ha|λbi = λha|bi;
hλa|bi = λ∗ ha|bi;
ha|b+ci = ha|bi+ha|ci;
ha|ai ≥ 0
Matrizen und Determinanten
1. Definition: Matrix: Unter einer Matrix A vom Schema (m, n) mit m, n ∈ N verstehen wir die m · n Zahlen aik (Matrixelemente) (i = 1, ...m, k = 1, ..n), die in dem
rechteckigen Schema


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..
..
.. 
.
.
 .
.
.
. 
am1 am2 . . . amn
zusammengefasst werden.
2. Eine Matrix heißt quadratisch, wenn Zeilenzahl = Spaltenzahl. Quadratische Matrizen, deren Nichtdiagonalelemente verschwinden, heißen Diagonalmatrizen. Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente aii = 1, heißen Einheitsmatrix.
3. Rechnen mit Matrizen
• Addition: Elementweise; A + B = C, mit cik = aik + bik


a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
 a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n 


C=

..
..
..
..


.
.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
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• Multiplikation mit einem Skalar λ: elementweise Multiplikation:


λ · a11 λ · a12 . . . λ · a1n
 λ · a21 λ · a22 . . . λ · a2n 


λ · A =  ..
..
.. 
.
.
 .
.
.
. 
λ · am1 λ · am2 . . . λ · amn
• Multiplikation Matrix A(m, n) mit Vektor (der gleichen Länge n) ergibt wieder
ein Vektor:


a11 · v1 + a12 · v2 + · · · + a1n · vn
 a21 · v1 + a22 · v2 + · · · + a2n · vn 


A · ~v = 

..


.
am1 · v1 + am2 · v2 + · · · + amn · vn
P
• Matrixmultiplikation A(m, n) · B(n, p) = C(m, p) mit cik = nj=1 aij + bjk .
Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; es gelten Assoziativ- und Distributivgesetze
• Eine Matrix A heißt regulär (nicht-singulär), wenn es eine Matrix B gibt, die
zugleich links- und rechts-invers von A ist:
A·B =B·A=E
B heißt dann Inverse von A und wird im Allgemeinen mit A−1 bezeichnet:
A · A−1 = A−1 · A = E
4. Der Rang Rg(A) einer Matrix A(m, n) gibt die Maximalzahl r (mit r < n) linear
unabhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren an. Eine n-reihige quadratische Matrix
A(n, n) is dann und nur dann regulär, wenn r = n.
5. Transponierte Matrix AT : aTik = aki . Symmetrische Matrix: AT = A. Orthogonale Matrix: AT = A−1 . Hermitesche Matrix: AT = A∗ .
6. Jeder n−reihigen quadratischen Matrix A wird
a11 a12
a21 a22
det(A) = ..
..
.
.
am1 am2
eine Zahl D zugeordnet:
. . . a1n . . . a2n .. ...
. . . . amn Die Determinante kann über die Regel von Sarrus (nur für 3×3P
Matrizen) oder den
Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden: D = det(A) = nj=1 (−1)i+j aij Dij ,
wobei die Summe über die j−te Zeile oder Spalte geht, aij das Matrixelement an der
Stelle aij darstellt und Dij die Unterdeterminante ist, welche entsteht, wenn der
ursprünglichen die i−te Zeile und j−te Spalte gestrichen wurde.
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7. Eigenschaften von Determinanten:
• Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) einer Determinante führt zu einem Vorzeichenwechsel der Determinanten.
• Enthält die Determinante zwei gleiche Zeilen (Spalten), ist der Wert der Determinante gleich Null.
• Multiplikation einer Determinante mit einer Zahl λ: die Elemente einer Zeile
werden mit λ multipliziert (nicht wie bei einer Matrix!).
• Enthält eine Zeile (Spalte) nur Nullen, ist der Wert der Determinante gleich
Null.
• Addiert man zu einem beliebigen Zeilenvektor (Spaltenvektor) ~ai das λ-fache
eines anderen Zeilenvektors (Spaltenvektors) ~ak (k 6= i), so behält die Determinante ihren Wert unverändert bei.
• Addiert man zu einem beliebigen Zeilenvektor (Spaltenvektor) ~ai eine beliebige
Linearkombination der übrigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren), so behält die
Determinante ihren Wert unverändert bei.
• Vertauscht man Zeilen und Spalten einer Determinante, so behält die Determinante ihren Wert unverändert bei. det(A) = det(AT ).
• Für zwei quadratische Matrizen A und B des gleichen Typs gilt: det(C) =
det(A · B) = det(A) · det(B)
8. Anwendungen der Determinantentheorie:
• Lineare Unabhängigkeit von Vektoren: Da det(A) = 0, wenn die Matrix
zwei gleiche Zeilen bzw. Spalten (oder den Nullvektor) aufweist: n Vektoren
~a1 , . . . ~an des n−dimensionalen Vektorraums Rn sind dann und nur dann linear
unabhängig, wenn ihre Determinante nicht verschwindet. Der Rang r einer Matrix gibt demnach die größtmögliche Anzahl von Null verschiedener r-reihiger
Unterdeterminanten an.
• Lineare Gleichungssysteme A~x = ~b: Sei A eine (m,n) Matrix, b ∈ Rm und
Rg(A) = Rg(Ã) = r. Homogone lineare Gleichungssysteme der Form A~x = ~0
haben immer eine Lösung (triviale Lösung), ~x = ~0. Diese ist die einzige Lösung,
wenn Rg(A) = n. Für Rg(A) < n existiert nicht nur die triviale Lösung. Der
Lösungsvektorraum hat dabei die Dimension n − r.
Inhomogene lineare Gleichungssysteme haben nur dann eine Lösung, wenn Rg(A) =
Rg(Ã). Für r = n existiert genau eine einzige Lösung; für r < n hat der Lösungsvektorraum die Dimension n − r. Der Lösungsvektor kann beispielsweise über
die Cramersche Regel gefunden werden; alternativ bietet sich das Verfahren von
Gauß an, um die Matrix in Zeilenstufenform zu überführen.
• Berechnung inverser Matrizen:
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9. Eine lineare Transformation σ̂ ist eine eindeutige Abbildung des (komplexen)
n−dimensionalen Vektorraums Vn (R) in sich, die jeden Vektor ~x ∈ Vn (R) einem
Vektor ~y = σ̂(~x) ∈ Vn (R) so zuordnet, dass gilt:
σ̂(λ · ~x) = λσ̂(~x)
σ̂(x~1 + x~2 ) = σ̂(~x1 ) + σ̂(~x2 )
Die Summe zweier linearer Transformationen ist ebenfalls eine lineare Tranformation.
Jeder lineare Transformation σ̂ kann durch eine Matrix A bezüglich einer festen
Basis ~q1 , . . . ~qn dargestellt werden. Ein Beispiel für eine lineare Transformation ist die
Koordinatentransformation. Der Übergang einer Matrix P in eine neue Basis Q wird
wie folgt ausgedrückt: Q = T · P · T −1 , wobei T die Transformationsmatrix ist.
10. Matrixeigenwertprobleme: Spezielle linear Abbildung σ̂ eines Vektors ~x, so dass
gilt: σ̂(~x) = λ~x, bzw. in Matrixdarstellung bzgl. einer festen Basis A~x = λ~x oder
(A−λE)~x = 0. Es heißt λ Eigenwert und ~x Eigenvektor der Gleichung. Die Lösungen
werden z.B. über die Determinante gefunden:
a11 − λ
a
.
.
.
a
12
1n a21
a22 − λ . . .
a2n det(A − λE) = ..
..
.. = 0
..
.
.
.
. an1
an2
. . . ann − λ
Die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es n Lösungen (Eigenwerte) λ1 , . . . λn und n dazugehörende
Lösungsvektoren (Eigenvektoren) ~x1 , . . . ~xn . Tritt mehrmals der gleiche Eigenwert
auf, so nennt man diesen Eigenwert m-fach entartet.
Das spezielle Eigenwertproblem (A − λE)~x = 0 mit A = AT besitzt die folgenden
Eigenschaften: (i) alle n Eigenwerte sind reell; (ii) es gibt genau n linear unabhängige
Eigenvektoren; (iii) Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenvektoren gehören, sind
orthogonal; (iv) zu jedem Eigenwert λi der Vielfachheit m existieren genau m linear
(1)
(2)
(m)
unabhängige Eigenvektoren ~xi , ~xi , . . . , ~xi , die sich orthonormieren lassen.
Die Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen in Diagonal- oder Dreiecksform sind
die Elemente der Hauptdiagonalen λi = aii (i = 1, ...n). Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A findet sich eine reelle orthogonale Matrix T , so dass B = T −1 AT in
Diagonalform ist. Die Spalten von T sind die Eigenvektoren ~xi , die Diagonalelemente
sind die Eigenwerte bii = λi (Hauptachsentransformation).,