Dr. habil. Norbert Koksch, TU Dresden Dr. Frank Morherr, Dr

Dr. habil. Norbert Koksch,
Dr. Frank Morherr, Dr. Katharina Fischer
TU Dresden
WS 2017/18
Übungen zu Grundlagen der Mathematik
Blatt 2
Die Lösungen sind schriftlich und (tafel-)vortragsfertig für die
Übungen am 23. und 24.10.2017 vorzubereiten.
Aufgaben:
1. Beweisen Sie Satz 1.3.13 (Mengenkomplement) der Vorlesung: Für alle Mengen M und
M
gelten
{ M
, M \{ M =; , M [{ M = .
mit
2. Quantoren:
a) Zeigen Sie durch Nachrechnen mittels der Gesetzen der Logik die zweite Behauptung am Anfang
von Abschnitt 1.4.4 der Vorlesung:
8x 2 M : P (x) = 9x 2 M : P (x) .
Hinweis: Der Querstrich bezeichnet hier die Negation : . Sie dürfen ohne Beweis verwenden,
dass
8x : P (x) = 9x : P (x) , sowie 8x 2 M : P (x) = 8x : (x 2 M ) ) P (x)
gelten.
b) Formulieren Sie folgende Aussagen mithilfe von Junktoren und Quantoren. Dabei werde die Menge
der reellen Zahlen mit R und die Menge der Primzahlen mit P bezeichnet.
(i) Wenn x eine reelle Zahl ist, die x2 = 1 erfüllt, dann gilt x = 1 oder x = 1.
(ii) Es gibt keine reelle Zahl x, die x2 = 1 erfüllt.
(iii) Wenn eine natürliche Zahl durch 6 oder durch 4 und 9 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2
und 3 teilbar.
(iv) Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größ
ere Primzahl.
(v) Jede Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen besitzt genau ein kleinstes Element.
Negieren Sie nun jede dieser Aussagen.
3. Zeigen Sie durch Anwenden der logischen Regeln (in einer Wahrheitstafel), dass die Formeln
((X ) Y ) ^ X) =) Y sowie (X ) Y ) ^ Y =) X
Tautologien in den Variablen X und Y sind. Welche Abtrennungsregeln folgen hieraus?
4. Wolfgang fühlt sich krank und geht ins Krankenhaus. Dort wird er von einem Professor und einem
Medizinstudenten untersucht, die anschließ
end das folgende Gespräch führen:
Professor: „Der Patient kann nur eine der folgenden Krankheiten haben: Gummikauzwang, Hirnversalzung, Nasophobie, Denkinsu¢ zienz, Riechneurose, Zehsyndrom oder Sitzanomalie.”
Student: „Angenommen es ist Hirnversalzung ...”
Professor: „Dann kann er nicht an Gummikauzwang leiden.”
Student: „Wenn er Gummikauzwang hat, jedoch nicht an Riechneurose leidet ...”
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Professor: „Dann hat er Denkinsu¢ zienz. Und wenn der Patient nicht an Nasophobie leidet, dann
hat er, falls er nicht an Gummikauzwang erkrankt ist, das Zehsyndrom oder Denkinsu¢ zient, oder gar
beides.”
Student: „Wenn er nicht an Sitzanomalie leidet ...”
Professor: „Dann hat er auch keine Denkinsu¢ zienz.”
Student: „Wenn der Patient unter Gummikauzwang leidet ...”
Professor: „Dann hat er entweder eine Sitzanomalie oder Hirnversalzung. Falls er eine Riechneurose
hat, dann hat er entweder Nasophobie oder Gummikauzwang.”
Student: „Wenn das Zehsyndrom vorliegt ...”
Professor: „Dann hat er auch eine Riechneurose. Und falls er an Sitzanomalie erkrankt ist, hat er
auch Nasophobie. Falls er Nasophobie hat, ist zwar eine Riechneurose auszuschließ
en, jedoch liegt
dann Gummikauzwang vor.”
Begründen Sie, dass Wolfgang tatsächlich erkrankt ist und stellen Sie fest, welche Erkrankungen der
Patient hat.
5. In der Schule lernen Sie die Menge der reellen Zahlen R als Zahlengerade kennen. (In der Vorlesung
werden sie später deren mathematische Konstruktion noch kennenlernen.) Für a; b 2 R werden folgende
Arten von Mengen de…niert, die man als Intervalle bezeichnet:
[a; b] := fx 2 R ja x b g
]a; b] := fx 2 R ja < x b g
[a; b[ := fx 2 R ja x < b g
]a; b[ := fx 2 R ja < x < b g
abgeschlossenes Intervall,
links o¤enes, rechts abgeschlossenes Intervall,
links abgeschlossenes, rechts o¤enes Intervall,
o¤enes Intervall,
sowie
] 1; b] := fx 2 R jx b g linke abgeschlossene Halbgerade,
]a; 1[ := fx 2 R ja < x g rechte o¤ene Halbgerade.
Wir betrachten nun die Intervalle A = ] 1; 1[ , B = [0; 2] , C = ] 2; 0] . Bestimmen Sie die Mengen
(A nC ) nB , A n(B [ C) , (A \ C) [ B, A \ B \ C, (B nA ) \ C.
6. Sokrates ist ein Grieche. Untersuchen Sie, aus welchen der folgenden Aussagen geschlossen werden
kann, dass Sokrates ein Philosoph ist (Begründung!).
(a) Alle Griechen sind Philosophen.
(b) Sokrates ist kein Spartaner und Spartaner sind keine Philosophen.
(c) Wenn ein Mensch Philosoph ist, dann ist er Grieche.
(d) Sokrates ist Pythagoräer und wenn ein Grieche kein Philosoph ist, dann ist er kein Pythagoräer.
(e) Sokrates lebt in Athen. Jeder Mensch, der keine Toga trägt ist kein Grieche oder Philosoph und
jeder Togaträger ist kein Athener.
7. Sie würfeln mehrmals hintereinander gleichzeitig mit einem roten und einem blauen Würfel und notieren
sich nach jedem Wurf die Augenzahlen als Paar
(„Augenzahl des roten Würfels”; „Augenzahl des blauen Würfels”) .
Für k 2 N betrachten die Ereignisse
Ek := „Augensumme des Wurfes ist k” .
Geben Sie jedes mögliche Ereignis in Mengenschreibweise mit den zugehörigen Paaren als Elemente
an.
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8. Formel von Sylvester.
Es sei M eine endliche Menge, d.h. eine Menge mit endlich vielen Elementen. Dann haben auch alle
Teilmengen von M endlich viele Elemente (das brauchen Sie hier nicht zu zeigen). Für eine Teilmenge
T von M bezeichnen wir mit jT j die Anzahl der Elemente von T . Zeigen Sie für Teilmengen A; B von
M die Formel von Sylvester
jA [ Bj = jAj + jBj jA \ Bj
( )
und machen Sie sie sich zusätzlich am Venn-Diagramm klar. Hierbei dürfen Sie ohne Beweis verwenden,
dass sich bei disjunkten endlichen Mengen die Elementenanzahlen addieren.
Benutzen Sie ( ) um zu verallgemeinern:
jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj
jA \ Bj
jA \ Cj
jB \ Cj + jA \ B \ Cj .
9. Benutzen Sie ( ), um (zusammen mit Ihrem schulischen Wissen) die folgende Schulbuchaufgabe zu
lösen:
Es sei M die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 250 .
a) Wie viele Zahlen in M haben eine 1 als erste Zi¤er?
b) Wie viele Zahlen in M sind durch 4 teilbar?
c) Wie viele Zahlen in M sind durch 6 teilbar?
d) Wieviele Zahlen in M sind durch 4 und 6 teilbar?
e) Wieviele Zahlen in M sind durch 4 oder 6 teilbar?
Hinweis: Nützlich ist die Gauß
klammer:
bxc := „größ
te ganze Zahl unterhalb oder gleich x” ,
für positive x 2 R , auch als Abrunden bezeichnet.
10. Für positive Zahlen a; b de…niert man das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel von a
und b durch
p
1
2ab
a+b
, G (a; b) := ab , H (a; b) :=
.
=
A (a; b) :=
2
a+b
A a1 ; 1b
Beweisen Sie die Ungleichungen
H (a; b)
G (a; b)
und zeigen Sie, dass Gleichheit nur für a = b eintritt.
3
A (a; b)