Advent, Advent ein Lichtlein brennt

Knobelaufgabe Mathematikwettbewerb SS 2016
Liebe Knobelfreunde!
Hier die beiden Wettbewerbsfragen dieses Wettbewerbs:
1. Welches ist die kleinste natürliche Zahl 𝑛𝑛, für die gilt, dass
• ihr Querprodukt (*) durch 20 teilbar ist und
• das Querprodukt von 𝑛𝑛 + 1 auch durch 20 teilbar ist?
2. Welches ist die kleinste natürliche Zahl 𝑛𝑛, für die gilt, dass
• ihre Quersumme (**) durch 20 teilbar ist und
• die Quersumme von 𝑛𝑛 + 1 auch durch 20 teilbar ist?
Und hier noch eine etwas schwierigere Zusatzfrage:
Welches ist die kleinste natürliche Zahl 𝑛𝑛, für die gilt, dass
• ihre Quersumme durch zwanzig teilbar ist und
• die Quersumme von 𝑛𝑛 + 1 auch durch zwanzig teilbar ist,
Nun dürfen Sie aber das Zahlensystem (***) selbst aussuchen (also z.B. Binärsystem usw.)?
Viel Spaß!
PS: Mein Dank gilt meinem Kollegen Joachim Gaukel, der die Aufgabe sehr schön verfeinert
hat.
(*) Unter dem Querprodukt einer natürlichen Zahl versteht man das Produkt der einzelnen
Ziffern, aus denen die Zahl besteht, so ist beispielsweise das Querprodukt der Zahl 1436 gleich
72, da 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = 72 ist.
(**) Unter der Quersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe der einzelnen
Ziffern, aus denen die Zahl besteht, so ist beispielsweise die Quersumme der Zahl 1436 gleich
14, da 1 + 4 + 3 + 6 = 14 ist.
(***) Zum Begriff Zahlensystem:
Wir sind das 10er-System gewöhnt. Wir lesen die Zahl 1436 als die Summe von
1 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 3 ⋅ 101 + 6 ⋅ 100 = (1436)10
Entsprechend lassen sich andere Zahlensysteme definieren. Im 8er-System beispielsweise
entspricht die als 1436 geschriebene Zahl:
(1436)8 = 1 ⋅ 83 + 4 ⋅ 82 + 3 ⋅ 81 + 6 ⋅ 80 = (798)10
Mit der Zahl „zwanzig“ in der Aufgabe ist natürlich die Zahl (20)10 gemeint.
Lösung
Erste Wettbewerbsfrage:
Die kleinste zweistellige Zahl, deren Querprodukt durch 20 teilbar ist, ist 45. Leider ist das
Querprodukt von 46 aber nicht durch 20 teilbar. So geht es mit allen zweistelligen Zahlen.
Also muss man zu den dreistelligen Zahlen übergehen:
Die kleinste dreistellige Zahl, deren Querprodukt durch 20 teilbar ist, ist 145. Leider ist das
Querprodukt von 146 aber nicht durch 20 teilbar.
Fügt man jedoch an die kleinste zweistellige eine 1 hinten an, so klappt‘s:
451 und 452 erfüllen beide die Bedingung. Somit lautet die Lösung 451.
Übrigens:
Strenggenommen ist 0 auch durch 20 teilbar. Somit habe ich die Lösung 100 auch gelten
lassen.
Zweite Wettbewerbsfrage:
Nur für natürliche Zahlen, die auf 9 enden, gilt der folgende Satz nicht:
Addiert man zu einer natürlich Zahl eine 1, so ist die Quersumme ebenfalls um 1 größer.
Somit benötigen wir zur Konstruktion der gesuchten Zahl einige Neuner am Ende. Insgesamt
so viele, dass das gewünschte Kriterium erfüllt ist.
Sei 𝑞𝑞 = 999 … 99 eine Zahl, die aus 𝑛𝑛 Neunern aufgebaut ist. Dann gilt:
𝑞𝑞 hat die Quersumme 𝑛𝑛 ⋅ 9.
𝑞𝑞 + 1 = 1000 ⋯ 00 hat die Quersumme 1.
Die Quersumme von 𝑞𝑞 + 1 ist also um 8 + (𝑛𝑛 − 1) ⋅ 9 kleiner als von 𝑞𝑞.
Wenn wir 𝑛𝑛 so wählen, dass 8 + (𝑛𝑛 − 1) ⋅ 9 durch 20 teilbar ist, wissen wir, mit wie vielen
Neunern unsere gesuchte Zahl enden muss. Die Rechnung ergibt 𝑛𝑛 = 9. Also endet unsere Zahl
auf 9 Neuner.
Die bisherige Quersumme von 𝑞𝑞 ist also 81. Somit fehlen noch 19, damit die Quersumme von
𝑞𝑞 durch 20 teilbar ist.
Die kleinste Zahl mit Quersumme 19 lautet 199. Diese Zahl endet aber auf 9 und kommt somit
nicht in Frage, da sie das obige Prinzip zerstört.
Die kleinste Zahl mit Quersumme 19, die nicht auf 9 endet, lautet 298.
Die Lösung von Aufgabe 2 ist demnach 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗.
Schwierigere Zusatzfrage:
Vorüberlegungen:
1. Eine größere Basis ist einer größeren Anzahl von Stellen vorzuziehen.
2. Wir benötigen wieder einen Übertrag.
Optimal wäre eine zweistellige Zahl mit Übertrag.
Dazu müsste die Basis größer als 20 sein. Der Übertrag fordert, dass die erste Ziffer die 19 ist.
Die kleinstmögliche zweite Ziffer, bei der die Quersumme durch 20 teilbar ist und ein Übertrag
entsteht, ist 21 bei einer Basis von 22.
Dies ist die Lösung:
(𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝟏𝟏)𝟐𝟐𝟐𝟐 bzw. (𝐉𝐉𝐉𝐉)𝟐𝟐𝟐𝟐