¨Ubungsblatt 13
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FB Physik, FU Berlin Daniel Sebastiani Übungsblatt 13 Ausgabe: Montag, 30.01.2012 Computerphysik WS 2011/2012 Abgabe: Sonntag, 12.02.2012 13.1 Grundzustand des quantenmechanischen Harmonischen Oszillators: Numerische (13.pdf, 13.c, 5 Punkte) Diagonalisierung mittels Potenzmethode Betrachten Sie ein quantenmechanisches Teilchen in einer Dimension. Das Teilchen befinde sich in einem harmonischen Potential, d.h. V(x) = 12 mω 2 x2 . Nehmen Sie im Folgenden der Einfachheit halber ~ = 1 sowie m = 1 an. Seine Energie im Grundzustand ist durch den kleinsten Eigenwert 0 der Schrödingergleichung 1 d2 + V(x) (1) 2 dx2 gegeben. Die Potenzmethode liefert den Eigenwert und -zustand mit dem größten Betrag und ist daher nicht geeignet, die Grundzustandsenergie dieses Problems direkt zu bestimmen. Stattdessen soll die Grundzustandsenergie des Teilchens aus dem Spektrum des Operators Ω̂ = exp −β Ĥ bestimmt werden. Hierbei ist β ein freier Parameter und soll zunächst als β = 10 gewählt werden. Ĥ |Φn i = n |Φn i , mit Ĥ = − 1. Wie hängen die Spektren von Ĥ und Ω̂ zusammen (und insbesondere die Reihenfolge der Eigenwerte)? Sind die Spektren nach unten und/oder nach oben beschränkt? (1P) 2 d 2. Um Gleichung (1) numerisch zu lösen, ist eine Matrixdarstellung des Laplace-Operators dx 2 in der Ortsbasis (d.h. für äquidistante Ortspunkte xi mit Abstand h) nötig. Bestimmen Sie d2 mit Hilfe von Differenzenquotienten einen geschlossenen Ausdruck für dx 2 (Hinweis: DreiPunkt-Formel). (1P) 3. Programmieren Sie die Matrixdarstellung von Ĥ in einer Ortsbasis. Wählen Sie das Intervall [-10,10] mit 201 äquidistanten Ortspunkten. Die Drei-Punkt-Formel kann an den Grenzen dieses Intervalls nicht angewendet werden; setzen Sie daher der Einfachheit halber die entsprechenden Matrixelemente auf Null. (1P) 4. Implementieren Sie nun auch die (explizite) Matrixdarstellung von Ω̂. Nutzen Sie hierfür N β die Darstellung Ω̂ = exp −β Ĥ = lim 1 − Ĥ mit N = 2n ; wählen Sie zunächst N →∞ N n = 12. Hierbei sollen nicht mehr als n Matrix-Matrix-Multiplikationen durchgeführt werden (insbesondere nicht 4096 Multiplikationen). (1P) 5. Führen Sie die Potenzmethode zur Berechnung des größten von Ω̂ mit m = 500 Eigenwertes E (0) Iterationen durch. Initialisieren Sie den Ausgangsvektor Φ̃ mit beliebigen Zahlen (z.B. gleichverteilten Zufallszahlen ∈ [0, 1]) und vergessen Sie die Normierung nicht. Schreiben Sie während jedes Iterationsschrittes ` den Schätzwert für den Eigenwert von Ω̂ (ρ(t) aus der Vorlesung) heraus und bestimmen Sie gleichfalls den entsprechenden Schätzwert für den kleinsten Eigenwert von Ĥ. Vergleichen Sie mit dem analytischen Ergebnis. (1P) 6. Bonus: Plotten Sie die Wellenfunktion Φ̃(500) (x) des erhaltenen Grundzustands. (1 BonusP) 7. Bonus: Listen Sie alle Approximationen und numerischen Näherungen auf (Sie sollten auf etwa 5 Stück kommen). Ist die Wahl des Parameters β eine Näherung (vgl. Teilaufgabe 1)? Variieren Sie β sowie die Parameter für 4 der 5 Näherungen in Ihrem Programm (jeweils immer nur einen Parameter!) und vergleichen Sie die Genauigkeit der erhaltenen Grundzustandsenergie. Diskutieren Sie, welche Näherungen in diesem Beispiel die Genauigkeit von 0 stärker und schwächer beeinflussen. (2 BonusP) 8. Bonus: Ändern Sie nun die physikalische Situation, indem Sie ω = 0.1 wählen. Was ändert sich für die Betrachtungen zur numerischen Genauigkeit? Warum? (1 BonusP)
