Übungsblatt 3 (Strukturen in Mengen)

Höhere Mathematik I KI
Master Übung 3
Prof. Dr. B.Grabowski
E-Post: [email protected]
Aufgabe 1
Zeigen Sie : Für jede endliche Menge A gilt für die Anzahl der Elemente der Potenzmenge
P(A) von A: |P(A)|=2|A|
(Hinweis: Vollständige Induktion über |A|)
Aufgabe 2
m

Sei Q =  | m  Z  n  N  die Menge aller Brüche. Zeigen Sie: Q ist abzählbar
n

(unendlich)!
Aufgabe 3
Für die Cardinalzahl (=Anzahl der Elemente) der Vereinigung von Mengen gilt:
| A  B || A |  | B |  | A  B |
a) Zeigen Sie:
| A  B  C || A |  | B |  | C |  | A  B |  | A  C |  | B  C |  | A  B  C |
b) Leiten Sie eine entsprechende Formel für die Anzahl der Elemente der Vereinigung von
4 Mengen her!
Aufgabe 4
Ein System von Mengen A1 ,..., An mit Ai   für i=1,...,n heißt Vollständiges Mengensystem
in  falls gilt:
n
1) Ai   und 2) Ai  A j   für ij.
i 1
Sei  = {1,2,3,4,5,6}. Geben Sie mindestens 3 Vollständige Mengensysteme in  an!
Aufgabe 5
Zeigen Sie, dass die Mengen A1= A B, A2= A  B , A3= B\A, A4= A\B, mit AM und
BM ein vollständiges System von Mengen bzgl. der Obermenge M bilden!
Aufgabe 6
Sei A eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Potenzmenge von A eine σ-Algebra über A
ist!
Aufgabe 7
Welches System von Mengen bildet keine -Algebra über ={1,2,3,4}? (Begründung)
a)
1,2, 3,4, , 
b) 1}, {2, 3}, {4, ,  c) 1,2,3, {4}, 
Aufgabe 8
Sei M ={x N|1  x  10}. Geben Sie 3 verschiedene Sigma-Algebren über M an!
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Aufgabe 9
Eine -Algebra ist abgeschlossen bzgl. der Vereinigung und des Komplementes von Mengen.
Zeigen Sie, dass sie dann auch abgeschlossen bzgl. des Durchschnittes ist! D.h., zeigen Sie
dass für jede -Algebra A gilt:
a) A A und B A  AB A
b) A1 , A2 ,....  A


A
i
A
i 1
Aufgabe 10
Die Menge  der sogenannten Borelmengen ist wie folgt definiert:
1)  enthält alle halboffenen Intervalle (-, x], xR,
2)   und (- , )
3) A  A 
4) A1 ,..., An   
5) A1 ,..., A   
n
 A 
i
i 1

 A 
i
i 1
Offensichtlich ist wegen 2.-4.  eine σ-Algebra über der Menge R der reellen Zahlen , und
zwar diejenige, die alle halboffenen Intervalle (-, x], xR, enthält.
Bemerkung: Die Mengen, die in  enthalten sind, nennt man Borelmengen und 
wird als -Algebra der Borelmengen bezeichnet.
Nun zur Aufgabe:
Zeigen Sie, dass aus den o.g. Eigenschaften 1)-5) folgt, dass  nicht nur die halboffenen
Intervalle (-, x], sondern ebenfalls alle offenen, geschlossenen und halboffenen reellen
Intervalle der Form:
(a,b), [a,b), (a,b], [a,b], (-,b), (-,b], (a,), [a,), (-, ) mit a  b
enthält.
(Hinweis: Zeigen Sie, dass sich die betreffenden Intervalle mit den o.g. Regeln 1-5 aus den
halboffenen Intervallen (-,x] erzeugen lassen!)
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