Informationsökonomik und die Theorie der Firma

Vorlesung
Informationsökonomik und die Theorie der Firma
Ulrich Schwalbe
Universität Hohenheim
5. Vorlesung 28.11.2007
Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim)
Informationsökonomik
5. Vorlesung 28.11.2007
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3.3 Eigenschaften eines optimalen PA–Vertrages
In einem optimalen Vertrag ist die TB immer bindend, wenn die
Nutzenfunktion des A separabel in Löhnen und Leistung ist.
Die AB ist immer bindend.
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Der Lohn nimmt im Ergebnis zu, wenn die MLRP erfüllt ist.
Wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg oder Fehlschlag)
gibt, dann ist der Lohn zunehmend im Ergebnis. In diesem Fall
kann auch gezeigt werden, dass ein optimaler Vertrag linear ist,
d.h. aus einem Basislohn und einem Bonus für das gute
Ergebnisse besteht.
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Anreize für Manager
Firma mit beschränkter Haftung
Wettbewerbsmarkt (vollk. Konkurrenz)
Aktionäre (Principals): risikoneutral, streben Gewinnmaximierung
an. Nutzenfunktion:
B(x, w) = px − cx − w,
x ∈ [0, x̄] := verkaufte Menge.
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Manager (Agent): risikoavers, wählt Anstrengung e.
Nutzenfunktion:
u(w, e) = u(w) − v (e),
u ′ > 0, u ′′ < 0, v ′ > 0, v ′′ > 0, v (0) = v ′ (0) = 0.
Aktionäre (Principals) können die verkaufte Menge x beobachten.
f (x, e) := prob(x|e).
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Fall (i) Symmetrische Information, Leistung e des Managers ist
beobachtbar und verifizierbar. Da der Manager risikoavers ist, ist ein
Fixgehalt optimal. Das Optimierungsproblem ist
Z
max [px − cx − w]f (x, e)dx
w
s.t.
x
Z
u(w)f (x, e)dx − v (e) ≥ Ū,
x
wobei die Nebenbedingung die Teilnahmebedingung darstellt.
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Die Lagrangefunktion lautet
Z
L = [px − cx − w]f (x, e)dx
x
+λ
Z
u(w)f (x, e)dx − v (e) − Ū .
x
Die Bedingung erster Ordnung bezüglich w ist
−f (x, e) + λu ′ f (x, e) = 0.
Daraus folgt
λ=
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1
.
u′
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λ=
1
.
u′
Demnach ist u ′ konstant gleich 1/λ, so dass der Lohn ebenfalls
konstant sein muss. Wie hoch ist der optimale Lohn?
Da die TB bindend ist, gilt:
u(w) = Ū + v (e)
⇒
w = u −1 (Ū + v (e))
für alle x, wobei u −1 die Inverse der Nutzenfunktion bezeichnet.
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Fall (ii) Asymmetrische Information, die Leistung e des Managers ist
nicht beobachtbar. Der Vertrag muss eine
Anreizkompatibilitätsbedingung enthalten. Da die Leistung eine stetige
Variable ist, bietet sich der First–Order Ansatz an.
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Der Manager maximiert
max
e
Z
u(w(x))f (x, e)dx − v (e).
x
Die Bedingung erster Ordnung bzgl. e ist
Z
u(w(x))fe′ dx − v ′ (e) = 0.
x
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Diese Bedingung tritt als Nebenbedingung im Maximierungsproblem
der Aktionäre auf:
Z
L = [px − cx − w(x)]f (x, e)dx
x
+λ
Z
u(w(x))f (x, e)dx − v (e) − Ū
x
+µ
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Z
x
u(w(x))fe′ dx − v ′ (e) .
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Bedingung erster Ordnung bezüglich w:
−f + λu ′ f + µu ′ fe′ = 0.
Daraus folgt
f = λu ′ f + µu ′ fe′ .
Division durch f und u ′ ergibt
1
fe′
=
λ
+
µ
.
u′
f
Der Term f′e /f ist die Likelihood Ratio (LR).
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Ausgeschrieben lautet die LR
LR =
fe′ (x, e)
.
f (x, e)
Falls die LR im Ergebnis x zunimmt, sind bessere Ergebnisse
(höhererer Wert von x) ein Indiz für grössere Leistung (höhere Werte
von e).
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1
f′
= λ + µ e.
′
u
f
Es gilt:
Eine grössere LR impliziert höheren Wert der rechten Seite und
somit auch der linken Seite.
D. h. 1/u ′ ist umso grösser, je höher die LR.
u ′ ist umso kleiner, je höher die LR.
Der Lohn ist umso höher, je höher die LR.
Ergebnis: Lohn nimmt im Ergebnis x zu: ∂w/∂x > 0.
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Kreditrationierung bei Moral Hazard
Kreditrationierung bedeutet, dass jemand nicht den gewünschten
Betrag als Kredit erhält, obwohl er bereit ist, den entsprechenden
Zinssatz zu zahlen.
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Das Modell
Firma kann zwischen zwei Projekten a und b wählen.
Beide Projekte erfordern eine Investition I.
Das Ergebnis des Projektes i wird durch X̄i bezeichnet und ist
beschrieben durch
Xi mit Wahrscheinlichkeit pi
X̄i =
0
mit Wahrscheinlichkeit 1 − pi
Die erwarteten Gewinne sind also
X̄a = pa Xa ,
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X̄b = pb Xb .
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Annahmen
Projekt a ist weniger riskant als Projekt b: pa > pb .
a hat einen höheren Erwartungswert als b:
pa Xa > pb Xb .
b erzielt im Erfolgsfall einen höheren Gewinn:
Xb > Xa .
Die Firma (Agent) muss den Betrag I von einer monopolistischen
Bank leihen und einen Bruttobetrag R zurückzahlen – dies wird
nur dann passieren, wenn das Projekt erfolgreich war. Die Bank
legt R fest.
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Die Firma (Agent) wählt ein Projekt i ∈ {a, b}. Die erwartete
Auszahlung für die Firma aus dem Projekt i ist
U(R, i) = pi (Xi − R)
Die monopolistische Bank (Principal) wählt einen Betrag R. Die
erwartete Auszahlung für die Bank ist
Π(R, i) = pi R − I
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Im Fall vollständiger Information impliziert ein optimaler Vertrag für die
Bank, dass nur das Projekt a durchgeführt wird, da
π(R, a) = pa R − I > pb R − I = π(R, b).
Der optimale Rückzahlungsbetrag (aus Sicht der Bank) wäre R = Xa .
Die erwartete Auszahlung der Firma wäre
U(Xa , a) = pa (Xa − Xa ) = 0.
Jede Firma wäre indifferent zwischen Kreditaufnahme und keiner K.,
und es gäbe keine Kreditrationierung.
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Asymmetrische Information
Die Bank kann das von der Firma gewählte Projekt nicht beobachten.
Konstruktion der Anreizbedingung: Bei der Wahl von R muss die Bank
antizipieren, welche Auswirkungen R auf das Verhalten einer Firma
hat. Für gegebenen Rückzahlungsbetrag R maximiert die Firme ihre
erwartete Auszahlung.
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Die Firma wählt Projekt a, falls
pa (Xa − R) ≥ pb (Xb − R)
⇒
pa Xa − pb Xb ≥ (pa − pb )R
⇒
pa Xa − pb Xb
≥ R.
pa − p b
Definiere
R̂ =
pa Xa − pb Xb
.
pa − p b
Die Firma wählt Projekt a, falls R ≤ R̂, und b sonst.
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Der Profit der Bank ist
Π∗ (R) =
(
pa R − I
pb R − I
für R ≤ R̂
für R > R̂
Der Betrag R darf nicht grösser sein als Xb , sonst würde keine Firma
einen Kredit aufnhemen (TB).
Das höchste R, das die Bank setzen kann, so dass die Firma a wählt,
ist R̂. Das höchste R, das die Bank sezten kann, so dass die Firma b
wählt, ist Xb .
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Monopolistische Bank wählt den Betrag R, der ihren Gewinn
maximiert: R̂ oder Xb . Sie setzt
R = Xb
falls pa R̂ < pb Xb .
R = R̂
falls pa R̂ > pb Xb ,
Es gibt n Firmen. Bank kann insgesamt Betrag L < nI verleihen.
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Fall a) pa R̂ ≤ pb Xb . Die Bank setzt R = Xb . Der erwartete Gewinn
einer Firma ist
U(Xb , b) = pb (Xb − Xb ) = 0.
Alle Firmen sind indifferent zwischen Kredit oder keinem Kredit, und es
gibt keine Kreditrationierung.
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Fall b) pa R̂ ≥ pb Xb . Die Bank setzt R = R̂. Die erwartete Auszahlung
einer Firma ist
U(R̂, a) = pa (Xa − R̂) > 0,
da Xa > R̂:
R̂ =
pa Xa − pb Xb
< Xa ,
pa − p b
da
pa Xa − pb Xb < (pa − pb )Xa ,
denn lt. Annahme ist Xb > Xa .
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Da der erwartete Gewinn positiv ist, wollen alle Firmen einen Kredit.
Aber: L < nI. Nicht alle Firmen bekommen Kredit, obwohl sie bereit
sind, den Zins zu zahlen.
Zins:
R̂ − I
.
R̂ = I + Ir ⇒ r =
I
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Vergleich mit symmetrischer Information
Bei symmetrischer Information gilt R = Xa . Der Zinssatz ist
r̃ =
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Xa − I
.
I
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Zwei Schlussfolgerungen
1
Im Fall asymmetrischer Information unterscheidet sich der
Zinssatz vom Fall symmetrischer Information.
Fall a): R = Xb > Xa ⇒ r > r̃ .
Fall b): R̂ < Xa ⇒ r < r̃ .
2
Im Fall b) gibt es Firmen, die bereit wären, einen höheren Zins zu
zahlen, um einen Kredit zu bekommen. Trotzdem erhöht die Bank
den Zinssatz nicht! (R̂ ist Lösung des Optimierungsproblems.)
Hier ist die Annahme wichtig, dass es sich um eine
monopolistische Bank handelt, da bei vollkommener Konkurrenz
sich die Banken gegenseitig mit Zinsen unterbieten würden.
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