A ¨Aquivalenzrelationen

Repetitorium zur Analysis I, Winter 2002
A
1
Äquivalenzrelationen
Definition 1. Eine Familie von Mengen (Ai )i∈I heißt Partition einer Menge X, wenn X =
und Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j.
S
i∈I
Ai
Definition 2. Sei X eine nichtleere Menge und R ⊆ X × X. Dann heißt R Relation auf X. Für
x, y ∈ X sagt man: x steht in Relation zu y, wenn (x, y) ∈ R. Formal:
x ∼ y :⇔ (x, y) ∈ R.
Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
(A1) x ∼ x ∀x ∈ X
Reflexivität
(A2) x ∼ y ⇒ y ∼ x
Symmetrie
(A3) x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z
Transitivität
Zwei Elemente x, y mit x ∼ y bezüglich einer Äquivalenzrelation heißen äquivalent. Man bildet
jetzt die Menge aller zu einem Element x äquivalenten Elemente, die sogenannte Äquivalenzklasse
von x:
[x] := {y ∈ X | y ∼ x}
Man kann sich eine Äquivalenzrelation gut vorstellen, wenn man als X alle Hörer einer bestimmten Vorlesung wählt und zwei Hörer als äquivalent bezeichnet, wenn sie in derselben Übungsgruppe
sind. Tatsächlich definiert dies eine Äquivalenzrelation auf X:
(A1) Jeder Hörer ist mit sich selbst in derselben Übungsgruppe.
(A2) Wenn ein Hörer x mit y in einer Übungsgruppe ist, dann auch y mit x.
(A3) Wenn x mit y und y mit z in einer Übungsgruppe ist, dann auch x mit z.
Die von x gebildete Äquivalenzklasse ist jetzt die Menge aller Hörer, die mit x in derselben Übungsgruppe gelandet sind. Es ist in diesem Beispiel klar, daß zwei Äquivalenzklassen [x], [y] entweder
disjunkt oder gleich sind. Gibt es nämlich ein z ∈ [x]∩[y], dh. einen Hörer, der in der Übungsgruppe
von x und jener von y ist, dann fallen die Übungsgruppen zusammen, dh. [x] = [y]. Dies gilt auch
allgemein für eine beliebige Äquivalenzrelation:
S
Proposition 1. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Dann gilt: X = x∈X [x] und wenn [x]∩[y] 6=
∅, dann [x] = [y] für beliebige x, y ∈ X.
S
S
Beweis. Jedes x ∈ X liegt wegen (A1) in [x] und daher auch in x∈X [x], dh. X ⊆ x∈X [x].
S
Umgekehrt liegt natürlich jede Äquivalenzklasse [x] in X. Insgesamt gilt daher X = x∈X [x].
Seien jetzt x, y ∈ X beliebig und [x] ∩ [y] 6= ∅. Es gibt daher ein u mit u ∈ [x] und u ∈ [y], dh.
u ∼ x und u ∼ y. Wegen (A2) gilt mit u ∼ x auch x ∼ u und mit u ∼ y wegen (A3) x ∼ y. Wir
wollen zeigen, daß [x] = [y]. Sei dazu z ∈ [x], dh. z ∼ x. Mit x ∼ y folgt somit aus (A3) z ∼ y, dh.
z ∈ [y], insgesamt also [x] ⊆ [y]. Die umgekehrte Inklusion zeigt man genauso.
Die Äquivalenzklassen jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge X bilden also eine Partition von
X. Man kann jetzt auch, ausgehend von einer Partition von X, eine zugehörige Äquivalenzrelation
definieren. Genauer:
Proposition 2. Sei (Ai )i∈I eine Partition einer nichtleeren Menge X. Bezeichnet man zwei Elemente x, y ∈ X als äquivalent, wenn sie beide in Ai liegen für ein i ∈ I, dann definiert dies eine
Äquivalenzrelation auf X, deren Äquivalenzklassen gerade die Ai , i ∈ I, sind.
Beweis. Obige Relation ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation:
B
DER ZAHLENKÖRPER R
(A1) x ∈ Ai für ein i ∈ I, da X =
2
S
i∈I
Ai , und somit x ∼ x.
(A2) Klar.
(A3) x ∼ y, y ∼ z ⇔ x, y ∈ Ai , y, z ∈ Aj . Wir müssen zeigen, daß x ∼ z, also j = i. Es ist
aber y ∈ Ai ∩ Aj . Weil die Ai , i ∈ I, X partitionieren, gilt i = j, da der Schnitt ja
sonst leer wäre.
Eine Äquivalenzklasse [x] besteht aus allen Elementen von X, die mit x in einem Ai liegen,
kurz: [x] = Ai für ein i ∈ I. Umgekehrt ist jedes Ai eine Äquivalenzklasse, da Ai = [x] für jedes
x ∈ Ai .
Äquivalenzrelationen dienen also nach dem vorigen Satz gerade dazu, Mengen nach gewissen
Eigenschaften (z. B. Hörer in derselben Übungsgruppe) zu partitionieren. Dies wollen wir im folgenden Abschnitt anwenden, um aus den rationalen Zahlen die reellen Zahlen zu konstruieren.
B
Der Zahlenkörper R
In der Vorlesung zur Analysis I sind wir davon ausgegangen, daß wir bereits wüßten, was die
reellen Zahlen sind, und haben von da an ihre Eigenschaften verwendet, um Begriffe wie reelle
Funktionen, Limes, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, etc. zu definieren. Das zeigt sehr gut, daß
es eigentlich gar nicht so sehr darauf ankommt, was die reellen Zahlen sind, sondern vielmehr, welche
Eigenschaften sie denn eigentlich besitzen. Diese Eigenschaften faßt man axiomatisch zusammen
und spricht dann von einem vollständig angeordneten Zahlenkörper.
Hier soll gezeigt werden, daß man, ausgehend von den rationalen Zahlen Q, die Menge der reellen
Zahlen R konstruieren kann, die dann folgende Axiome erfüllen, dh. ein vollständig angeordneter
Zahlenkörper sind:
Versetzen wir uns also zunächst in Q:
Definition 1. Eine rationale Folge ist eine Abbildung r : N → Q, dh. jeder natürlichen Zahl wird
eine rationale Zahl zugeordnet. Statt r(n) für n ∈ N schreibt man auch rn , anstelle der Abbildung
schreibt man (rn )n∈N .
Definition 2. Eine rationale Folge (rn )n∈N heißt Cauchyfolge oder Fundamentalfolge, wenn gilt:
∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃N (ε) ∀n, m ≥ N (ε) |rn − rm | < ε.
Beachte, daß in obiger Definition die ε > 0 aus Q vorgegeben sind, da wir ja R noch nicht
kennen. Um dies hervorzuheben, schreiben wir statt ε auch εQ .
Definition 3. Eine rationale Folge (rn )n∈N heißt rational konvergent, wenn es ein r ∈ Q gibt mit
folgender Eigenschaft: ∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃N (ε) ∀n ≥ N (ε) |r − rn | < ε.
Lemma 1. Der Grenzwert einer rationalen Folge, so er existiert, ist eindeutig.
Beweis. Es gelte r = limn→∞ rn und s = limn→∞ rn , dann folgt: |r − s| = |r