Hausaufgabe A

Elementare Topologie
Astronomisches Sommerlager 2015
Wir verwenden folgende Zeichen als Abkürzungen für Ausdrücke der gewöhnlichen
Spache: ∀ heiße »für alle«, ∃ heiße »es existiert«, φ ⇒ ψ heiße »aus φ folgt ψ«, ⇐
heiße »aus ψ folgt φ«, φ ⇔ ψ heiße »Aus φ folgt ψ und aus ψ folgt φ«. Für Definitionen
verwenden wir := bzw. :⇔. Als weitere Verabredung wollen wir Zeichen durchstreichen,
wenn wir die Verneinung meinen (z.B. ∈)
/ und »Umdrehungen« zulassen, also A ⊃ B
heißt B ⊂ A, A 3 B heißt B ∈ A usw.
Zuweilen benötigen wir in Beweisen die Äquivalenz verschiedener Aussagen: Dazu
dürften folgende zwei Bemerkungen für die meisten Fälle ausreichend sein.
(1) Für aussagenlogische Formeln, d.h. Formeln, die an logischen Symbolen aus ⇒,
und, oder, aber nicht aus ∀, ∃ gilt: Gewisse Formeln sind äquivalent. Um dies zu
zeigen, sind Wahrheitstafeln zweckmäßig. Häufig auftauchende Äquivalenzen sind
»nicht (φ und ψ)« ≡ »(nicht φ) oder (nicht ψ)«, »nicht (φ oder ψ)« ≡ »(nicht φ)
und (nicht ψ)«, »ψ ⇒ φ« ≡ »(nicht φ) ⇒ (nicht ψ) «.
(2) Aussagen, in denen die Quantoren ∀, ∃ auftauchen, sind oft so geordnet, dass sie
mit einer Folge von Quantoren beginnen und darauf eine aussagenlogische Aussage
folgt. Man negiert eine solche Aussage mit Quantoren, indem man in der Folge der
Quantoren jeweils ∀ und ∃ tauscht und man Schluss die aussagenlogische Aussage
verneint. Beispiel: Konvergenz.
1 Mengenlehre
Die Mengenlehre lässt sich in verschiedenen logischen Systemen aufbauen. Hier soll ein
Zugang vorgestellt werden, der von der natürlichen Sprache ausgeht.
Begriffe Grundlegend für den Begriff des Begriffes ist folgende Vorstellung vom Aufbau
der Sprache. In der zu betrachtenden Sprache, also in unserem Fall dem Deutschen, gibt
ein Alphabet, also a,A,b,B,…. Interessante Ausdrücke der Sprache entstehen als Zeichketten des Alphabetes, also als Aneinanderreihung von Buchstaben. Von allen möglichen
Zeichenketten sind manche von besonderem Interesse; welche dies sind entscheidet die
Gemeinschaft der Sprecher der Sprache. Gewisse Zeichketten bezeichnen wir als Sätze,
wie z.B. »Karl ist ein Mensch.« oder »Der Baum in meinem Garten ist ein Apfelbaum«.
Sätze sind entweder wahr oder falsch. Andere Zeichenketten bezeichnen wir als Namen,
wie z.B. »Karl« oder »Der Baum in meinem Garten«; Namen sind Stellvertreter für Gegenstände. Es kann passieren, dass mehrere Namen denselben Gegenstand bezeichnen.
1
Ein Begriff B ist nun ein Satz mit einer Lücke, in die Gegenstände eingesetzt werden können. Solch eine Lücke schreiben wir mit runden Klammern. Es wäre also z.B. ein Begriff
»() ist ein Mensch.« oder »() in ein Apfelbaum.«. Setzen wir in die Lücke einen Gegenstand ein, so wird der Satz entweder wahr oder falsch. Erhalten wir durch Einsetzen des
Gegenstandes G in den Begriff B den Wert wahr, sagen wir auch: G fällt unter B. Man
kann sich einen Begriff also auch vorstellen als eine Funktion von allen Gegenständen
auf die Werte wahr und falsch.
Umfänge von Begriffen Zu jedem Begriff B gibt einen Gegenstand, dessen Umfang.
Der Umfang ist die Gesamtheit aller Gegenstände, die unter den Begriff fallen. Zu einem
Begriff gehört genau ein Umfang und zwei Umfänge sind genau dann gleich, wenn ihre
Begriffe gleich sind. Ein Gegenstand M ist eine Menge, falls ein Begriff BM existiert,
dessen Umfang M ist. Wir schreiben x ∈ M für einen Gegenstand x und eine Menge
M , falls x unter BM fällt. Wir schreiben {x | φ(x)} für den Umfang des Begriffes »φ()«.
Tauscht man in einer Menge φ durch eine äquivalente Formel ψ aus, erhält man dieselbe
Menge.
Mengenlehre Es folgen einige Abkürzungen:
{x ∈ M | φ(x)} := {x | x ∈ M und φ(x)},
A ⊂ B :⇔ ∀a a ∈ A ⇒ a ∈ B,
P(A) = {y | y ⊂ A},
A ⊃ B :⇔ ∀b b ∈ B ⇒ b ∈ A,
A = B :⇔ A ⊂ B und A ⊃ B,
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B},
∅ = {x | x 6= x}
A\B := {x ∈ A | x ∈
/ B}
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}.
Übung: A ∈ P(A), ∅ ∈ P(A), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩
(A ∪ B) = A , A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C), A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C).
Satz Außerdem ist für A ⊂ X, A, X Mengen X\(X\A) = A.
Beweis Durch Teilmengenrelationen
⊂ Sei x ∈ X\(X\A), daraus folgt x ∈ X und x ∈
/ X\A, also nicht (x ∈ X und
x∈
/ A). Dies ist äquivalent zu x ∈
/ X oder nicht(x ∈
/ A). Ersteres ist aber auf jeden
Fall falsch, also x ∈ A.
⊃ Sei x ∈ A. Dann auch x ∈ X ⊃ A. Weiter zu zeigen: x ∈
/ (X\A), also nicht (x ∈ X
und x ∈
/ A); ≡ x ∈
/ X oder x ∈ A. Zweiteres ist immer wahr.
2
Man definiert außerdem Schnitte und Vereinigungen von Mengen von Mengen. Sei
dazu X Menge, A ⊂ P(X ) eine Menge von Mengen. Dann definieren wir
[
A := {x ∈ X | ∃A ∈ A x ∈ A}
\
A := {x ∈ X | ∀A ∈ A x ∈ A}
Übung: Seien A1 ⊂ X, A2 ⊂ X, dann ist A1 ∩A2 = {A1 , A2 } und A1 ∪A2 = {A1 , A2 }.
Die De-Morgan-Regel gelten hier ebenfalls, d.h.
T
Satz Seien X Menge, A ⊂ X, B ⊂ P(X). Dann ist A\
B C = A\B}. Schreibe auch C = A\B.
S
S
B=
T
C mit C = {C | ∃B ∈
Beweis Durch Teilmengenrelationen:
⊂ Sei x ∈ A\ B. Dann ist also x ∈ A, x ∈
/ B, d.h. »nicht (∃B ∈ B x ∈ B)«,
T
äquivalent zu »∀B ∈ B x ∈
/ B«. Außerdem ist x ∈ C äquivalent zu ∀C ∈ C x ∈
C. Offenbar gilt: ∀C ∈ C ∃B ∈ B C = A\B. Sei nun C ∈ C beliebig. Finde dann
ein B ∈ B, sodass A\B = C. Es ist nun x ∈ A und auch x ∈
/ B, denn letzteres gilt
∀B ∈ B, also auch x ∈ A\B = C.
S
S
⊃ Sei x ∈ C, also ∀C ∈ C x ∈ C. Wir wollen zeigen, dass x ∈ A, x ∈
/ B, d.h.
T
»nicht (∃B ∈ B x ∈ B)« ≡ »∀B ∈ B x ∈
/ B«. Sei also B ∈ B beliebig. Da x ∈ C,
also ∀C ∈ C x ∈ C, gilt dies insbesondere auch für C = A\B, also x ∈ A\B, also
x ∈ A, x ∈
/ B wie gewünscht.
T
S
Satz Seien X Menge, A ⊂ X, B ⊂ P(X). Dann ist A\ B = C mit C wie eben.
Mengen sind ungeordnet. Oft will man geordnete Paare von Gegenständen verwenden.
Diese können verschieden mithilfe der Mengenlehre eingeführt werden, z.B. so
T
S
(x, y) := {{x}, {x, y}}
Satz (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 und y1 = y2 .
Beweis ⇐ ist klar, ⇒: Wir zeigen: nicht (x1 = x2 und y1 = y2 ) ⇒ (x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 ).
Aus »nicht (x1 = x2 und y1 = y2 )« ergibt sich x1 6= x2 oder y1 6= y2 .
(1) x1 6= x2 . Dann ist {x1 } ∈ (x1 , y1 ) = {{x1 }, {x1 , y1 }}, aber {x1 } ∈
/ {{x2 }, {x2 , y2 }},
denn {x1 } 6= {x2 } und {x1 } 6= {x2 , y2 }.
3
(2) x1 = x2 und y1 6= y2 Übung
Mithilfe dieser Definition kann man nun das kartesische Produkte einführen. Seien
A, B Mengen, dann definieren wir
A × B := {(a, b) | a ∈ A und b ∈ B}.
Funktionen Seien A, B Mengen. Eine Funktion f : A → B ist eine Teilmenge von
A × B, die folgendes erfüllt:
(1) ∀a ∈ A ∃b ∈ B (a, b) ∈ f .
(2) ∀a ∈ A, b, c ∈ B (a, b) ∈ f und (a, c) ∈ f , daraus folgt b = c.
Man schreibt oft statt (a, b) ∈ f f (a) = b, oder auch a 7→ b. Eine Funktion, bei der die
Menge A die natürlichen Zahlen sind, heißt Folge. Man notiert eine solche oft als (xi )i∈N
(∀i ∈ I f (i) = xi ), oder (x0 , x1 , x2 , . . . ).
Übung: Sei A = {1, 2, 3}, B = {1}. Gib alle möglichen Funktionen f : A → B an. Sei
A = {1, 2} = B; gib auch hier alle möglichen Funktionen f : A → B an.
Für A, B Mengen, f : A → B Funktion und D ⊂ B definiert man die Urbildmenge
von D als:
f −1 (D) := {a ∈ A | f (a) ∈ D}.
Satz Seien D, E ⊂ B. Dann gilt
f −1 (D ∩ E) = f −1 (D) ∩ f −1 (E)
Beweis Es gilt
f −1 (D ∩ E) = {a ∈ A | f (a) ∈ D ∩ E} = {a ∈ A | f (a) ∈ D und f (a) ∈ E}
= {a | a ∈ A und f (a) ∈ D und f (a) ∈ E}
= {a | (a ∈ A und f (a) ∈ D) und (a ∈ A und f (a) ∈ E)}
= {a | a ∈ A und f (a) ∈ D} ∩ {a | a ∈ A und f (a) ∈ E}
= f −1 (D) ∩ f −1 (E)
Übung: Seien D, E ⊂ B. Dann gilt
f −1 (D ∪ E) = f −1 (D) ∪ f −1 (E).
4
2 Topologische Räume
Definition Sei X eine Menge. Eine Teilmenge der Potenzmenge O ⊂ P(X) heißt
Topologie auf X, falls gilt
(T1) ∅ ∈ O und X ∈ O.
(T2) ∀W ⊂ O
S
W ∈ O.
(T3) ∀n ∈ N ∀W1 , W2 , . . . , Wn ∈ O ist auch {Wi | i ∈ {1, 2, . . . , n}} ∈ O.
T
Das Tupel (X, O) heißt topologischer Raum, alle Y ⊂ X mit Y ∈ O heißen offene
Mengen. Alle Y ⊂ X mit X\Y ∈ O heißen abgeschlossen.
Übung: Die Mengen ∅, X sind abgeschlossen.
Beispiele für Topologien:
(1) O = {∅, X}, die indiskrete Topologie auf X.
(2) O = P(X), die diskrete Topologie auf X.
(3) Die Cofinite Topologie: Sei X = N. Dann ist folgendes eine Topologie O =
{O | O ⊂ N und N\O endlich} ∪ {∅}.
(4) Sei X = {1, 2}. Dann sind {∅, {1, 2}}, {∅, {1}, {1, 2}}, {∅, {2}, {1, 2}},
{∅, {1}, {2}, {1, 2}} Topologien auf X. Beweis durch Tabelle.
(5) Die induzierte Topologie: Sei (X, O) topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann ist OY =
{OY | ∃O ∈ O O ∩ Y = OY } eine Topologie auf Y .
Beweis (Cofinite Topologie) Wir gehen die Eigenschaften durch
(T1) N ∈ O, denn N\N = ∅ ist endlich und ∅ ∈ O
(T2) Seien W ⊂ O gegeben. Wollen zeigen: W ∈ O, d.h. es gilt N\ W endlich oder
S
S
T
W = ∅. Nun ist N\ W = N\W. Falls für alle W ∈ W W = ∅ gilt offenbar
letzteres. Falls mindestens ein Ŵ ∈ W nichtleer ist, gilt: Der Schnitt über alle N\W
ist abzählbar, denn er enthält weniger oder gleich viele Elemente wie N\Ŵ und
diese Menge ist endlich.
S
5
S
(T3) Sei n ∈ N, seien Wi ∈ O für i = 1, . . . , n, d.h. N\Wi endlich oder Wi leer. Zu
zeigen ist nun, dass der Schnitt der Wi leer (dies geschiet genau dann, wenn minT
destens ein Wi leer. Seien also im Folgenden alle Wi nicht-leer) oder N\ {Wi | i ∈
{1, 2, . . . , n}} endlich. Es ist
N\
\
{Wi | i ∈ {1, 2, . . . , n}} =
[
N\{Wi | i ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Da alle Wi nicht leer, ist die gesuchte Menge als endliche Vereinigung endlicher
Mengen endlich.
Beweis (Induzierte Topologie) Wir gehen auch hier die Eigenschaften durch
(T1) Y ∈ OY , denn X ∈ O und Y = Y ∩ X, ∅ ∈ OY , denn ∅ ∈ O und ∅ = Y ∩ ∅.
(T2) Seien WY ⊂ OY gegeben, also ∀WY ∈ WY ∃OWY ∈ O mit OWY ∩ Y = WY . Wir
bilden nun die Vereinigung all dieser Menge OWY :
O=
[
{OWY | WY ∈ WY }.
Nach (T2) ist diese Menge offen, und außerdem gilt O ∩ Y = WY (Streng genomT
S
men müsste man die Distributivgesetze für und analog zu den De-MorganRegeln noch verallgemeinern).
S
(T3) Man schneidet auch hier die Obermengen und erhält nach (T3) eine Menge mit
den gewünschten Eigenschaften.
Übung: Finde alle möglichen Topologien auf der Menge {1, 2, 3, 4}.
Satz Sei X eine Menge, A ⊂ P(X), sodass gilt
(1) ∅ ∈ A und X ∈ A.
(2) ∀W ⊂ A
T
W∈A
(3) ∀n ∈ N ∀W1 , W2 , . . . , Wn ∈ W ist auch
S
i∈{1,2,...,n}
Wi ∈ A.
Dann handelt es sich bei O = X\A um eine Topologie.
Beweis Übung. Hinweis: Man tausche nach De Morgan Schnitt und Vereinigung.
6
Definition Sei (X, O) topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann definieren wir das Innere
von Y und den Abschluss von Y als
Y =
\
{A ∈ P(X) | X\A ∈ O und A ⊃ Y },
Y̊ =
[
{A ∈ P(X) | A ∈ O und A ⊂ Y }.
Satz Sei (X, O) topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann ist Y abgeschlossen und Y̊ offen.
Beweis Y̊ offen: Übung. Zeige nun Y abgeschlossen. Dies bedeutet, dass X\Y offen.
Es ist
X\Y =
[
X\{A ∈ P(X) | X\A ∈ O und A ⊃ Y }
=
[
{O ∈ P(X) | ∃A ∈ P(X) O = X\A und X\A ∈ O und A ⊃ Y }
Nun gilt ∃A ∈ P(X) O = X\A und X\A ∈ O ⇔ O ∈ O. Denn
⇒ falls ∃A ∈ P(X) O = X\A und X\A ∈ O ist O = X\A ∈ O.
⇐ Sei O ∈ O. Dann betrachte A = X\O, dann ist X\A = X\(X\O) = O.
Somit ist die Menge, die vereinigt wird, Teilmenge von O und somit nach (T2) offen.
Beispiel Sei X = N ausgestattet mit der cofiniten Topologie. Dann gilt
(1) Ist A endliche Menge, so ist A = A, Å = ∅.
(2) Ist X\A endliche Menge, so ist A = X, Å = A.
(3) Sind A und X\A unendliche Mengen, so ist A = X, Å = ∅.
3 Metrische Räume
Abstandsbegriff
Def. 1.1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → R heißt Metrik auf X, falls
sie die folgenden Eigenschaften erfüllt.
(M1) ∀x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0
(M2) ∀x, y ∈ X d(x, y) = 0 ⇔ x = y
7
(M3) ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x)
(M4) ∀x, y, z ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Das Paar (X, d) heißt metrischer Raum.
Satz (Vierecks-Ungleichung) Sei (X, d) metrischer Raum. Dann gilt ∀x, x0 , y, y 0 ∈ X
|d(x, y) − d(x0 , y 0 )| ≤ d(x, x0 ) + d(y, y 0 ).
Beweis Übung
Einige Beispiele für metrische Räume (X, d):
(1) Beliebige Menge X, dann ist d(x, y) = 1, falls x = y und 0 sonst eine Metrik.
(2) Endlich-dimensionale Vektorräume X = Rn oder Cn . Sei x = (x1 , x2 , . . . ), y =
(y1 , y2 , . . . ). Dann ist (X, d) metrischer Raum für folgende Metriken d:
d1 (x, y) =
n
X
|xi − yi |,
d∞ (x, y) = max |xi − yi |
i=1,2,...,n
i=1
(3) Folgenräume. Sei (xi )i∈N eine reelle oder komplexe Folge.
• Für X = l∞ = {(xi )i∈N ⊂ R[C] | ∃Cx ∈ R ∀i ∈ N |xi | ≤ Cx } die Menge aller
beschränkten reellen [oder komplexen] Folgen definiert d(x, y) = supi∈N |xi −
yi | eine Metrik.
Einordnung metrischer Räume
Definition Sei (X, d) metrischer Raum. Dann nennt man für x ∈ X und r > 0
B(x, r) = {y ∈ X | d(x, y) < r} die offene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius r.
Definition Eine Teilmenge U ⊂ X eines metrischen Raumes (X, d) heißt d-offen, falls
zu jedem x ∈ U ein r > 0 existiert mit B(x, r) ⊂ U .
Satz Offene Kugeln sind d-offen.
8
Beweis Seien also x, r > 0 beliebig. Wir wollen zeigen: B(x, r) ist offen, also für
alle x̂ ∈ B(x, r) gibt es B(x̂, r̂) mit r̂ > 0 und B(x̂, r̂) ⊂ B(x, r). Da x̂ ∈ B(x, r), ist
d(x, x̂) < r Wir wählen r̂ = r − d(x, x̂), dies ist offenbar größer Null. Außerdem ist
B(x̂, r̂) ⊂ B(x, r), denn sei z ∈ B(x̂, r̂). Dann folgt d(x̂, z) < r̂ = r − d(x, x̂) und nach
(M4) ist d(x, z) ≤ d(x, x̂) + d(x̂, z) < d(x, x̂) + r − d(x, x̂) = r, also z ∈ B(x, r).
Satz Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum.
Beweis Sei (X, d) metrischer Raum. Wir betrachten als O die Menge aller d-offenen
Teilmengen von X. Behauptung: O ist eine Topologie.
(T1) Es ist ∅ ∈ O, denn für die leere Menge sind alle Aussagen der Form ∀x ∈ ∅ . . .
wahr. Außerdem ist X ∈ O, denn für x ∈ X ist per Definition B(x, 1) ⊂ X.
(T2) Sei W ⊂ O, d.h. ∀W ∈ W ist W offen, d.h. wir finden zu x ∈ W r̂W , sodass
S
B(x, r̂W ) ⊂ W . Sei nun x Element von W. Dann gibt es (mindestens) ein W̃ ,
S
sodass x ∈ W̃ . Dieses W̃ liefert mit B(x, r̂W̃ ) eine Kugel ⊂ W̃ ⊂ W.
(T3) Sei n ∈ N, seien Wi offen für i = 1, . . . , n, und sei x ∈ {Wi | i ∈ {1, . . . , n}}.
Dann gilt für alle i = 1, . . . , n x ∈ Wi und da alle Wi offen, finden wir r̂Wi mit
B(x, r̂Wi ) ⊂ Wi . Sei nun r̂ das kleinste dieser r̂Wi , also r̂ = mini=1,...,n ri . Offenbar
ist r̂ > 0 und ∀i = 1, . . . , n B(x, r̂) ⊂ Wi , also ist unsere Kugel auch Teilmenge
des Schnittes über die Wi .
T
Folgen in metrischen Räumen
Definition Sei (X, d) metrischer Raum und (xn ) eine Folge in X. (xn ) heißt konvergent
in X, falls es x ∈ X gibt mit ∀ > 0 ∃N () ∈ N ∀n > N d(x, xn ) < . Schreibe (xn ) → x
für n → ∞ oder limn→∞ xn = x, x heißt Grenzelement der Folge, eine nicht-konvergente
Folge heißt divergent.
Satz Jede konstante Folge, d.h. ∀i ∈ N xi = x, konvergiert.
Beweis Übung!
Satz Für eine konvergente Folge ist das Grenzelement eindeutig.
Beweis Sei (X, d) metrischer Raum, (xn ) Folge, (xn ) → x und (xn ) → y mit x 6= y.
Dann liefert die Betrachtung von = d(x, y)/3 einen Widerspruch. Übung: Wieso?
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Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum. y ∈ X heißt Berührpunkt einer Menge
U ⊂ X, falls eine Folge (yn ) ⊂ U existiert, die gegen y konvergiert.
Die Menge aller Berührpunkte von U heißt d-abgeschlossene Hülle von U , bezeichne
d
sie mit U .
Satz Sei (X, d) metrischer Raum und U ⊂ X. Dann gilt: U ist abgeschlossen ⇔
d
U =U .
Satz Es seien U, W ⊂ X mit (X, d) metrischer Raum. Dann gilt
(1) U ⊂ W ⇒ U ⊂ W
d
(2) U = U .
Beweis
(1) Sei U ⊂ W , x ∈ U . Es existiert also eine Folge (xn ) ⊂ U ⊂ W , sodass (xn ) → x.
Also ist x ∈ W .
(2) Angenommen, es gäbe V abgeschlossen, sodass U ⊂ V ⊂ U . Dann wäre nach (i)
U ⊂ V = V ⊂ U = U , also V = U .
Definition Sei (X, d) metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊂ X heißt beschränkt, falls
x̂, r > 0 existieren, sodass ∀x ∈ U d(x̂, x) ≤ r.
Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Abbildungen zwischen metrischen Räumen
Definition Seien (X, d), (Y, d0 ) metrische Räume.
(1) Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig in x ∈ X, falls ∀ > 0 ein δ > 0 existiert
mit für alle x0 ∈ X mit d(x, x0 ) < δ gilt: d0 (f (x), f (x0 )) < .
(2) f : X → Y heißt stetig auf X, wenn f in jedem x ∈ X stetig ist.
(3) f : X → Y heißt gleichmäßig stetig auf X, falls es ∀ > 0 ein δ > 0 gibt mit
d0 (f (x), f (x0 )) < für alle x, x0 ∈ X mit d(x, x0 ) < δ.
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Satz Seien (X, d) und (Y, d0 ) metrische Räume und f : X → Y . f ist stetig in x ∈ X
⇔ für jede Folge (xn ) ⊂ X mit (xn ) → x gilt: f (xn ) → f (x).
Satz f ist stetig ⇔ Das Urbild jeder offenen Menge ist offen.
4 Vollständigkeit
Definition Sei (X, d) metrischer Raum. Eine Folge (xn ) ⊂ X heißt Cauchy-Folge,
wenn es zu jedem > 0 ein N ∈ N gibt, sodass ∀n, m > N d(xn , xm ) < .
Satz Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge.
Beweis Übung!
Definition Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in
X konvergiert. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt vollständig, falls sie als metrischer Raum
(A, d|A×A ) vollständig ist.
Satz Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, A ⊂ X. Dann gilt: A abgeschlossen
⇔ A vollständig.
Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt dicht in X,
falls A = X. (d.h. jedes Element aus X ist Grenzelement einer Folge (xn ) ⊂ A).
ˆ
Satz Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gibt es einen vollständigen Raum (X̂, d)
ˆ zusammen mit der
und eine Isometrie i : X → X̂, sodass i(X) = X̂. Dabei ist (X̂, d)
ˆ heißt
Isometrie i : X → X̂ bis auf Isometrie eindeutig durch (X, d) bestimmt. (X̂, d)
Vervollständigung von (X, d).
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5 Aussagenlogik
Definition Eine endliche Folge der Länge n ist eine Verschachtelung von n − 1 Tupeln:
((. . . ( x1 , x2 ), x3 ) . . . xn )
| {z }
n−1
Eine einfache Sprache Ein Sprache entsteht wie folgt: Als erstes geben wir eine
Menge A der möglichen Zeichen an. Ein Wort ist dann eine endliche Folge auf dieser
Menge. Sei W die Menge aller Wörter, sage auch Sprache. Gewisse Wörter werden
Formeln genannt, diese sind besonders interessant. Das Alphabet der Sprache F ist A =
{(, ), und, oder, nicht, p1 , p2 , . . . }. Dabei sind {p1 , p2 , . . . } Aussagenvariablen, schreibe
auch AV, {und, oder, nicht} heißt logische Signatur. Dann ist die Menge aller Formeln
F:
F=
\
{F̃ | F̃ ⊂ W und p1 , p2 , · · · ∈ F̃ und
∀α ∈ F̃β ∈ F̃ (α und β), (α oder β), nicht(α) ∈ F̃}
Definition Ein Modell ist eine Abbildung w : AV → {0, 1}.
Satz Sei w ein Modell. Dann existiert ein eindeutiges ŵ : F → {0, 1}, sodass ∀π ∈
AVŵ(π) = w(π) und ∀α, β ∈ F.
ŵ(α und β) = (ŵα) und (ŵβ),
ŵ(α oder β) = (ŵα) oder (ŵβ),
ŵ nicht(α) = nicht ŵα
Definition Aus einer Formelmenge X folgt α, wenn für alle ŵ : F → {0, 1} Fortsetzungen zu einem Modell w aus ∀x ∈ X wx = 1 folgt, dass wα = 1.
Definition Eine Sequenz ist ein Tupel aus einer Formelmenge X und einer Formel α,
(X, α).
Definition Sei F eine Sprache. Die Menge der trivial verfügbaren Sequenzen ergibt
sich als
V0 = {S | ∃α ∈ F S = ({α}, α)}.
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Sei nun weiterhin eine Sequenzenmenge S gegeben. Dann ergibt sich die Menge der
monoton-verfügbaren Sequenzen als
Vm
S = {S | ∃(X, α) ∈ S ∃X̃ X ⊂ X̃ und S = (X̃, α)}
Außerdem ergibt sich die Menge der und-a-verfügbaren Sequenzen als
V∧a
S = {S | ∃(X, α) ∈ S ∃(X, β) ∈ SS = (X, α und β)}
Außerdem ergeben sich die Mengen der und-b-verfügbaren und und-c-verfügbaren
Sequenzen als
V∧b
S = {S | ∃(X, α und β) ∈ SS = (X, α)}
V∧c
S = {S | ∃(X, α und β) ∈ SS = (X, β)}
Nun gibt es noch nicht-a-verfügbare und nicht-b-verfügbare Sequenzen
V¬a
S = {S | ∃(X, α) ∈ S (X, nicht α) ∈ S ∃β ∈ F S = (X, β)}
V¬b
S = {S | ∃(X ∪ {α}, β) ∈ S(X ∪ {nicht α}, β) ∈ S S = (X, β)}
Außerdem gibt es oder-a-verfügbare, oder-b-verfügbare und oder-c-verfügbare Sequenzen
V∨a
S = {S | ∃(X, α) ∈ SS = (X, α oder β)}
V∨b
S = {S | ∃(X, α) ∈ SS = (X, β oder α)}
V∨c
S = {S | ∃X ⊂ F, α, β, γ ∈ F(X ∪ {α}, γ), (X ∪ {β}, γ) ∈ SS = (X ∪ {α oder β}, γ)}
Definition Eine Herleitung sei eine endliche Folge von Sequenzen (S1 , S2 , . . . , Sn )
derart, dass für alle i ≤ n gilt Si ∈ V0 oder
∧a
∧b
∧c
¬a
¬b
Si ∈ Vm
Si ∪ VSi ∪ VSi ∪ VSi ∪ VSi ∪ VSi , wobei Si = {S1 , S2 , . . . , Si−1 }.
Man sagt: X ist aus α herleitbar, wenn es eine Herleitung (S1 , S2 , . . . , Sn ) gibt mit
Sn = (X, α).
Satz X ist aus α herleitbar genau dann, wenn aus X α folgt.
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