Inferenzmethoden

Inferenzmethoden
Einheit 16
Modallogiken
1. Syntax & Semantik
2. Erweiterung des Extensionsverfahrens
Modallogiken
• Erweiterung der Prädikatenlogik um ‘Modalitäten’
– Modellierung von Schlußfolgerungen, die im Alltag verwendet werden
· Formel F ist beweisbar
· Ich bin sicher oder glaube, daß F gilt
· Möglicherweise ist F gültig
• Syntax: Prädikatenlogik + Modaloperatoren
,3
– , 3 sind Meta-Operatoren, die Aussagen über Formeln treffen
– Lesart: F : “notwendigerweise F ” 3F : “möglicherweise F ”
• Semantik abhängig von vorgesehener Anwendung
– Je nachdem, ob als “beweisbar”, “wissen”, “glauben” verstanden wird
– (∀x P x) ⇒ (∃x P x) ist nicht für jede Interpretation gültig
• Beweisverfahren:
– (Erweiterte) Sequenzenkalküle
– Konnektionsbeweiser + Transformation der Formeln in Prädikatenlogik
– Modifizierter Konnektionsbeweiser mit Präfixen für Modaloperatoren
Inferenzmethoden §16
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Modallogiken
Semantik von Modallogiken
• Interpretation von Formeln abhängig von Welten
– In der Prädikatenlogik wird eine unveränderliche Welt modelliert
– Modaloperatoren interpretieren relativ zu denkbaren Welten
· mögliche zukünftige Entwicklung
· mögliche vergangene Ereignisse
· mögliche Wissens- oder Glaubenszustände
· mathematische Theorien der Beweisbarkeit
• Kripke Semantik über Weltmodelle (W, R, U , u)
– W: Menge der (denkbaren) Welten
– R: Erreichbarkeitsrelation zwischen Welten aus W
– U : Universum aller Objekte aller Welten
ˆ die in Welt w existierenden Objekte
– u:W→P(U ): u(w) =
Eigenschaften von R bestimmen Bedeutung der Modaloperatoren
Inferenzmethoden §16
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Modallogiken
Kripke-Semantik von Modaloperatoren
Betrachte von aktueller Welt erreichbare Welten
:
:
• F : F gilt in allen
erreichbaren Welten
F
F
1 F
*
q
-
F
R
F
• 3F : F gilt in mindestens
einer erreichbaren Welt
z
F
F
F
j
F
q
F
F
•••
:
z
F
F
F
:
:
z
1
3F
q
R
*
j
•••
F
:
z
q
• F : F gilt in allen Welten
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Modallogiken
Erreichbarkeit und modale Axiome
• Allgemeine Eigenschaften aller Modallogiken
(Df)
(K)
(RN)
(PL)
(MP)
3F ⇔ ¬ ¬F
(F ⇒ G) ⇒ ( F ⇒ G)
aus ⊢ F folgt ⊢ F
Axiome der (klassischen) Prädikatenlogik
Modus Ponens Regel aus ⊢ F und ⊢ F ⇒ G folgt ⊢ G
Definition von 3
Distributivität
Notwendigkeitsregel
• Mögliche Eigenschaften der Erreichbarkeitsrelation
(D)
(T)
(B)
(4)
(5)
seriell
reflexiv
symmetrisch
transitiv
euklidisch
Für alle w1 ∈ W gibt es ein w2 ∈ W mit w1Rw2
wRw für alle Welten w ∈ W
w1Rw2 ⇒ w2 Rw1 für alle w1 , w2 ∈ W
w1Rw2 & w2Rw3 ⇒ w1Rw3 für alle w1, w2, w3 ∈ W
w1Rw2 & w1Rw3 ⇒ w2Rw3 oder w3Rw2 für alle w1, w2 , w3 ∈ W
• Durch R induzierte Axiome für
(D)
(T)
(B)
(4)
(5)
seriell
F ⇒ 3F
reflexiv
F ⇒F
symmetrisch F ⇒ 3F
transitiv
F⇒
F
euklidisch
3F ⇒ 3F
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“Was ich glaube, ist auch möglich”
“Was beweisbar ist, ist auch gültig”
“Ist F wahr, dann weiß man, daß F möglich ist”
“Ich weiß, was ich weiß”
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Modallogiken
Die wichtigsten Modallogiken
Name
K
K4
D
D4
B
T
S4
S5
Eigenschaften von R
keine
transitiv
seriell
seriell, transitiv
symmetrisch
reflexiv
reflexiv, transitiv
reflexiv, transitiv, symmetrisch
Axiome
PL, Df, K
PL, Df, K,
PL, Df, K,
PL, Df, K,
PL, Df, K,
PL, Df, K,
PL, Df, K,
PL, Df, K,
4
D
D, 4
B
T
T, 4
T, B, 4 (+5)
• F ⇒ F gilt trotz der Notwendigkeitsregel nicht
⊢F
⊢
=
ˆ “F gilt in jeder Welt w ∈ W”
F
=
ˆ “Für alle w ∈ W gilt F gilt in jeder von w erreichbaren Welt”
⊢F⇒ F =
ˆ “In jeder Welt w ∈ W folgt F aus F ”
Deduktionstheorem “⊢F folgt aus ⊢E genau dann, wenn ⊢ E ⇒ F gilt”
gilt nicht für Modallogiken (und konstruktive Logik)
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Modallogiken
Beweise in der Modallogik
• In K folgt 3F ⇒ 3G aus F ⇒ G
– Es gelte F ⇒ G
– Dann gilt ¬G ⇒ ¬F
(Kontraposition)
– Dann gilt
(¬G ⇒ ¬F )
(RN)
– Dann gilt
¬G ⇒ ¬F
(K, MP)
– Dann gilt ¬ ¬F ⇒ ¬ ¬G
(Kontraposition)
– Es folgt 3F ⇒ 3G
• In K folgt
(Df)
F ⇒ G aus F ⇒ G
– Aus F ⇒ G folgt
(F ⇒ G) mit RN und hieraus
F ⇒ G mit K
• In T gilt F ⇒ 3F
– Es gilt
¬F ⇒ ¬F
(T)
– Daraus folgt ¬¬F ⇒ ¬ ¬F
(Kontraposition)
– Es folgt F ⇒ 3F
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(PL, Df)
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Modallogiken
Extensionsverfahren für Modallogiken
Modifikationen analog zur Konstruktiven Logik
• Erweitere Matrixcharakterisierung der Gültigkeit
– F ist gültig gdw. alle Pfade durch F komplementär
– Betrachtung von Nichtnormalform-Matrizen erforderlich
– Erweiterter Komplementaritätsbegriff erforderlich
· Unifizierbarkeit der konnektierten Terme
· Erreichbarkeit beider Literale bei Einschränkungen an Regelreihenfolge
• Erweitertes Beweissuchverfahren
– Uniformes Pfadüberprüfungsverfahren für Nichtnormalform-Matrizen
– Erweiterter Komplementaritätstest
· Termunifikation liefert Substitution σQ von γ-Variablen durch Terme
· Präfixunifikation liefert Substitution σM für modale Präfixe
– Substitutionen codieren Einschränkungen an Reihenfolge der Regeln
– Eigenschaften von R codiert in Bedingungen an Zulässigkeit von σM
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Modallogiken
Modale Präfixe
P a5F
P a2T
∀T
T
a3
γ
a2
ν
a1
α
⇒F a
0
a7
ν
3F a
6
δ
∀F a
5
π
F
a4
A1 :P a2
F
a4 A6 :P a5
A1 :P a2
F
A6 :P a5
K, D, D4, S4, T
T
S5
T
• Weise Positionen modale Typen zu
– Typ ν:
– Typ π:
T
, 3F
F
, 3T
Variablen
Konstante
• Bestimme Präfix eines Atoms P
– Liste der modalen Positionen zwischen Wurzel und P
– Letzte modale Position vor P für Logik S5
• Definiere modale Substitution σM
– Abbildung von ν-Positionen in Strings über modalen Positionen
– σM induziert Reduktionsordnung ⊑M auf modalen Positionen:
Ist σM (u) = v1...vn dann gilt vi⊑M u für jede π-Position vi
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Modallogiken
Komplementarität und Gültigkeit
• Komplementarität unter σ = (σQ, σM )
– Terme konnektierter Literale sind unter σQ unifizierbar, Präfixe unter σM
• σQ: Ersetze quantifizierte γ-Variablen durch Terme
– Termunifikation versucht Terme konnektierter Atome gleich zu machen
• σM : Ersetze ϕ-Variablen durch Strings
– Präfixunifikation versucht Präfixe konnektierter Atome gleich zu machen
• Zulässigkeit von (σQ, σM )
– Gesamte Reduktionsordnung := (< ∪ ⊑Q ∪ ⊑M )+ ist azyklisch
– Kommt eine δ-Position v in σ Q(u) vor, so gilt |σM (prev )|≤|σM (preu))|
(|σM (prev )|≤|σM (preu))|≤|σM (prev )|+1 für T und D)
– σ M (ai) hat maximal (T), genau (D), mindestens (D4) Länge 1
• Modale Multiplizität µM (ai)
– Anzahl der Kopien des ν-Knotens im Baum
Eine modale Formel F ist gültig, wenn es eine Multiplizität
µ= (µQ, µM ), eine zulässige Substitution σ = (σQ, σM ) und
eine Menge C von σ-komplementären Konnektionen gibt, so
daß jeder Pfad durch F eine Konnektion aus C enthält
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Modallogiken
Modaler Matrixbeweis
P a5F
P a2T
∀T
T
a3
γ
a2
ν
a1
α
⇒F a
0
a7
ν
3F a
6
δ
∀F a
5
F π
a4
A1 :P a2
F
a4 A6 :P a5
A1 :P a2
F
A6 :P a5
T
T
K, D, D4, S4, T
S5
• Einziger Pfad {a3a7} durch Konnektion abgedeckt
• Terme gleich unter σ Q = [a5/a2]
– Induzierte Reduktionsordnung a5⊑Qa2
• Drei allgemeinste Unifikatoren
– σ M1 = [a4A6/A1]
zulässig für D4 und S4
zulässig für S4 und T
– σ M2 = [a4/A1, ε/A6]
– σ M3 = [a4/A1, a4/A6]
zulässig für für S5
– σ M1 und σ M2 verletzt Längenbedingung für D
– σ M1 verletzt Bedingung an δ-Positionen für T, σ M2 für D4
• Die Formel ist gültig in D4, T, S4, S5 aber nicht in D
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Modallogiken
Extensionsverfahren für Modallogik
• Pfadüberprüfungsverfahren bleibt unverändert
– Nicht-Normalform-Verfahren aus Einheit 14
• Komplementaritätstest unify check wird erweitert
– Bekanntes Termunifikationsverfahren
– Präfixunifikationsverfahren mit Logik-spezifischen Regeln
– Überprüfung der Zulässigkeit
• Anwendbar auf D, D4, T, S4, S5
– Regeln für Präfixunifikation in K, K4 vorhanden
– Matrixcharakterisierung für K, K4, B formal noch nicht abgesichert
Weitere Details in Literatur auf Webseite
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