Inferenzmethoden

Inferenzmethoden
Wintersemester 1995/96
Christoph Kreitz
FG Intellektik, Gebäude 23, Raum 117, Telephon 16-2863
Stephan Schmitt
FG Intellektik, Gebäude 23, Raum 114, Telephon 16-6632
{kreitz,steph}@intellektik.informatik.th-darmstadt.de
1. Einführung: Wissensbasierte Systeme und Inferenz
2. Geplanter Aufbau der Vorlesung – Lehrziele
3. Organisatorisches
4. Lektion 1: Formale Kalküle
Hauptgebiete der Intellektik
hh
h
hh
h`
(
((
(
((
Kognitive
Modellierung
D
E
EE
EE
Natürliche
EE
EE
E
Kommuni-
Wissensbasierte
kation
Systeme
D
Robotik
Maschinerie
`h
hh
hh
h
Inferenzmethoden
(
((
(
((
1
Einführung
Hauptkomponenten eines wissensbasierten Systems
Benutzer
6
?
Mensch-System-Schnittstelle
7
o
K
/
w
Wissensakquisition
Erklärung
Y
6
?
j
Wissensbasis
Inferenzmethoden
-
2
U
?
Problemlösung (Inferenz)
Einführung
Schlußfolgerungen
Alle Säugetiere sind behaart.
Alle Affen sind behaart.
Alle Affen sind Säugetiere.
Zufällig richtig
Alle Säugetiere sind behaart.
Alle Teddybären sind behaart.
Alle Teddybären sind Säugetiere.
Falsch
Welche Schlußfolgerungen sind immer akzeptabel?
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3
Einführung
Gültige Schlüsse
Alle Affen sind Säugetiere.
Alle Säugetiere sind behaart.
Alle Affen sind behaart.
Präzisere Formulierung
Alle x [wenn Affe(x) dann Säugetier(x)].
Alle x [wenn Säugetier(x) dann behaart(x)].
Alle x [wenn Affe(x) dann behaart(x)].
Abstrahiert von konkreten Inhalten
∀x[A(x) ⇒ S(x)]
∀x[S(x) ⇒ H(x)]
∀x[A(x) ⇒ H(x)]
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4
Einführung
Geplanter Aufbau der Vorlesung
1. Logik und Gültigkeit
– Formale Kalküle
– Die klassische Prädikatenlogik erster Stufe
– Maschinennahe Charakterisierung logischer Gültigkeit
(31.10 – 7.11.)
2. Deduktionsverfahren
(8.11. – 5.12.)
– Aussagenlogische Verfahren (Konnektionsmethode, Resolution, . . . )
– Strategien, Reduktionstechniken und Optimierungen
– Erweiterung auf die Prädikatenlogik erster Stufe
3. Verdichtungen und Strategien
(6.12.. – 23.1.)
– Gentzen-Kalküle, Tableaux-Kalküle und Nichtnormalformbeweise
– Konnektionsreduktionen
– Gleichheitsbehandlung
– Termersetzung und Unifikationstheorie
4. Erweiterungen und aktuelle Forschungsgebiete
– Höhere Logik, Induktion, Modallogiken
– Steuerung konstruktiver Beweise
– Anwendungen und Implementierungsprobleme
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5
(24.1. – 15.2.)
Übersicht
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Lektion 2
Formale Kalküle
1. Formalisierung
2. Syntax und Semantik formaler Sprachen
3. Inferenzsysteme und formale Beweisführung
4. Problemreduktion
Kalküle
Simulation semantischer Argumentation
durch Regeln zur Symbolmanipulation
• Anwendung formaler Vorschriften ohne Nachdenken
– umgeht Mehrdeutigkeiten der natürlichen Sprache
– schematische Lösung mathematischer Probleme
• Kernbestandteile:
– Formale Sprache (Syntax + Semantik)
– Ableitungssystem (Regeln + Axiome)
• Wichtige Eigenschaften:
– korrekt + vollständig bzgl. Semantik
– leicht zu verarbeiten (automatisierbar)
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6
Kalküle
Formale Sprachen
• Syntax
– Formale Struktur der Sprache
– Notation, textliche Erscheinungsform
– Beschreibbar durch mathematische Definitionsgleichungen
• Semantik
– Zuordnung von Bedeutung an syntaktisch korrekte Ausdrücke
Abbildung von formaler Quellsprache in informale Zielsprache
– Beschreibbar durch Interpretationsfunktion
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7
Kalküle
Syntax der Prädikatenlogik (informal)
• Vordefiniert: Alphabete
– Variablen-, Funktions- und Prädikatensymbole
• Terme: Formalisierung mathematischer Objekte
– Variablen x
– Funktionsanwendung: f (t1, . . . , tn)
• Formeln: Formalisierung mathematischer Aussagen
– atomare Formel: P (t1, . . . , tn)
– zusammengesetzte Formel:
¬ A, A
∧
B, A
∨
B , A ⇒ B , ∀ x A, ∃ x A, (A)
• Prioritäten + Konventionen zur Abkürzung
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8
Kalküle
Semantik der Prädikatenlogik (informal)
• Interpretationsfunktion weist Variablen-, Funktions- und
Prädikatensymbolen ein mengentheoretisches Objekt zu
– Funktions- und Prädikatssymbole haben keine feste Bedeutung
• Fortsetzung auf Terme und atomare Formeln
– Zusammensetzung der Einzelinterpretationen zu Objekten / Aussagen
• Fortsetzung auf zusammengesetzte Formeln:
Negation ¬ A wahr, wenn A falsch
Konjunktion A
Disjunktion A
∧
∨
B wahr, wenn A und B wahr
B wahr, wenn A oder B wahr
Implikation A ⇒ B wahr, wenn B wahr ist, wann immer A wahr ist
Universelle Quantifizierung ∀ x A wahr, wenn A für jedes x wahr
Existentielle Quantifizierung ∃ x A wahr, wenn A für ein x wahr
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9
Kalküle
Objekt- und Metasprache
• Objektsprache:
– Sprache des Kalküls, in dem formalisiert wird
– formale Sprache
• Metasprache:
– Sprache, um Aussagen über den Kalkül zu machen
– natürliche Sprache
+ Objektsprache
+ syntaktische Metavariablen
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10
Kalküle
Inferenz-kalküle
• Regelschemata:
A1 , . . . , A n
C
C
”
“aus A
. . und An} folgt
|{z}
| 1 und .{z
Konklusion
Prämissen
Axiom: Regel ohne Prämissen
• Γ `rs C : Konkrete Anwendung der Regel rs
• Theorem: Ausdruck, der sich durch Anwendung von
endlich vielen Regeln ableiten läßt
• Korrektheit: alle Theoreme sind gültig
– Korrekte Regeln: Gültigkeit der Konklusion folgt aus Gültigkeit der Prämissen
• Vollständigkeit: alle gültigen Aussagen sind Theoreme
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11
Kalküle
Kalkülarten
synthetisch/bottom-up: Schlüsse von den Axiomen zur Aussage
analytisch/top-down: von der Zielaussage zu den Voraussetzungen
• Frege–Hilbert–Kalküle:
– viele Axiome, kaum echte Regeln; sehr mächtig;
– synthetisch, Beweissuche aufwendig
• Gentzens natürliches Schließen (NK / NJ)
– synthetisch, nahe am natürlichen mathematischen Schließen,
– kaum Axiome, 2 Regeln für jedes logische Zeichen, Verwaltung von Annahmen nötig
• Sequenzenkalküle (LK / LJ)
– Modifikation von NK/NJ: Schließen über Urteile statt Aussagen
– lokale Sicht, keine Verwaltung von Annahmen, gut für interaktive Beweiser
– synthetisch oder analytisch formulierbar
• Resolutions- und Konnektionskalküle
– analytisch, maschinennah, gut für automatisches Beweisen, kaum lesbar
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Kalküle
Problemreduktion I
Alle Affen sind Säugetiere.
Alle Säugetiere sind behaart.
Alle Affen sind behaart.
1. Formalisiere durch Prädikatszeichen und Logiksymbole
∀x[A(x) ⇒ S(x)]
∀x[S(x) ⇒ H(x)]
∀x[A(x) ⇒ H(x)]
2. Lineare Schreibweise:
∀ x [A(x) ⇒ S(x)] & ∀ x [S(x) ⇒ H(x)] ` ∀ x [A(x) ⇒ H(x)]
3. Ersetze Metasymbole durch logische Konnektive:
∀ x [A(x) ⇒ S(x)]
Inferenzmethoden
∧
∀ x [S(x) ⇒ H(x)] ⇒
13
∀ x [A(x) ⇒ H(x)]
Kalküle
Problemreduktion II
Alle Affen sind Säugetiere.
Alle Säugetiere sind behaart.
Alle Affen sind behaart.
4. Eliminiere Quantoren:
[A(c) ⇒ S(c)]
∧
[S(c) ⇒ H(c)] ⇒ [A(c) ⇒ H(c)]
[A ⇒ S]
5. Aussagenlogik als Kern:
6. Ersetze ⇒ :
¬([¬A
7. Normalform:
[A
∨
∧
S]
∧
∧
¬S]
∨
[S ⇒ H] ⇒ [A ⇒ H]
[¬S
[S
H])
∨
[¬A
∨
H]
¬H]
∨
¬A
∨
H
∨
∧
{ {A,¬S}, {S,¬H}, {¬A}, {H} }
8. Repräsentiere durch Matrizen:
8a. Graphische Darstellung
A
S ¬A
¬S ¬H
Inferenzmethoden
14
H
Kalküle
Inferenzmethoden
Lektion 3
Prädikatenlogik
1. Syntax prädikatenlogischer Formeln
2. Darstellung prädikatenlogischer Formeln
3. Semantik prädikatenlogischer Formeln
4. Substitution
5. Normalformtransformationen
– Negationsnormalform, pränexe Normalform
– Skolemisierung
– Disjunktive Normalform (Standardverfahren)
– Definitorisches Transformationsverfahren
Prädikatenlogik erster Stufe – Syntax
V : Alphabet von Variablen(-symbolen)
x , y , z ,. . .
F i : Alphabet von i-stelligen Funktionssymbolen
f , g , h ,. . .
P i : Alphabet von i-stelligen Prädikatssymbolen
i
F = ∪∞
i=0 F
P , Q , R ,. . .
i
P = ∪∞
i=0 P
Terme
•x
(x ∈ V )
• f (Konstante)
(f ∈ F0)
• f (t1 ,. . .,tn )
( t1, .., tn Terme, f
a , b , c ,. . .
∈
Fn)
Formeln
• P (atomare Formel / Aussagenvariable)
P (t1 ,. . .,tn ) (atomare Formel)
• ¬ A, A ∧ B , A ∨ B , A ⇒ B ,
(P
∈
P0 )
( t1, .., tn Terme, P
∀ x A,
∃x A
∈
Pn )
( A , B Formeln, x
Literal: atomare Formel oder negierte atomare Formel
Prioritäten: ∀ = ∃ = ¬ >
Inferenzmethoden
∧
>
15
∨
>
⇒
Prädikatenlogik
∈
V)
Formeldarstellung: Formelbaum
∀abc∃xyz[P xc ∧ P (f zb, b) ∨ ¬P (f ay, y)]
abc
Normalisierung
(Skolemisierung)
xyz
∨
Aussagenlogik
(Beweissuche)
¬
∧
P
Termvergleich
(Unifikation)
x
P
c
f
b
16
y
f
b
z
Inferenzmethoden
P
y
a
Prädikatenlogik
Formeldarstellung: gerichteter azyklischer Graph
∀abc∃xyz[P xc ∧ P (f zb, b) ∨ ¬P (f ay, y)]
abc
xyz
∨
¬
∧
P
x
P
c
f
z
Inferenzmethoden
P
f
b
17
a
y
Prädikatenlogik
Prädikatenlogik erster Stufe – Semantik
• Interpretation: Universum U + Interpretationsfunktion ι
– ι(x) Objekt aus U
(x
∈
V)
– ι(f ) n-stellige Funktion φ : U n →U
– ι(P ) Funktion Π : U n →{>, ⊥}
(f
(P
∈
∈
Fn)
Pn )
• ι( f (t1 ,. . .,tn )) = ι(f )( ι(t1), . . . , ι(tn) ).
• ι( P (t1 ,. . .,tn )) = ι(P )( ι(t1), . . . , ι(tn) ).
• ι(¬A)
= >, falls ι(A) = ⊥
⊥ sonst
ι(A ∧ B)
= >, falls ι(A) = > und ι(B) = >
⊥ sonst
ι(A ∨ B)
= >, falls ι(A) = > oder ι(B) = >
⊥ sonst
ι(A ⇒ B) = >, falls aus ι(A) = > immer ι(B) = > folgt ⊥ sonst
ι(∀x A)
ι(∃x A)
= >, falls ιux(A) = > für alle u ∈ U
⊥ sonst
= >, falls ιux(A) = > für ein u ∈ U
⊥ sonst
(ιux (x) = u, sonst ιux = ι)
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Prädikatenlogik
Modelle und Gültigkeit
• Modell M von A (M |= A): Interpretation M = (U ,ι) mit ι(A) = >
• A erfüllbar: es gibt ein Modell für A
• A widerlegbar: es gibt ein Modell für ¬ A
• A widersprüchlich: es gibt kein Modell für A
• A gültig (|= A, A Tautologie): jede Interpretation ist Modell für A
• Gültiger Schluß (E |= F , F folgt logisch aus E ):
– aus M |= E für alle E ∈ E folgt M |= F
( E Formelmenge, E, F Formeln, M Interpretation)
• Theorie:
– erfüllbare Formelmenge zusammen mit allen Formeln, die daraus logisch folgen
E ∪ {E} |= F gilt genau dann, wenn E |= E ⇒ F gilt
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19
Prädikatenlogik
Freies und gebundenes Vorkommen von Variablen
• x: die Variable x kommt frei vor; y 6= x kommt nicht vor.
• f (t1, ..., tn ): freie Vorkommen von x in ti bleiben frei,
gebundene Vorkommen von x bleiben gebunden.
• P (t1, ..., tn ) freie Vorkommen von x in ti bleiben frei, gebundene
Vorkommen von x bleiben gebunden.
• ¬ A, A
∧
B, A
∨
B , A ⇒ B : freie Vorkommen von x in A, B
bleiben frei, gebundene Vorkommen von x bleiben gebunden.
• ∀ x A, ∃ x A: freie und gebundene Vorkommen von x in A
werden gebunden; freie Vorkommen von y 6= x in A bleiben
frei, gebundene Vorkommen von y bleiben gebunden.
Inferenzmethoden
20
Prädikatenlogik
Substitution
Endliche Abbildung σ von Variablen in Terme
• σ = {x1 \t1, . . . , xn \tn} =
ˆ σ (x1 )=t1 , . . . , σ (xn )=tn
: leere (identische) Substitution
• A σ : Anwendung von σ auf Ausdruck A
x{x\t}
=t
x{y\t}
=x
(y 6= x)
f (t1, .., tn){x\t} = f (t1{x\t}, .., tn{x\t}) P (t1, .., tn){x\t} = P (t1{x\t}, .., tn{x\t})
¬A{x\t}
= ¬A{x\t},
A ∧ B{x\t}
= A{x\t} ∧ B{x\t}
A ∨ B{x\t}
= A{x\t} ∨ B{x\t}
A ⇒ B{x\t}
= A{x\t} ⇒ B{x\t}
∀x A{x\t}
= ∀x A
∃x A{x\t}
= ∃x A
∀x A{y\t}
∀x A{y\t}
= (∀z A[z/x]){y\t}
∃x A{y\t}
= (∃z A{x\z}){y\t}
y 6= x, y frei in A, x frei in t, z neue Variable.
= ∀x A{y\t}
∃x A{y\t}
y 6= x, y nicht frei in A oder x nicht frei in t
= ∃x A{y\t},
• τ σ : Komposition der Substitutionen τ und σ
σ idempotent: σ σ = σ
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21
Prädikatenlogik
Normalformtransformationen I
Affen sind Säugetiere.
Säugetiere sind behaart.
Affen sind behaart.
1. Binde freie Variablen der Formel durch All-Quantoren.
∀ x [A(x) ⇒ S(x)]
∀ x [S(x) ⇒ H(x)] ⇒
∧
2. Ersetze Vorkommen von ⇒ und ⇔ :
– A ⇒ B 7→ ¬ A
¬( ∀ x [¬A(x)
∨
∨
B,
S(x)]
∧
A ⇔ B 7→ A
∀ x [¬S(x)
∨
∧
∀ x [A(x) ⇒ H(x)]
B
H(x)])
∨
∨
¬A
∧
¬B
∀ x [¬A(x)
∨
H(x)]
3. Bilde Negationsnormalform durch De Morgan’sche Gesetze und
¬∀xF
7→
∃ x [A(x)
∧
∃x¬F ,
¬S(x)]
Inferenzmethoden
∨
¬∃xF
∃ x [S(x)
7→
∧
∀x¬F
¬H(x)]
22
∨
∀ x [¬A(x)
Prädikatenlogik
∨
H(x)]
Normalformtransformationen II
4. Erzeuge pränexe Normalform
(∀xF ) ∧ G 7→ ∀x(F
∧ G)
x nicht frei in G
(∀xF ) ∨ G 7→ ∀x(F
∨ G)
x nicht frei in G
(∃xF ) ∧ G 7→ ∃x(F
∧ G)
x nicht frei in G
(∃xF ) ∨ G 7→ ∃x(F
∨ G)
x nicht frei in G
∀z ∃ x∃y [A(x)
∧
¬S(x)]
∨
[S(y)
∧
¬H(y)]
∨
[¬A(z)
∨
H(z)]
5. Eliminiere Allquantoren durch Skolemisierung:
∃x1, . . . , xn ∀zF gültig genau dann, wenn
∃x1, . . . , xnF {z \f (x1, . . . , xn)} gültig
∃ x∃y [A(x)
∧
¬S(x)]
Inferenzmethoden
∨
[S(y)
∧
23
(f neues Funktionssymbol)
¬H(y)]
∨
[¬A(f)
∨
H(f)]
Prädikatenlogik
Normalformtransformationen III
6. Erzeuge quantorenfreie Formel (streiche Existenzquantoren)
Es reicht, die quantorenfreie Teilformel zu betrachten.
Jede freie Variable darin ist durch einen Existenzquantor gebunden.
[A(x)
∧
¬S(x)]
∨
[S(y)
∧
¬H(y)]
∨
[¬A(f)
∨
H(f)]
7. Bringe auf disjunktive Normalform (Standardverfahren)
[A(x)
∧
¬S(x)]
∨
[S(y)
∧
¬H(y)]
∨
¬A(f)
∨
H(f)]
8. Generiere Matrix
{ {A(x),¬S(x)}, {S(y),¬H(y)}, {¬A(f)}, {H(f)} }
Graphische Darstellung (ohne Klammern)
¬Hy ¬Sx ¬Af
Hf
Inferenzmethoden
Sy
Ax
24
Prädikatenlogik
Definitorische Normalformtransformationen
A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E ∧ F ⇒ (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ (C ∨ ¬D) ∧ (D ∨ ¬E) ∧ (E ∨ ¬F) ∧ F
1. Kürze längere Teilformeln durch neue Prädikate ab
F1 ≡ A ∨ ¬B
F2 ≡ B ∨ ¬C
F3 ≡ C ∨ ¬D
F5 ≡ E ∨ ¬F
F 6 ≡ F1 ∧ F2 ∧ F3 ∧ F4 ∧ F5 ∧ F
F4 ≡ D ∨ ¬E
F 8 ≡ F7 ⇒ F 6
F7 ≡ A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E ∧ F
2. Äquivalenz ggf. ersetzbar durch Implikation
– Teilformel SUB kommt positiv vor: “SUB ⇒ F i ”
– Teilformel SUB kommt negativ vor: “F i ⇒ SUB ”
– Teilformel SUB kommt positiv und negativ vor: “F i ⇔ SUB ”
3. Ersetze und ergänze definierende Formeln
∧ B ∨ ¬C ⇒ F2 ∧ C ∨ ¬D ⇒ F3
( A ∨ ¬B ⇒ F1
∧ D ∨ ¬E ⇒ F4
∧ E ∨ ¬F ⇒ F5 ∧ F1 ∧ F2 ∧ F3 ∧ F4 ∧ F5 ∧ F ⇒ F6
∧ F7 ⇒ A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E ∧ F
∧ (F7 ⇒ F6 ) ⇒ F8
) ⇒ F8
4. Normalisiere mit Standardverfahren
7→ 18 Disjunktionen statt 38 bei gewöhnlicher Normalisierung
Definitorische Normalformtransformationen lohnt erst bei großen Formeln
Inferenzmethoden
25
Prädikatenlogik
Inferenzmethoden
Lektion 4
Maschinennahe Charakterisierung logischer Gültigkeit
1. Matrixrepräsentation aussagenlogischer Formeln
– Literale, Klauseln und Matrizen
– positive und negative Repräsentation
– Semantik aussagenlogischer Matrizen
2. Gültigkeit aussagenlogischer Formeln
– Pfade, Konnektionen und aufspannende Paarungen
– Charakterisierungstheorem für aussagenlogische Gültigkeit
3. Gültigkeit prädikatenlogischer Formeln
– Matrixrepräsentation, Klauselkopien, indizierte Paarungen
– Charakterisierungstheorem für prädikatenlogische Gültigkeit
Aussagenlogische Matrizen – Syntax
• P 0 : Alphabet (Aussagenvariablen / Atome)
• Literal: Atom P (positives Literal)
oder negiertes Atom ¬P (negatives Literal)
• Klausel: endliche Mengen von Literalen
Horn-Klausel: höchstens ein negiertes Atom
• Matrix: endliche Menge von Klauseln
Horn-Matrix: endliche Menge von Horn-Klauseln
• Lc : Vorkommen des Literals L in Klausel c
Inferenzmethoden
26
Matrizen und Gültigkeit
Matrizen – repräsentierte Formel
• Positive Repräsentation:
– ein Literal repräsentiert sich selbst,
– eine Klausel repräsentiert die Konjunktion ihrer Literale und
– eine Matrix repräsentiert die Disjunktion ihrer Klauseln.
Gut für direkte Beweisführung
• Negative Repräsentation:
– ein Literal repräsentiert seine negierte Form,
– eine Klausel repräsentiert die Disjunktion ihrer Literale und
– eine Matrix repräsentiert die Konjunktion ihrer Klauseln.
Gut für indirekte Beweisführung
Inferenzmethoden
27
Matrizen und Gültigkeit
Positive und negative Repräsentation
Matrix als Menge von Mengen
repräsentiert
positiv
Disjunktion von
repräsentiert
negativ
Negation
Konjunktionen
Klauseln als
Spalten der Matrix
Inferenzmethoden
Konjunktion von
Disjunktionen
(Vorzeichentausch)
90 o Drehung
Vorzeichentausch
28
Klauseln als
Zeilen der Matrix
Matrizen und Gültigkeit
Matrizen und Formeln
{{¬P, Q, R}, {¬Q, ¬R}, {P, Q}}
repräsentiert
positiv
¬P
∧
Q ∧ R ∨ ¬Q ∧ ¬R
¬P
Q
R
¬Q
¬R
∨
repräsentiert
negativ
P
P
Q
Inferenzmethoden
∧
Q
Negation
o
90 Drehung
Vorzeichentausch
29
(P
∨
¬Q ∨ ¬R) ∧ (Q ∨ R) ∧ (¬P
¬P
¬Q
P
¬Q
Q
R
Matrizen und Gültigkeit
¬R
∨
¬Q
Horn-Matrizen
• Mengenschreibweise:
{{P }, {¬P, Q}, {¬Q, R}, {¬R}}
• Matrixform (positiv):
P
¬P ¬Q ¬R
Q
• Negative Repräsentation:
Prolog Programm:
R
Q
P
R
R.
¬R
Q :- R.
¬P
:- P ?
¬Q
Inferenzmethoden
P :- Q.
30
Matrizen und Gültigkeit
Semantik aussagenlogischer Matrizen
• Interpretation: endliche Teilmenge von P 0
– (Vereinfachung einer Funktion Π : U 0 →{>, ⊥})
• Wert unter Interpretation M (positive Repräsentation):
Atom P
>, falls P ∈ M
⊥, sonst
Literal ¬P >, falls P 6∈ M
Klausel c
Matrix F
>, falls alle Literale den Wert > haben
>, falls eine Klausel den Wert > hat
⊥, sonst
⊥, sonst
⊥, sonst
(Negative Repräsentation: tausche ⊥ und >)
• M |= F (M Modell für F ): Wert von F unter M ist >
• F erfüllbar: es gibt ein Modell für F
• F gültig: jede Interpretation ist Modell für F
Inferenzmethoden
31
Matrizen und Gültigkeit
Gültigkeit aussagenlogischer Matrizen
¬P
P
gültig
¬P ¬Q
Q
P
gültig
¬Q ¬P
Q
P
Inferenzmethoden
32
nicht gültig
Matrizen und Gültigkeit
Komplementarität aussagenlogischer Matrizen
• Pfad durch Matrix {c1, . . . , cn}:
– Menge {Lc11 , . . . , Lcnn } (je ein Literal aus jeder Klausel)
• Konnektion: Teilmenge eines Pfades mit der Form {P, ¬P }
• Paarung: Menge von Konnektionen in einer Matrix
• aufspannende Paarung in einer Matrix F :
– jeder Pfad durch F enthält mindestens eine ihrer Konnektionen
• Komplementär
– Literale L und L0 : L und L0 bilden Konnektion
– Pfad p={Lc11 , . . . , Lcnn }: p enthält Konnektion
– Matrix F : jeder Pfad durch F ist komplementär
Inferenzmethoden
33
Matrizen und Gültigkeit
Charakterisierung aussagenlogischer Gültigkeit
P
¬P
Q
¬Q
R
¬R
Pfade: {P, ¬P, ¬Q, ¬R}, {P, ¬P, R, ¬R}, {P, Q, ¬Q, ¬R}, {P, Q, R, ¬R}
Aufspannende Paarung:
Menge der Pfade
P
¬P
Q
¬Q
R
¬R
=
ˆ konjunktive Normalform der Matrix
Aufspannende Paarung =
ˆ jede Zeile der KNF enthält L ∨ ¬L ≡ >
⇓
Eine Formel ist genau dann gültig,
wenn sie eine aufspannende Paarung aufweist
Inferenzmethoden
34
Matrizen und Gültigkeit
Dreidimensionale prädikatenlogische Matrizen
∀abc∃xyz[P xc ∧ P (f zb, b) ∨ ¬P (f ay, y)]
¬P
P
P
x
c
f
f
a
z
y
b
Definition analog zu aussagenlogischen Matrizen (erweiterter Begiff “Atom”)
Inferenzmethoden
35
Matrizen und Gültigkeit
Gültigkeit — prädikatenlogisch
¬Hy
¬Sx
Sy
Ax
Hc
¬Ac
Gültig: Termfüße identisch mit σ = {x\c , y \c}
P xc
¬P (f ay, y)
P (f zb, b)
¬P (f ay1, y1) ¬P (f ay2, y2)
P xc
P (f zb, b)
σ = {x\f ac , y1 \c , z \a , y2 \b}
Klauselkopie erforderlich für Beweis:
1
¬P (f ay, y)
P xc
Kurzform: Indizierte Paarung
2
P (f zb, b)
Inferenzmethoden
36
Matrizen und Gültigkeit
Charakterisierung prädikatenlogischer Gültigkeit
• indizierte Paarung: Konnektion mit Index für Klauselkopie
• indizierte Matrix: Matrix mit indizierter Paarung
expandierte Form einer indizierten Matrix:
– erweiterte Form mit expliziten Kopien von Klauseln
• Pfad durch indizierte Matrix: Pfad durch ihre expandierte Form
• aufspannende (indizierte) Paarung:
– Jeder Pfad durch die indizierte Matrix enthält mindestens eine Konnektion.
Eine prädikatenlogische Formel (in Matrixform) ist gültig,
wenn sie eine aufspannende indizierte Paarung aufweist
und es eine Substitution σ gibt, deren Anwendung die durch die
Paarung konnektierten Termfüße identisch macht.
Inferenzmethoden
37
Matrizen und Gültigkeit
Inferenzmethoden
Lektion 5
Das Extensionsverfahren für Horn-Logik
1. Extensionsschritt
2. Bereinigungsschritt
3. Rücksetzungsschritt
4. Separation
5. Vollständigkeit für die Hornlogik
Matrixbasierte Deduktion
(ca. 2 n für F = {c1, . . . , cn})
• Ziel: Überprüfung aller Pfade
• Beobachtung: Pfade, bei denen Konnektion gefunden wurde sind
komplementär und brauchen nicht weiter untersucht zu werden.
⇒ Orientiere Überprüfung an Konnektionen
(ca. m2 bei m Literalen)
Eliminiere Pfade (durch Literal L), die eine Konnektion (mit L)
enthalten. Untersuche systematisch die restlichen Pfade (durch L)
• Grundidee: (Tiefensuche)
– Kennzeichne abgeschlossene (komplementäre) Teilpfade
– Verfolge den nächsten noch offenen Teilpfad
– (Konnektionenorientiert = Extension des Pfades)
– Markiere Teilpfade, die später noch zu betrachten sind
Inferenzmethoden
38
Das Extensionsverfahren
Extensionsschritt “ ` ”
P
%
Q
↑
¬P ¬Q ¬R
Q
R
R
↑ markiert aktuelle Klausel
P markiert Literale des aktuellen Pfades
`
P
Q
%
¬P. ¬Q ¬R
Q
R
%
R
↑
. markiert abgeschlossene (komplement äre) Teilpfade
% markiert Startliterale der noch offenen Teilpfade
1. Wähle ein mit % markiertes Literal P der aktuellen Klausel.
2. Ersetze % durch Box P ; wähle von P ausgehende Konnektion
– falls es weitere Konnektionen gibt, vermerke diese in Alternativenmenge
3. Markiere konnektiertes Literal mit .
4. Markiere andere Literale der konnektierten Klausel mit %
5. Verschiebe ↑ auf die konnektierte Klausel
Inferenzmethoden
39
Das Extensionsverfahren
Bereinigungsschritt “ ∼ ”
P
Q
%
¬P. ¬Q. ¬R.
Q
R
R
%
∼
↑
P
Q
%
¬P. ¬Q. ¬R
Q
R
%
R.
↑
• Keine Extension mehr möglich
• Keine Literale der aktuellen Klausel mit % markiert
⇒ Alle Alternativen des aktuellen Pfades sind überprüft
1. Entferne Punktmarkierungen der aktuellen Klausel
2. Setze ↑ zurück auf letze Klausel des aktuellen Pfades
3. Ersetze Boxmarkierung durch Punktmarkierung
Nach Bereinigung sind weitere Extensionen von der nun aktuellen Klausel möglich
Inferenzmethoden
40
Das Extensionsverfahren
Ableitung für
¬P
P
Q
Q
R
%
↑
¬Q ¬R
R
Q
Q
R
%
P.
Q
Q
R
↑
¬P
↑
P
Q
Q
R
∼
2x
↑
%
¬P
P
%
R
¬Q ¬R
R
Q
¬P
∨
∧
Q
%
R
Q∧R
`
↑
P
Q.
Q
R
R
`
Q
Q
R
P
R
↑
`
∨
Q
R
%
R
P
Q.
Q
R
R
Q
Q
R
↑
R
R
41
∼
2x
¬P ¬Q. ¬R.
P.
`
↑
¬Q ¬R
Inferenzmethoden
¬R
¬P. ¬Q ¬R.
%
¬P ¬Q. ¬R
¬Q ∧ R
¬P. ¬Q. ¬R
%
↑
P.
∨
Q
R
¬P. ¬Q ¬R
%
`
∧
¬P. ¬Q ¬R
Q
¬P. ¬Q. ¬R.
P
`
P
Das Extensionsverfahren
∼
3x
↑
Rücksetzung (Backtracking)
P
Q
%
¬P. ¬Q. ¬Q
Q
R
%
R
%
7→
↑
P
Q
%
¬P. ¬Q ¬Q
Q
%
R
R↑
• Keine Extension mehr möglich
• Alternativenmenge nicht leer
⇒ Eine andere Alternative muß verfolgt werden
1. Gehe zurück auf Literal des aktuellen Pfades,
von dem aus eine alternative Konnektion beginnt
2. Stelle die damalige Konfiguration wieder
3. Streiche die zuletzt betrachtete Konnektion
aus der Alternativenmenge
Inferenzmethoden
42
Das Extensionsverfahren
Extensionsverfahren – (semi-)algorithmisch
1. Wähle Startklausel (positive Klausel) und markiere sie mit ↑
– Lemma: Jede gültige Matrix hat mindestens eine rein negative und eine rein positive Klausel.
2. Markiere alle Literale der aktuellen Klausel mit %
3. Führe Extensions- Bereinigungs- und Rücksetzungsschritte aus, solange dies
möglich ist.
4. Die Formel ist gültig, wenn kein Literal der Startklausel mehr zu betrachten ist.
Andernfalls ist die Formel nicht allgemeingültig sofern alle Klauseln betrachtet wurden
Extensionskalkül – nicht Verfahren (Strategie) im eigentlichen Sinne
Offene Steuerungsparameter:
• Wahl der Startklausel – sollte Zielklausel (Behauptung) sein
• Reihenfolge der Literale in einer Klausel
• Wahl der Konnektion bei mehreren Alternativen
Inferenzmethoden
43
Das Extensionsverfahren
Separation
¬P. ¬R
Q
P
Q
%
R
;
%
↑
¬R
R
↑
• Keine Extension mehr möglich
• Alternativenmenge leer
• Noch unbetrachtete Klauseln vorhanden.
⇒ Gültigkeit hängt nur von verbleibenden Klauseln ab
1. Ignoriere Klauseln mit Literalen des aktuellen Pfades
2. Starte Extensionsverfahren erneut
Inferenzmethoden
44
Das Extensionsverfahren
Extensionsverfahren – Eigenschaften
• `B F : F wird vom Beweisverfahren B als gültig bewiesen
• Korrektheit eines Beweisverfahrens B : aus `B F folgt |= F
– F beliebige Formel einer gegebenen Formelklasse
• Vollständigkeit eines Beweisverfahrens B : aus |= F folgt `B F
• Entscheidungsverfahren B :
B entscheidet für jede Formel F
nach endlich vielen Schritten ob `B F oder 6`B F gilt.
Das Extensionsverfahren ist korrekt und (bei Start mit der Zielklausel !!)
vollständig für die Klasse der Hornformeln
Inferenzmethoden
45
Das Extensionsverfahren
Inferenzmethoden
Lektion 6
Das allgemeine Extensionsverfahren
1. Allgemeiner Extensionsschritt
2. Korrektheit und Vollständigkeit
3. Komplexitätsbetrachtungen
4. Strategische Hinweise
5. Verarbeitung von Nichtnormalformmatrizen
Allgemeiner Extensionsschritt “ ` ”
P
Q
%
¬P. ¬Q. ¬R
Q
R ¬Q
R
%
`
↑
P
Q
%
↑ markiert aktuelle Klausel
¬P. ¬Q. ¬R.
Q
R ¬Q.
R
%
↑
. markiert abgeschlossene (komplement äre) Teilpfade
% markiert Startliterale der noch offenen Teilpfade
P markiert Literale des aktuellen Pfades
1. Wähle ein mit % markiertes Literal P der aktuellen Klausel.
2. Ersetze % durch Box P ; wähle von P ausgehende Konnektion
– falls es weitere Konnektionen gibt, vermerke diese in Alternativenmenge
3. Markiere alle Literale der konnektierten Klausel, die mit
einem Literal des aktuellen Pfades konnektiert sind, mit .
4. Markiere andere Literale der konnektierten Klausel mit %
5. Verschiebe ↑ auf die konnektierte Klausel
Inferenzmethoden
46
Das allgemeine Extensionsverfahren
Das Extensionsverfahren CP 01
Falls {} ∈ F so ist F gültig und das Verfahren bricht ab
Erfolg
%-List ← [] ; p ← {}
Wähle Klausel c ∈ F ; streiche c aus F
Solange F 6= {}
Wähle Literal L ∈ c ; streiche L aus c
Extension mit L
Falls c 6= {} erweitere %-List um die Markierung (c, p, F )
Erweitere p um L
Falls es eine Klausel d ∈ F und ein Literal L0 ∈ d gibt, das mit einem K ∈ p konnektiert ist
Dann streiche d aus F ; streiche alle mit einem K ∈ p konnektierten Literale aus d
Falls d = {}
Dann Falls %-List = [] so ist F gültig und das Verfahren bricht ab
Erfolg
Wähle (c, p, F ) als die letzte Markierung aus %-List; streiche diese
Bereinigung
Sonst c ← d
Sonst %-List ← [] ; p ← {} ;
Separation und Neustart
Wähle Klausel c ∈ F ; streiche c aus F
Ist F = {} so ist F ungültig und das Verfahren endet
F : aktuelle Matrix;
p :aktueller Pfad;
Inferenzmethoden
Mißerfolg
%-List: Markierung der Startliterale von offenen Teilpfaden
47
Das allgemeine Extensionsverfahren
Allgemeines Extensionsverfahren – Eigenschaften
• CP 01 ist korrekt.
• CP 01 ist vollständig für die Aussagenlogik.
• CP 01 ist ein Entscheidungsverfahren.
• CP 01 ist konfluent.
– bei alternativen Extensionsmöglichkeiten spielt die Auswahl keine Rolle
⇒ kein Rücksetzschritt erforderlich!
• Komplexität exponentiell.
– Obergrenze m ∗ 2n Schritte bei m Literalen, n Klauseln (grobe Abschätzung)
– Gültigkeitsproblem is co-NP-vollständig
⇒ Reduktion der Klauselmenge sehr wichtig
– Mittelwerte deutlich besser (linear bei Hornklauseln oder ≤2 Literalen je Klausel)
Inferenzmethoden
48
Das allgemeine Extensionsverfahren
Beweisstrategien
Steuerung der Regeln eines Kalküls/Verfahrens
• Beweissuche =
ˆ implizite Verabeitung eines Suchbaumes
• Top-Down oder Bottom-up Beweisführung: Wahl der Startklausel
– Zielklausel (Behauptung): analytische (Rückwärts) Beweisführung
– sonst: synthetische (Aufwärts) Beweisführung
•
-Verzweigung: Wahl des nächsten betrachteten Teilpfades
– keine echte Auswahl (beides muß verfolgt werden)
– Tiefensuche: (verfolge aktuellen Pfad) zeigt Unerfüllbarkeit schneller
– Breitensuche: (verfolge aktuelle Klausel)
•
-Verzweigung: Wahl der Konnektion
– Breitensuche: verfolge alle Alternativen simultan
vollständig, findet kürzeste Beweise, langsam
– Tiefensuche: verfolge eine Alternative (Backtracking im Mißerfolgsfall)
schnell, Vollständigkeit/Terminierung (Prädikatenlogik) kann verloren gehen
∧
∨
Inferenzmethoden
49
Das allgemeine Extensionsverfahren
Deduktionsverfahren für Nicht-Normalform
• Ersetze Normalisierung durch Erweiterung des Verfahrens
– Modifikation der Begriffe Matrix, Pfad, Konnektion
– Modifikation von Extensions-, Bereinigungs- und Rücksetzungsschritt
⇒ Keine exponentielle Aufblähung der Klauselmenge
⇒ Faktorisierung von Literalen während Beweisführung möglich
⇒ Aufwendigeres Verfahren – schnellere Beweisführung (?)
• Nicht-Normalform Matrizen
– Matrix der Tiefe 0: Literal L
– Matrix der Tiefe 1: Klausel c = {L1, . . . , Lk }
– Matrix der Tiefe n+1: endliche Menge {M1, . . . , Mj } von Matrizen der Tiefe ≤n
• Repräsentierte Formel (positiv)
– Matrix der Tiefe 0: das entsprechende Literal L
– Matrix der Tiefe 2n-1: Konjunktion der Teilmatrizen M1, . . . , Mj
– Matrix der Tiefe 2n: Disjunktion der Teilmatrizen M1, . . . , Mj
⇒ Semantik eindeutig festgelegt
Inferenzmethoden
50
Das allgemeine Extensionsverfahren
Gültigkeit von Nicht-Normalform Matrizen
P
Q
¬P ¬Q
Q R
¬R ¬S
S
• Pfade durch Matrix F
– Literal L: ein Pfad {L}
– Matrix {L1, . . . , Lk , {M1,1, . . . , M1,j1 }, . . . , {Mm,1 , . . . , Mm,jm }}:
alle Pfade {L1, . . . , Lk }∪ ∪ i≤m{pi | pi Pfad durch ein Mi,l
(l≤ji )}
• Konnektion, (aufspannende/indizierte) Paarung, Komplementarität
– Definition unverändert
Eine prädikatenlogische Matrix ist gültig, wenn sie eine aufspannende
indizierte Paarung aufweist und es eine Substitution gibt, deren
Anwendung die konnektierten Termfüße identisch macht.
Inferenzmethoden
51
Das allgemeine Extensionsverfahren
Extensionsverfahren für Nicht-Normalform Matrizen
P
%
Q
↑
P
Q
%
P.
Q
%↑
P.
Q
¬P ¬Q
Q R
¬R ¬S
S
P
Q
%
¬P.¬Q.
Q R
¬R. ¬S
S
∼
P
Q
↑
%
¬P ¬Q
Q R
%
¬R ¬S
S
¬P ¬Q
Q R
S
`
.
¬R.¬S.
↑
Inferenzmethoden
`
∼
∼
P.
Q
↑
P
Q
¬P. ¬Q
Q R
%↑
¬R ¬S
S
`
%↑
¬P ¬Q
Q R
%
.
¬R ¬S
S
`
%↑
¬P ¬Q.
Q R
%↑
¬R ¬S
S
S
52
P
Q
%
%↑
¬P ¬Q
Q R
P
Q
¬R ¬S
`
P.
Q
¬P.¬Q.
Q R
¬R ¬S
%↑
S
`
%↑
¬P ¬Q
Q R
.
¬R ¬S.
S
¬P ¬Q.
Q R
↑
¬R. ¬S
S
%
↑
∼
∼
∼
∼
`
Verfahren ähnlich wie zuvor
Details trickreich ( → Bibel 87)
Verallgemeinerungen möglich
Das allgemeine Extensionsverfahren
Inferenzmethoden
Lektion 7
Varianten von Deduktionsverfahren
1. Tableaux-Verfahren
2. Modellelimination
3. Maslov-Verfahren (Inverse Methode)
4. Semantische Bäume
5. Konsolution
Tableaux-Verfahren
Gegeben: Matrix {c1, . . . , cn} mit ci = {Li1, . . . , Limi }
Menge von Konnektionen {k1, . . . , km} mit kj = {P
ci
j
, ¬P
ci 0
j
}
Start: Ein Knoten markiert mit der gesamten Matrix.
Regeln: Wähle Klausel ci = {Li1, . . . , Limi }.
Generiere mi Nachfolger, markiert mit Li1, . . . , Limi .
Ziel: Alle Äste abgeschlossen (enthalten Konnektion der Matrix)
Rechtfertigung: Äste entsprechen Teilpfaden durch die Matrix. Die Äste des
Baumes sind genau dann abgeschlossen, wenn jeder Pfad durch die Matrix komplement är
ist.
Originalverfahren arbeitet ohne Normalform
Extensionsverfahren =
ˆ kompaktifizierte, effizientere Version
Inferenzmethoden
53
Varianten von Deduktionsverfahren
Tableaux-Ableitung für
P
∧
Q
∨
¬P
∧
Q∧R
∨
¬Q ∧ R
∨
¬R
{{P, Q}, {¬P, Q, R}, {¬Q, R}, {¬R}}
Q
P
Q
¬P
•
¬Q
•
¬Q
•
R
¬R
•
R
Inferenzmethoden
¬R
•
R
54
¬R
•
Varianten von Deduktionsverfahren
Modell-Elimination
Untersuche Modelle, welche die Matrix falsifizieren könnten.
Zeige, daß keines Bestand hat.
P
∧
Q
∨
¬P
∧
Q∧R
∨
¬Q ∧ R
∨
¬R
1. Um die erste Klausel falsch werden zu lassen, muß P oder Q falsch sein. F ür ein erstes Gegenmodell nehmen wir also an P sei falsch und betrachten die weiteren Klauseln
2. Unter der Annahme ist ¬P wahr. Klausel 2 wird trotzdem falsch, wenn zus ätzlich Q falsch ist
oder R falsch ist. Wir nehmen an, Q sei falsch.
3. Unter den Annahmen ist ¬Q wahr. Klausel 3 wird trotzdem falsch, wenn zus ätzlich R falsch ist.
4. Unter den Annahmen ist ¬R wahr. Sie führen also nicht zu einem Gegenmodell und wir müssen
weitere Alternativen betrachten.
5. Wenn R wahr wäre, würde Klausel 3 wahr, also müssen wir weitere Alternativen betrachten.
6. Klausel 2 wird wahr, wenn Q wahr ist – es sei den, R wäre falsch. Unter dieser Annahme wird
aber Klausel 4 wahr und somit gibt es kein Gegenmodell, in dem P falsch ist.
...
Extensionsverfahren =
ˆ maschinennahe Modellelimination
Inferenzmethoden
55
Varianten von Deduktionsverfahren
Maslov-Verfahren (Inverse Methode)
Gegeben: Matrix {c1, . . . , cn} mit ci = {Li1, . . . , Limi }
Menge von Konnektionen {k1, . . . , km} mit kj = {P
ci
j
Start: m Knoten markiert mit Konnektionen kj = {P
, ¬P
ci
j
ci 0
j
, ¬P
}
ci 0
j
}.
Regel: Wähle Klausel ci = {Li1, . . . , Limi }
und mi Knoten markiert mit K1 ∪ {Li1} . . . Kmi ∪ {Limi }.
Leite ab K1 ∪ . . . ∪ Kmi .
Ziel: Knoten, der mit {} markiert ist.
Rechtfertigung: Die Regel entspricht dem Ableitungsschritt einer veränderten
Abarbeitungsreihenfolge bei der Suche nach Komplementarität. Statt Tiefensuche werden
ganze Klauseln verarbeitet und Teilpfade, welche alle Pfade mit Sicherheit komplement är
machen, auf einen Stack gelegt. Kann dies mit dem leeren Pfad erreicht werden, so ist die
gesamte Matrix komplementär.
Inferenzmethoden
56
Varianten von Deduktionsverfahren
Maslov-Ableitung für
{P, ¬P }
P
∧
{Q, ¬Q}
∨
¬P
{R, ¬R}
∧
Q∧R
∨
¬Q ∧ R
∨
¬R
Klausel
{P, Q}
{¬P, ¬Q}
{¬P, Q, R}
{¬Q, ¬R}
Inferenzmethoden
Q
{¬R}
{¬Q, R}
{}
{¬R}
57
Varianten von Deduktionsverfahren
Maslov-Ableitung als inverses Extensionsverfahren
¬P
P
Q
Q
R
%
↑
¬Q ¬R
R
Q
Q
%
R
`
↑
¬P. ¬Q. ¬R
Q
Q
R
Q
Q
R
R
%
↑
Inferenzmethoden
`
R
P
`
Q
R
`
R
%↑
¬P. ¬Q. ¬R
P
Q
Q
R
¬P
P
Q
¬P. ¬Q ¬R
Q
R
P
P
%↑
¬P. ¬Q ¬R
P
`
¬Q ¬R
¬P
R
%
↑
58
`
%
Q
¬Q ¬R
R
R
↑
¬P. ¬Q ¬R
P
Q
Q
R
%
R
↑
¬P. ¬Q. ¬R.
P
Q
Q
R
R
Varianten von Deduktionsverfahren
↑
Semantische Bäume
Gegeben: Matrix {c1, . . . , cn} mit ci = {Li1, . . . , Limi }
Menge von Konnektionen {k1, . . . , km} mit kj = {P
ci
j
, ¬P
ci 0
j
}
Start: Ein Knoten markiert mit der gesamten Matrix.
Regel: Wähle eine Konnektion kj = {P
ci
j
, ¬P
ci 0
Generiere 2 Nachfolger, markiert mit P
j
}.
ci
j
und ¬P
ci 0
j
.
Ziel: Alle Äste abgeschlossen (enthalten eine Klausel der Matrix)
Rechtfertigung: Jeder Ast beschreibt ein mögliches Modell welches durch eine der
Klauseln erfüllt werden muß.
Inferenzmethoden
59
Varianten von Deduktionsverfahren
Semantischer Baum für
P
∧
Q
∨
¬P
∧
Q∧R
∨
¬Q ∧ R
∨
¬R
{{P, Q} 1 , {¬P, Q, R} 2 , {¬Q, R} 3 {¬R} 4 }
¬P
P
¬Q
Q
¬Q
Q
1
R
¬R
R
¬R
R
¬R
3
4
2
4
3
4
Inferenzmethoden
60
Varianten von Deduktionsverfahren
Konsolution
Gegeben: Matrix {c1, . . . , cn} mit ci = {Li1, . . . , Limi }
Menge von Konnektionen {k1, . . . , km} mit kj = {P
ci
j
, ¬P
ci 0
j
}
Start: n Knoten markiert mit Mengen
von einelementigen Pfaden {{Li1}, . . . , {Limi }}
Regeln: Konsolution: Wähle zwei Knoten markiert mit Pfadmengen
P und Q. Generiere Nachfolger markiert mit dem Produkt
PQ = {p ∪ q | p ∈ P, q ∈ Q, p ∪ q nicht komplementär}
Vereinfachung: Ersetze Markierung {r1, . . . , rm} eines
0
} wobei ri0
erzeugten Knotens durch {r10 , . . . , rm
⊆
ri
Ziel: Ein Knoten, der mit {} markiert ist.
Rechtfertigung: Knoten codieren Teilpfade, die noch nicht als komplement är
nachgeweisen sind. Konsolution verkettet zwei Pfade und streicht dabei die
komplementären. Die Vereinfachung gestattet die Betrachtung von beliebigen Teilpfaden.
Das Verfahren endet, wenn kein Pfad übrigbleibt, der nicht komplementär ist.
Inferenzmethoden
61
Varianten von Deduktionsverfahren
Konsolutions-Ableitung für
P
{{P }, {Q}}
∧
Q
∨
¬P
∧
Q∧R
∨
{{¬P }, {Q}, {R}}
¬Q ∧ R
∨
¬R
{{¬Q}, {R}}
{{P, Q}, {P, R}, {Q, ¬P }, {Q}, {Q, R}}
{{P, Q, R}, {P, ¬Q, R}, {P, R}, {Q, ¬P, R}, {Q, R}}
{}
Verallgemeinerung von Resolution und Extensionsverfahren
Inferenzmethoden
62
Varianten von Deduktionsverfahren
{{¬R
Inferenzmethoden
Lektion 8
Resolution
1. Die Resolutionsregel
2. Resolutionsstrategien und -varianten
– Lineare Resolution, Eingaberesolution,
– Unitresolution, Set-of-Support
– SLD-Resolution / Prolog
– Konnektionsgraphenresolution
– Hyperresolution
..
Resolution
Gegeben: Matrix {c1, . . . , cn} mit ci = {Li1, . . . , Limi }
Menge von Konnektionen {k1, . . . , km} mit kj = {P
ci
j
, ¬P
ci 0
j
}
Start: n Knoten markiert mit den Klauseln ci = {Li1, . . . , Limi }
Regel: Wähle Konnektion kj = {P
ci
j
, ¬P
ci 0
j
}
und 2 Knoten markiert mit K1 ∪ {P
ci
Leite ab K1 ∪ K2 .
j
} und K2 ∪ {¬P
Ziel: Ein Knoten, der mit {} markiert ist.
Rechtfertigung: K1 ∧ K2 ist genau dann allgemeingültig, wenn
(K1
∧
P
ci
j
) ∨ (K2
∧
Inferenzmethoden
¬P
c i0
j
) allgemeingültig ist.
63
Resolution
ci 0
j
}.
Resolutions-Ableitung für
P
∧
Q
{P, Q}
∨
¬P
∧
Q∧R
∨
{¬P, Q, R}
¬Q ∧ R
∨
¬R
{¬Q, R}
{¬R
{Q, R}
{R}
{}
Linear, Input, SLD, P1 und einfache Hyper-Resolution
Inferenzmethoden
64
Resolution
Resolutionsstrategien und -varianten
Linear Resolution : Resolvente ist Elternklausel im nächsten Schritt.
Input Resolution : Eine Elternklausel ist eine Eingabeklausel
i.a. nicht vollst änd
Linear Input Resolution
vollständig für Hornklause
Unit-Resolution : Eine Elternklausel enthält nur ein Literal.
vollständig für Hornklause
P1 /N1 -Resolution : Eine Elternklausel ist positiv (negativ).
vollständ
Set-of-support : Eine Elternklausel hat einen Vorfahren in einer Stützmenge.
vollständig genau dann, wenn Restklauselmenge erfüllb
SLD Resolution : Linear resolution with Selection function restricted to Definite clauses
sehr effizient, da lineare Verkettu
LUSH Resolution : Linear resolution with Unrestricted Selection function on Horn clau
Konnektionsgraphen Resolution : Vermeide, daß über Konnektionen mehrfach
aufwend
resolviert wird (Markierung unbenutzter Konnektionen in Klauselgraphen)
Hyperresolution : Wähle Klausel mit negiertem Atom und zu jedem negierten Atom eine
vollst änd
positive Klausel, die dieses enthält. Resolviere gleichzeitig mit allen Klauseln.
Inferenzmethoden
65
Resolution
Unit-Resolution
{P, Q}
{¬P, Q, R}
{¬Q, R}
{¬P, Q}
{P }
{¬R
{¬Q}
{¬P }
{}
Inferenzmethoden
66
Resolution
Set-of-support Resolution
{P, Q}
{¬P, Q, R} {¬Q, R}
{¬R}
{Q, R}
{R}
{}
• Stützmenge: Menge von Klauseln, die relevant ist für Beweis
– Formel ohne diese Menge nicht beweisbar
– Beweisziel sollte enthalten sein
– im Beispiel: { {P, Q} }
• Strategie: resolviere mit Nachkommen der Stützmenge
– vollständig genau dann, wenn Restklauselmenge erfüllbar
Inferenzmethoden
67
Resolution
SLD-Resolution
{P, Q}
{¬P, Q, R} {¬Q, R}
{¬R}
{Q, R}
{R}
{}
• Lineare Input Resolution
+ Wahl des Literals immer aus “neu” erzeugten Literalen
+ Wahl der Inputklausel aus “Definiten Klauseln”
– Hornklauseln mit genau einem negativen Literal
→ Lineare Verkettung der Beweisschritte
– sehr effizient
• Grundlage von Prolog (negative Repräsentation)
Inferenzmethoden
68
Resolution
Konnektionsgraphen Resolution
•
•
•
..1
..2
•
•
•
J
K
•
•
•
L
`
¬L
•
•
•
..1
..2
..1
•
•
•
J
K
J
•
•
•
L
¬L
K
• Verhindere Mehrfachresolution über gleiche Konnektion
• Markiere unbenutzte Konnektionen in Klauselgraphen
Vererbe diese bei Resolutionschritt
• Technisch sehr aufwendig
Inferenzmethoden
69
Resolution
..
2
Hyper-Resolution
Gegeben: Matrix {c1, . . . , cn} mit ci = {Li1, . . . , Limi }
Start: n Knoten markiert mit Klauseln ci = {Li1, . . . , Limi }
Regel: Wähle Knoten markiert mit Klausel cj , die mindestens ein
negatives Literal enthält (Nukleus).
Sei cj = K ∪ {¬P1, . . . , ¬Pk }, wobei K positive Teilklausel.
Wähle positive Klauseln K1 ∪ {P1}, . . . Kk ∪ {Pk } (Elektronen)
Bilde als Resolvente die (positive) Klausel K ∪ K1 . . . Kk .
Ziel: Ein Knoten, der mit {} markiert ist.
Rechtfertigung: Die Ableitungsregel entspricht mehreren P1 -Resolutionsschritten,
die in einem Schritt ausgeführt werden.
Es gibt auch eine negative Variante
Inferenzmethoden
70
Resolution
Hyper-Resolutions-Ableitung für
P
∧
Q
∨
{P, Q}
¬P
∧
Q ∧ ¬R
∨
{¬P, Q, ¬R}
¬Q ∧ ¬R
∨
R
{¬Q, ¬R}
{Q}
{}
Inferenzmethoden
71
Resolution
{R}
Inferenzmethoden
Lektion 9
Reduktionstechniken
1. Klauselreduktionen und Literalreduktionen
2. Lineares Reduktionsverfahren für Hornklauseln
3. Nichtnormalformtechniken
Reduktionen
Kriterien für einen sinnvollen Einsatz
• Problem wird in ein echt “kleineres” Problem überführt;
• Gültigkeitserhaltend
– Gültigkeit des reduzierten Problems impliziert die des ursprünglichen Problems
– Umkehrung erwünscht aber nicht notwendig
• Anwendbarkeit kann “schnell” getestet werden
• Ausführung kann “schnell” erfolgen
Statisch oder dynamisch (im Beweisprozeß) verwendbar
Inferenzmethoden
72
Optimierungstechniken
Reduktionen I
MULT : eliminiere mehrfaches Vorkommen eines Literals in einer Klausel.
PURE : eliminiere Klauseln mit Literal, das in keiner Konnektion vorkommt.
TAUT : eliminiere tautologische Klauseln (P und ¬P kommt vor).
P
¬P
K
..
L
7→
M
M
SUBS : eliminiere Klauseln, die von anderen “subsumiert” werden.
P
..
Q
K
..
L
P
..
Q
Inferenzmethoden
M
7→
73
P
..
Q
M
Optimierungstechniken
Reduktionen II
UNIT : eliminiere Literale aus Klauseln, die ein komplementäres Literal in einer
Einerklausel haben.
P
K
..
L
¬P
M
7→
K
..
L
¬P
M
ISOL : ersetze die Elternklauseln einer isolierten Konnektion durch die Resolvente
P
K
..
L
¬P
K0
..
L0
M
7→
K
..
L
K0
..
L0
M
( ¬P und P kommen in M nicht vor)
Inferenzmethoden
74
Optimierungstechniken
Lineares Verfahren für Hornklauseln
Jede gültige Matrix hat mindestens eine rein negative Klausel
⇓
Jede gültige Horn-Matrix hat mindestens eine negative Einerklausel
⇓
1. Existiert keine negative Einerklausel, so ist die Matrix ungültig.
2. Wähle eine rein negative Klausel (Einerklausel) {¬L}.
3. Mit UNIT eliminiere jedes Vorkommen von L.
Wenn dadurch eine leere Klausel entsteht, ist die Matrix gültig.
4. Mit SUBS eliminiere alle anderen Klauseln die ¬L enthalten.
5. Mit PURE eliminiere die Einerklausel.
6. Wenn noch Klauseln übrig sind, gehe zurück nach 1.
Inferenzmethoden
75
Optimierungstechniken
Reduktionen III
FACTOR : Gleiche Literale in verschiedenen Klauseln können ausfaktorisiert werden
P
Q
R
¬P
Q
R
P
¬Q
R
¬P
¬Q
R
¬P
Q
¬R
P
Q
¬R
P
¬Q
¬R
¬P
¬Q
¬R
`
M(2) M(2)
R
Erzeugt Nicht-Normalform-Matrizen
MONOT : Eine Klauselmenge kann entfernt werden, wenn in der Restmatrix noch
eine Untermenge von ihr enthalten bleibt.
M1
M1 ,M2
P
Q
M
`
M1
P
M
Q
Besonders interessant für Nicht-Normalform-Beweise
Inferenzmethoden
76
Optimierungstechniken
¬R
Reduktionen
MULT : eliminiere mehrfaches Vorkommen eines Literals in einer Klausel.
PURE : eliminiere Klauseln mit Literal, das in keiner Konnektion vorkommt.
TAUT : eliminiere tautologische Klauseln.
SUBS : eliminiere Klauseln, die von anderen subsumiert werden.
UNIT : eliminiere Literale aus Klauseln, die ein komplementäres Literal in einer
Einerklausel haben.
ISOL : ersetze die Elternklauseln einer isolierten Konnektion durch die Resolvente.
FACTOR : faktorisiere gleiche Literale in verschiedenen Klauseln aus.
MONOT : entferne eine Klauselmenge, wenn in der Restmatrix noch eine
Untermenge von ihr enthalten bleibt.
CIRC : eliminiere tautologische Zyklen (subtil).
(POLYN : teste, ob andere bekannte polynomiale Deduktions-Verfahren anwendbar sind)
Inferenzmethoden
77
Optimierungstechniken
Inferenzmethoden
Lektion 10
Alternative Deduktionstechniken
1. Matrix-Reduktion von Prawitz
2. Davis-Putnam Verfahren
3. Lemmata
4. Primimplikanten
5. Gegenbeispiele
Prawitz - Matrixreduktionsverfahren
M
K1
..
L1
..
Km
Ln
P
¬P
K1
..
M
M
Km
7→
L1
..
¬P
Ln
P
Regel: Wähle Klausel mit einem Literal P und eine zweite mit ¬P .
Untersuche in separaten Teilmatrizen:
– Pfade, die dieses Auftreten von P aber nicht von ¬P enthalten
– Pfade, die dieses Auftreten von ¬P aber nicht von P enthalten
Ziel: Leere Klausel in Matrix
Rechtfertigung:
Die Ursprungsmatrix ist komplementär, wenn alle obengenannten Pfade komplementär sind.
Inferenzmethoden
78
Alternative Techniken
Davis–Putnam–Verfahren
Spaltung: Wähle Literal P , das auch in negierter Form auftritt.
Ersetze die Menge der Klauseln durch die folgenden beiden
reduzierten Klauselmengen:
– Klauseln, die P nicht enthalten, reduziert um ¬P
– Klauseln, die ¬P nicht enthalten, reduziert um P
Reduktion: Entferne tautologische Klauseln (TAUT),
Klauseln mit nichtkonnektierten Literalen (PURE),
subsumierte Klauseln (SUBS) und
Literale, die Komplemente in Einerklauseln haben (UNIT)
Ziel: Leere Klausel in Matrix
Schnellstes Verfahren für Aussagenlogik – nicht erweiterbar
Inferenzmethoden
79
Alternative Techniken
Varianten von Deduktionsverfahren
• Extensionsverfahren: Folge Konnektionen und halte als aktuellen Pfad, was noch nicht als
komplentär erkannt wurde. Halte unbetrachtete Literale der beteiligten Klauseln auf dem Stack.
• Tableaux: andere Form, alle Pfade aufzuschreiben und zu stoppen, wenn sie komplement är sind.
Historisch entstanden als Alternative zu Gentzen Kalkülen (viele Regeln!).
• Modellelimination: Elimination von Modellen, welche die Matrix falsifizieren k önnten.
Verfahren identisch mit Extensionsverfahren – Unterschiede in semantischer Rechtfertigung
• Maslov-Verfahren (Inverse Methode): Verarbeite Klauseln und leite dabei – beginnend mit den
Konnektionen – Teilpfade ab, die alle offenen Pfade garantiert komplement är machen.
• Semantische Bäume: Beginne alle Modelle aufzuschreiben und stoppe, wenn ein Modell durch eine
Klausel erfüllt (widerlegt) wird. Duale Form der Tableaux=Beweise.
• Resolution: leite aus zwei Klauseln mit komplementären Literalen eine Resolvente ab, die gültig ist,
genau dann wenn die Teilmatrix der Elternklauseln gültig ist.
• Konsolution: Notiere alle Pfadmengen, die durch die Vorgängerklauseln gehen und noch nicht als
komplementär nachgewiesen wurden. Verallgemeinerung von Resolution und Konnektionsmethode.
• Prawitz-Matrixreduktion Zerlegung in unabhängige Teilmatrizen.
• Davis Putnam: Iterative Anwendung von Reduktionstechniken und Spaltungsregel.
• Wahrheitstafeln
Inferenzmethoden
80
Alternative Techniken
Lemmata
Standardtechnik der Mathematik
• (P
∨
Q ∨ ¬P
∧
¬Q) ∧ R
enthält Aussage P
∨
∨
Q ∨ ¬P
(S
∧
∨
T
∨
¬S
∧
¬T ) ∧ ¬R
¬Q in 2 Varianten
• Lemmata zur Strukturierung und Verkürzung von Beweisen
– Separat beweisen und anwenden
– Ausfaktorisieren: (P
∨
Q ∨ ¬P
∧
¬Q)
∧
R ∨ ¬R
⇒ bis zu exponentieller Verkürzung der Beweislänge
• Problem: automatisches Erkennen relevanter Lemmata
Inferenzmethoden
81
Alternative Techniken
Primimplikanten
Minimale Voraussetzungen für Gültigkeit von F
• C Implikant von F : C ⇒ F gültig
• C Primimplikant von F :
– C Implikant von F und kein anderer Implikant von F ist Implikant von C
• Resolventen sind Implikanten ihrer Elternklauseln
• Offene Teilpfade des Extensionsverfahrens
sind Implikanten der Matrix
⇒ Extensionsverfahrens geeignet zur Primimplikantenberechnung
⇒ ungültige Formel kann zu gültiger “erweitert” werden.
Inferenzmethoden
82
Alternative Techniken
Gegenbeispiele
¬P. ¬Q.
P
Q
Q
R
%
%
R
↑
• Scheiternder Extensionsbeweis liefert
Gegenbeispiel für Gültigkeit der Matrix
– Interpretiere P , Q und R mit ⊥
• Simple Grundtechnik,
Details bei Prädikatenlogik subtiler
Inferenzmethoden
83
Alternative Techniken
Inferenzmethoden
Lektion 11
Unifikation
1. Unifikatoren und prädikatenlogische Gültigkeit
2. Unifikationsalgorithmus von Robinson
– Differenzenbehandlung
– Occurs-Check
– Effizienz
3. Martelli-Montanari Unifikation
Unifikatoren
Eine prädikatenlogische Formel ist gültig, wenn
.... es eine Substitution σ gibt, deren Anwendung die konnektierten Termf üße
identisch macht.
• Unifikator einer Menge von Termen S = {t1, . . . , tn}
– Substitution σ mit σ(t1) = . . . σ(tn)
• allgemeinster Unifikator (mgu) von S
– Unifikator σ mit: für jeden Unifikator τ von S gilt τ = στ .
Wie Unifikatoren effizient bestimmen?
Inferenzmethoden
84
Unifikation
Berechnung von Unifikatoren
Schrittweise Differenzen der Terme auflösen
• Differenz DIFF(s, t) der Terme s und t:
Menge ungeordneter Termpaare mit
– DIFF(s, s) = ∅
– DIFF(f (s1, . . . , sn), f (t1, . . . , tn)) = DIFF(s1, t1) ∪ . . . ∪ DIFF(sn, tn)
– DIFF(s, t) = {{s, t}} in allen anderen Fällen
DIFF(s1 , . . . , sn, t1, . . . , tn) = DIFF(s1 , t1) ∪ . . . ∪ DIFF(sn, tn)
• DIFF(s, t) verhandlungsfähig:
– Elemente sind Paare {x, t0} mit x ∈ V , t0 enthält x nicht (7→ ‘occurs-check’)
• Reduktion einer verhandlungsfähigen Differenz DIFF(s, t)
– Substitution {x\t0} mit {x, t0} ∈ DIFF(s, t)
⇒ verhandlungsfähige Differenzen reduzieren
Inferenzmethoden
85
Unifikation
Unifikationsalgorithmus von Herbrand–Robinson
Eingabe
Terme s und t
Initialisierung
σ ← {}
Reduktion
Solange DIFF(sσ, tσ) verhandlungsfähig,
wähle Reduktion ρ von DIFF(sσ, tσ)
Ergebnis
Falls
dann
sonst
σ ← σρ
DIFF(sσ, tσ) = ∅
σ allgemeinster Unifikator von {s, t}
{s, t} ist nicht unifizierbar.
• Exponentiell im schlimmsten Fall, konstant im Mittel
– occurs-check sehr zeitaufwendig
• Fortsetzung auf Systeme von Termpaaren
=
ˆ Unifikation von Termtupeln.
Inferenzmethoden
86
Unifikation
P (x, f gy, f x) und ¬P (h(y, z), f z, f h(u, v))
DIFF(sσ, tσ)
0 {{x, h(y, z)}, {z, gy}, {x, h(u, v)}}
{}
1 {{x, h(y, gy)}, {x, h(u, v)}}
{z\gy}
2 {{u, y}, {v, gy}}
{z\gy , x\h(u, v)}
3 {{v, gu}}
4 {}
DIFF(sσ, tσ)
{z\gu , x\h(u, v) , y\u}
{z\gu , x\h(u, gu) , y\u , v\gu}
P (x, f c) und ¬P (f d, x))
σ
0 {{x, f d}, {x, f c}}
{}
1 {{d, c}}
{x\f d}
2 nicht verhandlungsfähig
DIFF(sσ, tσ)
P (x) und ¬P (f x))
σ
0 {{x, f x}}
{}
1 nicht verhandlungsfähig (occurs-check!)
Inferenzmethoden
σ
87
Unifikation
Unifikationsalgorithmus von Martelli-Montanari
.
Gegeben: Zu lösende Gleichung s=t
Regeln: Termdekomposition
.
.
.
{f (s1, . . . , sn)=f (t1, . . . , tn)}∪E ; {s1=t1, . . . , sn=tn}∪E .
Entfernung trivialer Gleichungen
.
{x=x} ∪ E ; E
Umstellung
.
.
{t=x} ∪ E ; {x=t} ∪ E ,
wenn t 6∈ V
Variablenelimination
.
.
{x=t} ∪ E ; {x=t} ∪ E{x\t},
wenn x 6∈ t und x ∈ E
.
.
Ziel: (idempotente) Gleichungsmenge {x1=t1, . . . , xk =tk } (xi 6∈ ti )
Datenstruktur “Multigleichungen”:
.
.
.
.
– {u, v, w}=hxy statt u=hxy, v =hxy, w =hxy
⇒ Komplexität fast linear
Inferenzmethoden
88
Unifikation
Martelli-Montanari Unifikation
P (x, f gy, f x) und ¬P (h(y, z), f z, f h(u, v))
.
.
.
{x=h(y, z), f gy =f z, f x=f h(u, v)}
.
.
.
Termdekomposition {x=h(y, z), gy =z, x=h(u, v)}
.
.
.
Variablenelimination {x=h(y, z), gy =z, h(y, z)=h(u, v)}
.
.
.
.
Termdekomposition {x=h(y, z), gy =z, y =u, z =v}
.
.
.
.
Umstellung
{x=h(y, z), z =gy, y =u, z =v}
.
.
.
.
Variablenelimination {x=h(y, gy), z =gy, y =u, gy =v}
.
.
.
Umstellung
{x=h(y, gy), {z, v}=gy, y =u
.
.
.
Variablenelimination {x=h(u, gu), {z, v}=gu, y =u
P (x, f c) und ¬P (f d, x))
.
.
{x=f d, x=f c}
.
.
Variablenelimination {x=f d, f d=f c}
.
.
Termdekomposition {x=f d, d=c}
–
keine Regel anwendbar
P (x) und ¬P (f x))
.
{x=f x}
Zielsituation nicht erreicht
Inferenzmethoden
89
Unifikation
Inferenzmethoden
Lektion 12
Extensionsverfahren für die Prädikatenlogik
1. Allgemeine Extension mit Unifikation
2. Klauselkopien
3. Allgemeine Rücksetzung
4. Das prädikatenlogische Extensionsverfahren CP 11
Prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Eine prädikatenlogische Formel ist gültig, wenn sie eine aufspannende
indizierte Paarung aufweist und es eine Substitution σ gibt, deren
Anwendung die durch die Paarung konnektierten Termfüße identisch macht.
• Substitution σ parallel zur Matrix mitführen
• (Implizite) Klauselkopien dynamisch erzeugen
• Erweiterung des Extensionsschrittes “`”
– Unifikation konnektierter Literale integrieren
– Komplexere Alternativen
• Bereinigungsschritt “∼” i.w. unverändert
• Separationsschritt ersetzbar durch alternative Startklauseln
• Erweiterung des Rücksetzungsschrittes
– alternative konnektierte Klauseln
– alternative Unifikatoren und dazu passende konnektierte Literale
– alternative Startklauseln
– zusätzliche Instanzen der Matrix
Liften des aussagenlogischen Verfahrens
Inferenzmethoden
90
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Extensionsschritt “`”: prädikatenlogische Erweiterung
¬Hx ¬Sx ¬Ac
Hc Sx Ax
↑
{}
`
↑ markiert aktuelle Klausel
P markiert Literale des aktuellen Pfades
Aktuelle Substitution σ wird mitgeführt.
¬Hx. ¬Sx ¬Ac
Hc Sx Ax
% ↑
{x\c}
. markiert abgeschlossene (komplement äre) Teilpfade
% markiert Startliterale der noch offenen Teilpfade
1. Wähle ein mit % markiertes Literal P der aktuellen Klausel.
2. Ersetze % durch Box P ; wähle von P ausgehende Konnektion
– falls es weitere Konnektionen gibt, vermerke diese in Alternativenmenge
3. Unifiziere die konnektierten (mit σ modifizierten) Termfüße
– ggf. erweitere σ um zusätzlich generiertem Unifikator ρ
– Abbruch (des Extensionsschrittes), falls Termfüße nicht unifizierbar
4. Markiere alle Literale der konnektierten Klausel, die unter σ
komplementär zu einem Literal des aktuellen Pfades sind, mit .
5. Markiere andere Literale der konnektierten Klausel mit %
6. Verschiebe ↑ auf die konnektierte Klausel
Inferenzmethoden
91
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Prädikatenlogischer Extensionsbeweis
¬Hx
¬Sx
Sx
Ax
Hc
↑
¬Ac
¬Hx. ¬Sx
Hc
Sx
%
↑
¬Ac
Ax
¬Hx. ¬Sx.
Hc
Sx
Ax
%
↑
Sx
Ax
¬Hx
¬Sx
Sx
Ax
Hc
Inferenzmethoden
`
{x\c}
`
{x\c}
`
{x\c}
`
↑
¬Hx. ¬Sx.
Hc
¬Ac
{}
¬Ac.
↑
¬Ac
92
{x\c}
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Verallgemeinerung des Extensionsschrittes
Hc
¬Hy. ¬Sx
Sx ¬Hx
% ↑
{y \c}
`
Hc
¬Hy. ¬Sx.
Sx ¬Hx?
↑
{y \c}
• ¬Hx konnektiert mit Hc, aber nicht komplementär unter σ
• ¬Hx unifizierbar mit Hc durch Erweiterung von σ auf {y \c, x\c}
⇒ Schritt 4 verallgemeinern auf unifizierbare konnektierte Literale
“Markiere alle Literale der konnektierten Klausel, die unter einer Erweiterung von σ
komplementär zu einem Literal des aktuellen Pfades sind, mit .”
Inferenzmethoden
93
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Verallgemeinerung des Extensionsschrittes
¬Hy.¬Sx. ¬Ax
Hc Sx Ax ¬Hx
%
¬Sd
{y \c}
¬Hy.¬Sx.¬Ax.
Hc Sx Ax ¬Hx. {y \c, x\c}
¬Sd
`
↑
% ↑
`
¬Hy.¬Sx.¬Ax.
Hc Sx Ax ¬Hx
%
¬Sd.
{y \c, x\d}
↑
• ¬Hx unifizierbar mit Hc durch Erweiterung von σ auf {y \c, x\c}
• ¬Sd unifizierbar mit Sx durch Erweiterung von σ auf {y \c, x\d}
• mehrere alternative Extensionen mit verschiedenen Unifikatoren
⇒ Schritte 3 und 4 verallgemeinern
– Bilde Unifikatoren für alle Teilmengen konnektierter Literale
– Verfolge eine Alternative und speichere die anderen
– Verallgemeinere Rücksetzung entsprechend
Inferenzmethoden
94
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Allgemeiner prädikatenlogischer Extensionsschritt `
1. Wähle ein mit % markiertes Literal P der aktuellen Klausel.
2. Ersetze % durch Box P ; wähle von P ausgehende Konnektion
– falls es weitere Konnektionen gibt, vermerke diese in Alternativenmenge
3. Wähle Teilmenge der Literale der konnektierten Klausel, die mit
dem aktuellen Pfad konnektiert sind, und eine Substitution ρ,
welche die mit σ modifizierten Konnektionen komplementär macht
– ggf. erweitere σ mit zusätzlich generiertem Unifikator
– speichere weitere Teilmengen und Unifikatoren in einer Alternativenmenge
– Abbruch (des Extensionsschrittes), falls es keine solche Teilmenge gibt.
4. Markiere alle gewählten Literale der konnektierten Klausel mit .
5. Markiere andere Literale der konnektierten Klausel mit %
6. Verschiebe ↑ auf die konnektierte Klausel
Inferenzmethoden
95
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Klauselkopie
¬P c
¬P f x P ff y
Px
{}
`
¬P c
¬P%f x P ff y
P x.
↑
{x\c}
↑
• Extensionsschritt undurchführbar ({x\c} widerspricht {x\f y})
• Originalformel ∀x (P x ⇒ P f x) ∧ P c ⇒ ∃y P f f y gültig
– Argument ∀x (P x ⇒ P f x) doppelt verwenden
⇒ Klauselkopie erforderlich für Extensionsbeweis
• Offene Fragen:
– Rücksetzung 7→ automatische Erzeugung von Kopien?
– Tiefensuche: Kopien frühzeitig dynamisch erzeugen
– Breitensuche: Kopien nach erfolgloser Beweisführung
Prädikatenlogik unentscheidbar ⇒ unendliche Suche möglich
Inferenzmethoden
96
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Prädikatenlogischer Extensionsbeweis mit Klauselkopie
¬P c
¬P f x1 ¬P f x2 P ff y
P x1
P x2
{}
`
{x1 \c}
`
{x1 \c, x2 \f c}
`
↑
¬P c
¬P%f x1 ¬P f x2 P ff y
P x1 .
P x2
↑
¬P c
¬P f x1 ¬P%f x2 P ff y
P x1 .
P x2 .
↑
¬P c
¬P f x1 ¬P f x2 P ff y.
P x1 .
P x2 .
{x1 \c, x2 \f c, y \c}
↑
Klauselkopien und Konnektionen werden nur implizit verwaltet
Inferenzmethoden
97
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Allgemeine prädikatenlogische Rücksetzung
Keine Extension mehr möglich
• Alternativenmengen nicht leer?
1. Gehe zurück auf Literal des aktuellen Pfades, von dem aus
(a) eine alternative Unifikation möglich war oder
(b) eine alternative Konnektion beginnt
2. Stelle die damalige Konfiguration (und Substitution) wieder her
3. Streiche die neu betrachtete Unifikation (bzw. Konnektion) aus
der entsprechenden Alternativenmenge
• Alternativenmengen leer?
(a) Wähle alternative Startklausel (falls vorhanden) und beginne neu
(b) Erzeuge Kopie aller Klauseln und starte Verfahren erneut
Inferenzmethoden
98
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Prädikatenlogisches Extensionsverfahren CP 11
• 5 mögliche Alternativen sind zu verwalten
7→ ALTs
– Startklausel (statt Separation)
7→ %-List
– Literal von dem die Konnektion ausgeht
– Klausel, die mit dem Literal konnektiert ist
– Teilmenge der konnektierten Literale (in der Klausel) und ihr Unifikator
– Offene Pfade, die ggf. eine Kopie der Matrix benötigen
• Erlaube Extensionen von allen Literalen des aktuellen Pfades
• Ersetze Rücksetzung und Separation durch Verwaltung von
Alternativenmengen (ALTc , σ -List bzw. ALTs )
• Bearbeite Klauselkopien erst, wenn alle anderen Alternativen
abgearbeitet sind (paths i )
• Speichere Matrix im Original für mögliche Kopien.
• Vollständiges Verfahren – nicht auf Effizienz getrimmt
Inferenzmethoden
99
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
7→ ALTc
7→ σ -List
7→ paths i
Das prädikatenlogische Extensionsverfahren CP 11
Falls F ohne Existenzquantor, wende Davis-Putnam an
Aussagenlo
%-List ← [] ; ALTs ← [] ; ALTc ← [] ; σ -List ← [] ; paths 1 ← [] ; paths 2 ← []
i ← 1 ; M ← F ; σ ← {} ; p ← {}
Wähle Klausel c ∈ M ; streiche c aus M ; erweitere ALTs um alternative Klauseln aus M
Solange kein Beweis gefunden
Wähle Literal L ∈ c ; streiche L aus c
Falls c 6= {} erweitere %-List um die Markierung (c, p, M )
Erweitere p um L ; Erweitere paths i+1 um die Markierung (L, M, σ, p, %-List)
Falls es d ∈ M und L0 ∈ d gibt, das komplementär zu einem K ∈ p ist
Dann Erweitere ALTc um Markierungen (L, d0 , M, σ, p, %-List) für alternative Klauseln d0
streiche d aus M
Wähle e ⊆ d und mgu τ , so daß alle P ∈ e unter στ komplementär zu einem K ∈ p sind
Erweitere σ -List um Markierungen (d, e0 , M, σ, τ 0 , p, %-List) für alternative e0 und τ 0
c ← d−e ; σ ← στ
Falls c = {}
Dann Falls %-List = [] so ist F gültig und das Verfahren bricht ab
Wähle letzte Markierung (c, p, M ) aus %-List; streiche diese
Initialisier
Startkla
→ Pfaderweiter
offene Pfade abl
→ Extensionskla
→ Extensionsme
→ Exten
Er
Bereinig
Sonst Falls σ -List 6= []
Alternative Extensionsmenge/Unifik
Dann Wähle und streiche (c, e, M, σ, τ, p, %-List) aus σ -List; Setze fort mit Ausf ührung der Extension
Sonst Falls ALTc 6= []
Alternative Extensionskla
Dann Wähle und streiche letztes (L, d, M, σ, p, %-List) aus ALTc
Setze Extensionsschritt fort mit der Wahl einer neuen Extensionsmenge
Alternative Startkla
Sonst Falls ALTs 6= []
Dann Wähle und streiche letzte Klausel c aus ALTs ; M ← F −{c} ; σ ← {} ; p ← {}
Wähle und streiche L ∈ c ; Erweitere p und ggf. %-List
Sonst Falls paths i =[], so erhöhe i
Alternativer Kopiens
Wähle und streiche eine offene Pfadsituation (L, M, σ, p, %-List) aus paths i
Erweitere M um Kopie von F ; Setze Extensionsschritt fort mit Wahl der Extensionsklausel
Inferenzmethoden
100
prädikatenlogisches Extensionsverfahren
Inferenzmethoden
Lektion 13
Optimierungen und alternative Deduktionsverfahren
1. Erweiterung aussagenlogischer Reduktionstechniken
2. Erweiterung konnektionsorientierter Deduktionsverfahren
– Prädikatenlogische Resolution und Prolog
3. CLIN
Liften aussagenlogischer Reduktionstechniken
• MULT, PURE, TAUT, SUBS, UNIT, ISOL übertragbar
– Termfüße der entsprechenden Literale müssen unter σ gleich sein.
• Verallgemeinerung möglich
– Termfüße der entsprechenden Literale müssen unifizierbar sein
⇒ Substitution kann sich durch Reduktion ändern
P cx
P yc
M
{}
`MULT
M
P cc
{x\c, y \c}
– Aus Gültigkeit der reduzierten Matrix folgt die der Originalmatrix
– Umkehrung gilt nicht: (M = {{¬P cd}, {¬P dc}})
• Statische Anwendung (Preprocessing) wenig sinnvoll
– Reduktion erzeugt ggf. weitere Alternative im Beweis (Rücksetzung!)
⇒ dynamische Anwendung + Integration in Gesamtprozedur
• FACTOR, MONOT, CIRC erheblich aufwendiger
Inferenzmethoden
101
Optimierungen und Alternativen
Liften konnektionsorientierter Deduktionsverfahren
• Analog zu der des Extensionsverfahrens
– Tableaux, Maslov, Semantische Bäume, Konsolution, Resolution
• Prädikatenlogische Resolution
– Klauseln müssen paarweise verschiedene Variablen haben
⇒ Interne Umbenennung der Variablen von Elternklauseln nötig
⇒ Lokale Substitution/Unifikation möglich
– zusätzliche Faktorisierungsregel erforderlich
• Prolog: Prädikatenlogische Hornklausel-Resolution
– Große Effizienzsteigerung durch SLD-Resolution
– Programmiersprache – nicht Beweistechnik
• Davis-Putnam Verfahren nicht direkt übertragbar
Inferenzmethoden
102
Optimierungen und Alternativen
CLIN: Clause-Linking
• Idee: Unifikation und Klauselkopien vorwegnehmen
– Reduktion auf Aussagenlogik im restlichen Beweis
⇒ Schnelle aussagenlogische Verfahren und Reduktionen einsetzbar
(modifiziertes Davis-Putnam Verfahren mit Faktorisierung)
– Bis zu exponentieller Geschwindigkeitsverbesserung
– Aufwendig im Detail (viele Klauseln werden generiert)
• Vorgehensweise:
1. Ergänze ausgewählte Klauselkopien zu bisheriger Klauselmenge
– Alle (nichtredundanten) Hyper-Link Instanzen aller Klauseln
2. Überprüfe instantiierte Kopie der Klauselmenge auf Tautologie
– Ground Set: ersetze jede Variable durch dieselbe neue Konstante
– Test: aussagenlogisches Beweisverfahren
3. Im Erfolgsfall ist die Ausgangsformel gültig;
andernfalls fahre fort bei Schritt 1.
Inferenzmethoden
103
Optimierungen und Alternativen
CLIN – Grundbegriffe
• Hyper-Link einer Klausel c = {L1, . . . , Ln} ∈ M:
– Menge von unifizierbaren Konnektionen {(L1, M1), . . . , (Ln, Mn)},
(Mi
∈
M beliebig, gemeinsame Variablen umbenannt)
• Hyper-Link Instanz von c = {L1, . . . , Ln}:
– Klausel {L1σ, . . . , Lnσ} wobei σ allgemeinster Unifikator
des Hyperlinks {(L1, M1), . . . , (Ln, Mn)}
• Ground-Set einer Matrix M:
– Matrix M σ , wobei σ(x) = c für alle x ∈ M (c neue Konstante)
Inferenzmethoden
104
Optimierungen und Alternativen
Hyper-Links und Instanzen
1,2
1,3
¬P f x
P f 4a
c1 :
3,4
¬P a
Px
2,4
Hyper-Link (Kandidat)
σ
Instanz
{(P f 4a, ¬P f x)}
{x\f 3a}
{P f 4a}
—
—
{x\f z, y\f 2z}
{¬P f 2z, P f z}}
c2(1): {(¬P f x, P f 4a), (P x, ¬P f y)} {x\f 3a, y\f 2a} {¬P f 4a, P f 3a}}
c2(2): {(¬P f x, P f 4a), (P x, ¬P a)}
c2(3): {(¬P f x, P y), (P x, ¬P f z)}
c2(4): {(¬P f x, P y), (P x, ¬P a)}
c3 :
{(¬P a, P x)}
Inferenzmethoden
{x\a, y\f a}
{x\a}
105
{¬P f a, P a}}
{¬P a}
Optimierungen und Alternativen
CLIN – Ableitung
• Startzustand:
1.
4
¬P f x ¬P a
Pf a
2.
Px
¬P f c ¬P a
4
Pf a
Nicht tautologisch
Pc
• Erste Iteration:
¬P f 4a ¬P f 2 z ¬P f x ¬P f a ¬P a
1.
P f 4a P f 3a
P fz
Px
Pa
¬P f 4a ¬P f 2 c ¬P f c ¬P f a ¬P a
2.
P f 4a P f 3a
P fc
Pc
Pa
Nicht tautologisch
• Zweite Iteration:
¬P f 4a ¬P f 3a ¬P f 3 y ¬P f 2z ¬P f x ¬P f 2 a ¬P f a ¬P a
1.
P f 4a P f 3a P f 2a P f 2y
P fz
Px
P fa
Pa
¬P f 4a ¬P f 3a ¬P f 3c ¬P f 2c ¬P f c ¬P f 2 a ¬P f a ¬P a
2.
P f 4a P f 3a P f 2a P f 2c
Inferenzmethoden
P fc
106
Pc
P fa
Pa
Optimierungen und Alternativen
Tautologisch
Inferenzmethoden
Lektion 14
Verdichtung des logischen Schließens I:
Gentzen-Kalküle
1. Verdichtung als Entwicklungsprinzip
2. Der Kalkül des natürlichen Schließens
3. Sequenzenkalküle
Verdichtung logischer Deduktion
• Mathematisch-logisches Schließen
– natürliche Sprache mit Platzhaltern – sehr redundant
• Kalküle des natürlichen Schließens (NK, NJ, . . . )
– schematische Inferenzfiguren für logische Konnektive und Quantoren
– Globale Verwaltung von Annahmen erforderlich
• Sequenzenkalküle (LK, LJ, . . . )
– Lokale Sicht : Schließen über Urteile statt Aussagen
– Synthetische Formulierung (später auch analytische Varianten)
• Tableaux-Kalküle
– Zusammenfassung der Sequenzenregeln in Klassen α, β , γ , δ
– Analytische Formulierung : generiere P x und ¬P x in jedem Beweisast
– Instantiierung von Quantoren erfordert Vorausschau außerhalb des Kalküls
..
• Konnektionsmethode
– Darstellungsverdichtung : kompaktere Beweisdarstellung
– Unifikationsverdichtung : gezielte Instantiierung von Quantoren
– Konnektionenorientierung : gezielte Auswahl beweisrelevanter Literale
Inferenzmethoden
107
Gentzen-Kalküle
Verdichtung als Entwicklungsprinzip
Entferne Redundanzen aus deduktiven Verfahren
• Wie kann man Beweisverfahren weiter verdichten?
(7→ Reduktionen)
• Welche weiteren Schlußfolgerungsarten lassen sich in den
Verdichtungsprozeß integrieren?
(7→ Gleichheit, Induktion, . . . )
• Wie kann man verdichtete Beweisverfahren übertragen?
– als Beweismethode für weniger verdichtete Kalküle
– als Beweisverfahren für andere Logiken
• Wie kann man verdichtete Beweise zurückübersetzen?
– in Sequenzenbeweise oder natürliche Deduktion
– in natürliche Sprache
Inferenzmethoden
108
Gentzen-Kalküle
(7→ ILF)
Natürliche Deduktion
• Lesbare, kompaktifizierte Beweisdarstellung
– Beweisbaum mit Formeln
– Schematische Inferenzregeln als Übergang
– Globale Verwaltung temporärer Annahmen
• Schematische Inferenzfiguren für logische Symbole
– Einführungsregel –I: unter welchen Voraussetzungen ist eine Formel gültig?
– Eliminationsregel (–E): was folgt aus einer gegebenen Formel?
– Nur ein Axiom A
∨
¬A
(Intuitionistisch kein Axiom erforderlich)
• Synthetischer Aufbau
– für Beweissuche schlecht geeignet
Inferenzmethoden
109
Gentzen-Kalküle
Regeln der natürlichen Deduktion (NK)
¬-I
[A]
⊥
¬A
⊥-E
⊥
A
¬-E
¬A A
⊥
A ∧B
A
∨ -E
A ∨ B [A] [B]
C
C
C
⇒ -I
[A]
B
A⇒B
⇒ -E
A A⇒B
B
∀-I∗
A{x\a}
∀x A
∀-E
∀x A
A{x\t}
∃-E∗
∃x A [A{x\a}]
C
C
∨ -I
∃-I
A B
A ∧B
A ∧B
B
∧ -E
∧ -I
A
A ∨B
B
A ∨B
A{x\t}
∃x A
∗
: Eigenvariablenbedingung ( a
Inferenzmethoden
110
∈
V “unabhängig”)
Gentzen-Kalküle
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) :
mathematischer Beweis
1. Wir nehmen an (A ⇒ B)
∧
(B ⇒ C) sei erfüllt
2. Wir nehmen weiter an, daß A gilt.
3. Aus der ersten Annahme folgt (A ⇒ B)
4. und mit der zweiten dann auch B.
5. Aus der ersten Annahme folgt auch, daß (B ⇒ C) gilt
6. und mit der vierten dann auch C.
7. Es ergibt sich, daß C unter der Annahme A gilt. Also folgt A ⇒ C
8. Insgesamt folgt A ⇒ C unter der Annahme (A ⇒ B)
Damit gilt die Behauptung: ((A ⇒ B)
Inferenzmethoden
111
∧
∧
(B ⇒ C).
(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
Gentzen-Kalküle
NK-Beweis für ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
(1) (A ⇒ B)
∧
(2) A
(B ⇒ C)
Annahme
Annahme
(3) (A ⇒ B)
∧ -E
(5) (B ⇒ C)
∧ -E
(7) (A ⇒ C)
⇒ -I mit (2) und (6) — (2) entfällt
⇒ -E mit (2) und (3)
(4) B
[A]
(1)
mit (1)
⇒ -E mit (4) und (5)
(6) C
(8) (A ⇒ B)
mit (1)
∧
(B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C)
[(A ⇒ B)
∧
(B ⇒ C)](1)
(A ⇒ B)
B
((A ⇒ B)
Inferenzmethoden
∧
-E
(3)
⇒ -E
∧
⇒ -I mit (1) und (7) — (1) entf ällt
(4)
[(A ⇒ B)
∧
(B ⇒ C)](1)
(B ⇒ C)
(7)
C
⇒ -I
(8)
(A ⇒ C)
⇒ -I
(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
112
Gentzen-Kalküle
∧
-E
(5)
⇒ -E
(6)
Sequenzenkalküle
Inferenzmethoden
113
Gentzen-Kalküle
• Modifikation von NK
– Schließen über Urteile statt Aussagen
– lokale Sicht, keine Verwaltung von Annahmen nötig
– gut für interaktive Beweiser
– analytische Formulierung möglich (nicht im Original)
• Sequenz: A
. . , An} ` B
| 1, . {z
| 1, . .{z. , Bm}
Antezedent
Sukzedent
– Urteil: “Eine der Formeln Bi folgt aus den Annahmen A1 ,. . . ,An ”
– Behandlung von Formelmengen (-listen)
– Zielsequenz: ` C (Formel C gilt ohne Annahmen)
• Regeln manipulieren Sequenzen statt Formeln
– Einführungsregeln → Regeln für Sukzedent (–S)
– Eliminationsregeln → Regeln für Antezedent (–A)
A
∧
A
B
∧
-E
7→
Inferenzmethoden
Γ,A ` C
Γ,A ∧ B ` C
114
∧
–A
Gentzen-Kalküle
Sequenzenkalkül LK
Axiom
A ` A
¬-S
Γ,A ` Φ
Γ ` Φ,¬A
¬-A
Γ ` Φ,A
Γ,¬A ` Φ
∧ -S
Γ`Φ,A Γ`Φ,B
Γ ` Φ,A ∧ B
∧ -A
Γ,A ` Φ
Γ,A ∧ B ` Φ
∨ -S
Γ ` Φ,A
Γ ` Φ,A ∨ B
∨ -A
Γ,A ` Φ
Γ,B ` Φ
Γ,A ∨ B ` Φ
⇒ -S
Γ, A ` Φ,B
Γ ` Φ,A ⇒ B
⇒ -A
Γ ` Φ,A
∆,B ` Ψ
Γ,∆,A ⇒ B ` Φ,Ψ
∀-S∗
Γ` Φ,A{x\a}
Γ ` Φ,∀x A
∀-A
Γ,A{x\t} ` Φ
Γ,∀x A ` Φ
∃-S
Γ ` Φ,A{x\t}
Γ ` Φ,∃x A
∃-A∗
Γ,A{x\a} ` Φ
Γ,∃x A ` Φ
∗
Γ ` Φ,B
Γ ` Φ,A ∨ B
: Eigenvariablenbedingung ( a
Inferenzmethoden
115
∈
V “unabhängig”)
Gentzen-Kalküle
Γ,B ` Φ
Γ,A ∧ B `
Sequenzenkalkül: strukturelle Regeln
Schnitt
Γ ` Φ,A
A,∆ ` Ψ
Γ,∆ ` Φ,Ψ
Ausdünnung-S
Γ ` Φ
Γ ` Φ,Ψ
Ausdünnung-A
Γ` Φ
Γ,∆ ` Φ
Tausch-S
Γ ` Φ,A,B,Ψ
Γ ` Φ,B,A,Ψ
Tausch-A
Γ,A,B,∆ ` Φ
Γ,B,A,∆ ` Φ
Kontraktion-S
Γ ` Φ,B,B
Γ ` Φ,B
Kontraktion-A
Γ,A,A ` Φ
Γ,A ` Φ
Inferenzmethoden
116
Gentzen-Kalküle
Sequenzenbeweis für
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
A`A
B`B ⇒ -A
C`C
A, A ⇒ B ` B
⇒ -A
A, A ⇒ B, B ⇒ C ` C
∧ -A
A, A ⇒ B, (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ` C Tausch-A
A, (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C), A ⇒ B ` C
∧ -A
A, (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C), (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ` C Kontraktion-A
A, (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ` C
Tausch-A
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C), A ` C
⇒ -S
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ` A ⇒ C
⇒ -S
` ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ A ⇒ C
Extreme Redundanz durch notwendige Umordnung der Zielformel
Inferenzmethoden
117
Gentzen-Kalküle
Inferenzmethoden
Lektion 15
Verdichtung des logischen Schließens II:
Tableaux-Kalkül und Nichtnormalformbeweise
1. Tableaux-Kalkül
– Indirekte und direkte Tableaux-Beweise
– Repräsentationsunabhängiger Kalkül
– Bezug zu Matrizen
2. Extensionsverfahren auf Formelbäumen
– Matrixcharakterisierung für Formelbäume
– Anpassung der Grundkonzepte des Verfahrens
– Allgemeiner Extensionsalgorithmus
Tableaux-Kalküle
• Analytische, kompakte Variante des Sequenzenkalküls
– Regeln zerlegen die zu beweisenden Formel in Teilformeln
– Formeln mit ähnlichem Beweisverhalten zusammengefaßt in Klassen α, β , γ und δ
⇒ zielorientiertes Vorgehen + weniger Redundanz
• Begründung über indirekte Beweisführung
– Statt “` F ” zeige “¬F ` ⊥”
– Zeige, daß alle möglichen Konsequenzen von ¬F zum Widerspruch führen.
– Intuitiv einsichtig, aber negative Repräsentation
• Variante für direkte Beweisführung möglich
– Leite Voraussetzungen für die Gültigkeit von F ab
– Zeige, daß F in jedem möglichen Fall gilt
• Formale Regeln unabhängig von Repräsentationsform
– Betrachte (Teil-)Formel + Polarität ∈ {0,1}
– Formelmanipulation entsprechend der Klassen α, β , γ und δ
– Ziel: aus F 0 (Formel F mit Polarität 0) generiere P t0 und P t1 in jedem Beweisast
Inferenzmethoden
117
Tableaux-Kalkül
Indirekter Tableaux-Beweis: ¬∀xP x ∨ (P a ∧ P b)
1. Angenommen, ¬∀xP x ∨ (P a ∧ P b) ist falsch.
2. Dann muß sowohl ¬∀xP x falsch sein
3. also ∀xP x wahr sein
4. als auch P a ∧ P b falsch sein.
Wenn 4. gilt, dann müssen die Fälle 5. oder 6. zutreffen.
5. P a ist falsch.
6. P b ist falsch.
7. P a ist nach 3. wahr.
8. P b ist nach 3. wahr.
Widerspruch zwischen 5. und 7. Widerspruch zwischen 6. und 8.
1. ¬(¬∀xP x ∨ (P a ∧ P b))
2. ¬¬∀xP x
3. ∀xP x
4. ¬(P a ∧ P b)
5. ¬P a
6. ¬P b
7. P a
8. P b
Knoten der Äste konjunktiv verknüpft, Verzweigungen sind Alternativen
Inferenzmethoden
118
Tableaux-Kalkül
Direkter Tableaux-Beweis: ¬∀xP x ∨ (P a ∧ P b)
1. Um zu zeigen, daß ¬∀xP x ∨ (P a ∧ P b) gilt.
2. muß ¬∀xP x gelten.
3. oder P a ∧ P b gelten.
Wenn 3. gelten soll, dann müssen die Fälle 4. und 5. zutreffen.
4. P a muß gelten.
5. P b muß gelten.
6. Wenn ¬P a gilt, wäre 2. wahr.
7. Wenn ¬P b gilt, wäre 2. wahr.
4. und 6. decken alle Alternativen ab 5. und 7. decken alle Alternativen ab
1. ¬∀xP x ∨ (P a ∧ P b)
2. ¬∀xP x
3. P a ∧ P b
4. P a
5. P b
6. ¬P a
7. ¬P b
Knoten der Äste disjunktiv verknüpft, Verzweigungen sind Konjunktionen
Inferenzmethoden
119
Tableaux-Kalkül
Tableaux-Kalkül: Formelklassen und Ableitungsregeln
Klasse
Teilformeln
Klasse
Teilformeln
α
α1
α2
β
β1
β2
(A ∧ B)1
A1
B1
A0
B0
A
0
B
0
(A ∧ B)0
A
1
B
1
0
A
1
B
0
1
A
0
B
1
(A ∨ B)
0
(A ⇒ B)
(¬A)1
A0
(¬A)0
A1
γ
γ(t)
(∀xA)
1
(∃istsxA)0
A{x\t}
β–Regel
γ–Regel
δ–Regel
(A ⇒ B)
δ
1
A{x\t}0
α–Regeln
(A ∨ B)
1
(∀xA)
A{x\a}
α1
α2
β
β1
β
¬(A ∧ B)
¬A
¬B
(A ∧ B)
A
B
(A ⇒ B)
¬A
B
(A ∨ B)
¬(¬A)
A
B
A
¬A
(¬A)
γ
γ(t)∗
¬(∀xA)
¬A{x\t}
(∃istsxA)
δ(a)
0
α
A{x\t}
¬(A ∨ B)
¬(A ⇒ B)
δ
(∀xA)
¬(∃istsxA)
¬A
A
A{x\a
¬A{x\a
(∃istsxA)1 A{x\a}1
α und α
α1
α2
β
β1 | β 2
γ
, t beliebiger Term
γ(t)
δ , a ‘neue’ Konstante
δ(a)
Inferenzmethoden
120
=
ˆ ( ∧ -A,
∨ -S,
⇒ -S, ¬-A, ¬-S)
=
ˆ ( ∧ -S,
∨ -A,
⇒ -A)
=
ˆ (∀-A, ∃-S)
=
ˆ (∀-S, ∃-A)
Tableaux-Kalkül
¬
δ(a)∗∗
Klassen in positiver Repräsentation
0
¬
Tableauxbeweis für ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
[((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)] 0
(A ⇒ C)0
C0
A1
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C))1
(A ⇒ B)1
(B ⇒ C)1
A0
B1
B0
C1
“Normalisierung” während der Beweisführung
Inferenzmethoden
121
Tableaux-Kalkül
Tableaux ↔ Matrix
• Formeln in nichtnormalisierter Form
– Verzicht auf Negationsnormalform, ⇒ -Umwandlung, Skolemisierung und DNF
• Äste im Tableaux-Beweis =
ˆ Pfade durch die Matrix
α-Regel
β-Regel
γ-Regel
δ-Regel
Abgeschlossener Ast
=
ˆ
Extension (Pfadverlängerung)
=
ˆ
offene Literale (Verzweigung)
=
ˆ
Instantiierung einer Variablen
=
ˆ Freilegung einer Variablen (als Konstante)
=
ˆ
Konnektion im Pfad
• Extensionsverfahren =
ˆ verdichteter Tableauxbeweiser
– Konnektionenorientierung: gezielte Auswahl beweisrelevanter Teilformeln
– Unifikation: gezielte Instantiierung von Quantoren (γ -Regeln)
– Kompaktheit: operiere nur auf atomaren Teilformeln
(Reihenfolge der Regeln eindeutig bestimmt durch Formelbaum + Konnektionen + Substitution)
⇒ Extensionsverfahren ohne Skolemisierung/Normalisierung
– effizienter(?) und flexibler (erweiterbar auf andere Logiken und Beweisprobleme)
– nötig: Pfadbegriff und Verfahren entsprechend obiger Analogie modifizieren
Inferenzmethoden
122
Tableaux-Kalkül
Matrixcharakterisierung ohne Normalisierung
• Alternative zur Skolemisierung
– partielle Ordnung auf quantifizierten Variablen ( =
ˆ Anordnung im Formelbaum)
– Nur γ -Variablen können substituiert werden
– δ -Variablen werden (neue, lokale) Konstanten
• Indizierte Matrix =
ˆ indizierte γ -Variablen
– Multiplizität µ: Anzahl der Nachfolger eines γ -Knotens
• Pfade durch Formel(baum) F
–
–
–
–
–
Pfade
Pfade
Pfade
Pfade
Pfade
durch atomare Formel L: { {L} }
durch α-Knoten: { p1 ∪p2 | pi Pfad ab αi }
durch β -Knoten: { p | p Pfad ab β1 oder p Pfad ab β2 }
durch γ -Knoten: { p | p Pfad ab γ(xj ), j ≤ µ}
durch δ -Knoten: { p | p Pfad ab δ(a), a neue Konstante}
Eine Formel F ist gültig, wenn es eine Multiplizität µ, eine Substitution σ und eine
Menge von unter σ komplementären Konnektionen gibt, so daß jeder Pfad durch F
eine solche Konnektion enthält.
Inferenzmethoden
123
Tableaux-Kalkül
Formelbäume und Matrizen
F
≡ (S
T
0
∧
(¬(T ⇒R) ⇒P )) ⇒ (¬((P ⇒Q) ∧ (T ⇒R)) ⇒ (S
R1
K
P
1
Q0
K
T
K
⇒0
⇒1
I
]
¬0
P
I
S1
k
1
3
∧
1
P
⇒0
S0
¬1
k
¬1
¬0
I
I
1
∧y
¬¬P ))
R0
0
⇒1
∧
3
∧
0
⇒0
:
⇒0
Pfade durch Baum =
ˆ Pfade durch Nichtnormalform-Matrix
¬S
Inferenzmethoden
T
¬R
¬P
¬P
Q
¬T
R
124
S
P
Tableaux-Kalkül
0
Anpassung der Konzepte des Extensionsverfahrens
• Matrix F 7→ Blätter des Formelbaums F
– A: Menge der atomaren Formeln (Literale) in F
• Aktueller Pfad p 7→ Menge von Zweigen von α-Knoten
– dargestellt durch Menge der Literale, auf die sie hinführen
• Offene Teilmatrix M 7→ von p erreichbare Literale
– pα := { L ∈ A | L∼α p} = { L ∈ A | ∀Q ∈ p L∼α Q }
– L∼α Q: es gibt α-Knoten in F mit L ∈ α1 und Q ∈ α2 (oder umgekehrt)
– pα leicht aus Formelbaum zu berechnen.
• Aktuelle Klausel c 7→ noch offene alternative Pfadliterale
– schrumpft durch Erweiterung von p um Literal L
– zusätzlich Betrachtung von “Subklauseln” erforderlich
– c¯β (p, L) := cβ (p, L)∪{L} für L ∈ pα
– cβ (p, L) := { K ∈ pα | K ∼β L}
– K ∼β L: es gibt β -Knoten in F mit K ∈ β1 und L ∈ β2 (oder umgekehrt)
Inferenzmethoden
125
Tableaux-Kalkül
Extensionsschritt “ ` ”auf Formelbäumen
T 0 R1
K
P 1 Q0 T 1 R0
K
⇒
]
⇒
I
¬
I
S1
k
3
K
P0
⇒
¬
P1
S0
I
⇒
I
¬
k
3
¬
T 0 R1
K
`
:⇒
y
⇒
p = {}
c = {S 1 }, pα = {S 1 , T 0 , R1 , P 1 , P 1 , Q0 , T 1 , R0 , S 0 , P 0 }
P 1 Q0 T 1 R0
K
⇒
]
¬
I
S1
k
3
K
I
⇒
L̄ = S 0 ,
⇒
P1
¬
S 0.
I
⇒
I
¬
k
¬
3
:⇒
y
L = S 1,
P0
⇒
%-List= {},
p = {S 1 }
c¯β (p, L̄)} = {S 0 , P 0 },
e = {S 0}
c = {P 0 }, pα = {T 0 , R1, P 1 , P 1 , Q0, T 1 , R0, P 0
1. Wähle offenes Literal L der aktuellen Klausel c; markiere es mit L
– markiere Alternativen aus c¯β (p, L) mit %
(speichere Alternativen)
2. Wähle von L ausgehende Konnektion aus pα
3. Wähle Teilmenge e der ‘konnektierten Klausel’ ( c¯β (p, L̄)}), so daß
jedes L0 ∈ e mit einem Literal des aktuellen Pfades p konnektiert ist
– ggf. erweitere die Substitution σ um weiteren mgu ρ
– speichere Alternativen, sofern vorhanden (Abbruch, wenn keine Konnektion)
4. Markiere alle gewählten Literale aus e mit .
5. Wähle dieInferenzmethoden
restlichen Literale als neue
aktuelle Klausel
126
Tableaux-Kalkül
Extensionsbeweis auf Formelbäumen
T 0. R1
K
P 1. Q0 T 1 R0.
K
⇒
]
K
¬
1
k
3
P.
⇒
I
1
I
S
⇒
P0
¬
∧
S.
I
⇒
I
¬
k
3
¬
0
T
∧
¬S
:⇒
∧y
((
⇒
¬R
¬P
h`
h
`X
XP
P
¬P
Q
¬T
R
a
aa
a
H
H
H
H
S
P
Start
p = {},
c = {S 1 },
pα = {S 1 , T 0 , R1 , P 1 , P 1 , Q0 , T 1 , R0 , S 0 , P 0 }
Erster Schritt
L = S 1,
L̄ = S 0 ,
c = {P 0 },
L = T 1,
L̄ = T 0 ,
c = {R1},
%-List= {},
Zweiter Schritt
p = {S 1 }
L = P 0,
c¯β (p, L̄) = {S 0 , P 0 }, e = {S 0 }
pα = {T 0 , R1, P 1 , P 1 , Q0 , T 1 , R0, P 0 }
Dritter Schritt
%-List= {R0 },
p = {S 1 , P 0 , T 1 }
c¯β (p, L̄) = {T 0 , R1, P 1 },
pα = {R1, Q0 , R0 }
Inferenzmethoden
L̄ = P 1 ,
%-List= {},
c¯β (p, L̄) = {P 1 , T 1 , R0 },
c = {T 1 , R0 },
L = R1 ,
e = {T 0 , P 1 } L̄ = R0 ,
c = {},
127
p = {S 1 , P 0 }
e = {P 1 }
pα = {T 0 , R1 , P 1 , Q0, T 1 , R0}
Vierter Schritt
%-List= {},
p = {S 1 , P 0 , T 1 , R1 }
c¯β (p, L̄) = {R0},
pα = {Q0}
e = {R0}
Tableaux-Kalkül
Klauselkopie
• Nur γ -Knoten sind mehrfach verwendbar
• Kopie =
ˆ Hinzunahme zusätzlicher γ -Nachfolger
1
P 0a
1
P x1
P x2
∀x
P 0b
∧
P 1 x1
P 1 x2
∀ x1
∀ x2
α
P 0a
∧
⇒
⇒
γ -Kopien verhalten sich wie α-Knoten
⇒ technisch als α-Knoten behandeln
– Pfaderweiterung: { P
∈
pα | P ∼α L} = pα − c¯β (p, L)
– Stärkere Analogie zur Klauseldenkweise aus CP 11 möglich
Inferenzmethoden
128
P 0b
Tableaux-Kalkül
Extensionsverfahren auf Formelbäumen
µ ← 1 ; ALTs ← {c¯β ({}, L) | L
∈
Aµ } ; ALTc ← [] ; σ -List ← [] ;
Initialisier
Wähle (und streiche) c aus ALTs ; σ ← {} ; p ← {} , pα ← Aµ ; %-List ← []
Startkla
Solange kein Beweis gefunden
Wähle Literal L ∈ c ; c ← c ∩ cβ (p, L) ;
Falls c 6= {} erweitere %-List um die Markierung (c, p, pα )
Erweitere p um L ; pα ← pα − c − {L}
Falls es A ∈ pα gibt, das komplementär zu einem K ∈ p ist
Dann Erweitere ALTc um Markierungen (L, c¯β (p, A0), pα , σ, p, %-List) für alternative Atome A0
d ← c¯β (p, A)
Wähle e ⊆ d und mgu τ , so daß alle P ∈ e unter στ komplementär zu einem K ∈ p sind
Erweitere σ -List um Markierungen (d, e0 , pα , σ, τ 0 , p, %-List) für alternative e0 und τ 0
c ← d−e ; σ ← στ ; pα ← pα − e
Falls c = {}
Dann Falls %-List = [] so ist F gültig und das Verfahren bricht ab
Wähle letzte Markierung (c, p, pα ) aus %-List; streiche diese
→ Pfaderweiter
→ Extensionskla
→ Extensionsme
→ Exten
Er
Bereinig
Sonst Falls σ -List 6= []
Alternative Extensionsme
Dann Wähle/streiche (c, e, pα , σ, τ, p, %-List) aus σ -List; Setze fort mit → Extension
Alternative Extensionskla
Sonst Falls ALTc 6= []
Dann Wähle (L, d, pα , σ, p, %-List) aus ALTc ; Setze fort mit Wahl der → Extensionsmenge
Alternative Startkla
Sonst Falls ALTs 6= []
µ
Dann Wähle c aus ALTs ; σ ← {} ; p ← {} , pα ← A ; %-List ← []
Sonst Erhöhe µ ; ALTs ← {c¯β ({}, L) | L ∈ Aµ } ; ALTc ← [] ; σ -List ← []
Alternativer Kopiens
µ
Wähle c aus ALTs ; σ ← {} ; p ← {} , pα ← A ; %-List ← []
Implizite Positionsmarkierung zur Unterscheidung der Literale n ötig
Inferenzmethoden
129
Tableaux-Kalkül
Inferenzmethoden
Lektion 16
Verdichtung von Kopien und Konnektionen
1. Verdichtung von Klauselinstanzen
– Klauselsplitting
– Faktorisierung (Konnektionsstrukturkalkül)
2. Verdichtung von Konnektionen
– Datenbankreduktion
– Indizierung
3. Zyklenbehandlung
Klauselsplitting (Splitting by need)
Verkleinere Größe der zu kopierenden Klausel
¬P x1
¬P x2
Pa
7→
Pb
¬P x
Pa
Pb
• Betrachte konnektierte Teilklauseln separat
– nur eine Version von ¬P x erforderlich
• Allgemeine Split-Regel kompliziert
– nur Spezialfälle einfach
– Struktur der Formel muß berücksichtigt werden
⇒ Splitting in Unifikation integrieren
Inferenzmethoden
Bibel 1987, IV.10
130
Verdichtungen
Faktorisierung: P a ∧ (P x ⇒ P f x) ⇒ P f 8a
¬P a
Px
P f 8a
¬P f x
Extensionsbeweis verlangt 8 Klauselkopien
Px
Px
Px
Px
Px
Px
Px
Px
P f 8a
¬P a
¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x
Optimierung durch strukturierte Konnektionsdarstellung?
Inferenzmethoden
131
Verdichtungen
Faktorisierungsstruktur
• Zusammenfassen gleichartiger Teilbeweise
5
¬P a
Px
Px
1
Px
2
Px
1
¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x
Px
3
Px
1
Px
Px
2
1
P f 8a
¬P f x ¬P f x ¬P f x ¬P f x
⇒ Konnektionsstrukturkalkül
– Matrix + Strukturgraph für Faktorisierung
– Konnektionen mit Faktorisierungsmerkmalen
– Index repräsentiert mehrere Konnektionen
5
3 2
¬P a
4
```
r``
r`
r
Px
1
¬P fx
`
`r
`rr
rrr
P f 8a
4
`rr : linker Teil von Konnektion 3, darin rechter Teil von Konnektion 2 und 1
`r : linker Teil von Konnektion 2, darin rechter Teil von Konnektion 1
• Exponentielle Beweisverkürzung möglich
– indiziertes, faktorisiertes Extensionsverfahren
– effizienter (nichtlinearer) Resolutionsbeweis
Inferenzmethoden
132
Verdichtungen
Datenbankreduktion
Verringere Anzahl der Konnektionen mit Fakten
Pa
Pb
Pc
Qx ⇐ P x
7→
Pr
Qx ⇐ P x
r
∈
{a, b, c}
• DB-Reduktion: P a1 ∧ . . . P ak 7→ P r ⇐ r ∈ {a1, . . . , ak }
– nur für grundinstantiierte Literale
(hier negative Repräsentation/ Prolog)
• Erweiterte Anwendbarkeit von ISOL
– Menge von Konnektionen wird einzige indizierte Konnektion
• Datenbanktechniken anwendbar
⇒ “deduktive Datenbank”
– (Vereinigung, Schnitt, Projektion, Verbund)
P r1 ⇐ r1 ∈ {a, b, c} .
Sx ⇐ x ∈ {a, b, c}, x ∈ {b, c, d}
⇐ x ∈ {a, b, c} ∩ {b, c, d}
Qr2 ⇐ r2 ∈ {b, c, d} . `ISOL
Sx
⇐ Qx, P x .
Inferenzmethoden
133
⇐ x ∈ {b, c}
Verdichtungen
Verallgemeinerte DB-Reduktion
Zusammenfassung beliebiger Literale mit gleichem Prädikatszeichen
• Variablen in Subtermen erlaubt
P f (ga, b) .
P f (gb, b) .
P f (x, c) .
Qz ⇐ P z .
7→
P r ⇐ r ∈ {f (ga, b), f (gb, b), f (x, c)} .
Qz ⇐ P z .
• Allgemeine Datenbanktechniken nicht anwendbar
– Anfrage Qf (a, w) verlangt echte “Datenbank-Unifikation”
• Stärkere Strukturierung und Abstraktion nötig
Inferenzmethoden
134
Verdichtungen
Abstraktionsbäume
Zusammenfassung von ähnlichen Teiltermen
f (x, y)
=
f (ga, b)
y \c
x\gv, y \b
~
f (gv, b)
=
f (x, y)
f (x, c)
v \a
~
•
f (gb, b)
•
=
~
v \b
=
~
•
• Baumstruktur mit steigender Abstraktion
• Unterschiede durch Variablen in “abstrakterem” Knoten codiert
• effiziente Darstellung durch lokale Substitutionen
Inferenzmethoden
135
Verdichtungen
•
Datenbank-Unifikation
Verallgemeinerte Datenbank-Operationen
• Anfrage ∈ 7−→ Unifikation mit Abstraktionsbaum
– Unifikation von Qf (a, w) mit Wurzel 7→ σ = {x\a, y \w}
– Unifikation mit Kantensubstitutionen θ bis Blätter erreicht
(unifiziere alle vorkommenden Paare xσ, xθ )
⇒ Linker Ast nicht unifizierbar
⇒ Rechter Zweig liefert γ = {x\a, w \c}: Antwort Qf (a, c)
x \ gv, y \ b
v\a
=
•
•
f (x, y)
=
~
~
v\b
•
• Vereinigung ∪ 7−→ Einfügen als Teilbaum (t)
• Durchschnitt ∩ 7−→ Unifikation der Bäume (u)
– Unifikation von der Wurzel ausgehend
P r1 ⇐ r1 ∈ {f a, f gy} .
Qr2 ⇐ r2 ∈ {f ha, f hb, f ga, f gb} .
Sx ⇐ Qx, P x .
`ISOL
Sx ⇐ x ∈ {f a, f gy}, x ∈ {f ha, f hb, f ga, f gb
⇐ x ∈ {f a, f gy} u {f ha, f hb, f ga, f gb}
⇐ x ∈ {f ga, f gb}
• Effizienzgewinn, wenn große gemeinsame Struktur
Inferenzmethoden
136
Verdichtungen
Zyklen: Vermeidung von Klauselkopien
¬P f x
P fff a
Px
¬P a
linear, nicht-tautologisch
Beweiszyklus: Mittlere Konnektion mehrfach erforderlich
• Zyklus: Menge {c1, . . . , cn} von Konnektionen ci = {Li, Ri} mit
Li , Rj verschiedene Literale derselben Klausel, falls j − i ≡ 1 mod n.
• Linearer Zyklus: kein Literal in mehr als einer Konnektion
• tautologischer Zyklus: alle Konnektionen im Zyklus komplementär
+ Zyklusliterale einer Klausel nach Substitution unverändert
Beweisverdichtung durch Bestimmung der Zyklenmultiplizität?
Inferenzmethoden
137
Verdichtungen
Beispiele von Zyklen I
¬P f x
P f f ga
Qx
¬Qgy
¬P a
Py
(
linear, nicht tautologisch
¬Axz
Axy
Ayz
nicht linear
Qz
¬Qf y ¬P x
Py
Pz
kein Zyklus
Inferenzmethoden
138
Verdichtungen
Beispiele von Zyklen II
¬P xy ¬P xy
¬Qxy ¬Qxy ¬P xz ¬Qxz ¬Qyx
Qcd
P ab
P xy
Qxy
P yz
Qyz
Qxy
viele nichtlineare Zyklen möglich
Tautologische Zyklen
¬P x
Qy
¬P x
Qy
Px
¬Qz
¬P xy ¬Qza
Qxy
Pz
P za
Nicht-tautologische Zyklen
¬P x
Qy
Py
¬P x
Qx
Inferenzmethoden
¬Qa
¬P xy ¬Qza
Qxy
Pb
139
P ua
Verdichtungen
Zyklenbehandlung
• Tautologische Zyklen tragen nicht zum Beweis bei
– Teile des Zyklus können nötig sein
– restliche Konnektionen können im Beweis ignoriert werden
• Nicht-Tautologische Zyklen ggf. mehrfach zu durchlaufen
– Zyklenmultiplizität bestimmen durch Unifikation aller Konnektionen
– Gleichungssystem für zu unifizierende Variablen aufstellen und lösen
⇒ beschleunigte Berechnung, Vermeidung von Klauselkopien
¬P f x
P fff a
¬P a
Px
– Gleichungssystem: x1 = a, xi+1 = f xi, i = 1, . . . , m−1, f xm = fff a
– Gauss-Elimination: f ma = fff a, also m = 3
⇒ Beweis nach 3 Durchläufen geführt (explizite Ausführung überflüssig)
• allgemeine Zyklen-Unifikation ist unentscheidbar !
Inferenzmethoden
140
Verdichtungen
Inferenzmethoden
Lektion 17
Verdichtung von Theorien- und Gleichheitsbehandlung
1. Sorten und Theorien
– Theoriekonnektionen
2. Behandlung von Gleichheit
– Hinzunahme von Gleichheitsaxiomen
– Gleichheitskonnektionen
– Paramodulation
– Resolution und Gleichheit
DB-Reduktion und Sorten
Pa
Pb
Qx ⇐P x
...
P =
ˆ Sorte {a, b}
¬Qx ¬P a1
Px
...
...
¬P an
⇓
...
¬Qx
x ∈ {a1, . . . , an}
{a1, . . . , an}: Sorte der Variablen x
⇒ Effiziente Behandlung von Sorten durch DB-Reduktion
– Praktisch unlösbare Beweise werden handhabbar (Schubert’s “Steamroller”)
Inferenzmethoden
141
Verdichtungen
Theoriekonnektionen
Ec
¬Ex
¬Ax
Ax
Bx
¬Bc
Integration einer Teiltheorie in die Konnektion
⇓
EB
¬Bc
EB ≡
Ec
¬Ex ¬Ax
Ax
Bx
Erweiterung des Komplementaritätsbegriffs (unter einer Theorie)
Unifikation muß Theorie mitberücksichtigen
Inferenzmethoden
142
Verdichtungen
Die Theorie der Gleichheit
• Wichtigste Grundbeziehung zwischen Objekten (Termen)
.
• Zweistelliges (Infix-)Prädikatszeichen =
• 5 Grundeigenschaften
.
x=x
.
.
x=y ⇒ y =x
.
.
.
x=y ∧ y =z ⇒ x=z
.
.
xi=y ⇒ f (x1, . . . , xi, . . . , xn) =f (x1, . . . , y, . . . , xn)
Reflexivität
Symmetrie
Transitivität
Substitutivität auf Funktionen (Schema)
.
xi=y ⇒ [P (x1, . . . , xi, . . . , xn) ⇔ P (x1, . . . , y, . . . , xn)]
Substitutivität auf Prädikaten (Schema)
• Symmetrie und Transitivität sind ableitbar
Inferenzmethoden
143
Verdichtungen
Axiomatische Gleichheitsbehandlung
• Erweitere Formel um Axiome der Gleichheit
• Minimale Axiomenmenge
.
x=x
.
.
xi=y ⇒ f (x1, . . . , xi, . . . , xn)=f (x1, . . . , y, . . . , xn)
.
xi=y ⇒ [P (x1, . . . , xi, . . . , xn) ⇒ P (x1, . . . , y, . . . , xn)]
• Substitutivitätsaxiom muß für jedes vorkommende
Funktions- und Prädikatssymbol instantiiert werden
⇒ erhebliche Vergrößerung des Suchraums
Inferenzmethoden
144
Verdichtungen
Gleichheitskonnektionen
Verdichtung der Konnektionen in die Gleichheitsaxiome
2
.
x=y
Px
1
.
a6= b
¬P a
¬P y
Pb
3
⇓
1
¬P a
2
3
.
a6= b
Pb
Unifikation darf konnektierte Gleichheiten berücksichtigen
Suche nach geeigneten Gleichungen unentscheidbar
Inferenzmethoden
145
Verdichtungen
eq-Literale
3
.
x=z
.
y =u
.
f xy6= f zu
.
a6= c
.
b6= d
2
.
f ab=f cd
1
⇓
3
.
a6= c
2
1
.
.
b6= d f ab=f cd
Gleichheitsliterale können ohne komplementäres Literal gültig sein
.
Voraussetzung: Ersetzung der konnektierten Gleichungen führt zu t=t
Pfade mit gültigen eq-Literalen sind komplementär
⇒ erweitertes Charakterisierungstheorem
Inferenzmethoden
146
Verdichtungen
Paramodulation
• Resolutionsähnliche Kalkülregel für Gleichheitsbehandlung
.
Elternklauseln: {L} ∪ C1 , {r =s} ∪ C2
– Teilterm t von L besonders gekennzeichnet
Paramodulant: ({L0} ∪ C1 ∪ C2)σ
– σ mgu von r und t, L0 entsteht durch Ersetzung von t durch s in L
.
a=b
Pa
Paramodulation
¬P b
Pb
Resolution
{}
• Alternative Sicht: bedingte Termersetzungsregel
– C2 Bedingung für die Ersetzung von r durch s
Inferenzmethoden
147
Verdichtungen
Paramodulation mit Unifikation
.
Qb ∨ P x
a=b ∨ Rb
σ = {x\a}
Qb ∨ P b ∨ Rb
Qb ∨ P x
.
a=b ∨ Rb
σ = {x\b}
Qb ∨ P a ∨ Rb
P xx ∨ Qb
.
a=b ∨ Rb
σ = {x\a}
P ba ∨ Qb ∨ Rb
Inferenzmethoden
148
Verdichtungen
Resolution und Gleichheit
• Resolution + Paramodulation ist vollständig und konsisten
– benötigt Reflexivitätsaxiom
• Lokale Sicht macht effiziente Suchstrategien erforderlich
• Demodulation: gerichtete Anwendung von Gleichheiten
7→ Termersetzungssysteme
• E–Resolution:
– komplexes Äquivalent zu eq-Konnektionen und eq-Literalen
• RUE–Resolution:
– Erzeugung von Paramodulationsgleichungen “bei Bedarf”
Inferenzmethoden
149
Verdichtungen
E–Resolution
• Resolution nach Einsetzung assoziierter Gleichungen
{Qgy, P (c, h(f (a, y), b))}
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
b
b
T
b
T
b
b
T
b
b
T
b
T
b
b
T
b
b
T
b
T
b
.
{Ra, a=c}
{¬P (a, h(gc, d))}
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
.
{f (x, e)=gx, Qx}
.
{b=d}
{Ra, Qge, Qa}
• vollständig und korrekt
• Durchführung aufwendig
– unentscheidbare Suche nach geeigneten Gleichungen
Inferenzmethoden
150
Verdichtungen
RUE–Resolution
Unterteilung von E-Resolution in Teilschritte
• Resolution anwendbar auch ohne Unifizierbarkeit der Literale
• Verbleibende Gleichheitsbedingungen erscheinen in Resolvente
{Qgy, P (c, h(f (a, y), b))}
{¬P (a, h(gc, d))}
.
.
.
{Qgy, c6 = a, f ay6 = gc, b6 = d}
• Entstehende Gleichheitsbedingungen werden später verarbeitet
Inferenzmethoden
151
Verdichtungen
Inferenzmethoden
Lektion 18
Termersetzungssysteme
1. Motivation und Grundbegriffe
2. Knuth-Bendix Vervollständigung
3. Narrowing
4. Unifikation durch Transformation
Termersetzung in der Deduktion
• Verwendung von Gleichheiten als “Vereinfachung”
– Zielgerichtetere Anwendung von Gleichheiten
– Gleichheiten erhalten “Richtung”
– Ersetzung von Teiltermen durch gleichwertige einfachere Terme (“Reduktion”)
• Lösung des Wortproblems durch Termersetzung
– Wortproblem: gilt Gleichheit von s und t aufgrund der Axiome einer Theorie?
– Methode: Vereinfachung von s und t bis textliche Identität erreicht
• Eigenständiges Forschungsgebiet “Rewriting”
– Beschreibt jede Art von Regelanwendungen
– Eigene, z.T. abweichende Notationen
– Integration von Rewrite-Techniken in Beweiser schwierig
• Vielfältige Anwendungen
– Logiksysteme, Berechnungsmodelle, Unifikation, . . .
Inferenzmethoden
152
Termersetzung
Termersetzung: Gruppentheorie
• Axiome
.
e·x=x
.
−
y ·y =e
.
(u · v) · w = u · (v · w)
linksseitiges Einselement
Linksinverses
Assoziativität
• Als Reduktionsregeln
e·x→x
r1
r2
r3
y− · y → e
(u · v) · w → u · (v · w)
• Regelanwendung
.
(a− · a) · b = (e · a−) · (a · b)
r1
. −
−
→ (a · a) · b = a · (a · b)
r3
. −
−
→ a · (a · b) = a · (a · b)
Inferenzmethoden
153
Termersetzung
Grundbegriffe
• Termersetzungssystem (A, R)
– A Alphabet, R Menge von Reduktionsregeln
• Reduktionsregel t→s
(t, s Terme über A)
– t (Redex) nicht Variable; alle Variablen von s (Kontraktum) kommen in t vor
r
• u → v : Regelanwendung von r = t→s auf u:
– Bestimme σ so, daß tσ Teilterm von u (Matching!)
– Ersetze tσ durch sσ
?
• Konfluenz von (A, R):
– Verschiedene Ketten von Regelanwendungen sind zusammenführbar
s
– Regeln entsprechen ‘echten’ Gleichungen (gleiche Beweisbarkeit)
• starke Normalisierbarkeit ( (A, R) noethersch ):
– Jede Kette von Regelanwendungen terminiert
• Vollständigkeit: (A, R) noethersch und konfluent
Inferenzmethoden
154
Termersetzung
v
?
R
?R
u
?
t
Anwendung einer Termersetzungsregel
r
u→v
( r = t →s )
u
v
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
0
J
J
J
A
J
A
J
A
A
J
A
J
A
J
A
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
0
J
J
J
A
J
A
J
A
A
J
A
J
A
J
A
J
A
A
A
A
A
A
A
t→s
u = tσ
Inferenzmethoden
155
X
X
v = sσ
Termersetzung
Vervollständigung
• Umwandlung von Gleichungssystemen in Regelsysteme
– Regel t→s ersetzt t = s
– Gerichtete Regel: Anwendung in Gegenrichtung nicht möglich
– Vollständigkeit (Konfluenz) kann verloren gehen
– Zusatzregel s→t würde starke Normalisierbarkeit zerstören
• Regeln sollen Gleichungssystem vollständig ersetzen
⇒ Verfahren zur Vervollständigung von Reduktionssystemen nötig
• Superposition von Regeln r, r 0
(y − · y) · w
– Unifiziere Teilterme der linken Seiten beider Regeln
– Bilde kritischen Term t mit instantiierten Teiltermen
0
r
r0
0
– Bilde Termpaar s, s mit t → s t → s :
– Normalisiere s, s0 in (A, R) zu kritischem Termpaar u, v
r2
r3
R
r1
– Falls u 6= v bilde neue Regel u→v (bzw. v →u, falls v u)
Inferenzmethoden
156
y − · (y · w
e·w
Termersetzung
r4
R
w
Knuth Bendix Vervollständigung
• Ausgangspunkt: stark normalisierbares Regelsystem
– i.a. einfache Umwandlung eines Gleichungssystems
Ziel: vollständiges Regelsystem
• Methode: schrittweise Superposition aller Regeln
– unter Verwendung einer wohlfundierten Termordnung – Starke Normalisierbarkeit bleibt erhalten
Abbruchkriterium: lokale Konfluenz
• Vollständiges Regelsystem für die Gruppentheorie
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
r10
e·x
x− · x
(x · y) · z
−
x · (x · y)
x·e
e−
x− −
x · x−
x · (x− · y)
(x · y)−
Inferenzmethoden
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x
e
x · (y · z)
y
x
e
x
e
y
y − · x−
157
Termersetzung
Knuth–Bendix Verfahren
Eingabe: Endliche Menge G von Axiomgleichungen, Termordnung .
Ausgabe: Bei Terminierung vollständiges Termersetzungssystem oder Fehlermeldung
Initialisiere Regelmenge R zur leeren Menge
while G nicht leer
do wähle Gleichung aus G ; reduziere sie mit Regeln aus R
.
if reduzierte Gleichung nicht von der Form x = x
then
if reduzierte Gleichung läßt sich mit nicht zu neuer Regel richten
then return ‘Termordnung nicht ausreichend ’
else bilde neue Regel und füge sie zu R hinzu;
reduziere alle Regeln aus R untereinander;
verletzt eine der reduzierten Regeln die Termordnung , so entferne sie aus R ;
.
nehme sie in G auf, sofern sie nicht von der Gestalt x = x ist;
fi
bilde alle kritischen Paare zwischen der neuen Regel und den übrigen Regeln
und füge sie als Gleichungen zu G hinzu
fi
od
return R
Inferenzmethoden
158
Termersetzung
Narrowing
• Rewriting einer Gleichung mit der Regel s→t:
u = v → u0 = v
u0 entsteht aus u durch Ersetzung eines Teilterms sσ mit tσ .
• Einfaches Verengen mit der Regel s→t:
u = v, E → u0 = v, E
u0 entsteht aus u durch Ersetzung eines Teilterms sσ mit t und
anschließender Anwendung von σ auf den ganzen Term.
• Lässiges Verengen mit der Regel f s1 . . . sn →t:
u = v, E → u00 = v, u1 = s1, . . . , un = sn, E
u00 entsteht aus u durch Ersetzung des Auftretens von f u1 . . . un durch t.
Verengen + Martelli–Montanari–Regeln
= vollständiges Berechnungsverfahren für Lösbarkeit einer Menge von Gleichungen
unter einer Theorie (z.B. Theorie-Unifikation)
Inferenzmethoden
159
Termersetzung
Gleichungstheorie über den ganzen Zahlen
r1
r2
v(n(x)) → x
0+x →x
x+0→x
r3
r4
r5
r6
n(x) + y → n(x + y)
x + n(y) → n(x + y)
x + v(y) → v(x + y)
Martelli–Montanari–Regeln
Termdekomposition
.
.
.
{f (s1, . . . , sn)=f (t1, . . . , tn)} ∪ E ; {s1=t1, . . . , sn=tn} ∪ E .
Entfernung trivialer Gleichungen
.
{x=x} ∪ E ; E
Umstellung
.
.
{t=x} ∪ E ; {x=t} ∪ E ,
wenn t 6∈ V
Variablenelimination
.
.
{x=t} ∪ E ; {x=t} ∪ E{x\t},
Inferenzmethoden
160
wenn x 6∈ t und x ∈ E
Termersetzung
Theorie-Unifikation durch Transformation
Gleichungen
(x + x) + v(0) = n(0)
v(x1 + y1) = n(0), x1 = x + x, v(y1 ) = v(0)
v(x1 + y1) = n(0), x1 = x + x, y1 = 0
v(x1 + 0) = n(0), x1 = x + x
v((x + x) + 0) = n(0)
x2 = n(0), n(x2) = (x + x) + 0
x2 = n(0), n(x2) = x3, x3 = x + x, 0 = 0
x2 = n(0), n(x2) = x3, x3 = x + x
x2 = n(0), n(x2) = x + x
x2 = n(0), n(x2) = n(x4 + y4), x = n(x4), x = y4
n(n(0)) = n(x4 + y4), x = n(x4), x = y4
n(0) = x4 + y4, x = n(x4), x = y4
n(0) = x4 + y4, y4 = n(x4)
n(0) = x4 + n(x4)
n(0) = n(x5 + y5), x4 = x5, n(x4) = n(y5)
n(0) = n(x5 + y5), n(x5) = n(y5)
0 = x5 + y5, n(x5) = n(y5)
0 = x 5 + y5 , x5 = y5
0 = y 5 + y5
0 = x6, y5 = 0, y5 = x6
0 = x6 , 0 = x 6
0 = x6 , x6 = 0
0=0
Inferenzmethoden
161
angewandte Regeln
lässige Verengung mit r6
Termdekomposition
Variablenelimination
Variablenelimination
lässige Verengung mit r1
lässige Verengung mit r3
Entfernung trivialer Gleichungen
Variablenelimination
lässige Verengung mit r4
Variablenelimination
Termdekomposition
Variablenelimination
Variablenelimination
lässige Verengung mit r5
Variablenelimination
Termdekomposition
Termdekomposition
Variablenelimination
lässige Verengung mit r2
Variablenelimination
Umstellung
Variablenelimination
Termersetzung
Inferenzmethoden
Lektion 19
Offene Forschungsgebiete
1. Unifikationstheorie
2. Semantische Beweisführung
3. Meta-Inferenz, Abstraktion und Analogie
4. Parallelität
Unifikationstheorie
1
¬P a
2
3
.
a6= b
Pb
.
• {¬P a, P b} komplementär unter der Theorie a = b
– verallgemeinerte Unifikation erforderlich
• Unifizierbarkeit modulo Theorie T
– wie definieren?
– gibt es mgu’s und, wenn ja, wieviele?
– gibt es Unifikationsalgorithmen (als Entscheidungsprozeduren)?
– Komplexität der Unifikation?
Inferenzmethoden
162
Erweiterungen
Unifikationstheorien
• unitäre: Es gibt bei Unifizierbarkeit genau einen
allgemeinsten Unifikator.
– Standard-Unifikation
• finitäre: Es gibt bei Unifizierbarkeit endlich viele
allgemeinste Unifikatoren.
– AC-Unifikation, Präfix-Unifikation
• infinitäre: Es gibt bei Unifizierbarkeit unendlich viele
allgemeinste Unifikatoren.
– Unifikation modulo Assoziativität
• leere: Es gibt keine allgemeinsten Unifikatoren
Inferenzmethoden
163
Erweiterungen
Semantische Suchführung
Unterstütze Beweissuche durch semantische Analysen
• Untersuche konkrete Beispiele (Modelle!)
• Eliminiere Teilziele, die vom Beispiel wiederlegt werden
– gewählte Alternativen können nicht zum Beweis führen
– Beende Suchpfad erfolglos
Setze zurück auf andere Alternative
• Ausnahme bei nicht-Horn Formeln
– Teilziel ist Teil einer Schleife auf aktivem Pfad
• Automatisierung schwierig
– Erzeugung von Gegenbeispielen erforderlich
Geometrische Beweisverfahren (Gelernter)
Inferenzmethoden
164
Erweiterungen
Geometrische Beweisprobleme
• Dreiecks-Axiome
1. seg(x, y) = seg(u, v) ⇒ seg(x, y) = seg(v, u)
2. tri(x, y, z) ≡ tri(u, v, w) ⇒ seg(x, y) = seg(u, v)
3. ( angle(x, z, y) = angle(u, w, v)
∧ angle(z, x, y) = angle(w, u, v)
∧ seg(y, z) = seg(v, w) )
⇒ tri(x, y, z) ≡ tri(u, v, w)
• Aufgabe:
a
Zeige seg(a, d) = seg(c, d)
d
b
Inferenzmethoden
165
c
Erweiterungen
Semantische Suchführung — Geometrie
a
d
b
c
seg(x, y) 6= seg(v, u)
seg(a, d) = seg(c, d)
seg(x, y) 6= seg(u, v)
.
seg(x, y) = seg(u, v) tri(x, y, z) ≡ tri(u, v, w)
Offenes Teilziel: tri(a, d, z) ≡ tri(d, c, w):
Erfolgloser Suchpfad, da falsche Reihenfolge der Punkte
seg(x, y) 6= seg(v, u)
seg(a, d) = seg(c, d)
seg(x, y) 6= seg(u, v)
seg(x, y) = seg(u, v) tri(x, y, z) ≡ tri(u, v, w)
tri(a, d, z) ≡ tri(c, d, w): Fortsetzung des Beweises erfolgreich
Inferenzmethoden
166
Erweiterungen
.
Höhere Formen des Schließens
• Deduktive Strategien
– Anweisungen zur Manipulation der Objektsprache
– formuliert in Meta-Sprache
• Meta- und Objektsprache syntaktisch ähnlich
– Reflektion (Schließen über Strategien) möglich
• Meta–Inferenz
– Aussagen über Zusammenhang zwischen Logik und Strategie
– welche Schlüsse sind erlaubt?
– wie darf bewiesen werden?
• Abstraktion
– Anhebung der Ebene des Schließens
– Elimination überflüssiger formaler Details
– Wichtig für Verständnis und Planung von Beweisen
• Analogie
– Übertragung einer Beweisidee auf neue Probleme
– Wichtig für Entdeckung neuer Beweise
Inferenzmethoden
167
Erweiterungen
Mechanismen
bisher zu
wenig verstanden
Inferenzmethoden
168
Erweiterungen
Parallelität
• Leistungssteigerung durch Verdichtung ist limitiert
• Verteile alternative Wege auf mehrere Prozessoren
– alternative Konnektionsmengen
– alternative Substitutionen
– parallele Abarbeitung von Termen
• unabhängige Teilprobleme oder Kommunikation
• praktische Effizienzsteigerung
trotz N P –Vollständigkeit
Inferenzmethoden
169
Erweiterungen
Aspekte des Beweissystems KoMeT
“Berechnungsadäquater” Konnektionsbeweiser
√
• Normalformtransformationen
• Reduktionen
• Aussagenlogische Entscheidungsprozedur
• Behandlung großer Datenmengen
• Interaktive Beweissuche
• Verschiedene Suchstrategien
• Einschränkung des Suchraums
• Indizierungstechniken
• Gleichheitsbehandlung
• Verwendung von Induktion
7−→
7−→
7−→
7−→
7−→
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Einbau von Theorien
Einsatz von Termersetzung
Faktorisierung und Lemmata
Benutzeroberfläche und Beweisaufbereitung
Anwendungen
Inferenzmethoden
170
Erweiterungen
Inferenzmethoden
Lektion 20
Logik höherer Stufe
1. Logiken – eine Übersicht
2. Syntax, Substitution & Konversion
3. Simulation mathematisch-logischer Konstrukte
4. Beweisführung in Logik höherer Stufe
Logiken
• Klassische Prädikatenlogik erster Stufe
• Logik höherer Stufe
• Modallogiken
• Intuitionistische Logik erster Stufe
• Intuitionistische Logik höherer Stufe
– konstruktive Typentheorie
– Kalkül der Konstrukte
..
• Lineare Logik
• Relevanzlogik
• Nichtmonotone Logiken
– Default Logik
..
• Temporallogik
..
Inferenzmethoden
170
√
7→ Lektion 20
7→ Lektion 20/21
7→ ALuP
7→ Lektion 20
7→ Wissensrepräsentation
7→ Wissensrepräsentation
Logik höherer Stufe
Logik höherer Stufe
Minimale Grundlagentheorie
• Keine Einschränkung an Verwendung von Variablen
– Trennung in Prädikats- und Funktionssymbole und Variablen erster Stufe
ist nur eine Bezeichnungskonvention
⇒ Quantifizierung über Prädikats- und Funktionssymbole zulässig
• Generierung von Funktionen durch λ-Terme
– Abstraktion über freie Variablen in Termen
• Terme: x, λx.t, f (a), ∀x P , P ⇒ Q
(Manche auch:
,
, ¬, ∃ )
• Axiome:
– Eigenschaften von ∀ und ⇒
– Reduktion von λ-Termen: (λx.t)(a) −→ t{x\a}
• Alle anderen Konzepte definierbar
(logizistischer Ansatz)
– keine axiomatische Einführung sondern definitorische Abkürzung
Inferenzmethoden
171
Logik höherer Stufe
Logik höherer Stufe – Syntax
V : Alphabet von Variablen(-symbolen)
• x Term, falls x ∈ V
• λ x.t Term, falls x ∈ V und t Term
λ -Abstraktion
• f t Term, falls t und f Terme
Applikation
• P ⇒ Q Term, falls P und Q Terme
• ∀ x P Term, falls x ∈ V und P Term
• (t) Term, falls t Term
Inferenzmethoden
172
Logik höherer Stufe
Freies und gebundenes Vorkommen von Variablen
x gebunden
z
}|
{
λf.λx.(λz.
f{zx z) x}
|
x frei
• x: die Variable x kommt frei vor; y 6= x kommt nicht vor.
• λ x.t / ∀ x P :
freie und gebundene Vorkommen von x in t (P ) werden
gebunden; freie Vorkommen von y 6= x in t (P ) bleiben frei,
gebundene Vorkommen von y bleiben gebunden.
• f t / P ⇒ Q: freie Vorkommen von x in f und t (P und Q)
bleiben frei, gebundene Vorkommen von x bleiben gebunden.
• (t): freie Vorkommen von x in t bleiben frei, gebundene
Vorkommen von x bleiben gebunden.
Inferenzmethoden
173
Logik höherer Stufe
Substitution u{x\t}
x{x\t}
=t
x{y\t}
=x
(y 6= x)
λx.u{x\t} = λx.u
λx.u{y\t} = λx.u{y\t}
∀x P {x\t}
∀x P {y\t}
= ∀x P {y\t}
∀x P {y\t}
= (∀z P {x\z}){y\t}
y 6= x, y nicht frei in u (P ) oder x nicht frei in t
λx.u{y\t} = (λz.u{x\z}){y\t}
= ∀x P
y 6= x, y frei in u (P ), x frei in t, z neue Variable.
f u{x\t}
= f {x\t} u{x\t}
(u){x\t}
= (u{x\t})
Inferenzmethoden
P ⇒ Q{x\t} = P {x\t} ⇒ Q{x\t}
174
Logik höherer Stufe
α -Konversion und Reduktion
• α-Konversion: Umbenennung gebundener Variablen in t
Ersetzung eines Teilterms der Gestalt λ x.u durch λ z .u{x\z}, (z neue Variable
• t und u kongruent (α-konvertibel):
u ergibt sich aus t durch endlich viele Umbenennungen gebundener Variablen
• Reduktion von t:
Ersetzung eines Teiltermes (λ x.u)(s) (Redex) durch u{x\s} (Kontraktum)
∗
• t −→ u (t reduzierbar auf u):
u ergibt sich aus t durch endlich viele Reduktionen und Umbenennungen
• t = s:
∗
∗
es gibt u mit t −→ u und s −→ u
Theorie der Termersetzung anwendbar
Inferenzmethoden
175
Logik höherer Stufe
Inferenzmethoden
176
Logik höherer Stufe
Church Numerals: Simulation natürlicher Zahlen
n
s
add
mul
≡ λf.λx. fn x
≡ λf.λx. f
{z x) ...)}
| (f ...(f
n-mal
≡ λn.λf.λx. n f (f x)
≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)
≡ λm.λn.λf.λx. m (n f) x
∃po
≡ λm.λn.λf.λx. n m f x
p
≡ λn. (n (λfx. hs, let hf,xi = fx in f xi) hλz.0, 0i).2
zero
N
≡ λn. n (λn.F) T
≡ λx.∀P (∀y P(y) ⇒ P(s y)) ⇒ P(0) ⇒ P(x)
Abkürzungen
≡ λx.λy.x
T
F
if b then s else t
≡ λx.λy.y
≡ bst
≡ λp. p s t
hs,ti
let hx,yi = pair in t ≡ pair (λx.λy.t)
Inferenzmethoden
177
Logik höherer Stufe
N (x)=x
ˆ ∈N
Church Numerals: Reduktion von Funktionen
≡ (λn.λf.λx. n f (f x)) (λf.λx. fn x)
s n
−→ λf.λx. (λf.λx. fn x) f (f x)
−→ λf.λx. (λx. fn x) (f x)
−→ λf.λx. fn (f x)
−→ λf.λx. fn+1 x
add m n
≡ n+1
≡ (λm.λn.λf.λx. m f (n f x)) m n
−→ (λn.λf.λx. m f (n f x) n
−→ λf.λx. m f (n f x)
≡ λf.λx. (λf.λx. fm x) f (n f x)
−→ λf.λx. (λx. fm x) (n f x)
−→ λf.λx. fm (n f x)
≡ λf.λx. fm ((λf.λx. fn x) f x)
−→ λf.λx. fm ((λx. fn x) x)
−→ λf.λx. fm (fn x)
−→ λf.λx. fm+n x
Inferenzmethoden
178
≡ m+n
Logik höherer Stufe
Simulation logischer Konzepte
∧ ≡ λA.λB.∀P(A ⇒ (B ⇒ P)) ⇒ P
Konjunktion
∨ ≡ λA.λB.∀P ((A ⇒ P) ⇒ (B ⇒ P)) ⇒ P
Disjunktion
⊥ ≡ ∀P P
Falschheit
Negation
∃-Quantor
Gleichheit
(intuitionistisch)
¬ ≡ λA.∀P (A ⇒ P)
∃x.A ≡ ∀P (∀x (A ⇒ P)) ⇒ P
.
= ≡ λx.λy.∀P ( P(x) ⇒ P(y) )
Inferenzmethoden
179
Logik höherer Stufe
Beweisführung in Logik höherer Stufe
• Charakterisierung der Gültigkeit analog
– “F gültig gdw. alle Pfade durch F komplementär”
– Komplementarität mit erweitertem Substitutionsbegriff
(Prädikats- und Funktionssymbole ersetzbar)
• Konnektionen-orientiertes Pfadüberprüfungsverfahren
• Unifikation höherer Stufe
– unentscheidbar (!) und erheblich komplizierter
→ Huet
• endgültige Beweise sehr kurz und elegant
– aber schwer zu finden
Inferenzmethoden
180
Logik höherer Stufe
Beweisführung: Eigenschaften der Gleichheit
.
= ≡ λx.λy. ∀ P (P(x) ⇒ P(y))
.
• Reflexivität: a=a
• Kommutativität:
.
.
a=b ⇒ b=a
• Transitivität:
.
.
.
a=b ∧ b=c ⇒ a=c
• Substitutivität:
.
P a ∧ a=b ⇒ P b
Inferenzmethoden
¬P a P a
Xa ¬P b P a
¬Xb
Xa
Y b ¬P a P c
¬Xb ¬Y c
¬P a Xa
{X \ λz.¬P z}
{X \ P, Y \ P }
Pb
{X \ P }
¬Xb
181
Logik höherer Stufe
Inferenzmethoden
Lektion 21
Induktion
1. Schrittweise Induktion über N
2. Automatisierung von Induktionsbeweisen
3. Varianten der Induktionsbehandlung
4. Induktionslose Induktion
Induktion
• Essentiell für mathematische Beweisführung
– Schließen über unendliche Konzepte
• Grundform: schrittweise Induktion über N
– Übertragbar auf Listen, Bäume, Mengen etc.
• Erweiterung: wohlfundierte (“vollständige”) Induktion
– Reduktion des Problems mit wohlfundierter Ordnung
• Integration durch Hinzunahme von Induktionsaxiomen
– Alternativ Induktionsregel (Gentzen) oder Rewrite-Regel
Inferenzmethoden
181
Induktion
Induktionsaxiome für natürliche Zahlen
N (0)
Erzeugungsaxiom für Null
∀x[N (x) ⇒ N (x0)]
.
∀x[N (x) ⇒ x06= 0]
Erzeugungsaxiom für Nachfolger
Eindeutigkeitsaxiom für Null
.
.
∀xy[N (x) ∧ N (y) ⇒ (x0=y 0 ⇒ x=y)] Eindeutigkeitsaxiom für Nachfolger
∧
F {x\0}
Induktionsschema
∀y[N (y) ⇒ (F {x\y} ⇒ F {x\y 0})]
⇒ ∀x(N (x) ⇒ F )
x
F {x\0}
[N (y) ⇒ (F {x\y} ⇒ F {x\y 0})]
F {x\y}
F {x\y 0 }
Inferenzmethoden
182
Induktionsvariable
Induktionsanfang
Induktionsschluß
Induktionshypothese
Induktionskonklusion
Induktion
.
Induktionsbeweis für x6= 0 ⇒ ∃z(N z
∧
.
x=z 0)
• Ergänze Gleichheitsaxiom und instantiiertes Induktionsschema
∀u
.
u=u
.
.
∧
{[06= 0 ⇒ ∃v(N v ∧ 0=v 0 )]
.
.
.
.
∧
∀b[N b ⇒ ((b6= 0 ⇒ ∃c(N c ∧ b=c0)) ⇒ (b06= 0 ⇒ ∃y(N y ∧ b0=y 0)))]
.
.
.
.
⇒ ∀x[N x ⇒ (x6= 0 ⇒ ∃d(N d ∧ x=d0 ))]} ⇒ ∀a[N a ⇒ (a6= 0 ⇒ ∃z(N z ∧ a=z 0))]
• Beweis in Nicht-Normalform-Matrix
Inferenzmethoden
183
Induktion
Suchentscheidungen für Induktionsbeweise
• Zusätzliche Alternativen bei der Beweisführung
1. Induktionsbeweis (unter anderen Alternativen) nötig?
2. Verallgemeinerung der zu beweisenden Aussage nötig?
3. Welche Induktionsformel auswählen?
4. Welche Induktionsvariablen in der Induktionsformel?
5. geschachtelte Induktionen möglich?
• Suchraum von beträchtlichem Ausmaß
– Fragen 1,2 nur vom menschlichem Systembenuzter zu entscheiden
– Induktionsformel muß engen Zusammenhang zum Beweisziel haben (→ 3)
– Anzahl der möglichen Induktionsvariablen ist klein (→ echte Alternativen)
– geschachtelte Induktionen nur, wenn weitere Variablen in Induktionsschluß
Automatisierung von Induktionsbeweisen extrem schwierig
Inferenzmethoden
184
Induktion
Varianten der Induktionsbehandlung
• schrittweise Induktion ←→ wohlfundierte Induktion
– F {x\0}
∧
∀y[N (y) ⇒ (F {x\y} ⇒ F {x\y 0})] ⇒
– einfach strukturierte Beweisführung
∀x(N (x) ⇒ F )
– ∀xN (x) ⇒ {(∀y[N (y) ⇒ (y < x ⇒ F {x\y})]) ⇒ F } ⇒ F
– Elegantere Beweise, gleiche Beweisstärke, Ordnung “<” muß wohlfundiert sein
• Hinzunahme von Axiomen ←→ neue Induktionsregel
– Extensionsverfahren mit Axiomen nicht vollständig?
(Schnittelimination gilt nicht für Induktionsbeweise)
– Integration von Induktionsregeln in Konnektionsmethode schwierig
• Induktionsschema ←→ Definition in Logik zweiter Stufe
– Höhere Logik eleganter und vollständig (Schnittelimination gilt für definierte Konzepte)
Inferenzmethoden
185
Induktion
Induktionslose Induktion
• Bedeutung von ∀xF ist auf Zahlen beschränkt
– Allquantor gilt uneingeschränkt für alle Terme
– Nur Grundterme, die Zahlen darstellen (0, 0’, 0”,. . . ), sollen eingesetzt werden
⇒ Ersetzte Induktionsbeweise durch Termersetzung mit vollständigem Regelsystem
• Beweise s1 = t1, . . . , sn = tn ⇒ s = t durch Superposition
– Erzeuge vollständiges Regelsystem R für s1 = t1, . . . , sn = tn
– Zeige, daß Vervollständigung mit s = t das System R nicht erweitert
⇒ s = t muß bereits ableitbar gewesen sein
⇒ Nur Terme aus den zur Verfügung stehenden Symbolen werden betrachtet
` 0 + x = x ∧ y 0 + z = (y + z)0 ⇒ ∀ uvw(u + v) + w = u + (v + w)
=
ˆ 0 + x → x, y 0 + z → (y + z)0 und (u + v) + w → u + (v + w) ‘Quasi-reduzierbar’
• Quasi-Reduzierbarkeit entscheidbar, aber aufwendig
– aber es gibt einfache hinreichende syntaktische Bedingungen an die Form der Regeln
Inferenzmethoden
186
Induktion
Inferenzmethoden
Lektion 22
Nichtklassische Logiken
1. Modallogiken
2. Lineare Logik
3. Intuitionistische Logik
Modallogiken
• Prädikatenlogik erster Stufe + Modaloperatoren 2, 3
– 2F : “notwendigerweise F ”
– 3F : “möglicherweise F ”
– Meta-Operatoren: Aussagen über die Formel F
• Axiome von 2, 3 abhängig von vorgesehener Anwendung
• Kripke Semantik über Weltmodelle (W, R, U, u):
W : Menge der (denkbaren) Welten
R: Erreichbarkeitsrelation zwischen Welten aus W
U : Universum aller Objekte aller Welten
u: Abbildung von W nach U : u(w) =
ˆ die in Welt w existenten Objekte
Eigenschaften von R bestimmen Axiome der Modaloperatoren
• Beweisverfahren:
– Sequenzenkalküle
– modifizierter Konnektionsbeweiser
(Wallen, Otten)
– klassischer Konnektionsbeweiser nach (geringer) Aufblähung der Formel (Ohlbach)
Inferenzmethoden
187
Nichtklassische Logiken
Modallogiken – Semantik
• 2F : F gilt in allen von der aktuellen Welt erreichbaren Welten
:
2F
1
F
F
q
F
R
F
F
F
F
*
j
q
F
:
F
z
F
• • •
:
F
z
F
F
• 3F : F gilt in mindestens einer erreichbaren Welt.
:
:
z
3F
1
*
q
R
j
F
• • •
:
z
q
Inferenzmethoden
188
Nichtklassische Logiken
Erreichbarkeit und modale Axiome
• Grundeigenschaften der Erreichbarkeitsrelation R
(D) seriell
Für alle w1 ∈ W gibt es ein w2 ∈ W mit w1Rw2
(T) reflexiv
wRw für alle Welten w ∈ W
(B) symmetrisch w1Rw2 ⇒ w2Rw1 für alle w1, w2 ∈ W
(4) transitiv
(5) euklidisch
w1 Rw2 & w2Rw3 ⇒ w1 Rw3 für alle w1 , w2, w3 ∈ W
w1 Rw2 & w1Rw3 ⇒ w2 Rw3 oder w3 Rw2 für alle w1 , w2 , w3 ∈ W
• Durch R induzierte Axiome von Modaloperatoren
(D) seriell
(T) reflexiv
2F ⇒ 3F
2F ⇒ F
(B) symmetrisch F ⇒ 23F
(4) transitiv
(5) euklidisch
2F ⇒ 22F
3F ⇒ 23F
Inferenzmethoden
189
Nichtklassische Logiken
Die wichtigsten Modallogiken
Name Eigenschaften von R
Axiome
K
K4
keine
transitiv
PL,Df, K
PL,Df, K, 4
D
D4
seriell
seriell, transitiv
PL,Df, K, D
PL,Df, K, D, 4
B
symmetrisch
PL,Df, K, B
T
reflexiv
PL,Df, K, T
S4
S5
reflexiv, transitiv
PL,Df, K, T, 4
reflexiv, transitiv, symmetrisch PL,Df, K, T, B, 4 (+5)
• Allgemeine Eigenschaften aller Modallogiken
(Df) Definition von 3
(K) Distributivität
(RN) Notwendigkeitsregel
3F ⇔ ¬2¬F
2(F ⇒ G) ⇒ (2F ⇒ 2G)
aus ` F folgt ` 2F
Axiome der (klassischen) Prädikatenlogik
(PL)
(MP) Modus Ponens Regel aus ` F und ` F ⇒ G folgt ` G
Inferenzmethoden
190
Nichtklassische Logiken
Beweise in der Modallogik
• In K folgt 3F ⇒ 3G aus F ⇒ G
– Es gelte F ⇒ G
– Dann gilt ¬G ⇒ ¬F
– Dann gilt 2(¬G ⇒ ¬F )
– Dann gilt 2¬G ⇒ 2¬F
– Dann gilt ¬2¬F ⇒ ¬2¬G
– Es folgt 3F ⇒ 3G
(Transposition)
(RN)
(K, MP)
(Transposition)
(Df)
• In K folgt 2F ⇒ 2G aus F ⇒ G
– Aus F ⇒ G folgt 2(F ⇒ G) mit RN und hieraus 2F ⇒ 2G mit K
• In T gilt F ⇒ 3F
– Es gilt 2¬F ⇒ ¬F
– Daraus folgt ¬¬F ⇒ ¬2¬F
– Es folgt F ⇒ 3F
• F ⇒ 2F gilt
–`F
– ` 2F
– ` F ⇒ 2F
(T)
(Transposition)
(Df)
trotz der Notwendigkeitsregel nicht
=
ˆ “F gilt in jeder Welt w ∈ W”
=
ˆ “Für alle w ∈ W gilt F gilt in jeder von w erreichbaren Welt”
=
ˆ “Für alle w ∈ W folgt 2F aus F ”
Inferenzmethoden
191
Nichtklassische Logiken
Extensionsverfahren für Modallogiken
• Charakterisierung der Gültigkeit analog
– “F gültig gdw. alle Pfade durch F komplementär”
– erweiterter Begriff von Pfaden (keine Normalform möglich)
– erweiterter Begriff der Komplementarität
· Unifizierbarkeit der konnektierter Termfüße
· gleichzeitige Erreichbarkeit der Literale bei Auflösung der Modaloperatoren
• Konnektionen-orientiertes Pfadüberprüfungsverfahren
– operiert direkt auf Formelbaum
– erweiterte Definition aktiver Pfade und offener Teilziele
• Zwei Unifikationsverfahren für Komplementaritätstest
– σQ : Substitution von Variablen durch Terme
– σL für Präfixe von Positionen eines Atoms
7→ Standard-Unifikation
7→ Spezielle String-Unifikation
Substitutionen codieren Einschränkungen an Reihenfolge von Regelanwendungen
Inferenzmethoden
192
Nichtklassische Logiken
Lineare Logik
• Andersartige Grundoperatoren
– Additive, multiplikative und exponentielle Operatoren
– kommutative und nichtkommutative Versionen logischer Operatoren
– Idempotente und nicht-idempotente Versionen (A 6` A ∧ A)
⇒ sehr kompliziert und von der Fachwelt nur wenig verstanden
⇒ bisher nur in Fragmenten automatisierbar (7→ “Proof Nets”)
• Logik höherer Stufe
⇒ Präzisere Verwaltung von Resourcen (Linearität)
– Sequenzenkalkül ohne Kontraktion und Ausdünnung
– Annahmen werden “verbraucht”
• Klassische und nichtklassische Logik simulierbar
• Hauptanwendung “Planen”
– Analog: lineare Konnektionsmethode (jedes Literal nur einmal konnektierbar)
Inferenzmethoden
193
Nichtklassische Logiken
Intuitionistische Logik
• Andere Interpretation von ∨ , ⇒ , ∃, ¬
– Konstruktiver Beweisbarkeitsbegriff
– Größere Aussagekraft von Beweisen
→ die intuitiv sinnvollere Sichtweise der Logik ?
7→ Logikseminar 6.2.
• Intuitionistisch gültige Formeln sind klassisch gültig
– Umkehrung gilt nicht: P ∨ ¬P ist kein Theorem
– klassische Normalformen (DNF, KNF) nicht gültig
• Klassische Logik einbettbar durch Gödel-Transformation
– F klassisch gültig gdw. τ (F ) intuitionistisch gültig
– Intuitionistische Gültigkeit nicht einbettbar (nur mit großem Umweg über S4)
• “Logik des Rechnens”
– erlaubt Repräsentation und Ausführung von Algorithmen
• Beweisverfahren (analog zur Modallogik S4):
– Interaktive gesteuerte Sequenzenkalküle
– modifizierter Konnektionsbeweiser
– klassischer Konnektionsbeweiser nach Aufblähung der Formel
Inferenzmethoden
194
(Wallen, Otten)
(Ohlbach)
Nichtklassische Logiken
Sequenzenkalkül LJ für intuitionistische Logik
Wie LK, aber nur eine Formel im Sukzedent erlaubt
Axiom
¬-S
A ` A
Γ,A ` ⊥
Γ ` ¬A
¬-A
Γ ` A
Γ,¬A ` C
∧ -A
Γ,A ` C
Γ,A ∧ B ` C
∨ -A
Γ,A ` C
Γ,B ` C
Γ,A ∨ B ` C
( auch C = ⊥)
Γ,B ` C
Γ,A ∧ B ` C
∧ -S
Γ`A Γ`B
Γ ` A ∧B
∨ -S
Γ ` A
Γ ` A ∨B
⇒ -S
Γ, A ` B
Γ ` A⇒B
⇒ -A
Γ ` A
∆,B ` C
Γ,∆,A ⇒ B ` C
∀-S∗
Γ` A{x\a}
Γ ` ∀x A
∀-A
Γ,A{x\t} ` C
Γ,∀x A ` C
∃-S
Γ ` A{x\t}
Γ ` ∃x A
∃-A∗
Γ,A{x\a} ` C
Γ,∃x A ` C
Γ ` B
Γ ` A ∨B
Inferenzmethoden
∗
195
: Eigenvariablenbedingung ( a
Nichtklassische Logiken
∈
V “unabhängig”)
Inferenzmethoden
196
Nichtklassische Logiken
(S
∧
(¬(T ⇒R) ⇒P )) ⇒ (¬((P ⇒Q) ∧ (T ⇒R)) ⇒ (S
Klassischer Beweis
P`P
P, ¬ P ` ⊥
S`S
Thin
P` ¬ ¬P
¬ −S
T`T
Thin
−S
Thin
S, ¬ (T ⇒ R) ⇒ P, P ` S ∧ ¬ ¬ P, Q
⇒ −S ∗
S, ¬ (T ⇒ R) ⇒ P ` S ∧ ¬ ¬ P, P ⇒ Q
∧
S, ¬ (T ⇒ R) ⇒ P ` S
S
∧
∧
` (S
∧
( ¬ (T ⇒ R) ⇒ P), ¬ ((P ⇒ Q)
( ¬ (T ⇒ R) ⇒ P) `
∧
R`R
∧
(T ⇒ R)
∧
(T ⇒ R)) ` S
¬ ((P ⇒ Q)
∧
⇒ −A
S, ¬ (T ⇒ R) ⇒ P ` S
(T ⇒ R)) ` S
∧
P`P
T ⇒ R, T ` R
⇒ −S
T⇒R ` T⇒R
¬ −S
` T ⇒ R, ¬ (T ⇒ R)
¬ ¬ P, (P ⇒ Q)
S, ¬ (T ⇒ R) ⇒ P, ¬ ((P ⇒ Q)
∧
¬¬P ))
¬ −A
S, P ` S
S, P ` ¬ ¬ P
S, P ` S ∧ ¬ ¬ P
S
∧
¬ ¬P
(T ⇒ R)) ⇒ (S
( ¬ (T ⇒ R) ⇒ P)) ⇒ ( ¬ ((P ⇒ Q)
∧
∧
∧
S,P ` S
¬ ¬ P, T ⇒ R
−A∗
¬ ¬ P)
(T ⇒ R)) ⇒ (S
∧
⇒ −S
⇒ −S
¬ ¬ P))
Verzweigungsstruktur
S1 ` S0
P1 ` P0
T1 ` T0
R1 ` R0
S1 ` S0
β2
β4
P1 ` P0
β4
β1
β3
Inferenzmethoden
197
¬
S`S
P` ¬ ¬P
Thin
T
S,P ` S
S,P ` ¬ ¬ P
¬ −S ∗
¬ ¬P
∧
∧
P, ¬ P ` ⊥
¬−
Nichtklassische Logiken
∧
¬ ¬P
∧
−S
∧
⇒ −A
(S
∧
(¬(T ⇒R) ⇒P )) ⇒ (¬((P ⇒Q) ∧ (T ⇒R)) ⇒ (S
Formelbaum mit β -Verzweigungen
T0
P 1 Q0
R1
K
K
T1
R0
K
∧
¬¬P ))
P0
β2
⇒0
⇒1
⇒0
I
I
¬1
β3
¬0
P1
I
S1
β4
¬1
1
⇒
3
k
I
I
β1
¬0
S0
0
∧
k
3
0
∧
0
⇒
:
1
∧
y
⇒0
Inferenzmethoden
198
Nichtklassische Logiken
(S
∧
(¬(T ⇒R) ⇒P )) ⇒ (¬((P ⇒Q) ∧ (T ⇒R)) ⇒ (S
∧
Intuitionistischer Beweisansatz
?
S
S
S, ¬ (T ⇒ R) ⇒ P, ¬ ((P ⇒ Q)
∧
∧
` (S
∧
( ¬ (T ⇒ R) ⇒ P), ¬ ((P ⇒ Q)
( ¬ (T ⇒ R) ⇒ P) `
∧
(T ⇒ R)) ` S
∧
∧
(T ⇒ R)) ` S
¬ ((P ⇒ Q)
∧
∧
∧
¬ ¬P
(T ⇒ R)) ⇒ (S
( ¬ (T ⇒ R) ⇒ P)) ⇒ ( ¬ ((P ⇒ Q)
¬ −S ∗
¬ ¬P
∧
∧
¬¬P ))
−A∗
¬ ¬ P)
(T ⇒ R)) ⇒ (S
∧
⇒ −S
⇒ −S
¬ ¬ P))
• ¬ −S nicht anwendbar (Formelkopie nicht erlaubt)
• nachfolgendes
∧
−S nicht anwendbar
• Klassischer Beweis intuitionistisch nicht durchführbar
• Andere Beweisreihenfolge führt zum Erfolg
– und ist auch klassisch gültig
⇒ Reihenfolge der Regelanwendungen wichtig
– intuitionistischer Kalkül nicht konfluent
T1 ` T0
P1 ` P0
R1 ` R 0
β2
P1 ` P0
β3
S1 ` S0
β1
β4
⇒ Zusätzliche Auflagen an intuitionistisches Konnektionsverfahren
– Reihenfolge von Regelanwendungen in verdichteter Form codieren
Inferenzmethoden
199
Nichtklassische Logiken
Extensionsverfahren für intuitionistische Logik
“F gültig gdw. alle Pfade durch F komplementär”
• Charakterisierung der Gültigkeit analog zu Modallogiken
– erweiterter Begriff von Pfaden (keine Normalform möglich)
– erweiterter Begriff der Komplementarität
· Unifizierbarkeit der konnektierter Termfüße
· gleichzeitige Erreichbarkeit der Literale bei Auflösung von ¬0 , ⇒
0
und ∀ 0
• Konnektionen-orientiertes Pfadüberprüfungsverfahren
– operiert direkt auf Formelbaum
– erweiterte Definition aktiver Pfade und offener Teilziele
• Zwei Unifikationsverfahren für Komplementaritätstest
– σQ : Substitution von Variablen durch Terme
– σJ für Präfixe von Positionen eines Atoms
7→ Standard-Unifikation
7→ Spezielle String-Unifikation
Substitutionen codieren Einschränkungen an Reihenfolge von Regelanwendungen
Inferenzmethoden
200
Nichtklassische Logiken
Intuitionistische Logik höherer Stufe
• Erlaubt Manipulation von Algorithmen
– Synthese aus Spezifikationen, Optimierung, . . .
– einheitliche Sprache für Spezifikation, Programmierung, Deduktionsverfahren. . .
• Viele verschiedene Formulierungen
–
–
–
–
–
–
Martin-Löf’sche Typentheorie
Kalkül der Konstrukte
System F
HOL
LCF
..
• Interaktive Beweissysteme mit taktischer Steuerung
–
–
–
–
–
AUTOMATH (historischer Vorläufer)
NuPRL (modifizierte Typentheorie)
ALF (Martin-Löf Typentheorie)
LEGO, Coq (Kalkül der Konstrukte)
Cambridge LCF
Inferenzmethoden
201
Nichtklassische Logiken
Inferenzmethoden
Lektion 23
Beweisverfahren für nichtklassische Logiken
1. Erweiterte Charakterisierung der Gültigkeit
2. Konnektionsmethode für intuitionistische Logik
– Pfadüberprüfungsverfahren
– Komplementaritätstest und Präfix-Unifikation
3. Anwendungen und Erweiterungen
Charakterisierung intuitionistischer Gültigkeit
• Reduktion von ¬0 , ⇒ 0 und ∀ 0 eliminiert Teilformeln
– Vorzeitige Anwendung zerstört beweisrelevante Teilformeln
⇒ Anwendung so spät wie möglich und so früh wie nötig
• Position: Marker für Anwendung von Reduktionen
– codiere ¬0 , ⇒ 0 , ∀ 0 und Atome 0 als Positionskonstante
– codiere ¬1 , ⇒ 1 , ∀ 1 als Variable ( =
ˆ Abarbeitungszeitpunkt verschiebbar)
• Vergleiche Terme konnektierter Atome (7→ σQ )
• Vergleiche Präfixe konnektierter Atome
– pre(A) / Präfix von A: Folge der Positionen zwischen Wurzel und A
=
ˆ Folge der Regeln, die angewandt werden müssen, um A freizulegen
– Vergleich durch Unifikation der Präfixe als Strings (7→ σJ )
· Instantiierte Präfixe liefern Reihenfolge der Anwendung von Reduktionen
ˆ reduziere ai vor X
· zusätzlich: σJ (X) = a1 . . . an =
F ist intuitionistisch gültig, wenn es eine Multiplizität µ, eine Substitution σ = (σQ, σJ
und eine Menge von unter σ komplementären Konnektionen gibt, so daß jeder Pfad durch
F eine solche Konnektion enthält.
Inferenzmethoden
201
Nichtklassische Beweiser
(S
∧
(¬(T ⇒R) ⇒P )) ⇒ (¬((P ⇒Q) ∧ (T ⇒R)) ⇒ (S
Formelbaum mit Polaritäten und Positionen
T0
a5 K
P 1 Q0
R1
β2
A 11K
A6
a 10 I
I
¬0
a3
S1
A1
I
β1
k
P0
a 15
⇒0
¬1
a 13
A7
a 16I
I
¬1
A2
¬0
S0
0
∧
1
⇒
3
β3
P1
¬¬P ))
R0
a 12 A 14K
⇒0
⇒1
A4
T1
∧
A9
k
β4
3
0
∧
0
⇒
:
1
∧
y
a8
⇒0 a
0
Präfix von R0 ist a0a8A9a13a15
Präfix von R1 ist a0A2a3A4A6
Inferenzmethoden
202
Nichtklassische Beweiser
a 17
A 18
a
Konnektionsmethode für die intuitionistische Logik J
• Konnektionen-orientiertes Pfadüberprüfungsverfahren
– Nicht-Normalform-Verfahren auf Formelbäumen (7→ Lektion 13)
– Schrittweise Erhöhung der Multiplizität µ
• Aufwendigerer Komplementaritätstest
– Term-Unifikation (7→ Robinson / Martelli-Montanari)
– Präfix-Unifikation
• Zusätzliche Steuerung: Sequenzenbeweisstruktur
– offene β -Zweige als erste Leitlinie
⇒ effizientere Auswahl relevanter Konnektionen
⇒ lokale Substitutionen möglich (weniger γ -Kopien erforderlich)
Inferenzmethoden
203
Nichtklassische Beweiser
Extensionsbeweis
P 1 Q0
T 0 R1
a 5K
A6
β2
c
d
A 11K
A4
a 10I
e
I
P1
¬0
a3 I
a
S1
A1 k
β1
3
∧
a 12
⇒0
⇒1
⇒
T 1 R0
A 14
K
A7
b
a 15
⇒0
β3
∧
P0
¬1
a 13
f
S0
0
a 16I
g
I
¬1
1
A9 k
A2
1
y
a 19
:
¬0
β4
3
∧
A 18
a 17
h
0
⇒0
a8
⇒0 a 0
Schritte 1 & 2
1
0
(P ` P )
(S ` S ) e
β3
g
β4
h
1
0
?
f
pre(P 0) = a0 a8 A9a10 A11,
pre(P 1 ) = a0 a8 a17 A18a19
pre(S 1 ) = a0 A1,
pre(S 0 ) = a0 a8 a16
σJ ≡ {A9 \ a17B, A18 \ Ba10 C,
A11 \ Ca19, A1 \ a8 a16 } ( B,C neu)
β4 β 3
Inferenzmethoden
Schritt 3
•
g
•
?
c
e
β3
1
(R ` R )
β2
d
f
β1
a
0
β4
?
b
h
pre(R0 ) = a0 a8 a17 Ba13a15 ,
pre(R1 ) = a0 A2a3 A4 A6
Erweitere σJ um {A2 \ a8 a17 D, B \ Da3 E,
A4 \ Ea13 a15, A6 \ }
β4 β 1 β 3 β 2
204
Schritte 4 & 5
(T 1 ` T 0)
•
c
β2
d
•
e
β3
f
(P 1 ` P 0 )
a
b
β1
•
g
β4
h
pre(P 0 ) = a0 a8 a17 DA7,
pre(P 1 ) = a0 a8 a17Da3 Ea10Ca19
pre(T 0) = a0 a8 a17 Da3 Ea13a15 a5 ,
pre(T 1) = a0 a8 a17 Da3 Ea13A14
Erweitere σJ um
{A7 \ a3 Ea10Ca19, A14 \ a15a5
Nichtklassische Beweiser
Extensionsbeweis – induzierte Sequenzenstruktur
axiom ( A14, a5 ): T 1 ` T 0
•
axiom ( A11, a19 ): P 1 ` P 0
•
•¬ – A ( A18 )
• ⇒ – S ( a10 )
e
axiom ( A1, a16 ): S 1 ` S 0
•
g
a
∧
Inferenzmethoden
⇒ – A ( β2 )
•
• ⇒ – S ( a13 )
c
∧
axiom ( A6, a15 ): R1 ` R0
•
– S ( β3 )
•
•¬ – A ( A9 )
•¬ – S ( a3 )
– S ( β4 )
•
• ∧ – A (unmarkiert)
• ⇒ – S ( a8 )
• ⇒ – S ( a0 )
205
d
axiom ( A7, a19 ): P 1 ` P
•
•¬ – A ( A1
f
⇒ – A ( β1 )
•
• ¬ – S ( a17 )
h
Nichtklassische Beweiser
b
Präfix-Unifikation
• Unifiziere Präfixe konnektierter Atome
– Unifizierbar =
ˆ Atome werden mit derselben Folge von Reduktionen freigelegt
• String-Unifikation mit speziellen Restriktionen
– Eindeutigkeit: jedes Symbol erscheint maximal einmal in einem Präfix-String
– Baumeigenschaft: gleiche Symbole sind nur am Anfang zweier Präfix-Strings
⇒ Verfahren deutlich einfacher als String-Unifikation
taST eF uL und tabU lAR unifizierbar zu tableaux
– σ = {S \b, T \l, F \a, L\x, U \, A\ea, R\ux}
• Betrachte allgemeinste Unifikatoren
– aX und Y b unifizierbar mit σ1 = {X \b, Y \a}, σ2 = {X \cb, Y \ac}
allgemeinster Unifikator σ = {X \Zb, Y \aZ} → ‘aZb0
⇒ keine vorzeitige Festlegung der Reduktionsreihenfolge im Extensionsverfahren
• Finitäre Unifikationstheorie
– bis zu
1 (2n)!
2 (n!)2
∈
Inferenzmethoden
22n
√
O( n )
allgemeinste Unifikatoren
206
Nichtklassische Beweiser
Präfixunifikation – bildhaft
• Methode: Systematische Aufzählung aller Kombinationen
• Schreibe ersten String in Titelzeile einer Tabelle
– Konstanten belegen einen kleinen Slot (ein Symbol)
– Variablen belegen einen großen (dehnbaren) Slot
• Verteile zweiten String auf die Zeilen der Tabelle
–
–
–
–
–
Identische Anfangsstrings werden identisch verteilt
Konstanten müssen im Bereich von Variablen erscheinen
Variablenbereiche sind beliebig dehnbar
Beginne mit kürzester Ausdehnung der Variablenbereiche
Verlängere Variablenbereiche systematisch und lese Substitution aus tabelle ab
• Unifiziere pre(R1 ) und pre(R0 ) in Schritt 3
a0
A2
a0 a8 a17
a0 a8 a17
a0 a8 a17
a3
B
B
B
A4
|
A6
σJ
a13 a15 {A2\a8a17D, B\Da3E, A4\Ea13a15, A6\}
a13 a15
{A2\a8a17D, B\Da3E, A4\Ea13, A6\a15}
a13 a15 {A2\a8a17D, B\Da3A4F, A6\F a13a15}
Inferenzmethoden
207
Nichtklassische Beweiser
Präfixunifikation – Algorithmus
Transformiere Gleichungssysteme a‘la Martelli-Montanari
• Start: Γ = {si=|ti | i = 1, .., n}: System von Präfixgleichungen
σ = ∅ leere Substitution:
T = {Πi→∆i, Θi | i = 1, .., k}: Menge von Transformationsregeln
• Algorithmus (nichtdeterministisch):
while Γ 6= ∅ do
a. select the leftmost equation s=t from Γ
b. Γ ← Γ \ {s=t}
c. select a rule r = Π→∆, Θ from T which is applicable to {s=t};
if no rule is applicable then stop with failure
d. apply r to {s=t} and let ∆0, Θ0 be the result
e. Γ ← ∆0 ∪ Θ0(Γ); σ ← Θ0(σ) ∪ Θ0
stop with success and return σ .
• Resultierende Substitution σ ist idempotent
• Algorithmus ist vollständig
– alle Substitutionen mit geeigneter Auswahl von Regeln erzeugbar
– Prolog-Programm liefert alle allgemeinsten Unifikatoren
Inferenzmethoden
208
Nichtklassische Beweiser
Präfixunifikation – Transformationsregeln für J
R1.
R2.
R3.
R4.
R5.
R6.
R7.
R8.
R9.
{ε = ε|ε}
→ {}, {}
{Xs = ε|Xt}
→ {s = ε|t}, {}
{V s = z|ε}
→ {s = ε|ε}, {V \z}
{ε = ε|t+}
{Cs = ε|V t}
{V s = ε|C1t}
→ {V t = ε|Cs}, {}
→ {s = ε|C1t}, {V \ε}
{V s = z|C1C2t} → {s = ε|C2t}, {V \zC1}
{V s+ = ε|V1 t}
→ {V1 t = V |s+ }, {}
{V s+ = z +|V1 t} → {V1 t = V 0 |s+}, {V \z +V 0}
R10. {V s = z|Xt}
–
–
–
–
→ {t+ = ε|ε}, {}
→ {V s = zX|t}, {}, where V 6=X, and s=ε or t6=ε or X ∈ C
V : Variablenmenge, C : Konstantenmege, V ∗ : Menge von Hilfsvariablen
s, t, z : Strings über V ∪ C ∪ V ∗ , s+, t+, z + : nichtleere Strings
X ∈ V ∪ C ∪ V 0 , V 6=V1 ∈ V ∪ V 0 , C, C1 , C2 ∈ C (Einzelsymbole)
V 0 ∈ V 0 neue Variable, die bisher nicht in σ vorkam
Ähnliche Transformationsregeln für andere Logiken
Inferenzmethoden
209
Nichtklassische Beweiser
Präfixunifikation für Γ = {aBcDEf =ε|aBGhiJ} — (1)
Inferenzmethoden
210
Nichtklassische Beweiser
{aBcDEf =ε|aBGhiJ} , {}
R3
−→ {BcDEf =ε|BGhiJ} , {}
R3
−→ {cDEf =ε|GhiJ} , {}
R4
−→ {GhiJ=ε|cDEf } , {}
R6
R6 und R10 anwendbar
??
1. −→ {hiJ=ε|cDEf } , {G \ ε} −→ ∇
keine Regel anwendbar
2. −→ {GhiJ=c|DEf } , {}
R9 und R10 anwendbar
R10
R9
(a) −→ {DEf =X 0 |hiJ} , {G \ cX 0}
R7 und R10 anwendbar
R7
i. −→ {Ef =ε|iJ} , {G \ cX 0, D \ X 0 h}
R6
R6 und R10 anwendbar
??
A. −→ {f =ε|iJ} , {G \ cX 0, D \ X 0h, E \ ε} −→ ∇
keine Regel anwendbar
R10
B. −→ {Ef =i|J} , {G \ cX 0, D \ X 0h}
R9
−→ {J=Y 0 |f } , {G \ cX 0, D \ X 0 h, E \ iY 0 }
R10
−→ {J=Y 0 f |ε} , {G \ cX 0, D \ X 0 h, E \ iY 0 }
R5
−→ {ε=ε|ε} , {G \ cX 0, D \ X 0h, E \ iY 0, J \ Y 0f }
R1
−→ {} , {G \ cX 0, D \ X 0h, E \ iY 0, J \ Y 0f }
R10
σ0
R10
ii. −→ {DEf =X 0 h|iJ} , {G \ cX 0} −→ {DEf =X 0 hi|J} , {G \ cX 0 }
R9
−→ {J=Y 0 |Ef } , {G \ cX 0, D \ X 0 hiY 0 }
R10
−→ {J=Y 0 E|f } , {G \ cX 0, D \ X 0 hiY 0 }
R10
−→ {J=Y 0 Ef |ε} , {G \ cX 0, D \ X 0 hiY 0}
R5
−→ {ε=ε|ε} , {G \ cX 0, D \ X 0hiY 0 , J \ Y 0 Ef }
R1
−→ {} , {G \ cX 0, D \ X 0hiY 0 , J \ Y 0 Ef }
Inferenzmethoden
211
Nichtklassische Beweiser
σ1
Präfixunifikation für Γ = {aBcDEf =ε|aBGhiJ} — (2)
R10
2 (b) −→ {GhiJ=cD|Ef } , {}
R9 und R10 anwendbar
R9
i. −→ {Ef =X 0 |hiJ} , {G \ cDX 0}
R7 und R10 anwendbar
R7
??
A. −→ {f =ε|iJ} , {G \ cDX 0, E \ X 0h} −→ ∇
R10
keine Regel anwendbar
R10
B. −→ {Ef = X 0h|iJ} , {G \ cDX 0} −→ {Ef =X 0hi|J} , {G \ cDX 0}
R9
−→ {J=Y 0 |f }, {G \ cDX 0, E \ X 0hiY 0 }
R10
−→ {J=Y 0 f |ε}, {G \ cDX 0, E \ X 0hiY 0 }
R5
−→ {ε=ε|ε}, {G \ cDX 0, E \ X 0 hiY 0, J \ Y 0f }
R1
−→ {} , {G \ cDX 0, E \ X 0hiY 0, J \ Y 0f }
R10
σ2
R10
ii. −→ {GhiJ=cDE|f } , {} −→ {GhiJ=cDEf |ε}, {}
R5
??
−→ {hiJ=ε|ε} , {G \ cDEf } −→ ∇
keine Regel anwendbar
Resultierende allgemeinste Unifiatoren (X 0 , Y 0 neue Variablen)
a B c
a B
a B
a B
D
G
G
E
h i
J
h i
J
G
h i
Inferenzmethoden
f
σ0 = {G\cX 0, D \X 0h, E \iY 0, J \Y 0f }
J
σ1 = {G\cX 0, D \X 0hiY 0, J \Y 0Ef }
σ2 = {G\cDX 0, E \X 0hiY 0, J \Y 0f }
212
Nichtklassische Beweiser
Anwendung: Beweis- und Programmentwicklungssystem
NuPRL
Preprocessing-
Sequenz
(Standard LJ
-
+. . . )
Formelbaum
Matrixbeweis
Positionsmarker,
in MJ
Polaritäten, ...
(Wallen)
Erweiterte
Konnektionsmethode
T
Konversion
A
MJ 7→ LJ
K
T
(ohne Suche)
I
K
???
NuPRL
Beweis
R ?
Einbettung
-
(ohne Suche)
LJ
Inferenzmethoden
?
LJ –Beweis
(erweiterter LJ )
213
Simulation LJN S 7→ LJ ?
(ohne Suche)
LJN S –Beweis
(Fitting-Sequenzen)
Nichtklassische Beweiser
Erweiterungsmöglichkeiten
• Einbettung in Beweis- und Programmentwicklungssystem
–
–
–
–
Umwandlung Sequenzen in markierten Formelbaum
Transformation von Matrixbeweisen in LJ
Integration in das NuPRL System (ML/Lisp–Implementierung)
Analoge Techniken für Induktion
7→ S. Schmitt
⇒ Steuerung von Programmsyntheseverfahren
• Erweiterung auf Modallogiken
– uniformes Extensionsverfahren
– Transformationsregeln für Präfix-Unifikation in jeder Logik
– Transformation von Matrixbeweisen in Sequenzenbeweise
7→ J. Otten
7→ S. Schmitt
• Erweiterung auf lineare Logik
– Entwurf einer Charakterisierung
..
–
7→ H. Mantel
7→ Studien- und Diplomarbeiten . . .
Inferenzmethoden
214
Nichtklassische Beweiser
Inferenzmethoden
Lektion 24
Ausblick
1. Systeme
2. Anwendungen
3. Zukunft der Deduktion
Systeme
• NQTHM (Boyer & Moore)
– Logik und Induktion
• OTTER (Wos)
– bisher der erfolgreichste Beweiser (Resolution)
• MKRP (Siekmann)
– Deutschlands erster Beweiser (Resolution, Gleichheit, Sorten)
• SETHEO / PARTHEO (Bibel, Letz, Schumann)
– Compilierender Beweiser (Konnektionsmethode, Reduktionen, Parallelität)
• KoMeT (Bibel, Rath, Egly, Brüning)
– Berechnungsadäquater Beweiser
• TPS (Andrews)
– klassische Logik höherer Stufe (Matrixmethoden)
Inferenzmethoden
214
Ausblick
Anwendungen
• Logische Programmiersprachen (Prolog)
– Hornklausellogik + Kontrollmechanismen (cut!)
– Turingmächtig, effiziente “Compiler” vorhanden
• Formale Mathematik
– automatische Beweise für mathematische Teiltheorien
– interaktive Beweise für jegliche Form von Mathematik
• Programmverifikation
– höchste Stufe des Software-TÜV
• Programmsynthese
– Erzeugung korrekter Algorithmen aus formalen Spezifikationen
– Programmverifikation während der Programmentwicklung
• Wissensrepräsentation & Expertensysteme
mehr als ein akademisches Spielzeug
Inferenzmethoden
215
Ausblick
Zukunftsaussichten der Deduktion
• Grundtechniken für Prädikatenlogik vorhanden
– Basisverfahren
– Optimierungen und Reduktionen
– hinreichende Effizienz
• Viele sinnvolle Erweiterungen
– Gleichheit, Induktion, andere Logiken
– Techniken noch verbesserungswürdig
• Beweiserbau = Theorie + Softwaretechnik
– Effizienzsteigerung ist das größte Problem
– wesentliche Fortschritte durch Hardwareverbesserung
• Viele sinnvolle Anwendungen
Zukunftsträchtiges Forschungs- und Arbeitsgebiet
Inferenzmethoden
216
Ausblick
Vertiefungsmöglichkeiten und Ergänzungen
• Praktikum Beweiserbau
– Expermiente mit verschiedenen Beweistechniken
• Vorlesung Wissensrepräsentation
– Darstellung “natürlicher” Schlußmethoden im Rechner
– nicht-monotones, vages, Meta-Schließen, Schlüsse über Wissen und Glauben . . .
• Vorlesung Automatisierte Logik und Programmierung
– Konstruktive Typentheorie (Logik höherer Stufe + . . . )
– Beweiseditoren, Taktiken, Entscheidungsprozeduren
– Automatisierte Softwareentwicklung
— nur noch als Skript —
• Vorlesungen von Prof. Walther
– Induktion, Rekursion, Verifikation, allgemeine KI . . .
• Mitarbeit in der Forschung
– Konstruktives Beweisen und Programmsynthese
– KoMeT
– MuSE
Inferenzmethoden
217
(Studien-/Diplomarbeiten, HiWi-Job)
7→ J. Otten, S. Schmitt, D. Korn
7→ T. Rath
7→ E. Sandner
Ausblick