Aufgabensammlung

Warteschlangentheorie
HT 2013
Übung 1
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 1: Eine Zufallsvariable mit Werten in der Menge N = {1, 2, . . .} besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion
f (n) = P(X = n) = 2 −n ,
n ∈ N.
(a) Berechnen Sie P(X = 5).
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X eine gerade Zahl ist (d.h., dass X durch 2 teilbar ist).
Hinweis: Erinnern Sie sich an die geometrische Summe und die Formel
q + q2 + q3 + . . . =
q
.
1−q
für jede reelle Zahl q ∈ (−1, 1).
(c) Berechnen Sie E(3 − X ).
Aufgabe 2: In einer Warteschlange sei T1 die Ankunftszeit des ersten Kunden. Die Verteilungsfunktion von T1 sei

0
; x<2



F (x) = P(T1 ≤ x) =  19 (x − 2) 2 ; x ∈ [2, 5)


1

; x≥5
(a) Zeichnen Sie F (x). Ist F wirklich eine Verteilungsfunktion?
(b) Berechnen Sie die zugehörige Dichte f (x).
(c) Berechnen Sie P(X ≤ 3).
(d) Berechnen Sie P(X ∈ (3, 4]).
(e) Wie groß ist der Erwartungswert von X?
(f) Berechnen Sie die Varianz von X.
Warteschlangentheorie
HT 2013
Übung 2
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 3: Ein unfairer Würfel zeigt die Augenzahlen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:
k:
P(X = k)
1
0
2
0,1
3
0,2
4
0,3
5
0,4
6
0
Dabei bezeichne X die Augenzahl.
(a) Berechnen Sie E(X ).
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 3 oder eine 4 gewürfelt wurden, wenn bekannt ist, dass keine 5
gewürfelt wurde?
(c) Es werde mehrfach gewürfelt. Wie lange muss im Mittel gewürfelt werden, bis man eine gerade Augenzahl
würfelt?
(d) Es wird 10 mal gewürfelt. Wie viele Fünfer erwarten Sie? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 5
genauso häufig fällt, wie die erwartete Häufigkeit anzeigt?
Aufgabe 4: In einer Warteschlange seien die Zwischenankunftszeiten A1 , A2 , . . . exponentiell verteilt mit Parameter
λ = 2 min −1 .
(a) Wie lange dauert eine Zwischenankunftszeit im Mittel?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kunde erst nach mehr als 3 Minuten erscheint?
(c) Angenommen der erste Kunde erreicht die Warteschlange vor der 2. Minute. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er erst nach der ersten Minute erschien?
(d) Welche Verteilung besitzt T6 , die Ankunftszeit des sechsten Kunden? Hinweis: T6 ist die Summe von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen.
(e) Berechnen Sie P(T6 ≤ 2).
Aufgabe 5: X besitze eine exponentielle Verteilung mit Parameter λ. Berechnen Sie den Erwartungswert E(e −s X ),
s ≥ 0.
Warteschlangentheorie
HT 2013
Übung 3
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 6: Es sei N (t) ein Poisson-Prozess der den Ankunftsprozess einer Warteschlange beschreibt. Die Ankunftsrate betrage 10 Kunden pro Stunde.
(a) Wie viele Kunden kommen im Mittel pro Tag an der Warteschlange an?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Minuten mehr als ein Kunde erscheint?
(c) Sie schließen die Wette ab, dass den ersten 12 Minuten kein Kunde ankommt. Die Wettquote beträgt q, d.h. bei
einem Einsatz von einem Euro erhalten Sie, wenn sie gewinnen q Euro. Berechnen Sie q so, dass sie im Mittel
x Euro gewinnen bzw. verlieren.
Bei welchem q machen Sie im Mittel weder Gewinn noch Verlust?
Aufgabe 7: In einer Warteschlange mit einer Bedienstation, kommen die ersten 7 Kunden zu den Zeiten
2, 6, 7, 10, 17, 18 und 25 Minuten
an. Ihre Bedienzeiten betragen jeweils
9, 4, 1, 2, 3, 3 und 2 Minuten.
Zeichnen Sie den Verlauf des Prozesses X t , der die Anzahl der Kunden im System beschreibt, für 0 ≤ t ≤ 28. Tragen
Sie die die Leer- und Besetztzeiten, die Ankunftszeitpunkte und Abgangszeitpunkte ein.
Aufgabe 8: In einer M/M/1-Wartschlange beträgt die mittlere Zwischenankunftszeit 7 Minuten. Die Bearbeitungszeit
dauert im Mittel 5 Minuten.
(a) Wie viele Kunden sind im Mittel nach 10 Minuten angekommen?
(b) Was ist wahrscheinlicher? Dass in 14 Minuten höchstens 2 Kunden ankommen, oder in 7 Minuten höchstens
ein Kunde?
(c) Nach 10 Minuten ist das Wartesystem bereits seit 3 Minuten leer. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
System noch weitere 3 Minuten leer bleibt.
(d) Nach 20 Minuten ist ein Kunde in Bearbeitung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Kunde noch
mindestens 8 Minuten im System verbleibt?
(e) Berechnen Sie den Erwartungswert des Zeitpunktes, zu dem der erste Kunde das System verlässt.
Warteschlangentheorie
HT 2013
Übung 4
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 9: Zeigen Sie, dass für die Verteilung der Kundenzahl
π00 (t) = −λπ0 (t) + µπ1 (t)
gilt (siehe Folie 54).
Aufgabe 10: In einer M/M/1-Warteschlange kommen pro Stunde im Schnitt 10 Kunden an. Die durchschnittliche
Bearbeitungszeit eines Kunden ist 5 Minuten. Angenommen, die Warteschlange befinde sich im stationären Zustand.
(a) Wie groß ist die Auslastung.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im System exakt 3 Kunden anzutreffen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mehr als 3 Kunden im System befinden?
(c) Wie groß ist die erwartete Kundenzahl im System?
(d) Um wie viel Prozent erhöht sich die erwartete Kundenzahl, wenn die Ankunftsrate um 1% steigt?
Aufgabe 11: In einer M/M/1-Warteschlange beträgt die Wahrscheinlichkeit im stationären Zustand weniger als 2
Kunden im System anzutreffen 75%. Die mittlere Zwischenankunftszeit ist um 3 Minuten größer, als die mittlere
Bedienzeit. Wie groß ist die Bedienrate?
Warteschlangentheorie
HT 2013
Übung 5
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 12: In einer M/M/1-Warteschlange beträgt die Auslastung 75%. Die mittlere Aufenthaltszeit eines Kunden
im stationären Zustand beträgt 3 Minuten. Wieviele Kunden kommen im Mittel in einer Stunde an?
Aufgabe 13: An einem Schalter werden Konzertkarten verkauft. Es kommt im Mittel ein Kunde pro Minute an.
Die Zwischenankunftszeiten seien exponentiell verteilt. Für den Verkauf einer Karte werden im Mittel 50 Sekunden
benötigt. Eine Karte kostet regulär 15 Euro.
(a) Wie viele Kunden warten im Mittel? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Warteschlange mehr als
10 Kunden warten?
(b) Wie lange warten die Kunden in Schlange durchschnittlich?
(c) Ein Ticketverkäufer bietet folgenden Deal an. Kunden zahlen für die Konzertkarte 20 Euro, wenn sie weniger
als 10 Minuten in der Warteschlange warten. Ansonsten ist die Karte schon für 2 Euro zu haben. Lohnt sich das
für die Kunden?
(d) Ein Kunde erreicht den Schalter und findet 6 Kunden in der Warteschlange, sowie einen Kunden am Schalter
vor. Er hat nur 5 Minuten Zeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er noch eine Karte bekommt?
Aufgabe 14: Gegeben sei die Matrix

−2
 0
A= 
 2
0
1
−2
1
0
1
1
−4
2

2
1 
1 

−4
(a) Berechnen Sie die Spaltensummen. Hat das Gleichungssystem A · x = 0 Lösungen?
(b) Berechnen Sie alle Lösungen x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) der Gleichung A · x = 0.
(c) Gibt es eine Lösung x mit x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1?
Warteschlangentheorie
Übung 6
HT 2013
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 15: Eine Markovkette X n mit drei Zuständen 1, 2 und 3 besitze die folgende Übergangsmatrix.


0 0.5 0.5
P =  0.5 0.5 0 
 1
0
0 
(a) Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm.
(b) Ist die Markovkette irreduzibel und aperiodisch?
(c) Berechnen Sie P(X1 = 2|X0 = 1) und P(X3 = 1|X0 = 3)
(d) Die Anfangsverteilung sei P(X0 = 1) = 0.3, P(X0 = 2) = 0.2 und P(X0 = 3) = 0.5. Berechnen Sie:
(i) P(X3 = 2).
(ii) Var(X3 )
(e) Berechnen Sie die stationäre Verteilung.
Aufgabe 16: Gegeben Sei das folgende Übergangsdiagramm einer Markovkette mit 18 Zuständen.
(a) Geben Sie die kommunizierenden Klassen an.
(b) Welche Zustände sind rekurrent, welche transient?
(c) Bestimmen Sie die Periode aller Zustände.
Aufgabe 17: Gegeben Sei das folgende Übergangsdiagramm einer Markovkette mit den Zuständen {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(a) Geben Sie die kommunizierenden Klassen an.
(b) Welche Zustände sind rekurrent bzw. transient?
(c) Wie lange dauert es im Mittel vom Zustand 1 in den Zustand 6 zu gelangen?
Warteschlangentheorie
HT 2013
Übung 7
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 18: An einem Flughafen warten Taxis mit jeweils 4 Sitzplätzen auf Gäste. Ein Taxi wartet jeweils solange,
bis alle Plätze belegt sind. Dann fährt es sofort los und das nächste Taxi rückt nach. Der Ankunftsprozess der Kunden
sei ein Poissonprozess, es kommen im Mittel 6 Kunden in einer Stunde an. Es sei K t die Zahl der wartenden Kunden.
(a) Beschreiben Sie K t als Markovkette in steteiger Zeit. Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm.
(b) Geben Sie die Intensitätsmatrix an.
(c) Finden Sie die stationäre Verteilung.
(d) Angenommen ein Kunde verlässt die Warteschlange, wenn er länger als eine zufällige exponentielle Wartezeit
mit einem Mittelwert von 20 Minuten gewartet hat. Geben Sie jetzt die Intensitätsmatrix für die Markovkette an
und bestimmen Sie die stationäre Verteilung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kunde wartet?
Aufgabe 19: Eine Markovkette X t in stetiger Zeit besitze die möglichen Zustände {−1, 0, 1, 5}. Die Übergangswahrscheinlichkeiten und mittleren Aufenthaltszeiten seien
Zustand
-1
0
1
5
-1
0
1/2
1/4
1/2
0
1/2
0
0
1/4
1
1/4
0
0
1/4
5
1/4
1/2
3/4
0
mittl. Aufenthaltszeit
5 Minuten
halbe Stunde
Viertelstunde
Viertelstunde
(a) Geben Sie die Intensitätsmatrix an.
(b) Bestimmen Sie die stationäre Verteilung.
Aufgabe 20: Gegeben Sei eine Warteschlange mit einer Bedienstation, exponentiellen Ankünften und exponentiellen
Bedienzeiten (mittlere Dauer 2 Minuten). Die Ankunftsrate λ(k) sei von der Zahl der Kunden k im System abhängig
(Kunden werden durch eine lange Warteschlange abgeschreckt), es gelte:
λ(k) =
5
min −1
1+k
(a) Geben Sie ein Übergangsdiagramm für den Geburts- und Todesprozess X t an.
(b) Gibt es eine Grenzverteilung für die Anzahl der Kunden?
(c) Wie lautet die stationäre Verteilung? Hinweis: Es gilt für jede reelle Zahl x:
∞
X
k=0
x k /k! = e x
Warteschlangentheorie
Übung 8
HT 2013
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 21: An einem Würstchenstand gibt es 3 Mitarbeiter, die Kunden bedienen. Die Zubereitung eines Würstchens
dauert im durchschnittlich 45 Sekunden. Im Mittel besuchen 200 Kunden pro Stunde den Stand. Angenommen das
System befinde sich im Gleichgewicht.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Mitarbeiter nichts zu tun haben?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde keine Warteschlange vorfindet?
(c) Wie lange muss man im Mittel warten?
Aufgabe 22: In ein Urlaubsland reisen pro Tag 600 Touristen ein. Sie bleiben im Mittel 7 Tage. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, in dem Land mehr als 4300 Touristen anzutreffen?
Aufgabe 23: Ein Wartezimmer bei einem Arzt hat 4 Warteplätze. Pro Tag (10h) besuchen im Durchschnitt 60 Patienten den Arzt. Jeder von Ihnen bleibt im Mittel 12 Minuten. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient ein
volles Wartezimmer antrifft.
Aufgabe 24: Folgende Übergangsdiagramme gehören zu drei Geburts- und Todesprozessen. Stellen Sie fest, unter
welchen Bedingungen eine Grenzverteilung existiert und bestimmen Sie diese.
Warteschlangentheorie
Übung 9
HT 2013
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 25: In einer Maschine werden Schokoladennikoläuse verpackt. Dabei können bis zu drei Nikoläuse gleichzeitig verpackt werden. Die Verpackung eines Nikolauses dauert im Mittel 2 Sekunden, pro Minute kommen im
Mittel 60 Nikoläuse auf einem Transportband an. Ist die Maschine komplett ausgelastet, so müssen die ankommenden
Nikoläuse zur nächsten Maschine weitergeleitet werden.
(a) Wie viel Prozent der Nikoläuse werden an dieser Maschine bedient?
(b) Wie viele Nikoläuse sind im Mittel in der Maschine in Bearbeitung?
Aufgabe 26: Für ein neues Restaurant werden Toilettenräume geplant. Dabei sollen soviele Toilettenplätze angelegt
werden, dass bei 20 Gästen im Restaurant, die im Durchschnitt einmal in 120 Minuten auf die Toilette gehen und dort
im Mittel 2 Minuten verweilen, mit 99 Prozentiger Wahrscheinlichkeit kein Gast auf eine freie Toilette warten muss.
Reichen 2 Plätze um das zu gewährleisten?
Aufgabe 27: An einer Warteschlange mit einer Bedienstation und exponentiellen Zwischenankunftszeiten mit Rate
6 min −1 besitzen die Bedienzeiten B einen Erwartungswert von 8 s. Das System befinde sich im Gleichgewichtszustand. Wie groß darf die Standardabweichung der Bedienzeiten höchstens sein, damit die zu erwartende Wartezeit in
der Warteschlange 20 Sekunden nicht überschreitet?
Aufgabe 28: Die Bedienzeiten in einer M/G/1-Warteschlange besitzen die Dichtefunktion
(
0
; x < [0, 1]
g(x) = P(B ≤ x) =
C(x − x 2 ) ; x ∈ [0, 1]
(a) Bestimmen Sie die Konstante C.
(b) Berechnen Sie E(B) und E(B2 ).
(c) Geben Sie die Verteilungsfunktion G ∗ (x) der Restbedienzeit an.
Warteschlangentheorie
Übung 10
HT 2013
Dr. Andreas Löpker
Aufgabe 29:
(a) Berechnen Sie die Grenzverteilung des obigen Netzwerks.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit 2,1 und 0 Kunden in den Warteschlangen 1,2 und 3 vorzufinden.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in den drei Wartesystemen gleich viele Kunden?
Aufgabe 30: Gegeben sei folgendes Tandem-Warteschlangensystem mit Rücklauf.
Bestimmen Sie die Grenzverteilung.
Aufgabe 31: Im folgenden Netzwerk befinden sich drei Warteschlangen und drei Kunden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit in jeder Station genau einen Kunden, d.h. drei leere Warteschlangen anzutreffen.