Einführung in die algebraische und analytische - Uni

Einführung in die algebraische und
analytische Zahlentheorie
Dr. Klaus Haberland
Semester: WS 2006/07
Vorwort
Dieses Dokument wurde als Skript für die auf der Titelseite genannte Vorlesung erstellt
und wird jetzt im Rahmen des Projekts „Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik
und Informatik“ weiter betreut. Das Dokument wurde nach bestem Wissen und Gewissen
angefertigt. Denoch garantiert weder der auf der Titelseite genannte Dozent, die Personen,
die an dem Dokument mitgewirkt haben, noch die Mitglieder des Projekts für dessen
Fehlerfreiheit. Für etwaige Fehler und dessen Folgen wird von keiner der genannten
Personen eine Haftung übernommen. Es steht jeder Person frei, dieses Dokument zu
lesen, zu verändern oder auf anderen Medien verfügbar zu machen, solange ein Verweis
auf die Internetadresse des Projekts http: // uni-skripte. lug-jena. de/ enthalten
ist.
Diese Ausgabe trägt die Versionsnummer 2601 und ist vom 6. Dezember 2009. Eine (mögliche) aktuellere Ausgabe ist auf der Webseite des Projekts verfügbar.
Jeder ist dazu aufgerufen, Verbesserungen, Erweiterungen und Fehlerkorrekturen für das
Skript einzureichen bzw. zu melden oder diese selbst einzupflegen – einfach eine E-Mail
an die Mailingliste <[email protected]> senden. Weitere Informationen sind
unter der oben genannten Internetadresse verfügbar.
Hiermit möchten wir allen Personen, die an diesem Skript mitgewirkt haben, vielmals
danken:
• Jörg Sommer <[email protected]> (2006/07)
• Benjamin Sambale <[email protected]> (2006)
• Robert Müller (2006/07)
3
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Zahlentheorie
1.1 Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 11 Beweise, dass P unendlich ist . .
1.1.2 Primzahlverteilung . . . . . . . . . .
1.1.3 Euklids Algorithmus . . . . . . . . .
1.1.4 Die Restrechnung (d’aprés GAUSS)
1.1.5 Quadratische Gleichungen über Fp .
1.1.6 Quadratsummen . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
11
11
13
16
22
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
2.1 Dirichlet-Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Dirichlet-Reihen . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das Nichtverschwinden von L(1, χ) für χ 6= χ0 .
2.3 Elementarer Beweis von L(1, χ) 6= 0 für reelles χ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
28
32
34
3 Quadratische Zahlenkörper
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die ganzen Gaussschen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ganze Zahlen in quadratischen Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Multiplikative Arithmetik in OK – Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Allgemeine Theorie der Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Kettenbrüche zu reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Die Kettenbruchentwicklung reellquadratischer irrationaler Zahen .
3.7 Multiplikative Arithmetik in OK – Primideale . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Das Zerlegungsgesetz in quardatischen Zahlenkörpern . . . . . . . . . . .
3.9 Die Idealklassengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
37
40
42
46
47
47
49
52
64
67
72
4 Die
4.1
4.2
4.3
4.4
78
78
85
90
95
96
98
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers . . . . . . . .
Die Berechnung von L(1, χD ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gausssche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2007 – Interessante Ergebnisse zur√Jahreszahl . . . . . . . . . .
4.4.1 Kettenbruchzerlegung von 223 . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Alle Darstellung von 223 als Summe von vier Quadraten
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Inhaltsverzeichnis
4.5
4.4.3 Alle Gruppen der Ordnung 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Die Klassenzahlformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5.1 Nachtrag 1: Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5
Auflistung der Theoreme
Sätze
Satz 1.1
Hauptsatz der elementaren Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Satz 1.2
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Satz 1.4
Quadratische Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Satz 2.1
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Satz 3.2
Euler, Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Satz 3.3
Hauptsatz der Arithmetik in OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Satz 3.5
Minkowskis Gitterpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Satz 4.2
nach Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Satz 4.3
Klassenzahlformel für reellquadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . 102
Satz 4.4
Klassenzahlformel für imaginärquadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . 103
Definitionen und Festlegungen
6
Literaturverzeichnis
[1] Boreviq, Xafareviq (Borevich, Shafarevich): Teori qisel (Number theory),
Izd. Nauka (Hayka), Moskau 1985
[2] D. Zagier: Zetafunktion und quadratische Zahlenkörper, Springer 1981
[3] Edwards: Fermat’s last theorem, Springer 1977
[4] H. Hasse: Vorlesungen über Zahlentheorie, Springer 1950
[5] E. Hecke: Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen, Geest & Fortig,
Leipzig 1954
[6] J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer 1992
7
1 Elementare Zahlentheorie
1.1 Die ganzen Zahlen
Die Standardbezeichnung der Menge der ganzen Zahlen ist Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
mit der Addition und Multiplikation, mit gutartigen Eigenschaften.
Definition 1.1
a, b ∈ Z, a | b (gespr. a teilt b) := ∃c ∈ Z : b = ac.
Bemerkung 1.1
±1 teilen jede ganze Zahl und jede ganze Zahl teilt die Null.
Definition 1.2
Eine ganze Zahl m 6= ±1 heißt Primzahl :⇔ sie besitzt genau 4 Teiler.
Bemerkung 1.2
Die Menge der positiven Primzahlen sei P. Euklid hat gezeigt P ist unendlich. Die aktuell,
größe Primzahl von heute morgen ist 232582657 − 1. Quelle: GIMPS.
1.1.1 11 Beweise, dass P unendlich ist
Beweis: (Nach Euklid)
Angenommen: P ist endlich, dann hat das Produkt aller Primzahlen vermehrt um 1 keine
Primteiler.
Beweis: (Ch. Hermite (1870))
Sei pn der kleinste Primteiler von n! + 1, dann ist pn > n.
Beweis: (T. Stieltjes (1890))
Sei P = {p1 , . . . , pn } und D = p1 · · · · · pn . Zerlege D = m · n, m, n > 1. Für jede Primzahl
gilt: p | m oder p | n , aber nicht beide. Also hat m + n keine Primteiler.
Beweis: (J. Braun (1890))
P = {p1 , . . . , pn }, D = p1 · · · · · pn
X 1
pi
=
a
D
mit a =
D
pi
Nun ist a/D ≥ 1/2 + 1/3 + 1/5 = 31/30 > 1. Also muss a Primteiler haben, z. B. pk . Es folgt:
pk teilt a und jedes D/pi , i 6= k. Also auch D/pk . Widerspruch.
8
1.1 Die ganzen Zahlen
Beweis: (Euler (1759) (falscher Beweis))
Wir wollen
Y
p∈P
1−
1
=0
p
Setze dazu
1 1
+ + ···
2 3
1
1 1 1
x = + + + ···
2
2 2 6
1
1 1 1
x = 1 + + + + ···
2
3 5 7
1
1 1
1
x= + +
+ ···
6
3 9 15
x=1+
⇒
X
1·2
1 1
1
x = 1 + + + ··· =
2·3
5 7
n
n prim zu 6
X
(p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1)
x=
p1 p2 · · · pk
n prim zu p
⇒
1 ···pk
1
⇒
(1 − )x = 1
p
p∈P
Y
Da x = ∞ ist, folgt
p∈P (1
Q
− p1 ) = 0
Beweis: (Sylvester (1888))
Korrektur des Beweises von Euler.
YÄ
p≤x
ä
YÄ
X 1
1
1 ä−1
1
=
≥
1 + + 2 + ··· ≥
1−
p
p p
n
p≤x
n≤x
Zx
dt
= ln x − ln 2 → ∞
t
2
Beweis: (Perrot (1881))
Für n > 2 ist die Anzahl der natürlichen Zahlen ≤ N , welche quadratische Teiler > 1
besitzen, beschränkt durch
X
2≤n≤N
∞
1
1
X
N
1
<
N
+
≤
N
+
n2
4 n=3 n2
4
Also existieren im Intervall [1, N ] mindestens
N
4
Z∞
2
dt 3
= N
t2
4
quadratfreie Primzahlen.
Sei P = {p1 , . . . , pn }. Dann existieren genau 2n quadratfreie Zahlen: pi1 , . . . , pir für
1 ≤ i1 < ir ≤ n.
9
1 Elementare Zahlentheorie
X Menge, O Familie von Teilmengen, so dass
1. ∅, X ∈ O
2. U, V ∈ O ⇒ U ∩ V ∈ O
3. ∀Ui ∈ O, i ∈ I ⇒
S
Ui ∈ O
(X, O) heißt topologischer Raum oder Topologie, U ∈ O offene Menge.
Eine arithmetische Progression in Z: a + mZ, m > 0. Diese bilden Familie von
Teilmengen in Z, welche durchschnittsabgeschlossen ist. Sie erzeugt also durch Vereinigung
die Topologie auf Z.
Beweis: (Fürstenberg (1955))
S
Jede arithmetische Progression ist offen und abgeschlossen. Sei Ap = p · Z, A = p∈P Ap .
Z \ A = {−1, 1} ist nicht offen, also ist A nicht abgeschlossen. Die Ap sind abgeschlossen,
also auch jede endliche Vereinigung.
Beweis: (Tchebyshev (18??))
Für eine reelle Zahl x gilt: x − 1 < [x] ≤ x. Es folgt
[x + y] − [x] − [y] ∈ {0,1}
Wie oft geht eine Primzahl p in n! auf?
1
Θ(n)
ln 2πn +
wobei |Θ(n)| < 1]
2h i h i12nh i
n
n
n
ordp (n!) =
+ 2 + 3 + ···
p
p
p
[ln(n!) = n ln n − n +
Also ordp (
n
k )
=
n
r=1 ([ pr ]
P∞
− [ pnr ] − [ n−k
pr ]) ≤
Es folgt:
Ç å
αp
p
Also
ln n
ln p .
|
n
k
⇒ pαp ≤ n
Ç å
n
k
=
Y
pαp ≤ nπ(n)
p≤n
2 =
n
n
X
k=0
π(n) = card{p ≤ n}
Ç å
n
k
≤ (n + 1)nπ(n)
n ln 2 ≤ ln(n + 1) + π(n) ln n
n
ln n + 1
2 n
⇒ π(n) ≥ ln 2
−
≥
(n ≥ 200)
ln n
ln n
3 ln n
Analog: π(n) ≤ 1,7 lnnn . todo: Irgendwie formulieren:
√
es nur n, also mehr Primzahlen als Quadratzahlen
10
n
ln n
ist fast n, Quadratzahlen gibt
1.1 Die ganzen Zahlen
1.1.2 Primzahlverteilung
x ∈ R+
x
ln x
π(x) ∼
=
für x → ∞
π(x) = li(x) + R(x)
li(x) =
Zx
2
dt
x
x
x
+c=
+
+
+ ···
ln t
ln x 2!(ln x)2 3!(ln x)3
Lemma 1.1 (Goldbach-Vermutung)
1. Jede ungerade natürliche Zahl ist Summe dreier positiver ungerader Primzahlen.
Bewiesen von Vinogradov (1937).
2. Jede gerade natürliche Zahl ist Summer zweier positiver ungerader Primzahlen.
• Als einen Primzahlzwilling bezeichnet man eine Zahl p ∈ P, wobei gilt p + 2 ∈ P.
• Unbewiesen ist, dass es unendlich viele Primzahlen der Form n2 +1 gibt. Vermutung:
Ja
• Arithmetische Progressionen enthalten so viele Primzahlen:
a + mZ ∩ P ist unendlich, falls (a, m) = 1.
Nette Aufgabe zum Schluss: Sei
ñh
n! + 1 i
f (n) = (n − 1)
ô
n! − n
−
+2
n+1
n+1
f : N∗ → N∗ . Dann hat f nur Primzahlwerte und jede Primzahl tritt als Wert auf.
1.1.3 Euklids Algorithmus
Für zwei natürliche Zahlen a, b existieren zwei eindeutig bestimmte Zahlen q, r ∈ N so,
dass
a = qb + r,
0≤r<b
(Division mit Rest). Denn es existiert genau ein q ∈ N so, dass
qb ≤ a < (q + 1)b
11
1 Elementare Zahlentheorie
a = q1 b + r1
0 ≤ r1 < b
b = q2 r1 + r2
0 ≤ r2 < r1
r1 = q3 r2 + r3 ,
0 ≤ r3 < r2
...
rn−2 = qn rn−1 + rn
0 ≤ rn < rn−1
rn−1 = qn+1 rn
Fakt 1.1
rn ist der größte gemeinsame Teiler von a und b.
Beweis:
Von unten nach oben: rn | rn−1 , rn−2 , . . . , b, a.
Sei d Teiler von a und b. Von oben nach unten: d teilt rn .
Definition 1.3
Der ggT von a, b wird mit (a, b) oder ggT(a, b) bezeichnet. Ist (a, b) = 1, so heißen a und
b teilerfremd.
Folgerung 1.1
Der ggT von a, b ist Z-Linearkombination von a und b:
∃x, y ∈ Z : (a, b) = xa + yb
Beweis:
Substituieren von unten nach oben
Folgerung 1.2
Sei p ∈ P, a, b ∈ Z. Dann gilt: p | ab ⇒ p | a oder p | b.
Beweis:
Annahme: p - b ⇒ (p, b) = 1 ⇒ xp + yb = 1 ⇒ xap + yab = a ⇒ p | a.
Satz 1.1 (Hauptsatz der elementaren Arithmetik)
Jede ganze Zahl 6= 0, ±1 ist Produkt von Primzahlpotenzen. Diese D’g ist bis auf VZ
und Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Beweis:
o. B. d. A. nur natürliche Zahlen.
Exisitenz: Induktion: richtig für alle m < n, ist n ∈ P, so fertig. sonst: n = kl, k > 1, l > 1
⇒ k < n, l < n ⇒ IV.
b
Eindeutigkeit pa11 · · · par r = q1b1 · · · qsbs . p1 teil RHS ⇒ p | qj j ⇒ p1 = qj . Teile durch p1
und IV.
12
1.1 Die ganzen Zahlen
1.1.4 Die Restrechnung (d’aprés GAUSS)
Definition 1.4
Für m ∈ N∗ bezeichnet man eine Menge der Form a + mZ = {a + mb : b ∈ Z} mit a ∈ Z
als Restklasse modulo m. Die Menge dieser m Restklassen heißt Restklassenring
modulo m und wird mit Z/mZ bezeichnet.
(a + b) + mZ := (a + mZ) + (b + mZ)
a · b + mZ := (a + mZ) · (b + mZ)
Diese Definitionen sind repräsentantenunabhängig. (Übungsaufgabe)
Bemerkung 1.3
Wir erhalten surjektive Abbildungen Z → Z/mZ : a 7→ a + mZ. Sie repräsentiert + und ·,
sind also Homomorphismen von Ringen. Addition, Multiplikation in Z/mZ ist assoziativ,
kommutativ, die Null ist mZ, die 1 ist 1 + mZ. Das Distributivgesetz gilt auch.
Beispiel 1.1
m = 8, Multiplikationstabelle für Z/8Z
1
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Z/8Z
2
2
4
6
0
2
4
6
3
3
6
1
4
7
2
5
4
4
0
4
0
4
0
4
5
5
2
7
4
1
6
3
6
6
4
2
0
6
4
2
7
7
6
5
4
3
2
1
ist kein Körper, da die Multiplikation nicht injektiv ist.
m = 7 Multiplikationstabelle für Z/7Z
1
2
3
4
5
6
Z/7Z
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
ist ein Körper.
Fakt 1.2
Für m = p ∈ P ist Z/pZ = Fp ein Körper. Für m ∈
/ P ist Z/pZ kein Körper.
13
1 Elementare Zahlentheorie
Beweis:
m = a · b, a > 1, b > 1. Dann gilt Z/mZ : ab = 0, aber a 6= 0, b 6= 0. Sei m = p ∈ P, x ∈
Z/pZ, x 6= 0.
Betrachte x, 2x, . . . , (p−1)x, das sind Restklassen 6= 0 und es gilt, dass sie alle verschieden
sind, denn nehmen wir an rx = sx mit 1 ≤ r < s ≤ p − 1, es folgt (s − r)x = 0,
−p < s − r < p ⇒ Widerspruch.
Also kommt in der List oben die 1 vor.
Beispiel 1.2
F2 = {0,1} = Z/2Z
Definition 1.5
a + mZ heißt prime Restklasse modulo m :⇔ (a, m) = 1
Beispiel 1.3
In Z/8Z haben wir 4 prime Restklassen: 1,3,5,7. In Fp sind alle Restklassen 6= 0 prim.
Fakt 1.3 (Chinesischer Restsatz)
Sei der größte gemeinsame Teiler (a, b) = 1, der kanonische Homomorphismus Z/abZ →
Z/aZ × Z/bZ ist eindeutig.
Beweis:
Sei das Bild von x + abZ gleich (0,0) ⇒ a | x, b | x, wegen (a, b) = 1 folgt ab | x. Also
x + abZ = 0.
Folgerung 1.3
Sei m = pa11 · · · pann ⇒ Z/mZ ∼
= Z/pa1 1 Z × · · · × Z/pann Z.
Definition 1.6
Sei ϕ(m) die Anzahl der primen Restklassen modulo m. (ϕ(1) = 1) ϕ heißt EulerFunktion.
Fakt 1.4
ϕ(m) = m
1
(1 − )
p
p|m
Y
Beweis:
x ∈ Z induziert prime Restklasse modulo m ⇔ x ist prim zu p1 , . . . , pn ⇔ x ist prim zu
pa11 , . . . , pann . Also ϕ(m) = ϕ(pa11 ) · · · ϕ(pann ).
ϕ(pa ) = pa − pa−1 = p(1 − p1 )
Fakt 1.5
Die primen Restklassen modulo m bilden bezüglich Multiplikation eine Gruppe.
14
1.1 Die ganzen Zahlen
Beweis:
Mit x, y ist auch xy prim zu m. Neutrales Element ist 1 + mZ das Inverse zu x + mZ
findet man wie oben. Betrachte xy + mZ für alle ϕ(m) prime Restklasse y.
In der Liste kommt 1 vor.
Fakt 1.6 (Kleiner Fermat’scher Satz)
Ist a prime Restklasse modulo m, so gilt aϕ(m) ≡ 1 (mod m) oder anders dargestellt in
Z/mZ ist aϕ(m) = 1.
Beweis:
Mit r durchläuft auch ar die prime Restklasse modulo m. Also
aϕ(m)
Y
r=
(ar) =
Y
Y
r
r
r
Dividiert man jetzt beide Seiten durch
Q
r
r
r, erhält man aπ(m) = 1.
Folgerung 1.4
(kuriose Folgerung): Jede Primzahl 6= 2,5 teil eine der Zahlen 9, 99, 999, . . .
Beweis:
10p−1 ≡ 1
(mod p)
Fakt 1.7
(1.1)
X
ϕ(d) = m
d|m
Beweis:
1 2
m
Unter den Brüchen m
, m , . . . , m−1
m , m gilt es genau ϕ(m) viele, die sich nicht kürzen
lassen. Die anderen kürzen wir soweit es geht. Danach treten alle d | m als Nenner auf
und zwar ϕ(d) mal.
Bemerkung 1.4
Die Einheiten in Z/mZ, d. h. die multiplikativ invertierbaren Restklassen sind genau die
primen Restklassen.
Beweis:
Übungsaufgabe
15
1 Elementare Zahlentheorie
1.1.5 Quadratische Gleichungen über Fp
Wir betrachten Polynome mit Koeffizienten aus Fp . Also
f (x) = a0 + a1 x + · · · + ad xd
mit ad 6= 0 heißt Polynom d-ten Grades.
Bemerkung 1.5
Jedes solche f verursacht eine Abbildung Fp → Fp . Verschiedene Polynome können diese
Abbildung verursachen. xp − x verursacht die Nullabbildung.
Fakt 1.8
Ist α ∈ Fp Nullstelle von f , so existiert Polynom g über Fp so dass f (x) = (x − α)g(x).
Beweis:
Das ist klar für α = 0, sonst lineare Substitution.
Folgerung 1.5
Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ist ≤ Grad.
Bemerkung 1.6
Das Polynom f (x) = x2 − 1 hat 4 Nullstellen in Z/8Z. (Hinweis: dies ist so, weil Z/8Z ein
Ring und kein Körper ist.)
Satz 1.2 (Gauss)
Die multiplikative Gruppe F∗p ist zyklisch.
Beweis:
F∗p hat p − 1 Elemente ⇒ die (p − 1)-te Potenz jedes Elements ist 1.
Die Ordnung von x ∈ F∗p ist die kleinste positive natürliche Zahl f , so dass xf = 1.
Wir zeigen: f teilt p − 1. d := (f, p − 1) ⇒ d = af + b(p − 1), xd = xaf xb(p−1) = 1 ⇒
d = f.
Sei nun f ein Teiler von p−1. Die Elemente aus F∗p , deren Ordnung f teilt, sind Nullstellen
des Polynoms xf − 1.
Also gibt es höchstens f viele.
• Ist x ein Element der Ordnung f , so haben alle xa , 0 ≤ a < f eine Ordnung, welche
f teilt. Sie sind alle verschieden. Das sind also alle.
• Ist 0 ≤ a < f und a und f sind teilerfremd, so hat xa die Ordnung f . Begründung:
xaf = 1 ist klar. Sei xag = 1 und g ≤ f . 1 = au + f v (u, v ∈ Z) ⇒ x = xau · |{z}
xf v ⇒
1 = xaug = xg ⇒ f = g.
=1
f
• Ist (a, f ) > 1, so ist die Ordnung von xa echt kleiner als f . (d = (a, f ) ⇒ (xa ) d = 1)
16
1.1 Die ganzen Zahlen
Es gibt für jedes f | (p − 1) entweder gar keine oder ϕ(f ) viele Elemente der Ordnung f .
Zerlege F∗p = f |p−1 Φf . Φf sind alle Elemente der Ordnung f . ⇒ p − 1 =
εf = 0 oder εf = 1.
S
P
f |p−1 εf ϕ(f ),
Aus Gleichung 1.1 folgt: Alle εf = 1. Insbesondere existieren Elemente der Ordnung
p − 1.
Bemerkung 1.7
Die Elemente der Ordnung p − 1 heißen Primitivwurzeln modulo p. Es gibt ϕ(p − 1)
viele.
Beispiel 1.4
p = 13, ϕ(12) = ϕ(4)ϕ(3) = 4
x
1
2
3
4
6
...
ord(x)
1
12
3
6
12
1,2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1
1,3,9,1
1,5,-1, -5, 1
1, 6, -3, -5, -4, 2, -1
Satz 1.3
Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch.
Beweis:
Übungsaufgabe
Fakt 1.9
(F∗p )2 ist die Untergruppe der Quadrate in F∗p . Für p > 2 hat (F∗p )2 die Ordnung
gibt also im F∗p genau p−1
2 Quadrate und Nichtquadrate.
Beweis:
Sei g Primitivwurzel, dann ist g a (0 ≤ a < p − 1) eine Quadrat ⇔ a ist gerade.
p−1
2 .
Es
Definition 1.7
Das Legendre-Symbol ist die Abbildung
·
p
: F∗p → {±1}
definiert durch
x
p
+1
−1
(
=
: x ∈ (F∗p )2
: x ∈ F∗p \ (F∗p )2
Dabei ist p > 2.
17
1 Elementare Zahlentheorie
Bemerkung 1.8
Es wird nicht präzisiert, wo ±1 liegen. Es kann Q, R, C, F∗l sein.
Fakt 1.10 (Elementare Eigenschaften)
p−1
1. ( xp ) = x 2 (in Fp )
x y
2. ( xy
p ) = ( p )( p )
3. ( p1 ) = 1
4. ( −1
p ) = (−1)
p−1
2
Beweis:
p−1
1. x = g a , g ∈ F∗p Primitivwurzel. 0 ≤ a < p − 1, xp = 1 ⇒ x 2 = ±1. Weiter
g
p−1
2
Ist x
= −1. Ist x Quadrat, so ist a gerade, also x
p−1
2
= 1,so folgt g a
p−1
2
p−1
2
= ga
p−1
2
= (−1)a = 1.
= 1, also (−1)a = 1 ⇒ a ist gerade.
2. folgt sofort aus (i)
3. ist trivial
4. (−1)
p−1
2
= ( −1
p ) nach (i).
Bemerkung 1.9
(iv) heißt 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
Bemerkung 1.10
−1 ist Quadrat in F∗p ⇔ p ≡ 1 (mod 4)
Definition 1.8
Sei p > 2 prim, S ⊂ F∗p heißt Halbsystem :⇔ S ∪ (−S) = F∗p und S ∩ (−S) = ∅.
Beispiel 1.5
∗
0
0
Sei S = {1,2, . . . , p−1
2 }. Wenn s ∈ S, a ∈ Fp , dann ist a·s = es (a)·s für ein s ∈ S, es (a) =
±1.
Lemma 1.2 (Gauss)
x
p
=
Y
es (x)
s∈S
Beweis:
Seien s1 , s2 ∈ S, s1 6= s2 , a ∈ F∗p , as1 = es1 (a)s01 , as2 = es2 (a)s02 .
Dann gilt s01 6= s02 . Denn s01 = s02 ⇒ s1 = ±s2 . 18
1.1 Die ganzen Zahlen
Also ist die Abbildung s 7→ s0 : S → S eine Bijektion. Wir multiplizierne die Gleichungen
as = es (a)s0 über s ∈ S auf:
a
p−1
2
s=
Y
s∈S
Y
es (a)
s∈S
p−1
2
⇒a
=
Y
s0
s∈S
es (a)
Y
s∈S
Fakt 1.11 (2. Ergänzungssatz zum QRG)
p2 −1
2
( ) = (−1) 8
p
Oder
2
( )=
p
+1
−1
: p ≡ 1,7 (mod 8)
: p ≡ 3,5 (mod 8)
(
Beweis:
S = {1,2, . . . , p−1
2 }. Dann ist es (2) = 1 für 2s ≤
Also ( p2 ) = (−1)α(p) , α(p) = card{s ∈ Z :
p−1
4
p−1
2 ,
<s≤
es (2) = −1 für 2s >
p−1
2 .
p−1
2 }.
Fall 1: p = 4k + 1, dann ist α(p) = card{k < s ≤ 2k} = k: also ( p2 ) = (−1)k =
(
1
−1
p ≡ 1 (mod 8)
.
p ≡ 5 (mod 8)
1
−1
(
Fall 2: p = 4k + 3. k +
1
2
< s ≤ 2k + 1 ⇒ α(p) = k + 1 ⇒
( k2 )
=
p ≡ 7 (mod 8)
.
p ≡ 3 (mod 8)
Satz 1.4 (Quadratische Reziprozitätsgesetz)
Seien p, l ungerade Primzahlen, p 6= l, dann gilt
p−1 l−1
p l
( )( ) = (−1) 2 2
l p
√
Beweis: 2π
(nach
V. G. KAC)
−1
Sei ζ = e p . Dann gilt
p−1
Y
Xp − Y p
X −Y
(X − ζ j Y ) =
j=1
⇒
p−1
Y
(ζ j X − ζ −j Y ) = ζ 2
(p−1)p
2
(X − ζ j Y ) =
Y
(X − ζ j Y )
Y
j=1
p−1
Y
p−1
2
(ζ X − ζ
j=1
j
−j
Y)=
Y
(ζ j X − ζ −j Y )(ζ −j X − ζ j Y )
j=1
19
1 Elementare Zahlentheorie
T = {1,2, . . . , p−1
2 }.
Sei Θ = e
2π
√
p
−1
, X = Θi , Y = Θ−i .
Es folgt
Y
Θip − Θ−ip
=
(ζ j Θi − ζ −j Θ−i )(ζ −j Θi − ζ j Θ−i )
i
−i
Θ −Θ
i∈T
Produkt über i ∈ S = {1,2, . . . , l−1
2 }
Y Θ ip − Θ −ip
i∈S
Θi
−
Θ−i
=
LHS =
YY
(ζ j Θi − ζ −j Θ−i )(ζ −j Θi − ζ j Θ−i )
i∈S i∈T
Y
Y sin( 2πip )
p
l
ep (i) = ( )
2πi =
i∈S
sin(
l
)
i∈S
l
Es folgt (Vertauschung von l und p):
YY
l
(ζ j Θi − ζ −j Θ−i )(ζ j Θ−i − ζ −j Θi )
( )=
p
i∈S j∈T
Beide Ausdrücke underscheiden sich nur in den 2. Faktoren um jeweils −1. ⇒
p−1 l−1
p l
( )( ) = (−1) 2 2
l p
Beweis: (Gauss)
l−1
Sei m = p−1
2 , n = 2 und wir betrachten die m · n Zahlen py − lx, 1 ≤ x ≤ m, 1 ≤ y ≤ n.
Diese sind alle 6= 0 und verschieden:
py1 − lx1 = py2 − lx2 ⇒ p(y1 − y2 ) = l(x1 − x2 )
⇒ p | x1 − x2 −m < x1 − x2 < m ⇒ x1 = x2 , analog y1 = y2 .
Sei P Anzahl der positiven py − lx, N die Anzahl der negativen. Also P + N = m · n. Wir
fixieren x und fragen: Wie viele y liefern negative Werte: py − lx < 0? Anzahl ist [ lx
p ].
Somit gilt
N=
m h
X
lx i
x=1
p
und
P =
n h
X
py i
y=1
20
l
1.1 Die ganzen Zahlen
y = pl x
n+
1
2
m+
1
2
In oberen Dreieck liegen die Gitterpunkte, welche in P gezählt werden, im unteren Dreieck
die zu N .
Sei S = {1,2, . . . , m}, T = {1,2, . . . , n}. Sei x ∈ S, dann ist
h lx i
lx =
p
· p + r(x),
1 ≤ r(x) ≤ 2m
Die lx bilden modulo p wieder ein Halbsystem, also auch die r(x).
GAUSS’ Lemma (Lemma 1.2)
l
( ) = (−1)α
p
α = Anzahl der r(x), welche in −S liegen.
m
X
lx =
x=1
m
X
lx
([
x=1
p
] · p + r(x))
m
m
X
X
m(m + 1)
lx
⇒l·
=p
[ ]+
r(x)
2
p
x=1
x=1
m
X
x=1
r(x) =
X
r(x)∈S
r(x) +
X
r(x)
r(x)∈−S
Ist r(x) ∈ −S, so r(x) = p − s(x) für ein s(x) ∈ S. (wegen 1 ≤ r(x) ≤ 2m = p − 1)
21
1 Elementare Zahlentheorie
Also r(x) ≡ p + s(x) (mod 2). Es folgt
m
X
r(x) =
x=1
⇒l
m
X
x + αp (mod 2)
x=1
X lx
m(m + 1)
m(m + 1)
≡p
+ αp (mod 2)
[ ]+
2
p
2
x∈S
⇒
X lx
[
x∈S
p
]≡α
(mod 2)
Analog
X py
[
y∈T
l
]≡β
(mod 2)
p
mit( ) = (−1)β
l
Es gilt α + β ≡ P + N (mod 2) ≡ m · n (mod 2).
Also ( pl )( pl ) = (−1)α+β ≡ (−1)m·n
1.1.6 Quadratsummen
Fakt 1.12
Jede Primzahl p ≡ 1 (mod 4) besitzt die Darstellung p = x2 + y 2 mit x, y ∈ Z. Dabei
sind x, y bis auf das Vorzeichen und die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Beweis:
−1 ist ein Quadrat (mod p), also existiert ein z ∈ F∗p mit z 2 = −1 in Fp . Sei n die
kleinste natürliche Zahl mit n2 > p. Wir betrachten alle zx − y mit 0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n
in Fp . Die Anzahl der Klassen ist n2 > p. Nach dem Dirichlet-Schubfachprinzip existiert
also mindestens ein (x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 ) mit zx1 − y1 = zx2 − y2 . Es folgt z = xy mit
|x|, |y| < n. Also −1 ≡
⇒ x2 + y 2 = p.
x2
y2
(mod p) mit |x| < n, |y| < n. ⇒ x2 + y 2 = p · r, x2 < p, y 2 < p.
Fehlt noch die Eindeutigkeit: Annahme: p = x2 + y 2 = u2 + v 2 mit x, y, u, v > 0. Es
2
2
folgt: (x, y) = (u, v) = 1 sowie uv ≡ − uv (mod p) ⇒ −1 ≡ xy2 ≡ uv2 (mod p) ⇒ xy ≡ ± uv
(mod p).
Durch Vertauschung von u und v erriecht man
x
y
≡
u
v
(mod p) ⇒ xv − yu ≡ 0 (mod p).
p2 = (x2 + y 2 )(u2 + v 2 ) = (xu + yv)2 + (xv − yu)2 ⇒ (xv − yu)2 < p2 und teilbar durch
p2 ⇒ xv = yu ⇒ x = u, y = v.
Fakt 1.13 (Lagrande (1770))
Jede natürliche Zahl ist Summe von vier Quadratzahlen. (Hier ist Null auch eine Quadratzahl).
22
1.1 Die ganzen Zahlen
Beweis:
Wegen
(x21 + x22 + x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 )
= (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 + (x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2
+ (x1 y3 − x3 y1 + x4 y2 − x2 y4 )2 + (x1 y4 − x4 y1 + x2 y3 − x3 y2 )2 ,
genügt es zu zeigen, dass der Satz für die Primzahlen gilt: Der Fall p = 2 ist klar –
2 = 02 + 02 + 12 + 12 .
Sei p > 2, p ∈ P, Für 0 ≤ x2 < 12 p sind die x2 alle verschieden in Fp , wie auch die
2
2
−1−y 2 , 0 ≤ y < 12 p. Das sind je p+1
2 viele Elemente, also existierien x, y mit x +y +1 = 0
in Fp .
Wähle a, b ∈ Z. Repräs. von x, y ∈ Fp mit |a|, |b| ≤
2
2
a2 + b2 + 1 < p4 + p4 + 1 < p2 ⇒ r < p.
p−1
2 .
Es folgt a2 + b2 + 1 = pr,
Abstieg: Sei pr = x21 + x22 + x23 + x24 mit 1 < r < p. Wir konstruieren für ein s (mit
1 ≤ s < r) eine D’g von ps durch vier Quadrate.
Seien dazu yi ∈ Z so, dass
yi ≡ xi
Dann gilt
(mod r),
r
r
− < yi ≤
2
2
P 2
P
yi ≡ 0 (mod r), also yi2 = rm für ein m ∈ N.
Die LHS ist ≤ r2 , also m ≤ r.
• m > 0, da sonst alle yi = 0, also alle xi teilbar durch r ⇒ r | p ⇒ r = 1 oder r = p
.
2
• m 6= r, da sonst alle yi = 2r , also pr ≡ (4 r4 = r2 ) (mod r2 ) ⇒ r | p .
pr2 m = y12 + y22 + y32 + y42
Jedes der zi ist teilbar durch r (siehe Formel oben) ⇒ pm = ( zr1 )2 + ( zr2 )2 + ( zr3 )2 + ( zr4 )2 Bemerkung 1.11
Die Identität kommt so zustande: Quaternionen: H := R1⊕Ri⊕Rj ⊕Rk. Multiplikation
i2 = j 2 = k 2 = −1. ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j.
Das ist eine sogenannte Divisionsalgebra, d. h. alle Körperaxiome bis auf die Kommutativität der Multiplikation gelten.
q = a + bi + cj + dk, q = a − bi − cj − dk
kqk = qq = qq = a2 + b2 + c2 + d2
kq1 q2 k = kq1 kkq2 k impliziert obige Identität.
23
1 Elementare Zahlentheorie
Bemerkung 1.12
Ein weit eindrucksvollerer Beweis durch Jacobi um 1870: Formel für die Anzahl der
P
Vektoren (x1 , x2 , x3 , x3 ) ∈ Z4 mit 4i=1 x2i = n.
r4 (n) = 8
X
d
d|n
d>0
für n ungerade. Also z. B. r4 (7) = 8 · (1 + 7) = 64. 7 = 4 + 1 + 1 + 1 im Wesentlichen die
einzige Möglichkeit, die anderen 63 entstehen durch Permutation und Vorzeichenwechsel.
Analog für r4 (n) mit n ungerade.
∞
X
n=0
24
r4 (n)xn =
∞
X
n=−∞
2
xn
4
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
Er besagt: In jeder primen Restklasse liegen unendlich viele Primzahlen.
Spezialfall: Seien p1 , . . . , pn Primzahlen ≡ 1 (mod 4). Sei N = ni=1 pi und M = 4N 2 + 1.
Sei p Primteiler von M . Dann ist ∀i : p 6= pi und p ≡ 1 (mod 4):
Q
4N 2 + 1 ≡ 0
Also ( −1
p ) = 1 = (−1)
p−1
2
(mod p) ⇒ 4N 2 ≡ −1
(mod p)
⇒ p ≡ 1 (mod 4).
2.1 Dirichlet-Charaktere
Das sind Verallgemeinerungen des Legendre-Symbols.
Definition 2.1
Ein Dirichlet-Charakter (mod m) (mit m ≥ 2) ist eine Abbildung χ : (Z/mZ)∗ → C∗ mit
der Eigenschaft χ(xy) = χ(x)χ(y) Man setzt χ gern auf Z fort durch
(
χ(a) =
χ(a)
0
: (a, m) = 1
: sonst
Fakt 2.1
1. Die Werte von χ sind ϕ(m)-te Einheitswurzeln.
2. Die Dirichlet-Charaktere (mod∗ m) bilden eine abelsche Gruppe.
Beweis:
1. In (Z/mZ)∗ gilt xϕ(m) = 1. Also χ(x)ϕ(m) = 1 ⇒ qed.
2. Mit ϕ, ψ ist auch ϕ ◦ ψ Dirichlet-Charaktere. χ0 ≡ 1 ist die Gruppeneins χ−1 = χ.
Bemerkung 2.1 (Übungsaufgabe)
Sei p > 2, m = pf , dann ist (Z/pf Z)∗ auch zyklisch. Ist x Erzeuger von (Z/pf Z)∗ und
ζ ∈ C∗ Einheitswurzel der Ordung ϕ(pf ) = pf − pf −1 so erhält man durch χ(xa ) = ζ a .
Dirichlet-Charakter (mod∗ m).
Analog für p = 2: (Z/2f Z)∗ = {±1}× zyklische Gruppe der Ordnung 2f −2 (f ≥ 2).
25
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
Fakt 2.2
Die Dirichlet-Charaktere (mod∗ m) bilden abelsche Gruppen der Ordnung ϕ(m), sie ist
(nicht kanonisch) isomorph zu (Z/mZ)∗ .
Beweis:
Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes Produkt von zyklischen. Für (Z/mZ)∗ ist das
klar:
m=
Y
pfp → (Z/mZ)∗ = ×(Z/pfp Z)∗
Sei also A direktes Produkt zyklischer Gruppen  = Hom(A, C∗ ) (– Pontriagin-duale
Gruppe).
Wir zeigen:
1. Für A zyklisch gilt  = A,
◊ × B = Â × B̂.
2. A
Daraus folgt dann der Fakt.
1. Sei (A : 1) = n, x ∈ A Erzeuger , dann ist
 → µn ⊂ C∗ : χ 7→ χ(x)
ein Isomorphismus. (µn ist die n-te Einheitswurzel)
Injektivität ist klar, Surjektivität auch.
2. Wir haben einen kanonischen Homomorphismus
◊ × B → Â × B̂ : χ 7→ (χ | A, χ | B)
A
und
◊ × B : (ϕ, ψ) 7→ χ
Â × B̂ → A
mit
χ(a, b) := ϕ(a)ψ(b)
Diese sind invers.
Fakt 2.3 (Orthogonalitätsrelation)
ϕ(m) : χ = 1 = χ0
0
sonst
(
(2.1)
χ(a) =
X
a mod∗ m
(
(2.2)
X
χ mod∗ m
26
χ(a) =
ϕ(m) : a = 1 ∈ (Z/mZ)∗
0
sonst
2.1 Dirichlet-Charaktere
Beweis:
Beweis von Gleichung 2.1 Für χ = χ0 ist jeder Summand gleich Eins. Sei also χ =
6 χ0 ,
dann existiert x ∈ (Z/mZ)∗ mit χ(x) 6= 1. Es folgt
χ(x)
X
χ(a) =
X
a
⇒
P
χ(ax) =
X
χ(y)
a
χ(a) = 0.
Beweis für Gleichung 2.2 Genauso: ∀χ : χ(1) = 1. Sei also a 6= 1. Wir zeigen, dass es ein
χ gibt mit χ(a) 6= 1
Sei H = C Vektorraum der komplexwertigen Funktionen auf (Z/mZ)∗ mit dim H = χ(m).
Für f, g ∈ H sei hf, gi =
1
ϕ(m)
a mod∗ m f (a)g(a)
P
ein Skalarprodukt auf H.
Nach Gleichung 2.1 sind die Dirichlet-Charaktere orthonormal in H, also Orthonormalbasis. Wäre χ(a) = 1 für alle χ, so würde folgen χ(a) = χ0 (a) ⇒ (χ − χ0 )(a) = 0 und
(χ − χ0 )(1) = 0. χ − χ0 für χ 6= χ0 spannen den Raum der Codimension 1 auf in H und
verschwinden in 1 und a.
⇒ Jede Funktion in diesem Raum ist = 0 in 1 und a (da das eine Basis ist) ⇒ Die
Codimension des Raums muss größer als Eins sein .
χ(a) 6= 1 ⇒
ϕ(a)
X
χ(a) =
χ
X
(ϕχ)(a) =
ϕχ
X
χ(a)
χ
Alternativer Beweis von Gleichung 2.1:
Für a 6= 1 existieriert χ mit χ(a) 6= 1.
Die χ bilden in L2 ((Z/mZ)∗ , C) eine ON-Basis. Wäre χ(a) = 1 für alle χ, so würde folgen
χ(a) = χ(1) ∀χ ⇒ f (a) = f (1) ∀f ∈ L2
Sei also ρ(a) 6= 1
ρ(a)
X
χ
χ(a) =
X
(χρ)(a) =
χ
X
χ(a)
χ
todo: hier fehlt was
Beispiel 2.1
1. m = 4 (Z/mZ)∗ hat zwei Elemente: 1, 3.
χ0 (x) = 1 für alle x
χ1 (1) = 1, χ1 (3) = −1
Oder χ1 : Z → C mit



1
m≡1
χ1 (m) = −1 m ≡ 3


0
sonst
(mod 4)
(mod 4)
27
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
2. m = 8
(Z/mZ)∗
= c2 ×c2 Es gibt drei nichttriviale Charaktere χ1
χ2
χ3
1
1
1
1
3
-1
1
-1
5
1
-1
-1
7
-1
-1
1
3. m = 7 (Z/mZ)∗ = c6 Erzeuger ist z. B. 3. Es gibt einen Charakter der Ordnung 2
(=Legendre-Symbol), 2 Charaktere der Ordnung 3, 2 Charaktere der Ordnung 6.
2.1.1 Dirichlet-Reihen
Die Mutter aller Dirichlet-Reihen ist die Riemannsche Zetafunktion
Definition 2.2
∞
X
1
ζ(s) :=
n=1
ns
,s > 1
Fakt 2.4
1. ζ : (1, ∞) → R ist wohldefiniert und stetig
2. todo: hier fehlt was
Beweis:
1.
2. ζ(s) ≥ 1 +
1
2s
+ 2 41s + 4 81s + · · · + 2N −1 2N1 s ζ ist stetig monoton fallend in s, also
lim inf ζ(s) ≥ 1 +
s→1+0
1
1
1
N
+ 2 + · · · + 2N −1 N = 1 +
→∞
2
4
2
2
3.
1
=
s−1
Z∞
t
−s
R n+1
n
t−s dt
n=1 n
1
∞
X
1
1
( s−
=
=⇒ ζ(s) −
s − 1 n=1 n
Sei ϕn (s) =
dt =
Z
∞ n+1
X
n+1
Z
t
n
−s
dt) =
Z
∞ n+1
X
(n−s − t−s ) dt
n=1 n
(n−s − t−s ) dt. |ϕn (s)| ≤ supn≤t≤n+1 |n−s − t−s |.
s
|n−s − t−s | = n−s − t−s auf [n, n + 1], Ableitung ist st−s−1 ⇒ |n−s − t−s | ≤ τ s+1
P
mit τ ∈ [n, n + 1], d. h. die Reihe ϕn (s) konvergier absolut und gleichmäßig auf
jedem Intervall [ε, ∞). Inbesondere existiert todo: hier fehlt was.
28
2.1 Dirichlet-Charaktere
Definition 2.3
ζ(s) =
Y
(1 −
p∈P
1 −1
) ,s > 1
ps
Beweis:
Sei
aN = aN (s) =
(1 −
Y
p≤N
=
∞
Y X
1
p≤N k=0
=
1 −1
)
ps
pks
X 1
ns
n läuft über alle natürlichen Zahlen > 0, welche keine Primteiler > N besitzen. Also
P
0 < ζ(s) − aN ≤ n>N n1s . Die RHS geht gegen null für N → ∞
Fakt 2.5 (Euler)
X1
p∈P
p
=∞
Beweis:
log ist stetig, also gilt
lim log ζ(s) = ∞
s→1+0
log ζ(s) =
X
− log(1 −
p∈P
∞
XX
1
todo : hierf ehltwas
)
=
2
p
p∈P m=1
=
X 1
p∈P
ps
+
∞
XX
1
mpms
p∈P m=2
Die zweite Summe ist
≤
XX
p∈P m≥2
≤
1
pms
=
X 1
p∈P
∞
X
p2s
X
1
1
1 =
s (ps − 1)
p
1 − ps
p∈P
1
1
≤
=1
p(p
−
1)
n(n
− 1)
n=2
p∈P
X
Das gilt für alle s > 1.
Es folgt lims→1+0
Da
1
p≤N p
P
≥
P 1
ps = ∞.
1
p≤N ps
P
gilt, folgt
P1
p =∞
29
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
Bemerkung 2.2
Wir zeigen den Dirichletschen Primzahlsatz in der folgenden Art:
1
=∞
p
∗
p≡a(mod m)
X
Definition 2.4
Sei m ≥ 1, χ Dirichlet-Charakter mod∗ m, dann ist die Dirichletsche L-Reihe L(s, χ)
definiert durch
∞
X
χ(n)
L(s, χ) =
ns
n=1
,s > 1
Fakt 2.6
Ist χ = χ0 ≡ 1, so ist
L(s, χ0 ) =
Y
todo : hierf ehltwas
Insbesondere ist lims→1+0 L(s, χ0 ) = ∞.
Beweis:
Wie für ζ sieht man:
L(s, χ0 ) =
Y
(1 −
p-m
1 −1
)
ps
Fakt 2.7
Sei χ = χ0 , dann konvergiert L(s, χ) sogar für alle s > 0 (allergdings nicht absolut).
Beweis:
N
X
an bn =
n=M
N
−1
X
sn (bn − bn+1 ) + sN bN
n=M
mit sn = aM + aM +1 + · · · + an .
Wir wenden das an auf
PN χ(n)
M
ns
sM,N =
= sM,N . Dies ist also gleich
N
−1
X
n=M
sn (
1
1
1
−
) + sN · s
s
s
n
(n + 1)
N
sn =
n
X
χ(a)
a=M
wegen χ 6= χ0 und Orthogonalität folgt |sn | todo: hier fehlt was
30
2.1 Dirichlet-Charaktere
Bemerkung 2.3
Die Konvergenz ist also sogar gleichmäßig für alle s ≥ ε > 0. Insbesondere sind die
L(s, χ), χ 6= χ0 stetige Funktionen auf (0, ∞).
Fakt 2.8
L(s, χ) =
Y
χ(p) −1
)
ps
(1 −
p∈P
∀s > 1
Beweis:
Wie für ζ.
Fakt 2.9
Für s > 1 gilt
log L(s, χ) =
X χ(p)
p∈P
ps
+ R(s, χ)
und R(s, χ) ist beschränkt für s → 1 + 0.
Beweis:
X χ(p)m
p,m
mpms
=
X
− log(1 −
χ(p)
) = log L(s, χ)
ps
(Man sieht leicht: Definiert man log L(s, χ) durch die LHS, so gilt clog L(s,χ) = L(s, χ).)
Wie für ζ sieht man
X X χ(p)m
|
p∈P m≥2
pms
| ≤ 1 ∀s ≥ 1
Folgerung 2.1
Sei a prim zu m, dann gilt
X
1
1
=
χ(a) log L(s, χ) + R(s)
ps
ϕ(m) χmod∗ m
p≡a(mod∗ m)
X
mit R(s) beschränkt für s → 1 + 0.
X
χ mod∗ m
χ(a)
X χ(p)
p∈P
ps
=
X 1 X
p∈P
ps
χ
χ(a)χ(a)
|
{z
χ(a−1 p)
}
31
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
Satz 2.1 (Dirichlet)
1
=∞
p
∗
p≡a(mod m)
X
Bemerkung 2.4
Wenn wir wissen, dass L(1, χ) 6= 0 ist ∀χ 6= χ0 , dann folgt dies sofort: log ist stetig, also
lims→1+0 log L(s, χ) = log L(1, χ). Also
1
1
=
log L(1, χ0 ) + R1 (s)
s
p
ϕ(m)
∗
p≡a(mod m)
X
mit R1 (s) beschränkt für s → 1+0. lims→1+0 log L(s, χ0 ) = ∞. Also lims→1+0
P
∞ ⇒ p≡a(mod∗ m) p1 = ∞
1
p≡a(mod∗ m) ps
P
Kern des Problems: Man zeige, L(1, χ) = 0 ∀χ =
6 χ0 . Mindestens drei Methoden:
1. Mit Funktionentheorie (E. Landau)
2. Mit elementaren Methoden (ziemlich verwickelt)
3. Man zeigt, das L(1, χ) arithmetische Bedeutung hat: Gruppenordnung.
2.2 Das Nichtverschwinden von L(1, χ) für
χ 6= χ0
Fakt 2.10
Sei χ 6= χ0 . Dann ist L(s, χ) auf (0, ∞) sogar stetig differenzierbar und es gilt
L0 (s, χ) = −
∞
X
χ(n) ln n
n=1
32
ns
=
2.2 Das Nichtverschwinden von L(1, χ) für χ 6= χ0
Beweis:
Wir zeigen, dass die Reihe rechts gleichmäßig für s ≥ δ > 0 konvergiert.
sM,N =
N
X
χ(n) ln n
ns
n=M
=
N
−1
X
sn (
n=M
sN ln N
ln n log(n + 1)
−
)+
ns
(n + 1)s
Ns
n
X
sn =
χ(x)
x=M
|sM,N | ≤ ϕ(m)(
n+1
X
n=M
|
ln(n + 1) ln N
ln n
|−
+
)
s
n
(n + 1)s
Ns
ϕ : [1, ∞) → R : t 7→
ϕ0 (t) =
ln t
,s ≥ δ > 0
ts
1
ln t
− s s+1 = (1 − s ln t)t−s−1
ts+1
t
1
1
1
ϕ0 (t) = 0 für t = e s und < 0 für t > e s . Also ist ϕ streng monoton fallend für t ≥ e δ .
⇒ |sM,N | ≤ ϕ(m)
ln M
M
⇒ Reihe konvergiert gleichmäßig für s ≥ δ.
Fakt 2.11
Q
Sei ζm (s) := χ(mod∗ m) L(s, χ) (s > 1). Dann ist ζm (s) reell und ≥ 1.
Beweis:
ln ζm (s) =
X
ln L(s, χ)
χ
=
∞
XXX
χ(p)r
χ p∈P r=1
=
∞
X
prs
X
r=1 pr ≡1(mod∗ m)
=
∞
XX
1 X
χ(p)r
rs
| {z }
rp
χ
p∈P r=1
χ(pr )
ϕ(m)
1
≥0
rprs
⇒ ζm (s) ≥ 1.
todo: hier fehlt was
betrachte
ζm (s)
L(s, χ) L(s, χ) Y
= (s − 1)L(s, χ)
L(s, χ0 )
s−1
s−1 s−1
Rechts haben alle Faktoren endlichen Grenzwert für s → 1 + 0 im Widerspruch zu
ζm (s) ≥ 1.
33
2 Der Dirichletsche Primzahlsatz
2.3 Elementarer Beweis von L(1, χ) 6= 0 für reelles
χ
(d’après GELBFOND 1956)
Sei also χ 6= χ0 , χ2 = χ0 Charakter (mod∗ m).
F (t) :=
∞
X
χ(n)
n=1
tn
1 − tn
F konvergiert absolut für 0 < t < 1: klar.
Es folgt
F (t) =
=
∞
X
χ(n)
n=1
∞
X
∞
X
tmn
m=1
dχ (N )tN
mit dχ (N ) =
N =1
X
χ(d)
d|N
Fakt 2.12
1. dχ ist muliplikativ, d. h. für ggT(r, s) = 1 gilt dχ (rs) = dχ (r)dχ (s)
2. dχ (n) ≥ 0
3. dχ (n2 ) ≥ 1
Beweis:
1. δ | rs ⇔ δ = κν und κ | r, ν | s.
dχ (rs) =
X
χ(δ) =
XX
χ(κν) = dχ (r)dχ (s)
κ|r ν|s
δ|rs
2. nun noch für Primzahlpotenzen wegen (i): Ist n = pk , so ist dχ (n) = χ( 1) + χ(p) +
· · · + χ(p)k . Für p | m ist χ(p) = 0, also dχ (n) = 1. Für χ(p) = +1 ist δχ (pk ) = k + 1.
(
0 2-k
k
Für χ(p) = −1 ist dχ (p ) =
1 2|k
3. folgt sofort
Folgerung 2.2
lim F (t) = ∞
t→1−0
34
2.3 Elementarer Beweis von L(1, χ) 6= 0 für reelles χ
Beweis:
P
n2
F (t) hat die Minorante ∞
n=1 t , diese divergiert für t → 1 − 0:
N
X
2
tn → N ⇒ lim inf F (t) ≥ N
∀N
1
Wir nehmen nun an: L(1, χ) = 0. Sei ϕn (t) =
F (t) = −
∞
X
1
n(n−t)
−
tn
1−tn , 0
< t < 1. Dann gilt
χ(n)ϕn (t)
n=1
Es gilt ϕn (t) ≥ ϕn+1 (t) ∀t ∈ (0,1).
1
tn
tn+1
1
−
− (1 − t)
+
(1
−
t)
n n+m
1 − tn
1 − tn+1
1
tn (1 − tn+1 ) − tn+1 (1 − tn )
=
− (1 − t)
n(n + 1)
(1 − tn )(1 − tn+m )
1
tn (1 − t)2
=
−
n(n + 1) (1 − tn )(1 − tn+m )
1
tn
=
−
n(n + 1) (1 + t + · · · + tn−1 )(1 + t + · · · + tn )
(1 − t)(ϕn (t)) − ϕn+1 (t) =
Zwischenrechnung:
»
1 + t + · · · + tn−1 ≥ n
n
t
n(n−1)
2
= nt
n−1
2
n
1 + t + · · · + tn ≥ (n + 1)t 2
Also:
(1 − t)(ϕn (t) − ϕn+1 (t)) ≥
Wir wenden auf
P
N
X
⇒|
1
1
tn
1
1
−
(1 − t 2 ) > 0
1 =
n−
n(n + 1) n(n + 1) t 2
n(n + 1)
χ(n)ϕn (t) ABELsche Summation an
χ(n)ϕn (t) =
N
−1
X
n=1
N
X
sn (χ)(ϕn (t) − ϕn+1 (t)) + sN (χ)ϕN (t)
n=1
χ(n)ϕn (t)| ≤ ϕ(m)
n=1
N
−1
X
(ϕn (t) − ϕn+1 (t)) + ϕN (t) = ϕ(m)ϕ1 (t)
n=1
ϕ1 (t) =
1
t
−
=1
1−t 1−t
Also
|
N
X
χ(n)ϕn (t)| ≤ ϕ(n)
∀N ≥ 1
n=1
im Widerspruch zu limt→1−0 F (t) = ∞.
35
3 Quadratische Zahlenkörper
3.1 Grundbegriffe
Definition 3.1
√
Ein quadratischer Zahlenkörper Q( D), D ∈ Z, D ∈
/ {0,1} D quadratfrei ist definiert als Menge durch
√
√
Q( D) = {α + β D : α, β ∈ Q} ⊆ C
Fakt
√ 3.1
Q( D) ist Körper.
Beweis:
Das die Addition, Subtraktion und Multiplikation nicht aus dem Körper führen ist klar.
1√
α+β D
=
√
α−β D
α2 −Dβ 2
D quadratfrei impliziert α2 − Dβ 2 6= 0.
Bemerkung√3.1
√
1. Q ⊂ Q( D) und dimQ Q( D) = 2
√
√
2. Für D1 6= D2 ist Q( D1 ) 6= Q( D2 )
Fakt 3.2
√
Auf Q( D) existiert ein Automorphismus
√
√
√
√
σ : Q( D) → Q( D) : α + β D 7→ α − β D
Es gilt:
1. σ(a ± b) = σ(a) ± σ(b)
2. σ(ab) = σ(a)σ(b)
3. σ 2 = Id
Definition 3.2
√
Für D > 1 heißt Q( D) reellquadratisch. todo: hier fehlt was
√
N : Q( D) → Q, N (a) = a · σ(a)
√
T r : Q( D) → Q, T r(a) = a + σ(a)
36
3.2 Die ganzen Gaussschen Zahlen
Bemerkung 3.2
√
N (α + β D) = α2 − Dβ 2
N (ab) = N (a)N (b)
N (αa) = α2 N (a) für α ∈ Q∗
√
T r(α + β D) = 2α
T r(a ± b) = T r(a) ± T r(b)
T r(αa) = αT r(a)
für α ∈ Q
3.2 Die ganzen Gaussschen Zahlen
Definition 3.3
√
√
Sei Z[i] := {a + bi : a, b ∈ Z} ⊂ Q( −1) ( −1 = i).
1. Einheiten von Z[i] sind Z[i]∗ = {1, −1, i, −i}.
Denn ε = a + bi Einheit bedeutet, ε · η = 1 für ein η ∈ Z[i] ⇒ N (ε)N (η) = 1
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = 1 mit a, b, c, d ∈ Z.
2. Teilbarkeit: x, y ∈ Z[i], x | y :⇔ ∃z ∈ Z[i], y = xz
3. π ∈ Z[i], π 6= 0, keine Einheit heißt Primzahl :⇔ die einigen Teiler sind die Einheiten
und π mal Einheiten.
Fakt 3.3
Seien a, b ∈ Z[i], b 6= 0, dann existieren q, r ∈ Z[i], so dass
a = qb + r
N (r) < N (b)
Beweis:
Sei x = ab ∈ Q(i). Z[i] bildet in C ein quadratisches Gitter, also existiert ein q 0 ∈ Z[i], so
0
dass x in dem Quadrat mit der linken unteren Ecke
√ q liegt. todo: Bild mit Quadrat Der
1
Abstand von x zu mindestens einer Ecke ist ≤ 2 2 < 1. Diese Ecke heiße q. Dann ist
√ 2 1
a
1
b = x = q + s und N (s) ≤ ( 2 2) = 2 < 1. Es folgt a = qb + r, N (r) = N (bs) < N (b) Folgerung 3.1
Zu je zwei Zahlen a, b ∈ Z[i], wobei mindestens eine 6= 0 ist, existiert der größte gemeinsame Teiler, d. h. eine ganze Zahl d =: (a, b) =: ggT(a, b), so dass
1. d | a, d | b
2. für δ | a, δ | b folgt δ | d.
d ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.
37
3 Quadratische Zahlenkörper
Beweis:
Siehe todo: link: Kapitel 1
Definition 3.4
x, y ∈ Z[i] heißen assoziiert :⇔ unterscheiden sich nur um Einheiten
Folgerung 3.2
Sei π Primzahl und π | a · b (a, b ∈ Z), dann folgt π | a oder π | b.
Beweis:
Nehmen wir an π | a: Der Euklid’sche Algorithmus für a, π:
a = q0 π + r0
π = q1 r0 + r1
..
.
rn−1 = qn+1 rn
rn = ggT(a, π) ⇒ rn =: ε ist eine Einheit.
Wir multiplizieren alle Gleichungen mit b und erhalten so einen Euklid’schen Algorithmus
für ab und πb:
N (rj b) = N (rj )N (b) < N (rj−1 )N (b) = N (rj−1 b)
Also gilt (ab, πb) = εb.
π teil ab, πb ⇒ π | εb ⇒ π | b
Fakt 3.4
In Z[i] gilt der Hauptsatz der elementaren Arithmetik: Jede Zahl 6= 0 ist eindeutig darstellbar als Produkt von Primzahlpotenzen (bis auf das Vorzeichen und die Reihenfolge.)
Beweis:
Jede Zahl 6= 0 ist Produkt von Primzahlen: Ist a = bc mit b, c keine Einheit, so ist
N (b), N (c) < N (a). Eindeutigkeit: π1 · · · πm = π10 · · · πn0 . π1 teile RHS, also ist π1 assoziert
zu einem der πj0 auf der LHS. Wir kürzen die heraus ⇒ IV.
Fakt 3.5
1. Jede Primzahl π in Z[i] teilt genau eine Primzahl p ∈ P.
2. Die Norm einer Primzahl π ∈ Z[i] ist gleich p oder p2 .
Beweis:
1. π teilt ganze Zahlen 6= 0 aus Z: z. B. m = N (π) = ππ.
Sind a, b ∈ Z und (a, b) = 1 in Z, so ist auch (a, b) = 1 in Z. Begründung: Sei
x ∈ Z[i], x | a, x | b in Z[i] ⇒ a = ux, b = vx ⇒ a2 = N (u)N (x), b2 = N (v)N (x) ⇒
N (x) | a2 , N (x) | b2 in Z.
38
3.2 Die ganzen Gaussschen Zahlen
(a2 , b2 ) = 1 in Z ⇒ N (x) = 1 ⇒ x ist eine Einheit.
Wenn π | m, dann π |
Q ap (m)
p
⇒ ∃!p : π | pap (m) . p = π1 · · · πr ⇒ π = πj ⇒ π | p.
⇒ p2 = N (π1 ) · · · N (πr ) Da LHS ganze Zahlen sind, sind also nur möglich:
a) p = π ist Primzahl in Z[i] und N (π) = p2
b) p = π1 · π2 mit zwei Primzahlen π1 , π2 ∈ Z[i] und dann N (π1 ) = N (π2 ) = p.
Aus π | p folgt π | p. Also zwei Unterfälle:
i. π = επ, ε ∈ Z[i]∗ , dann ist p = επ 2
ii. π ist nicht assoziert zu π, dann ist p = π · π.
Beispiel 3.1
1. 2 = −i(1 + i)2 , π2 = 1 + i, 2 = −iπ22
2. 3 = π · π, π = a + bi ⇒ 3 = N (π) = a2 + b2 geht nicht. ⇒ 3 bleibt prim
3. 5 = (2 + i)(2 − i) ⇒ π5 = 2 + i ist Primzahl
Fakt 3.6 (Zerlegungsgesetz der rationalen Primzahlen in Z[i])
1. 2 ist bis auf Vorzeichen Quadrat der Primzahl 1 + i.
2. Die Primzahlen p ≡ 1 (mod 4) zerfallen in Produkte zweier nicht assoziierter
Primzahlen:
p = πp · πp ,
πp πp
3. Die Primzahlen p ≡ 3 (mod 4) bleiben prim in Z[i].
Beweis:
1. letztes Beispiel
2. Sei also p ≡ 1 (mod 4). ∃a, b ∈ Z, so dass p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi) = π · π ⇒
π · π Primzahlen in Z[i].
π und π sind nicht assoziiert: a + bi = ε(a − bi), ε ∈ Z[i]∗
ε=1⇒b=0
ε = −1 ⇒ a = 0 ε = i ⇒ a = b ⇒ p = 2a2 ε = −i ⇒ a = −b ⇒ p = 2a2 3. Sei also p ≡ 3 (mod 4) und p = π · π, π π (p = επ · π impliziert ε = 1)
π = a + bi ⇒ p = a2 + b2 π = επ 2 = ε(a + bi)2
p2 = (a2 + b2 )2 ⇒ p = a2 + b2 ⇒ p prim in Z[i].
39
3 Quadratische Zahlenkörper
3.3 Ganze Zahlen in quadratischen Zahlkörper
Eine fundamentale Definition:
Definition
√ 3.5
√
x = α + β D ∈ Q( D) heißt ganz := Norm und Spur sind aus Z.
Beispiel 3.2
2
x ∈ Q(i), x = α + βi ist ganz ⇔ α2 + β 2 ∈ Z, 2α ∈ Z. Setze α = 12 a, a ∈ Z ⇒ α2 = a4 ⇒
2
2
2
2
β 2 ∈ 41 Z ⇒ β = 12 b, b ∈ Z ⇒ α2 + β 2 = a +b
4 . a + b ≡ 0 (mod 4) gdw a und b gerade
⇒ α, β ∈ Z. Also ganze Zahlen = Z[i].
Fakt 3.7 √
√
Sei K = Q( D), D 6= 0,1 quadratfrei. Für D = 2,3 (mod 4) ist x = α + β D ganz ⇔
α, β ∈ Z.
√
Für D = 1 (mod 4) ist x ganz ⇔ x = 12 (a + b D), a, b ∈ Z, a ≡ b (mod 2).
Beweis:
2
x ganz ⇔ 2α ∈ Z, α2 − Dβ ∈ Z, α = 12 a, a ∈ Z, a4 − Dβ 2 ∈ Z ⇒ Dβ 2 ∈ 41 Z. Also auch
β = 12 b, b ∈ Z.
√
Zwischenbilanz: x ganz ⇔ x = 12 (a + b D) mit a, b ∈ Z, a2 − Db2 ≡ 0 (mod 4).
Sei D ≡ 1 (mod 4): ⇔ a2 ≡ b2 (mod 4) ⇔ a ≡ b (mod 2).
D ≡ 2 (mod 4): a2 ≡ Db2 (mod 4) ⇒ a gerade ⇒ a2 ≡ 0 (mod 4) ⇔ b gerade.
D ≡ 3 (mod 4): a2 ≡ −b2 (mod 4) ⇔ a, b gerade
Folgerung 3.3
√
Die Menge OK der ganzen Zahlen in K = Q( D) ist gleich
√
√
• Z · 1 + Z D = {a + b D : a, b ∈ Z} für D = 2,3 (mod 4)
√
√
• Z · 1 + Z 1+2 D = {a + b 1+2 D : a, b ∈ Z} für D ≡ 1 (mod 4).
Folgerung 3.4
OK ist kommutativer Ring mit 1, integer, der OK ist K. OK ist bezüglich Addition freie
√
√
abelsche Gruppe mit Basis. 1, D für S ≡ 2,3 (mod 4): 1, 1+2 D für D ≡ 1 (mod 4).
Bezeichnung:
(√
ω=
40
D
√
1+ D
2
D ≡ 2,3
D≡1
(mod 4)
(mod 4)
3.3 Ganze Zahlen in quadratischen Zahlkörper
Beispiel 3.3
√
√ 2
√
1 + D 2 (1 + D
1+D+2 D
1 1+D √
+ D)
(
) =
4=
= (
2
)
4
2 | {z
2 }
∈Z
å
Ç
Definition 3.6
√
Tr(1) Tr(ω)
Die Diskriminante von K = Q( D) ist dK = det
Tr(ω) Tr(ω 2 )
Bemerkung 3.3
Für eine andere Ganzheitsbasis (=Basis der additiven Gruppe von OK ) kommt dasselbe
heraus.
(ÜA: Zeige
Ç
Tr(ω12 ) Tr(ω1 ω2 )
Tr(ω1 ω2 ) Tr(ω22 )
å
= dK
Fakt 3.8
Für D ≡ 1 (mod 4) ist dK = D und für D ≡ 2,3 (mod 4) ist dk = 4D.
Beweis:
D = 1 (mod 4), Tr(1) = 2, Tr(ω) = 1, Tr(ω 2 ) = Tr( 1+D
4 +
Ç
2
det
1
√
D
2 )
=
1+D
2
å
1
1+D
2
=D
D ≡ 2,3 (mod 4), Tr(ω) = 0, Tr(ω 2 ) = 2D
Ç
2 0
det
0 2D
å
= 4D
Bemerkung
3.4 √
√
1. Q( D) = Q( dK ).
2. Die quadratischen Zahlenkörper isnd eindeutig duch ihre Diskriminanten bestimm:
• Ist dK ≡ 1 (mod 4), so ist D = dk .
• Ist dK ≡ 0 (mod 4), so ist D = 41 dk .
3. Die Mende aller dK ist also charakterisiert: Entweder ist dK ≡ 1 (mod 4) und
quadratfrei oder dK ≡ 0 (mod 4), d4k quadratfrei und ≡ 2,3 (mod 4).
4. Man nummeriert die quadratischen Zahlenkörper gern durch ihrer Diskriminanten
statt durch die D.
41
3 Quadratische Zahlenkörper
Beispiel 3.4
1. reellquadratische Zahlenkörper:
D
dK
2 3 5 6 7 10
8 12 5 24 28 40
2. imaginarquadratische Zahlenkörper:
D
dK
−1 −2 −3 −5 −6 −7 −10
−4 −8 −3 −20 −24 −7 −40
3.4 Einheiten
Wir bestimmen die Gruppe EK (oder auch UK ) der Einheiten in OK .
Fakt 3.9
ε = a + bω ∈ OK ist Einheit ⇔ N (ε) = ±1.
Beweis:
Ist N (ε) = εσ(ε) = ±1, so ist ε Einheit. Sei ε · η = 1 für ein η ∈ OK ⇒ N (ε) · N (η) = 1
⇒ N (ε) = ±1.
Beispiel 3.5
√
x2 = 13y 2 +1 N (x+ 13y) = 1 Viel Hokuspokus, den ich nicht verstehe, und wir erhalten:
182 − 13 · 52 = −1
√
√
ε = 18 + 5 13, ε2 = 649 − 180 13, N (ε2 ) = 1.
Fakt 3.10
Sei dK < 0, dann gibt es in OK nur folgende Einheiten:
∗
OK
=



{±1, ±i}
{±1, ±e


{±1}
2πi
6
dK = −4
, ±(e
2πi
6
)2 } dK = −3
dK < −4
Beweis:
dK = −4 hatten wir bereits
sei dK = −3 ω =
√
1+ −3
, N (a
2
+ bω) = (a + bω)(a + bω) = a2 + ab + b2 ωω = a2 + ab + b2
N (x) ≥ 0∀x ∈ OK ⇒ Lösungen von a2 + ab + b2 = 1
a ±1 0
1 −1
b 0 ±1 −1 1
Es gilt: ω 6 = 1, ω 3 = −1
42
3.4 Einheiten
Sei dK < −4, also D < 0, D 6= −1, −3 Sei dK ≡ 1 (mod 4) ⇒ D ≤ −7
N (a + bω) = a2 + ab + b2 ωω
1−D 2
b
= a2 + ab +
4 }
| {z
≥2
1
1−D
= (a + b)2 + (
−
2
| 4 {z
>1
1 2
)b = 1
4}
⇒b=0
Sei dK ≡ 0 (mod 4), D ≤ −2, N (a + bω) = a2 − Db2 = 1 ⇒ b = 0.
Satz 3.1
∗ . Dann existiert eine eindeutig bestimmte Eiheit ε > 0 in E ,
Sei dK > 0, EK = OK
K
K
Oder: EK ist direktes Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2 (nämlich ±1) und
einer unendlichen zyklischen Gruppe (nämlich {εm : m ∈ Z}).
εK heißt Fundamentaleinheit von K.
Beweis:
√
Sei K = Q( D), D > 1, quadratfrei. Die geometrische Abbildung ist K → R2 : α 7→
(α, α0 ). Sie ist offensichtlich injektiv. Das Bild von OK ist ein Gitter in R2 . Es besteht aus
den Z-Linearkombinationen von (1,1) und (ω, ω 0 ). Diese beiden Vektoren sind R-linear
unabhängig. Inbesondere ist das Bild von OK diskret: In jeder beschränkten Teilmenge
von R2 liegen nur endlich
viele Gitterpunkte: Annahme: |x| ≤ c, |x0 | ≤ c für x ∈ OK ,
√
x = a + bω, sei ω = D, es gilt:
|x + x0 | ≤ 2c
|x − x0 | ≤ 2c
√
|b| D ≤ c
|a| ≤ c
Analog für ω =
√
1+ D
2 .
ε ∈ OK ⇒ Bild von ε liegt auf den 4 Hyperbelästern xy = ±1. Abbildung 3.1
Angenommen, es gibt Einheiten 6= ±1. Diese treten als Quartett auf: ε, 1ε , −ε, − 1ε . Also
genau eine > 1.
Betrachten alle η ∈ EK mit η > 1. Unter diesen gibt es eine kleinste. Sei ihr Name ε und
η weiter Einheit > 1. Dann existier eine natürliche Zahl n, so dass εn ≤ η < εn+1 gilt
(εn → ∞) ⇒ 1 ≤ ηε−n < ε ⇒ η = εn .
Der Kern des Beweises: Existenz nichttrivialer Einheiten.
Lemma 3.1
∀t ∈ R∀n > 1∃a, b ∈ Z, b > 0 so, dass |t − ab | <
1
nb
und b ≤ n.
43
3 Quadratische Zahlenkörper
Abbildung 3.1: todo: Was ist das eigentlich?
Beweis:
Betrachte die n + 1 Zahlen bt, b = 0,1, . . . , n. Sei a = [bt], dann gilt
0 ≤ bt − a < 1
Wir unterteilen [0,1) in [ nk , k+1
n ), k = 0,1, . . . , n − 1. Also existieren zwei Zahlen bt − a,
die im selben Unterintervall liegen:
1
|(b1 t − a1 ) − (b2 t − a2 )| <
n
a1 − a2
1
⇒ |t −
|<
b1 − b2
n|b1 − b2 |
und 1 ≤ |b1 − b2 | ≤ n.
Bemerkung 3.5
z. B.
22
1
| = 0,001 264 . . . |π −
|
7
700
→ Theorie der DIOPHANTischen Approximationen.
|π −
Folgerung 3.5
Sei n ≥ 1 fixiert, dann existiert α ∈ OK , α 6= 0 so, dass
1
n √
|N (α)| ≤ 1 + 2 D
|α| <
44
= 0,001 428 . . .
3.4 Einheiten
Abbildung 3.2: todo: Was ist das?
Beweis:
Setze t = ω, nach dem Lemma 3.1 existieren ganze Zahlen a, b ∈ Z mit 0 < b ≤ n und
1
|ω + ab | < bn
⇒ |a + bω| < n1 .
Sei α := a + bω 0 , α 6= 0 wegen b > 0. N (α) = αα0 , α0 = a + bω 0 = a + bω + b(ω 0 − ω).
ω=
√
⇒ ω 0 − ω = −2 D
√
⇒ ω0 − ω = − D
√
D
√
1+ D
ω=
2
√
Also folgt |α| < n1 + 2b D ≤
1
n
√
+ 2n D ⇒ N (α) = |αα0 | <
1
n2
√
√
+ 2 D ≤ 1 + 2 D.
Bemerkung 3.6
Geometrische Deutung Abbildung 3.2 Man kann den Schlauch um x = 0 immer schmaler
machen, aber man findet immer ganze Zahlen.
Beweis: (Existenz nichttrivialer Einheiten)
√
Es existieren unendlich viele Einheiten α ∈ OK , α 6= 0, |N (α)| ≤ c (= 1 + 2 D). Also
existiert auch eine ganze Zahl m ∈ Z mit 0 < m ≤ c, so dass für unendlich viele α ∈ OK
gilt |N (α)| = m.
Wir betrachten für diese α = a + bω die zugehörigen Restklassen von a und b modulo m.
Dies unterteilt die α in m2 disjunkte Teilmengen. Wenigstens eine von ihnen enthält
45
3 Quadratische Zahlenkörper
unendliche viele α. Wir wählen zwei verschiedene aus: α, β und dürfen vorrausetzen
β 6= −α. Also gilt
|N (α)| = |N (β)| = m
α≡β
(mod m)
im obigen Sinne
α 6= ±β
Aus Existenz nichttrivialer Einheiten 61 folgt α = β + mγ mit γ ∈ OK . Also auch
αβ 0 = N (β) + mγβ 0 .
N (β) = ±m ⇒ αβ 0 = mδ, δ = β 0 γ ± 1 ∈ OK ⇒ N (αβ 0 ) = m2 N (δ) und N (αβ 0 ) = ±m2
Somit ist δ eine Einheit.
Angenommen δ = ±1, dann folgt
αβ 0 = ±m ⇒ αββ 0 = ±mβ
± mα = ±mβ
⇒ α = ±β`
Somit ist δ nichttriviale Einheit.
D Fundamentaleinheit
2
1+ω
Beispiel
3.62 + ω
3
5
ω
6
5 + 2ω
7
8 + 3ω
10
3+ω
D
Fundamentaleinheit
Beispiel
3.7
46
24335 + 3588ω
67
48842 + 5967ω
94
2143295 + 221064ω
√
2006 638145 + 14248 2006
3.5 Multiplikative Arithmetik in OK – Ideale
Die Arithmetik in den OK ist nicht so leicht wie in Z oder Z[i].
Beispiel
√ 3.8
√
√
√
K = Q( 5), dK = −20 Es gilt 21 = 3 · 7 = (4 + −5)(4 − −5). Wir zeigen: 3,7, 4 ± −5
sind Primzahlen in OK .
46
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
√
N (3) = 9, hätte 3 den nichttrivialen Teiler x = a + b −5 (also x keine Einheit und
6= ±3), so wäre N (x) = 3 ⇒ a2 + 5b2 = 3 – hat keine Z-Lösungen.
Analog für a2 + 5b2 = 7.
√
N (4 ± −5) = 21, echte Teiler hätten Norm 3 oder 7. Idee von Kummer zur Rettung der Arithmetik in OK : Man nehme zu den Elementen
von OK noch ideale Zahlen
√ hinzu, so dass
√ die Eindeutigkeit wieder vorhanden ist:
3 = p1 · p2 , 7 = p3 · p4 , 4 + −5 = p1 p3 , 4 − −5 = p2 p4 .
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
3.6.1 Allgemeine Theorie der Kettenbrüche
Kettenbrüche im Englischen continues fractions.
Definition 3.7
Seien a0 , a1 Unbestimmte. Ein Kettenbruch sieht dann so aus:
1
[a0 ; a1 , . . . , an ] = a0 +
a1 +
1
a2 +
1
+···
Bemerkung 3.7
1. Sind die an positive natürliche Zahlen für n ≥ 1, so ist das eine rationale Zahl.
2. Dind die an positive reelle Zahlen für n ≥ 1, so ist das eine reelle Zahl.
3. [a0 ; a1 , . . . , an ] =
pn
qn
mit pn , qn ∈ Z-Polynome in den ai
[a0 ] = a0 =
a0
1
a0 a1 + 1
, [a0 ; a1 ] = a0 +
=
1
a1
a1
Fakt 3.11
Setzt p−1 = 1, q−1 = 0, p0 = a1 , q0 = 1. Dann gilt:
1. pn+2 = an+2 pn+1 + pn
2. qn+2 = an+2 qn+1 + qn
3. pn , qn teilerfremd in Z[a0 ; a1 , . . . , an ]
47
3 Quadratische Zahlenkörper
Beweis:
Induktion:
p0n
0
qn
p1
q1
=
a0 a1 +1
a1
– stimmt.
= [a0 ; a1 , . . . , an ].
pn+2
= a0 +
qn+2
1
p0n+1
0
qn+1
=
0
a0 p0n+1 + qn+1
p0n+1
Rechts sind Zähler und Nenner teilerfremd, also
0
pn+2 = a0 p0n+1 + qn+1
(3.1)
qn+2 = p0n+1
Es folgt
0
0
)
pn+2 = a0 (an+2 p0n + p0n−1 ) + an+2 qn0 + qn−1
= an+2 (a0 p0n + qn0 ) + (a0 p0n−1 + qn−1
|
{z
pn+1
}
|
{z
=pn
Analog für qn+2 . Teilerfremdheit folgt aus Gleichung 3.1.
}
Folgerung 3.6
Sind die an ∈ N∗ für n ≥ 1, so sind die oben rekursiv definierten Zahlen pn und qn auch
teilerfrem (in Z).
Fakt 3.12
Seien a0 , a1 , . . . ∈ Z, ∀j ≥ 1 : aj > 0.
1. pn , qn streng monoton wachsend,
2. pn qn+1 − pn+1 qn = (−1)n+1
3. pn qn+2 − pn+2 qn = (−1)n+1 an+2
4. Die Brüche mit geradem Index sind streng monoton wachsend, die mit ungeradem
Index sind streng monoton fallend
5.
pn
qn
konvergiert
Beweis:
1. folgt aus Fakt 3.11
2. p0 q1 − p1 q0 = a0 a1 − (a0 a1 + 1) = −1
pn qn+1 − pn+1 qn = pn (an+1 qn + qn−1 ) − (an+1 pn − pn−1 )qn
= pn qn−1 − pn−1 qn
48
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
3. p−1 q1 − q−1 q1 = a1 − 0 = a1
pn qn+2 − pn+2 qn = pn (an+2 qn+1 + qn ) − qn (an+2 pn+1 + pn )
= an+2 (pn qn+1 − pn+1 qn )
Zum Schluss nochmal den 2. Punkt anwenden.
4.
(−1)n+1 an+2
pn pn+2
−
=
qn
qn+2
qn qn+2
5. Wir zeigen: Beide Folgen sind beschränkt
p2n
p2n+1
p2s+1
p2r
<
<
für n 1
q2r
q2n
q2n+1
q2s+1
p2n p2n+1
(−1)2n+1
1
−
=
=−
q2n
q2n+1
q2n q2n+1
q2n q2n+1
p2n
1
p2n+1
+
=
q2n
q2n q2n+1
q2n+1
⇒ Beide Folgen konvergent
|
p2n p2n+1
1
n→∞
−
|=
−−−→ 0
q2n
q2n+1
q2n q2n+1
3.6.2 Kettenbrüche zu reellen Zahlen
Fakt 3.13
Sei α ∈ R, wir definieren rekursiv zwei Folgen an und αn durch
1
, a1 > 1, a0 = [α]
a1
1
, αn+1 > 1, an = [αn ]
αn = an +
αn+1
α = a0 +
Solange, wie an 6= αn ist.
1. Der Prozess stoppt ⇔ α ∈ Q
2. Im Fall α ∈ R \ Q gilt pqnn → α; d. h. Kettenbrüche eignen sich genauso gut wie Dezimalzahlen zur Approximation von irrationalenhelp: heißen die irrational? Zahlen.
Sie konvergieren sogar schneller als Dezimalzahlen (→ besser als Dezimalzahlen),
aber dafür ist die Addition kompliziert.
3. α = [a0 ; a1 , . . . , an−1 , αn ] =
pn−1 αn +pn−2
qn−1 αn +qn−2
49
3 Quadratische Zahlenkörper
4. |an − αn | < 1
Beweis:
1. Sei n so, dass αn = an ⇒ α = [a0 ; a1 , . . . , an ] ∈ Q.
Sei α ∈ Q, αn = pq , p < q
αn = an +
⇒ αn+1 =
q
p0
1
αn+1
= an +
p0 0
,p < q
q
⇒ der Nenner von αn+1 ist kleiner als der Nenner von αn .
2.
α−
pn+1
pn αn+1 + pn−1 pn an+1 + pn−1
=
−
qn+1
qn αn+1 + qn−1
qn an+1 + qn−1
(pn αn+1 + pn−1 )(qn an+1 − qn−1 ) − (pn an+1 + pn−1 )(qn αn+1 + qn−1 )
=
(qn αn+1 + qn+1 )(qn an+1 + qn−1 )
(pn qn−1 − qn pn−1 )
=
todo : hierf ehltwas
3. folgt aus Fakt 3.11. αn = an +
1
αn+1
⇒ [a0 ; a1 , . . . , an−1 , αn ] = [a0 ; a1 , . . . , an +
1
αn+1 ]
Folgerung 3.7
|α −
pn
1
|<
qn
qn qn+1
Beweis:
|
1
pn+1 pn
− |=
qn+1
qn
qn qn+1
α liegt dazwischen
Folgerung 3.8 (The law of the best approximation)
Sei α ∈ R, |α − pq | < 2q12 , p ∈ Z, q ∈ N∗ , ggT(p, q) = 1.
Dann ist
p
q
ein Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von α.
Beweis:
Sei ab weiterer Bruch, ggT(a, b) = 1, a ∈ Z, b ∈ N∗ , sowie
a
b
=
6 pq , |bα − a| ≤ |qα − p| <
Wir zeigen. Damit ist b > q:
1
a p
a
p
1
1
a+b
≤ | − | ≤ | − α| + |α − | <
+
=
bq
b
q
b
q
2bq 2q 2
2bq 2
⇒ 2q < q + b ⇒ b > q
50
1
2q .
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
Fall 1:
p
q
liegt zwischen zwei Näherungsbrüchen, ist verschieden von ihnen: todo: zeichnung pq00 , pq22 , pq44 → α ← pq33 , pq11
Also
p
q
zwischen
pn−1
qn−1
1
qqn−1
und
pn+1
qn+1
p pn−1
pn pn−1
1
≤| −
|<| −
|=
⇒ q > qn
q
qn−1
qn
qn−1
qn qn−1
1
pn+1 p
p
1
<|
− | ≤ |α − | ⇒
≤ |αq − p|
qqn+1
qn+1
q
q
qn+1
1
⇒ |αqn − pn | < |αq − p|, qn < q.
Nach Fakt 3 und Folgerung ist |αqn − pn | < qn+1
Das ist ein Wiederpruch zu der Aussage oben.
Fall 2:
p
q
<
p0
q0
oder >
p1
q1
→ Übungsaufgabe
Beispiel 3.9
e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1, . . . ] Für π hat man noch keinen Kettenbruch gefunden.
Fakt 3.14
√
√
Sei D ≡ 2,3 (mod 4), quadratfrei, D 6= 2,3. ε = a+b D Fundamentaleinheit von Q( D).
(Dann ist a > 0, b > 0, a, b ∈ Z). Dann gilt:
√
a
1
| D− |< 2
b
2b
Beweis: √
√
Nε = (a − b D)(a + b D) = ±1, also
√
a
1
1
√
√
| D− |=
=
a
2
b
b(a + b D)
b ( b + D)
a
b
+
√
D>
√
D>2
Folgerung √
3.9
ε = pn + qn D, wobei
pn
qn
der erste Näherungsbruch todo: hier fehlt was
Beispiel 3.10
D = 22
√
22 = 4 + ( 22 − 4)
√
√
1
22 − 4
22 − 2
√
=
=1+
6
6
22 − 4
todo : hierkommtnochwas
√
51
3 Quadratische Zahlenkörper
Ergebnis:
√
22 hat einen periodischen Kettenbruch
√
22 = [2; 1,2,4,2,1,8]
−1 0
n
an
4
pn
1
4
qn
0
1
2
2
pn − 22qn 1 −6
1 2
3
4
5 6
1 2
4
2
1 8
5 14 61 136 197 ∗
1 3 13 29 42 ∗
3 −2 3 −6
1
√ √
εK = 197 + 42 22 13 = [3; 1,1,1,1,6]
Dinge die auffallen: 1,2,4,2,1 sind symetrisch, die letzte Ziffer ist immer das Doppelte der
ersten, in der Tabelle ergibt sich immer die Fundamentaleinheit.
√
2003 = [44; 1,3,12,1,1,6,2,1,2,1,3,6,7,1,43,1,7,6,3,1,2,1,2,6,1,1,12,3,1,88]
√
Fundamentaleinheit: 4 344 427 204 728 362 + 97 071 569 134 791 · 2003
3.6.3 Die Kettenbruchentwicklung reellquadratischer irrationaler
Zahen
√
Sei K = Q( D), D > 1, quadratfrei. Sei α ∈ K \ Q, dann existiert eine eindeutig
bestimmte a, b, c ∈ Z mit
1. a > 0
2. ggT(a, b, c) = 1
3. aα2 + bα + c = 0
Definition 3.8
Die Diskriminante Disc(α) ist :⇔ Disc(α) = b2 − 4ac. Es gilt Disc(α) > 0.
Definition 3.9
√
√
α ∈ K \ Q heißt reduziert :⇔ α > 1, −1 < α0 < 0 (a = r + s D ⇒ α0 = r − s D, r, s ∈
Q)
Bemerkung 3.8
1. Äquivalent: α > 1, − α10 > 1
2. Mit α ist auch − α10 reduziert
√
√
3. D ist nicht reduziert, − D < −1
52
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
√
√
4. Sei α = ( D − [ D])−1 , α > 1, α0 =
√ 1 √
− D−[ D]
< 0, α0 > −1 ist auch klar.
Fakt 3.15
Für eine gegebene natürliche Zahl m existieren nur endlich viele redzierte Zahlen αi mit
Disc(αi ) = m.
Beweis:
Sei α reduziert und Disc(α) = m.
√
−b + ε m
α=
,
2a
ε ∈ [−1,1]
√
√
m
m > 0, α0 = −b+
< 0. Widerspruch. Also ε = +1. Dann folgt
2a
√
√
−b + m > 2a > b + m
(0 > α0 > −1)
Für ε = −1 folgt −b −
√
√
Somit ist b < 0 und 0 < −b < m. Also nur endlich viele b. 2a < −b + m, a > 0 ⇒ nur
endlich viele a. m = b2 − 4ac ⇒ nur endlich viele c.
Definition 3.10
Sei GL(2, Z) = {( ac db ) ∈ M (2,2; Z) : det = ±1}.
6 ist unendlich: ( 10 11 ) hat undenliche Ordnung.
p
( 01 10 ) ist Torsionselement. Sei α ∈ K\Q gn := ( qnn
pn−1
qn−1 ), det gn
= (−1)n+1
Wir hatten gesehen
α=
pn−1 αn + pn−2
qn−1 αn + qn−2
GL(2, Z) operiert auf K \ Q vermöge
Ç
å
aα + b
a b
α :=
c d
cα + d
(gebrochenlineare Substitutionen)
Definition 3.11
α, β ∈ K \ Q heißen äquivalent :⇔ ∃g ∈ GL2 Z : β = gα.
Bemerkung 3.9
Ist α ∈ K\Q und αn der n-te Rest der Kettenbruchentwicklung, also α = [a0 ; a1 , . . . , an−1 , αn ],
so ist αn äquivalent zu α.
Fakt 3.16
Sei α = [a0 ; a1 , . . . , an−1 , αn ] wie oben, dann ist die Diskriminante von αn gleich der von
α.
53
3 Quadratische Zahlenkörper
Beweis:
Setze hn = ( a1n 10 ) ∈ GL2 Z
hn (αn+1 ) =
1
an αn+1 + 1
= an +
= αn
αn+1
αn+1
Das heißt hn (αn+1 ) = αn .
Wir zeigen: Die zahlen β und γ =
mβ+1
β
haben dieselbe Diskriminante (m ≥ 1).
2
Sei dazu aγ 2 + bγ + c = c. ⇒ a(mβ + 1)2 + b(mβ + 1)β + cβ 2 = 0 ⇒ (am
+{zbm + c})β 2 +
|
=A
(2am
+ b)β + |{z}
a = 0.
| {z }
=B
=C
B 2 + 4AC = 4a2 m2 + 4abm + b2 − 4a2 m2 − 4abm − 4ac
= b2 − 4ac
Das heißt Disc(β) teil Disc(γ)
1 −1 zu γ. todo: hfw
Die analoge Recchnugn für γ und β = ( m
1 0)
Fakt 3.17
1. Ist α reduziert, so auch alle αn .
2. Die αn sind reduziert für n 1.
Beweis:
1. α = an +
1
αn+1
(an = [αn ]), αn+1 > 1.
Ist α > 1, −1 < α < 0 und β definiert durch α = [α] + β1 , so ist β > 1 und
− β10 = [α] − α0 > 1
2.
pn−1 αn + pn−2
⇒
qn−1 αn + qn−1
qn−2 α − pn−2
αn =
(−I operiert trivial)
−qn−1 α + pn−1
pn−2
0
qn−2 α − qn−2
qn−2 α0 − pn−2
0
αn =
=−
n−1
−qn−1 α0 + pn−1
qn−1 α0 − pqn−1
α=
Der rechte Bruch geht gegen 1, also αn0 < 0 für n 1. αn > 1 ist klar.
54
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
αn0
0
qn−2 α −
=−
(
qn−1 α0 −
|
=−
=−
pn−1
pn−2
qn−1 − qn−2
+ 0 pn−1
α − qn−1
pn−1
qn−1
pn−1
qn−1
{z
=1
}
qn−2
(−1)n
(1 +
qn−1
qn−1 qn−2 (α0 −
1
qn−1
(
)
pn−1 )
qn−1 )
(−1)n
)
n−1
qn−1 (α0 − pqn−1
)
⇒
0
αn+1
=
1
(qn−1 − qn−2 −
qn−1 |
{z
≥1
}
(−1)n
)
n−1
)
qn−1 (α0 − pqn−1
|
{z
→0
}
⇒ αn0 + 1 > 0 für n 1.
Definition 3.12
[a0 ; a1 , . . . , an ] heißt periodisch :⇔ ∃k > 0, n0 ∈ N, so dass ∀n ≥ n0 an+k = an . Das
minimale k heißt Periode.
Der Kettenbruch heißt reinperiodisch :⇔ für alle n ≥ 0 gilt an+k = an .
Schreibweise: [a0 ; a1 , . . . , ar , ar+1 , . . . , ar+k ] respektive [a0 ; a1 , . . . , ak−1 ].
Beispiel 3.11
√
√
1
=
3−1
√
3+1
=1+
2
√
3=1+
√
3−1
3−1
2
√
√
2
2( 3 + 1) √
√
=
= 3 + 1 = 2 + ( 3 − 1)
2
3−1
√
3 = [1; 1,2]
√
3 − 1 = [1,2]
Satz 3.2 (Euler, Lagrange)
1. Für alle α ∈ K \ Q ist die Kettenbruchentwicklung periodisch
2. Ist α reduziert, so ist sie reinperiodisch.
Beweis:
1. Für n 1 ist αn reduziert und hat dieselbe Diskriminante wie α, als sind dises αn
aus einer endlichen Menge ⇒ ∃n, k, so dass an+k = an ⇒ am+k = am ∀m ≥ n.
55
3 Quadratische Zahlenkörper
2. Ist α reduziert, so auch alle αn .
αn = [αn ] +
1
αn+1
Wir zeigen: Sind α, β reduziert und α = N +
N , so gilt N = [− β10 ].
1
β
mit positiven natürlichen Zahlen
Hieraus würde folgen: αn ist eindeutig bestimmt durch αn+1
1
α > 1, −1 < α0 < 0 ⇔ − 0 > 1
α
1
β > 1, −1 < β 0 < 0 ⇔ − 0 > 1
β
− β10 = N − α0 = N +
1
− α10
⇒ [− β10 ] = N Somit folgt aus αn+k = αn auch
αn−1+k = αn−1 und damit an−1+k = an−1
Bemerkung 3.10
Die Umkehrung gilt auch: Jeder periodische Kettenbruch konvergiert gegen eine quadratische Irrationalität.
Rein periodisch gegen reduzierte.
α = [a0 ; a1 , . . . , an ] ⇒ α = [a0 , . . . , an , α]
⇒ α = gα für eine g ∈ GL2 Z.
α = gα ist quadratische Gleichung für α.
Fakt 3.18
Ist α reduziert und α = [a0 , . . . , ak−1 ], so ist − α10 = [ak−1 , ak−2 , . . . , a0 ].
Beweis:
αn = an +
Also
− α10
k
1
αn+1
=
⇒ − α0 1
n+1
= an + (−αn0 ) ⇒ an = [− α01 ] (0 < −αn0 < 1 wegen Red.)
n+1
[ak , ak−1 , . . . , a0 , − α10 ]
Nun ist αk = α ⇒ − α1 = [ak−1 , . . . , a0 , − α10 ] ⇒
− α10 = [ak−1 , . . . , a0 ].
Fakt 3.19
√
√
Ist α = D mit Nichtquadrat D > 1, so gilt mit g = [ D]:
α = [g, a1 , . . . , ak−1 , 2g] = [g, ak−1 , . . . , a1 , 2g]
Beweis:
α = g + α11 , α1 > 1, − α10 = g + α wegen α0 = −α. Somit ist − α10 > 2g > 1 und damit ist
1
1
α1 reduziert. [− α10 ] = 2g
1
α1 = [a1 , . . . , ak ], −
⇒α=−
1
= [ak , . . . , a1 ], ak = 2g
α1
1
− g = [ak − g , ak−1 , . . . , a1 , 2g]
| {z }
α10
=g
56
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
Fakt 3.20
√
Sei D > 1 quadratfrei, D ≡ 2,3 (mod 4). Dann ist für D = [g; a1 , . . . , ak−1 , 2g] die Zahl
√
ε = pk−1 + qk−1 D eine Einheit.
Beweis:
√
D = [g; a1 , . . . , ak−1 , [2g, a1 , . . . , a? ]]
√
= [g; a1 , . . . , ak−1 , D + g]
√
pn−1 (g + D) + pn−2
√
=
qk−1 (g + D + qk−2 )
√
√
√
⇒ D(qk−1 g + qk−2 + qk−1 D) = pk−1 g + pk−2 + pk−1 D
⇒Dqk−1 = pk−1 g + pk−2
pk−1 = qk−1 g + qk−2
p2k−1
−
2
Dqk−1
qk−1
pk−1
= pk−1 qk−2 − pk−2 qk−1 = (−1)k
√
⇒ ε = pk−1 + qk−1 D ist Einheit.
Bemerkung 3.11
Die Periodenlänge ist ≤ 2D.
Wie groß kann eine Fundamentaleinheit werden? ln εD ≤
√
√
D, εD ≤ e
D.
[Der Abschnitt über Kettenbrüche war nur eingeschoben. Jetzt weiter im Programm.]
help: Sollen die OK OK sein? Kummers Idee: Eine Zahl x ∈ OK ist hinsichtlich ihrer
Teilbarkeitslehre charakterisiert durch ihre Ringvielfachen, also x · OK = (x), wobei x · OK
folgende Eigenschaften:
1. bzgl. Addition abelsche Gruppe
2. bzgl. Multiplikation gilt y · OK , z ∈ OK ⇒ yz ∈ OK
Definition 3.13
Eine Teilment I ⊂ OK heißt Ideal :⇔
1. I ist abelsche Gruppe bzgl. Addition
2. x ∈ I, y ∈ OK ⇒ xy ∈ I
Ist I = OK , so heißt I Hauptideal
Beispiel 3.12
1. Kleinstes Ieal ist (0) = 0 · OK , größtes ist OK = (1) = (ε) für jede Einheit ε.
2. Z besitzt folgende Ideale: (m) = mZ für m = 0,1,2, . . .
57
3 Quadratische Zahlenkörper
Beweis:
Sei I ⊂ Z Ideal 6= 0, mit a ∈ I ist auch a ∈ I. I enthält also alle natürliche Zahlen
> 0.
Sei m die kleinest. Wir zeigen I = (m). Klar ist (m) ⊂ I, sei k ∈ I, K = q ·m+r, 0 ≤
r < m ⇒ r ∈ I ⇒ r = 0.
Dito für Z[i]: Ein Ring, dessen Ideale alle Hauptideale sind, heißen Hauptidealring.
Bemerkung 3.12
Sei R = OK und I Ideal, dann ist R/I abelsche Gruppe bzgl. Addition.
Multiplikation auf R/I : (a + I)(b + I) := ab + I.
Sei
a + I = a1 + I
⇔a1 − a ∈ I
b + I = b1 + I
⇔b1 − b ∈ I
zu zeigen ist ab − a1 b1 ∈ I
ab − a1 b1 = (a − a1 ) b − a1 (b − b1 ) ∈ I
|
{z
∈I
}
| {z }
∈I
Der kannonische Homomorphismus R → R/I ist surjektiv mmit Kern I.
1=1+I
Traditionelle Schreibweise für Ideale: a, b, c, d, e
Fakt 3.21
Es sei p ⊂ OK Ideal 6= 0, dann hat p endlichen Index, d. h.
OK/p
ist endlich.
Beweis:
Sei x ∈ p, x 6= 0. Dann ist auch xx0 ∈ p. Sei m = |xx0 |, das ist positive natürliche Zahl.
OK/mOK ist endlich: Elemente sind a + bω + mOK , 0 ≤ a, b < m. Es gilt (m) ⊂ p, also
folgt (OK · p) endlich.
Definition 3.14
Die Absolutnorm eines Ideals ist
Np = card(OK/p)
Multiplikation von Idealen: Für Hauptideal klar: (x)(y) = (xy).
Naive Definition: ab = {ab : a ∈ a, b ∈ b}. Aber ist dann a1 b1 + a2 b2 ∈ ab? Nein.
Richtige Defintion: ab = {
58
P
ai bi : ai ∈ a, bi ∈ b}.
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
Fakt 3.22
Dies ist dann ein Ideal. Beweis: Übungsaufgabe.
Fakt 3.23
1. a(bc) = (ab)c
2. ab = ba
3. Rp = p
4. ab ⊂ a ∩ b, im Allgemeinen keine Gleichheit.
5. a ⊂ b ⇒ ac ⊂ bc
6. (x)p = xp
7. x | y in OK ⇔ (y) ⊂ (x)
Die Beweise sind einfach.
Fakt 3.24
In OK gilt: Jede aufsteigende Folge von Idealen stabilisiert sich:
p1 ⊂ p2 ⊂ · · · ⇒ ∃n0 ∀n ≥ n0 : pn = pn0
(OK ist Noethersche Ring.)
Beweis:
Es folgt Np1 ≥ Np2 ≥ · · · stabilisiert sich. Genügt zu zeigen: a ⊂ b, Na = Nb ⇒ a = b.
Das ist klar.
Fakt 3.25
Sei p ⊂ OK Ideal 6= (0) und x ∈ K, sowie xp ⊂ p. Dann folgt x ∈ OK . (OK ist
ganzabgeschlosen.)
Beweis:
p = Zω1 + Zω2 ⊂ OK Nach Vorraussetzung ist
xω1 = aω1 + bω2
a, b ∈ Z
xω2 = cω1 + bω2
c, d ∈ Z
b
2
Da ω1 , ω2 Q-linearunabhängig sind, ist die Determinante det( a−x
c d−x ) = 0, also x − (a +
d)x + (ad − bc) = 0. Daraus ergibt sich Tr x ∈ Z und N (x) ∈ Z und somit ist x ∈ OK . Fakt 3.26
Sei A ⊂ OK additive Untergruppe von endlich Index. Dann existieren ganze Zahlen
a, b, c, ∈ Z, b > 0, c > 0, so dass a + bω und c eine Basis von A bilden: Jedes Element aus
A ist eindeutig darstellbar auf Z-Linearkombination von a + bω und c.
59
3 Quadratische Zahlenkörper
Beweis:
Wähle unter allen r + sω aus A ein solches mit minimales s > 0, wir nennes es a + bω.
Dann sind alle s durch b teilbar:
s = qb + r0 , 0 ≤ r0 < b
⇒ r + sω − q(a + bω) = ? + r0 ω ∈ A ⇒ r0 = 0.
Z ∩ A ist Untermenge in Z.
card(OK/A) = m ⇒ mOK ⊂ A ⇒ A ∩ Z ⊃ mZ.
Also Z ∪ A = c · Z für ein c > 0.
Wir haben a, b, c konstruiert und wissen: a + bω und c erzeugen A. Eindeutigkeit ist klar:
r(a + bω) + sc = r0 (a + bω) + s0 c
für r, s, r0 , s0 ∈ Z ⇒ b(r − r0 ) = 0 ⇒ r0 = r ⇒ s0 = s.
Folgerung 3.10
Setzt man noch vorraus, dass − 2c < a ≤ 2c , so ist diese Basis eindeutig.
Beweis:
Zwei Basen von A haben Übergangsmatrix aus GL(2, Z)
Ç
a c
b 0
åÇ
|
Ç
⇒
α b
γ δ
å
1
=
bc
Ç
α β
γ δ
{z
å
Ç
=
a0 c0
b0 0
}
∈GL(2,Z)
åÇ
0 −c
−b a
å
a0 c0
b0 0
å
Ç
=
0
− bb
ab0 −a0 b
bc
0
0
− cc
å
⇒ c | c0 , b | b0 ⇒ b0 = b, c0 = c
c
c
⇒ a ≡ a0 (mod c), − < a, a0 ≤ ⇒ a = a0
2
2
Definition 3.15
a + bω und c heißt kannonische Basis von A.
Fakt 3.27
Sei p ⊂ OK Ideal 6= (0), a + bω und c seine eine kannonische Bais. Dann gilt
1. b | a,
2. b | c und
3. bc | N (a + bω)
Umgekehrt: Sei A ⊂ OK additive Untergruppe von endlich Index mit kannonischer Basis,
welche die oberen Eigenschaften erfüllt. Dann ist A ein Ideal.
60
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
Beweis:
1. Es gilt ωp ⊂ p, also
ω(a + bω) = A(a + bω) + B · c
ωc = c(a + bω) + D · c
A, B, C, D ∈ Z
2. DK = 2,3 (mod 4) ⇒ ω 2 = DK .
bDK = Aa + Bc
a=A·b
c = Cb
Ca + Dc = 0
⇒ b | a, b | c.
D = −Ca/c, A = a/b, C = c/b
⇒ D = −ac/bc = −a/b
1
b2 − DK a2
= − N (a + bω)
b
b
−bcB = N (a + bω)
cB = bDk − Aa = bDK = a2/b2 =
Analog für DK ≡ 1 (mod 4) Übungsaufgabe.
3. Sei A = Z(a + bω) + Zc, sowie b | a, b | c, bc | N (a + bω). Dann ist A ein Ideal.
Gzz. ω · A ⊂ A
ω(a + bω) = A(a + bω) + Bc
A, B ∈ Q
wc = c(a + bω) + Dc
D, C ∈ Q
Dieselbe Rechnung wie oben nur rückwärst zeigt A, B, C, D ∈ Z.
Folgerung 3.11
Jedes Ideal a ⊂ OK hat die Form. a = (b)b, b mit kannonischer Basis a + bω und c.
− 2c < a ≤ 2c und c | N (a + bω)
Beweis:
Übungsaufgabe
Fakt 3.28
Sei p Ideal mit kannonischer Basis a + bω und c. Dann ist Np = bc.
61
3 Quadratische Zahlenkörper
Beweis:
x = r + sω, y = r0 + s0 ω ∈ OK
x≡y
(mod p) ⇔ (r − r0 ) + (s − s0 )ω ∈ p
⇔ (r − r0 ) + (s − s0 )ω = m(a + bω) + ncm, n ∈ Z
⇔ s ≡ s0
s − s0
b
r − r0 ≡ ma (mod c)
(mod b) ⇒ m =
Also sind die bc Restklassen die Elemente von
Ok/p.
Bemerkung 3.13
Mit p ist auch p0 = {a0 : a ∈ p} ein Ideal.
Fakt 3.29 (Hauptfakt)
p · p0 = (n) für eine natürliche Zahl n ∈ N∗ .
Beweis:
Sei a + bω, c kannonischer Basis von p. pp0 besteht aus allen OK -Linearkomibationen der
vier Zahlen c2 , c(a + bω), c(a + bω 0 ), N (a + bω) = (a + bω)(a + bω 0 ). Sei n der ggT (in Z)
der ganzen Zahlen (aus Z). c2 , c Tr(a + bω), N (a + bω).
Wir zeigen: p · p0 = (n). Jedenfalls ist n ∈ p · p0 als Z-Linearkomibation der drei Zahlen
oben, also (n) ⊂ p · p0 . c2 , N (a + bω) ∈ (n).
Bleibt zu zeigen, das c(a + bω) ∈ (n) = nOK ⇔
Tr(
c(a+bω)
n
∈ OK
c(a + bω)
2ac + bc Tr ω
c Tr(a + bω)
)=
=
∈Z
n
n
n
c(a + bω)
c2
N(
) = 2 N (a + bω) ∈ Z
n
n
Ab jetzt ist das Nullideal verboten! [Anm. d. A.: Das war bestimmt vorher auch schon
so.]
Für eine kanonische Basis A ⊂ OK ist a+bω, c mit b, c > 0 und − 2c < a ≤ 2c .
p ⊂ A ⇔ b | a, b | c und bc | N (a + bω)
Np = bc
Fakt 3.30
p · p0 = (n)
Fakt 3.31
Genauer gilt: Das n aus dem vorigen Fakt ist gleich Np = bc.
62
3.6 Fundamentaleinheiten und Kettenbrüche
Beweis:
2
zu zeigen ist, dass ggT(c2 , c Tr(a + bω), N (a + bω)) = bc. ⇔ ggT( cb , cb Tr( ab + ω), N ( ab +
ω)) = cb
Setze: c :=
c
b
und a := ab .
ggT(c2 , c Tr(a + ω), N (a + ω)) = ω
Dabei gilt − 2c < a ≥
c
2
und c | N (a + ω) Jedenfalls ist c gemeinsamer Teiler.
Gzz. ggT(c, Tr(a + ω), N (a + ω))
Fall 1: DK ≡ 2,3 (mod 4)
2
K
ggT(c,2a, a −D
) = 1 Sei c gerade, und
c
(mod 4) ⇒ DK ≡ a2 (mod 4) a2 −DK
c
gerade, dann ist s2 − DK ≡ 0
Sei p > 2 Primteiler aller drei Zahlen. Dann teilt p2 die Zahl a2 − DK und a2 ,
mithin teilt p2 die Zahl DK Fall 2: DK ≡ 1 (mod 4) geht analog.
Folgerung 3.12
N(p1 p2 ) = Np1 · Np2
Beweis:
m = Np1 und n = Np2 . p1 p01 = (m), p2 p02 = (n) ⇒ p1 p01 p2 p02 = (mn) = (N(p1 p2 ))
Folgerung 3.13
p1 p2 = p1 p3 ⇒ p2 = p3
Beweis:
Mutliplikation mit p01 gibt
(Np1 ) · p2 = (Np1 )p2 ⇒ Np1 · p2 = Np1 p3 ⇒ p2 = p3
Folgerung 3.14
p1 ⊂ p2 ⇒ ∃p3 : p1 = p2 · p3 .
Beweis:
Multiplikation mit p02 gibt
p1 · p2 ⊂ p2 · p02 = (Nb) = (m)
Also sind alle Elemente aus p1 · p02 in OK teilbar durch m.
1
Dies zeigt: p3 := m
p1 p02 ist Ideal in OK . Also p2 p02 p3 = p1 · p02 wegen mp3 = p1 p02 . Nach
todo: Link: Fogerung 2 impliziert das p2 p3 = pa
63
3 Quadratische Zahlenkörper
Fakt 3.32
Für x ∈ OK \ {0} gilt N( (x) ) = |N (x)|.
Beweis:
1. Sei ω1 = a + bω und ω2 = c + dω eine Z-Basis von p ⊂ OK , p ist Ideal. Dann
gilt Np = |det( ab dc )|. Wir wissen das für die kanonische Basis von p. Die RHS ist
dieselbe für jede Basis von p.
2. Sei x = a + bω mit a, b ∈ Z. Eine Z-Basis von (x) = xOK ist
x = a + bω
xω = aω + bω 2
(
ω=
DK
DK −1
4
+ω
: DK ≡ 2,3 (mod 4)
DK ≡ (mod 4)
Also N( (x) ) = |det( ab bDaK )| = |a2 − b2 DK | N (x) = a2 − b2 DK .
Der andere Fall geht analog.
3.7 Multiplikative Arithmetik in OK –
Primideale
Definition 3.16
p ⊂ OK heißt Primideal ⇔
OK/p
ist integer, d. h. ohne Nullteiler.
Lemma 3.2
Eine endliche Integritätsbereich ist eine Körper.
Beweis:
Sei R endlich und integer und weiterhin sei x ∈ R \ {0}. Multiplikation mit x verursacht
injektive Abbildung R \ {0} → R \ {0}. Diese Abbildung ist also bijektiv, somit ist 1 ∈ R
ein Bild.
Fakt 3.33
Die Primideale, außer dem Nullideal (6= (0)) in OK sind maximal, d. h. zwischen p und
OK gibt es keine weiteren Ideale.
Beweis:
Sei p ⊂ p2 ⊂ OK und p 6= p2 . Sie x ∈ p2 \p, dann existiert y ∈ OK , so dass (x+p)(y +p) =
1 + p in OK/p. Also xy − 1 ∈ p. Nun ist aber xy ∈ p2 , also 1 ∈ p2 ⇒ p2 ∈ OK .
Bemerkung 3.14
Wir haben über OK die Dinge gezeigt:
1. OK ist Noethersch,
64
3.7 Multiplikative Arithmetik in OK – Primideale
2. OK ist ganzabgeschlossen und
3. die Primideale 6= 0 sind maximal.
Solche Ringe heißen Dedekind-Ringe.
Definition 3.17
p1 | p2 := ∃p3 : p2 = p1 · p3 .
Dann gilt p1 | p2 ⇔ p2 ⊂ p1 .
Satz 3.3 (Hauptsatz der Arithmetik in OK )
Jedes Ideal in OK ist Produkt von Primidealen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Beweis:
Maximale Ideale sind prim, jedes Ideal 6= OK liegt in einem maximalen Ideal, dann
zwischen ihm und OK liegen nur endlich viele Ideal.
1. Jedes Ideal 6= OK ist Produkt ein von Primidealen: Durch Induktion über die
Absolutnorm Na.
Sei p, so dass a ⊂ p ⊂ OK , p prim. Dann existiert b ⊂ OK mit a = pb.
Na = Nb · Np, Np > 1 ⇒ Nb < Na
⇒ N greift.
2. Wir zeigen: p | ab ⇒ p | a ∨ p | b. Aus p | ab folgt a · b ⊂ p. Sei a 6⊂ p, b 6⊂ p und
x ∈ a \ p und y ∈ b \ p. Dann ist xy ∈
/ p wegen OK/p integer. Aber xy ∈ ab ⊂ p 3. Sei p1 | a1 · · · an ⇒ p1 | a1 ⇒ a ⊂ p1 , beide maximal somit p1 = a1 . Es folgt
p2 , . . . , pm = q2 . . . qn .
Aus todo: Link: Fakt im Abschnitt 3.5 letzten ⇒ Induktionsvorraussetzung greift.
Beispiel 3.13
(3) = 3OK ist kein Primideal:
√
= {a + b −5 : a, b ∈ F3 }
√
√
√
√
(1 + −5)(2 + −5) = 2 − 5 + 3 −5 = −3 + 3 −5
OK/3OK
⇒
OK/3OK
hat Nullteiler.
Also zerfällt (3) = 3OK nicht trivial in Primideale.
N( (3) ) = 9, also (3) = pq und Np = Nq = 3.
√
Kanonische Basis von p: a + b −5, c
√
b, c > 0, bc = 3, −1 ≤ a ≤ 1, b | a, b | c, bc | N (a + b −5)
65
3 Quadratische Zahlenkörper
a
−1
0
1
b
1
1
1
√
c N (a + b −5) = a2 + 5b2
6
3
3
5
6
3
Es gibt also genau zwei Ideale mit der Absolutnorm 3:
√
p1 = Z(−1 + −5) + Z3
√
√
p01 = Z(1 + −5) + Z3 = Z(−1 − −5) + Z3
Es folgt (3) = 3OK = p1 · p01 . Überdies gilt p1 6= p01 , da verschiedene kanonische Basen.
Beispiel 3.14
√
√
√
√
(7) ist nicht prim: (3 + −5)(4 + −5) = 12 + 7 −5 − 5 = 7(1 + −5)
⇒ (7) = p · q für zwei Primideale mit Absolutnorm 7.
bc = 7, b | c ⇒ b = 1, c = 7, −3 ≤ a ≤ 3
√
a b = 1, c = 7 N (a + b −5) = a2 + 5b2
−3
14∗
−2
9
−1
6
0
5
1
6
2
9
3
14∗
√
p2 = Z(−3 +
√
√ −5) + Z7
p02 = Z(3 + −5) + Z7 = Z(−3 − −5) + Z7.
(7) = 7OK = p2 · p02
p2 6= p02 , da verschiedene kanonische Basen vorliegen. Somit (21) = p1 · p01 · p2 · p02 .
√
Nun zerlegen wir a = (4 + −5). Na = 21. Klar ist a = p1 p2 oder √
p1 p02 oder p01 p2 oder
p01 p02 . Wir schauen in welchen der 4 Ideal p1 , p01 , p2 , p02 die Zahl. 4 + −5 auftritt:
√
4 + −5 = A(−3 + ω) + 7B
= −3A + 7B + Aω
⇒A = 1, 7B − 3 = 4, B = 1
√
⇒4 + −5 ∈ p2
66
3.8 Das Zerlegungsgesetz in quardatischen Zahlenkörpern
√
√
4 + −5 = C(3 + −5) + 7D
√
/ p02
4 = 3C + 7D ⇒ 7D = 1 und C = 1 4 + −5 ∈
√
√
4 + −5 = E(−1 + −5)
√ + 3F
E = 1, 3F = 5 ⇒ 4 + −5 ∈
/ p1
√
√
4 + −5 = G(1 + −5)
√ + 3H 0
G = 1, H = 1 ⇒ 4 + −5 =∈ p1
√
√
Also (4 + −5) = p01 p2 und (4 − −5) = p1 p02 .
3.8 Das Zerlegungsgesetz in quardatischen
Zahlenkörpern
Wie zerfallen√die Primzahlen aus Z in OK ? Wir hatten es schon mit elementaren Methoden
für K = Q( −1) gesehen.
Bemerkung 3.15
Sei K/Q quadratisch, p ∈ P ⊂ Z, N(pOK ) = p2 . Also gibt es nur drei Möglichkeiten:
• pOK = p2 , Np = p,
• pOK ist prim oder
• pOK = p1 p2 , p1 6= p2 .
Da auch p01 das Ideal pOK teil, gilt p01 6= p2 oder p01 = p02 , p02 = p2 .
Aber p1 · p01 = pOK (letzte Vorlesung) ⇒ p01 = p2 .
Definition 3.18
Sei p ∈ P
1. p heißt verzeweigt in K :⇔ pOK = p2
2. p heißt zerlegt in K :⇔ pOK = p · p0 , p 6= p0
3. p heißt träge (engl. inert) in K :⇔ pOK ist Primideal
Bemerkung 3.16
Für 1. gilt Np = p. Für 2. gilt Np = p = Np0 Für NpOK = p2
Beispiel 3.15
In Z[i] ist zwei verzweigt, die p ≡ 1 (mod 4) zerlegt, die p ≡ 3 (mod 4) träge.
Fakt 3.34
√
K = Q( DK ), DK ∈ Z, 6= 0,1 quadratfrei, Sei p > 2 prim.
1. p verzeigt ⇔ p | DK ⇔ ( DpK ) = 0,
67
3 Quadratische Zahlenkörper
2. p zerlegt ⇔ ( DpK ) = 1
3. p träge ⇔ ( DpK ) = −1
Beweis:
1. Sei pOK = p2 also Np = p2 .
p = Z(a + bω) + Zc, bc = p, b | c
⇒ b√
= 1, c = p. Weiter ist p0 = p (p2 = (p0 )2 ⇒ p = p0 ) Für DK ≡ 2,3 (mod 4) ist
ω = DK , also ω 0 = −ω.
p = p0 = Z(a − bω) + Zc = Z(−a + bω) + Zc. Wegen der Eindeutigkeit
der
√
1− DK
0
kannonischen Basis folgt a = 0. Für DK ≡ 1 (mod 4) ist ω =
= 1 − ω.
2
Also ist
p = p0 = Z(a + b(1 − ω)) + Zc
= Z(a + b − bω) + Zc
= Z(−a − b + bω) + Zc
p = Z(a + bω) + Zc
⇒ −a − b ≡ a (mod c) ⇒ 2a ≡ −1 (mod p) ⇒ a =
N (a + bω) ⇒ p | N (a + ω).
p−1
2 .
Wir haben noch bc |
Ist DK ≡ 2,3 (mod 4), so ist a = 0, also N (a + ω) = −DK ⇒ p | DK .
Ist DK ≡ 1 (mod 4), so ist
N(
p−1
p−1
p−1
+ ω) = (
+ ω)(
+ ω0)
2
2
2
p−1 2 p−1
=(
) +
(ω + ω 0 ) + ωω 0
2
2
1 2
(p − 2p + 1 + 2p − 2 + 1 − DK )
4
1
= (p2 − DK )
4
p | 14 (p2 − DK ) ⇒ p | DK .
2. Sei p | DK . Definier p := Zω + Zp für DK ≡ 2,3 (mod 4) und p := Z( p−1
2 + ω) + Zp
für DK ≡ 1 (mod 4).
Dann ist Np = p (= bc für die kannaonischen Basen). Also ist p eine Primideal.
Weiter ist p0 = p: Klar im ersten Fall.
√
p−1
p − 1 1 − DK
p−1
0
+ω =
+
=
+1−ω
2
2
2
2
p−1
p−1
= −(−
+ ω) = −(−p +
+ w)
2
2
68
3.8 Das Zerlegungsgesetz in quardatischen Zahlenkörpern
⇒ p0 = p.
pp0 = pOK ⇒ pOK = p2 .
3. Sei p träge, also pOK = p – Primideal. p hat kanonische Basis: a = 0, b = c = p:
p = Zpω + Zp
Für OK ≡ 2,3 (mod 4) ist ω 2 = DK .
(ein Körper aus p2 Elementen) ist quadratische Erweiterungskörper von
Z/pZ = Fp .
OK/pOK
= Fp · ω + Fp , ω = Bildvonω, d. h. 1 und ω bilden Fp -Basis von OK/pOK .
Demnach ist ω kein Element aus Fp . Also ist DK = ω 2 . ⇒ ( DpK ) = −1. DK ≡ 1
(mod 4) analog.
OK/pOK
4. Sei ( DpK ) = −1 und p := pOK . Jedenfalls ist Np = p2 . Eir zeigen: OK/pOK hat keine
Nullteiler (das impliziert p prim). Sei (r + sω)(t + uω) ∈ pOK , zu zeigen ist, dass
wenigstens ein Faktor auch in pOK liegt.
Indirekt: beide nicht in pOK .
Fall 1: DK ≡ 2,3 (mod 4).
rt + (st + ru)ω + DK su ∈ pOK
⇒ rt + suDK ≡ 0
st + ru ≡ 0
(mod p)
(mod p)
⇒ (r − s DK )u ≡ 0
2
2
|·s
|·r
(mod p)
Sei p | u ⇒ p | st und p | rt. p teilt höchstene eine der Zahlen r und s ⇒
p | t weil p sonst bereits in OK wäre. Mithin p | (r2 − DK s2 ).
Angenommen p | s, dann p | ru und p | rt ⇒ p | r wie eben.
Es folgt nun daraus, dass DK ≡ ( rs )2 (mod p) ⇒ ( DpK ) = 1. , da wir vorrausgesetzt
hatten, dass ? = −1.
5. DK ≡ 1 (mod 4) analog.
Beispiel
√ 3.16
K = Q( −2006), DK = −2006 = −2 · 1003 = −2 · 17 · 59.
Ist p = 23 träge oder reduziert?
Ä −2006 ä
23
=(
2300 − 2006
294
64
−5
−1 5
5
23
3
)=(
) = ( ) = ( ) = ( )( ) = −( ) = −( ) = −( ) = 1
23
23
23
23
23 23
23
5
5
⇒ 23 ist zerlegt.
69
3 Quadratische Zahlenkörper
Fakt 3.35
√
Sei dK die Diskiminante von Q( Dk ).
1. 2 ist verzweigt in K ⇔ 2 | dK
2. 2 ist träge in K ⇔ dK ≡ 5 (mod 8)
3. 2 ist zerlegt in K ⇔ dK ≡ 1 (mod 8)
Beweis:
Sei 2 träge in K, d. h. 2OK ist Primideal. Dann ist dK ungerade wegen (i), also DK ≡ 1
(mod 4), sowie dK = DK .
√
√
DK − 1
1 + DK 2 DK + 1 + 2 DK
2
(3.2)
) =
=
+ω
ω =(
2
4
4
⇒
OK/2OK
ist ein Körper aus 4 Elementen: 0, 1, ω, 1 + ω.
Gleichung 3.2 liefert ω 2 = ( DK4−1 ) + ω.
Angenommen
Somit ist
DK −1
4
DK −1
4
ist gerade, dann folgt ω 2 = ω ⇒ ω(ω − 1) = 0 ungerade ⇒ DK ≡ 5 (mod 8).
Das war nur eine von vier Implikationen. Die anderen drei selber machen!
Fakt 3.36
Sei m ≥ 2 und ϕ : Z → C∗ ∪ {0}, so dass
1. Für alle (a, m) > 1 ist ϕ(a) = 0.
2. Für alle a ∈ Z ist ϕ(a + m) = ϕ(a)
3. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ∀a, b ∈ Z
4. ϕ(1) = 1
Dann induziert ϕ einen Dirichlet-Charakter modulo m. Umgekehrt induziert jeder
Dirichlet-Charakter modulo m via Fortsetzung durch 0 einen solche Funktion auf Z.
Beweis:
χ(a) := ϕ(a) für a ∈ (Z/mZ)∗
Definition 3.19
χK : N∗ → {−1,0,1} sei definiert durch
χK (p) =


( DpK )




+1

−1





0
und dann multiplikativ fortsetzen.
70
p>2
p = 2, dK = DK ≡ 1 (mod 8)
p = 2, dK = DK ≡ 5 (mod 8)
p = 2, 2 | dK
3.8 Das Zerlegungsgesetz in quardatischen Zahlenkörpern
Fakt 3.37
χK ist eine Dirichlet-Charakter modulo |dK |. Er heißt Charakter von K.
Beweis:
DK
dK
−1 2 −2
−4 8 −8
Es gibt genau einen nicht trivialen Dirichlet-Charakter modulo 4
n
1 3
χ(n) 1 −1
p−1
−1
2
für p > 2. χQ(i) und χ stimmen auf den primzahlen
χQ(i) (p) = ( −4
p ) = ( p ) = (−1)
p > 2 überein und sind beide Null auf den geraden natürlichen Zahlen ⇒ sind gleich auf
N∗ .
Setze χQ(i) durch χ auf Z fort unf nenne es χ−4 . Es gibt nicht triviale Charaktere modulo
8.
1 3
5
7
ϕ1 1 −1 1 −1 ← kommt von obigem χ (mod 4)
ϕ2 1 −1 −1 1
ϕ3 1 1 −1 −1
p2 −1
8
2
χQ(√2) (p) = ( ) = ( ) = (−1) 8 = ϕ2 (p) (p > 2)
p
p
p2 −1
p−1
−8
−2
χQ(√−2) (p) = ( ) = ( ) = (−1) 8 + 2 = ϕ3 (p)
p
p
⇒ χ8 = χQ(√2) = ϕ2 auf Z. χ−8 = χQ(√−2) = ϕ3 auf Z.
√
Sei nun K = Q( DK ).
DK = (−1)ε 2η p1 · · · pr
ε, η ∈ {0,1}, pj > 2
Sei weiter p 6= 2, p 6= pj ∀j.
−1 2 p1
pr
DK
) = ( )ε ( )η ( ) · · · ( )
p
p
p
p
p
p−1 P pi −1
p
p
ε
η
·
i
2 (
= χ−4 (p) χ8 (p) (−1) 2
)···( )
p1
pr
P pi −1
p
p
= χ−4 (p)ε+ i 2 χ8 (p)η · ( ) · · · ( )
p1
pr
χK (p) = (
Rechts steht ein Dirichlet-Charakter modulo 8 · p1 · · · pr
71
3 Quadratische Zahlenkörper
Fall 1: DK ≡ 1 (mod 4) ⇒ η = 0, ε +
P pi −1
2 ist gerade. ⇒
χK (p) = (
p
p
)···( )
p1
pr
Charakter modulo |dk |.
Fall 2: DK ≡ 3 (mod 4) ⇒ dK = 4DK , η = 0. Dann ist ε +
χK = χ−4 ( p·1 ) · · · ( p·r ) Charakter modulo 4p1 · · · pr
|
{z
=|dK |
P pi −1
ungerade. ⇒
2
}
Fall 3: DK ≡ 2 (mod 4) analog
Satz 3.4
Sei K quadratischer Zahlenkörper mit Diskiminante dK , χK der zugehörige Charakter.
Dann ist χK Dirichlet-Charakter modulo |dK | und
• p verzeigt ⇔ χK (p) = 0,
• p zerlegt ⇔ χK (p) = 1,
• p träge ⇔ χK (p) = −1.
3.9 Die Idealklassengruppe
Definition 3.20
Zwei Ideale p1 , p2 (6= 0) in OK heißen äquivalent :⇔ ∃α, β ∈ OK \ {0}, (α)p1 = (β)p2
Fakt 3.38
Die Klassen bezüglich dieser Äquivalenzrelation bilden eine abelsche Gruppe.
Beweis:
Sei p die Klasse von p. p1 · p2 := p1 · p2 . Zeigen wir die Korrektheit der Definition:
p1 ∼ p3 , p2 ∼ p4 ⇒ (α)p1 = (α1 )p3 , (β)p2 = (β1 )p4 ⇒ (αβ)p1 p2 = (α1 β1 )p3 p4 .
Die Hauptideale bilden eine Klasse. Dies ist neutrales Element der Multiplikation der
Klassen p · p0 = (m), m = Np (3.5).
Definition 3.21
Diese Gruppe heißt Idealklassengruppe von K. Bezeichnung: ClK .
Beispiel 3.17√
1. K = Q( −1), ClK = 1 (OK ist Hauptidealring)
√
2. K = Q( −5), ClK 6= 1: es gibt auch Nichthauptideale.
Wir zeigen: ClK ist endlich.
72
3.9 Die Idealklassengruppe
Bemerkung 3.17
P
Hat Γ die Basis ω1 , . . . , ωn , so ist F = { αi ωi : 0 ≤ αi < 1} sogenannte Fundamentalbe`
reich für Γ : Rn = γ∈Γ F + γ.
Das Volumen ist definiert als
vol(
Rn
) := vol(F )
γ
\
(1 + ε)Ω = Ω
Lemma 3.3
Ω wie oben
ε>0
Beweis:
Da Ω konvex und zentralsymetrich, Ω ⊂ (1 + ε)Ω. Sei x ∈
/ Ω ⇒ dist(x, Ω) = η > 0. Sei
c = max{|y| : y ∈ Ω}, ε < ηc .
Wäre x ∈ (1+ε)Ω, so wäre x = (1+ε)y, y ∈ Ω also |x−y| = ε|y| ≤ εc < η Widerspruch.
Satz 3.5 (Minkowskis Gitterpunktsatz)
Sei Γ ⊂ Rn Gitter (freie abelsche Gruppe, diskret, vom Rang n). Sei Ω ⊂ Rn kompakt,
konvex und zentralsymetrich (x ∈ Ω ⇒ −x ∈ Ω).
n
Ist dann das Volumen vol(Ω) ≥ 2n vol( Rγ ), so enthält Ω nicht triviale Gitterpunkte.
Beweis:
Sei zuerst vol(Ω) > 2n vol(F )
Rn =
a
F +γ ⇒
γ∈Γ
a 1
1
Ω=
Ω ∩ (F + γ)
2
2
γ∈Γ
1
vol(F ) < 2−n vol(Ω) = vol( Ω)
2
X
1
=
vol( Ω ∩ (F + γ))
2
γ∈Γ
=
1
vol(( Ω − γ) ∩ F )
2
γ∈Γ
X
Es folgt: Die Mengen 12 Ω−γ, γ ∈ F sind nicht alle disjunkt: ∃x1 , x2 ∈ Ω : γ1 , γ2 ∈ Γ : γ1 , γ2
1
1
1
x1 − γ1 = x2 − γ2 ⇒ (x1 − x2 ) ∈ Γ \ {0}
2
2
2
73
3 Quadratische Zahlenkörper
Aus x2 ∈ Ω folgt −x2 Ω. Aus Konvexität folgt 21 (x1 − x2 ) ∈ Ω.
Sei vol(Ω) = 2n vol(F ). In jedem (1 + ε)Ω liegt ein nicht trivialer Gitterpunkt. Wähle
εn ↓ 0, γn Γ \ {0}, die Folge (γn ) beschränkt, enthält konvergente Teilfolge, Γ diskret ⇒
Teilfolge ist konstant. Lemma 3.3 ⇒ liegt in Ω.
Folgerung 3.15
Sei K imaginar quadrat mit Diskriminate dK . Dann existiert in jeder Idealklasse ein
Ideal p mit
Np ≤
2»
|dK |
π
Sei Ωa ⊂ C definiert durch |z| ≤ a, a > 0. vol(Ωa ) = πa2 . Ωa ist kompakt, konvex und
zentralsymetrich. Sei p ⊂ OK Ideal 6= (0). Ist p = Zω1 +Zω2 , so ist F = {α1 ω1 +α2 ω2 : 0 ≤
α1 , α2 < 1} Fundamentalbereich, kanonische Basis von p.
Sei p = Z(a + bω) + Zc, dann ist vol(F ) = c | m(a + bω) = bc | m(ω).
DK ≡ 2,3(4) ⇒ ω =
√
DK , dK = 4DK ⇒ =ω =
Np = bc ⇒ vol(F ) = Np ·
1
2
»
|DK |, =(ω) =
1
2
»
|DK |.
»
|dK |
»
Wir wählen a so, dass vol(Ωa ) = 4vol(F ) ⇔ πa2 = 2Np |dK |, a2 =
existiert x ∈ p, x 6= 0, so dass x ∈ Ωa , also |x2 | ≤ a2 .
2
π
»
|dK |Np. Dann
Es gilt xOK = p1 p2 für ein Ideal b ⊂ OK
N(xOK ) = |N (x)| = |x2 | = Np1 · Np2 ≤
⇒ Np2 ≤
2
π
»
2»
|dK |
π
|dK |. Sei x ∈ ClK , wähle p ∈ x−1 .
Folgerung 3.16
Sei K reellquadratisch, dann existiert in jeder Idealklasse ein Ideal p mit
Np ≤
1»
|dK |
2
Beweis:
K → R2 : x 7→ (x, x0 ) Ωa := {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ a}. Ωa ist todo: Bildchen von Ωa
offensichtlich kompakt, zentralsymetrich und konvex. vol(Ωa ) = 2a2 .
»
OK → Z(1,1) + Z(ω, ω 0 ). Sei p ⊂ OK Ideal, vol(Fp ) = bc|ω 0 − ω| = Np |dK |. Übungsaufgabe.
»
Wähle a, so dass vol(Ωa ) = 4vol(Fp ), 2a2 = 4Np |dK |.
74
3.9 Die Idealklassengruppe
Dann existiert x ∈ p \ (0) mit x ∈ Ωa , also |x| + |x0 | ≤ a.
»
1
1
|xx0 | ≤ (|x| + |x0 |) ≤ a
2
2
1 2
(x) = p1 p2 , N(xOK ) ≤ a
4
1 2 1»
|dK | · Np1
Np1 · Np2 = N(xOK ) ≤ a =
4
2
1»
Np2 ≤
|dK |
2
1
|N (x))| 2 =
Satz 3.6
Die Idealklassengruppe ist endlich. Ihre Ordnung heißt Klassenzahl von K hK
Beweis:
Es gibt nur endlich viele Ideale mit fester Norm. Np = m ∈ N∗ , p = p1 · · · pr , Npi = pi
oder p2i . Npi teilt m. Es gibt höchstens zwei p mit Np = p.
Beispiel 3.18
1. Imagquadratischer Fall
dK
h
−3 −4 −7 −8 −11 −15 −19 −20 −23 −24
1
1
1
1
1
2
1
2
3
2
»
»
»
In jeder Idealklasse liegen Ideale mit Norm N ≤ π2 |dK |. π2 |dK | < 2 ⇔ |dK | ≤ π
⇔ |dK | ≤ π 2 ⇔ dK = −3, −4, −7, −8.
»
√
2
π |dK | < 3 ⇔ |dK | ≤ 22. 2 ist träge in Q( −11): −11 ≡ 4 (mod 8), also kein
Ideal mit N = 2 ⇒ h = 1.
√
Für Q( −15) ist 2 zerlegt: 2OK = p · p0 . Frage: Ist p Hauptideal? Sei p = (a +
bω), Np = 2
√
1 + −15
b
1
) = (a + )2 + 15b2 = 2
N(a + b
2
2
4
⇒ b = 0 ⇒ a2 = 2 . Also ist p kein Hauptideal.
p · p0 = 2OK ⇒ ClK ist zyklisch der Ordnung 2.
√
−Q( −19) ⇒ 2 ist träge ⇒ keine Ideale der Norm 2 ⇒ hK = 1
Bemerkung 3.18
Es gibt nur 9 imaginärquadratische Zahlkörper mit h = 1: dK = −3, −4, −7, −8, −11, −19, −43, −67, −163.
Beispiel √
3.19
K = Q( −2006), dK = −42006, jede Idealklasse enthält Ideale mit Absolutnorm
√
≤ π2 42006 < 58. 2006 = 2 · 17 · 59
75
3 Quadratische Zahlenkörper
1. Schritt Verzweigt sind 2 und 17, ⇒ 2OK = p22 und 17OK = p217 .
2007 − 2006
−2006
)=(
) = 1 ⇒ 3 zerlegt
3
3
...
8
2
−2006
) = ( ) = ( ) = −1 ⇒ 53 träge
(
53
53
53
(
zerlegt sind die Primzahlen: 3, 5, 13, 23, 31 und 43. Restträge ⇒ ClK erzeugt
von p2 , p3 , p5 , p13 , p17 , p23 , p31 , p43
2. Schritt Berechnung einiger Normen.
√
a N (a + −2006) = a2 + 2006 Primzahlzerlegung
3
2015
5 · 13 · 31
8
2070
2 · 32 · 5 · 23
10
2106
2 · 34 · 13
2295
33 · 5 · 17
17
23
2535
2 · 5 · 132
31
2967
13 · 23 · 43
3375
33 · 53
37
Es folgt: p31 , p23 , p13 , p17 , p5 , p43 liegen schon in der von p2 erzeugten Gruppe.
⇒ p2 , p3 erzeugen ClK ⇒ ClK ist zyklisch oder vom T yp(2, n).
Wir untersuchen, welche Potenz von p5 Hauptideal wird.
a2 + 2006 · b2 = 5n
Für n = 1,3 keine Lösungen in Z. Für n = 2,4 nur die trivialen Lösungen ⇒
ensprechen p5 p05 = 5OK und (p5 , p05 )2 = 25OK . a2 + 2006b2 = 55 = 3125 ⇒
b2 = 1 und a2 = 1119 ist keine Quadratzahl. 56 und 57 sind es auch nicht.
√
58 = 3192 + 2006 · 122 = 390 625 ⇒ p85 = (319 + 12 −2006).
1 ⇒ p3 hat auch Ordnung 8 in Cl . ⇒ p hat die Ordnung 8 oder 24.
p33 ∼ p±3
3
K
3
5
p83 ∼ 1 ⇒ a2 + 2006b2 = 38 = 6561 hat keine Lösung in Z. ⇒ p3 hat die
Ordnung 24.
Ist p2 modulo Hauptideal in der von p3 erzeugten Gruppe im ClK ? Dann müßte
12
p2 ∼ p12
3 in ClK sein. ⇒ Es existiert eine ganze Zahl mit Norm 2 · 3 :
a2 + 2006b2 = 2 · 312 = 1 062 882
Hat keine Lösungen in Z.
ClK ∼
= C2 × C24 , C2 = hp2 ihp3 i = C24
1 ±3
p5
76
heißt p35 oder p55 , da wir im Ring 8 sind; 5 = −3
3.9 Die Idealklassengruppe
Aus der Zeile mit der 10 in der obigen Tabelle ⇒ p2 p43 p13 ∼ 1 ⇒ p613 ∼ 1 ⇒
136 = a2 + 2006b2
√
N (1135 + 42 −2006) = 11352 + 2006 · 422 = 136 = 4 826 809
77
4 Die Zetafunktion eines quadratischen
Zahlkörpers
4.1 Die Zetafunktion eines quadratischen
Zahlkörpers
Definition 4.1
Sei K/Q quadratisch, seine Zetafunktion ist definiert als
ζK (s) :=
X
(0)6=p⊂OK
1
,
(Np)s
s∈C
Fakt 4.1
Sei χK der Charakter zu K, dann gilt
ζK (s) = ζ(s)L(s, χK )
Es folgt: ζK (s) kovergiert absolut für Res(s) > 1.
Beweis:
P
Für a > 1 sit ζ(s)L(s, χK ) = ∞
m=1
P an
P
mit
a
=
χ
(d).
n
d|n K
ns
1
ms
χK (n)
n=1 ns
P∞
=
χK (n)
m,n=1 (mn)s
P∞
=
P∞
1
d=1 ds
P
P P
P
P
P
am xm bn xn = m,n am bn xm+n = N ( nm=N am bn )
P am P bn
P
P 1 P
am bn
=
(
a b )]
=
[
m ms
n ns
m,n (mn)s
N Ns
nm=N
m n
Wir stellen fest: an ist multiplikatis: Für ggT(m, n) = 1 ist am,n = am · an
amn =
X
d|mn
χK (d) =
χK (d1 d2 ) =
X
d1 |m,d2 |n
X
d1 |m
χK (d1 ) ·
X
χK (d2 ) = am · an
d2 |n
Andererseits
ζK (s) =
∞
X
bn
n=1
78
ns
, bn = card{p ⊂ OK : Np = n}
r|d χK (r) =
4.1 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
bn ist multiplikativ: Seien ggT(m, n) = 1
n=
Y
pap , a =
Y
pbp =
Y
Na =
Y
bp
p
p träge
p verzeigt
Y
pbp
p träge
p verzeigt
Y
Y
pbp
p zerlegt
bp +b0p
Y
2bp
p
0
pbp p0bp
p
p zerlegt
Also Na = n ⇔ ap = bp p verzweigt, ap = 2bp p träge, ap = bp + b0p p zerlegt.
Somit ist
(
bn =
0
p zerlegt,p|n (ap
ap ungerade für ein träge p.
sonst
+ 1)
Q
Hieraus folgt die Multiplikation sofort.
Wir zeigen apn =bpn ∀p, n ≥ 1
apn =
n
X
χK (pr ) = 1 für p verzweigt
r=0
bpn = 1 für p verzweigt
Sei p träge
apn =
n
X
r=0
χK (p)r =
n
X
(
(−1)r =
r=0
0 n ungerade
bpn = card{p ⊂ OK : Np = pn }
1 n gerade
⇒ p Potenz den Primideal p ⊂ pOK , p = pr OK , Np = p2r
Also
0
1
n gerade
n ungerade
(
bpn =
Sie p zerlegt:
n
X
ap n =
χK (p)r = n + 1
r=0
b 0 b0
bpn = card{p (p ) : b + b0 = n} = n + 1
Folgerung 4.1
Aus dem vorherigen Beweis folgt
ζK (s) =
(1 −
Y
p
1 −1
)
(Np)s
s>1
Das folgt aus der Multiplikativität von bn .
79
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
Folgerung 4.2
lim (s − 1)ζK (s) = L(1, χK )
s→1+0
Beweis:
(s − 1)ζK (s) = (s − 1)ζK (s)
|
{z
s→1+0
−−−−→1
}
L(s, χK )
|
{z
}
L(1,χ) wohldefiniert
Bemerkung 4.1
g, f : (0, ∞) → R f = O(g) :⇔
g(λ)
f (λ)
beschränkt für λ → ∞.
sin(λ) = O(1)
1
sin(λ)
= O( )
λ
λ
1
1
log(n!) = n log n − n + log 2πn + O( )
2
n
1
ζ(s) = 1 + O( s ) s → ∞
2
1
−λ2
e
= O( N ) ∀N
λ
Fakt 4.2 (Aus der Theorie der Gitterpunkte)
Sei Ω ⊂ R2 beschränkt, der Rand ∂Ω = Ω ∩ R2 \ Ω sei stückweise glatte Kurve. Sei
weiter Γ ⊂ R2 Gitter. Sei F Fundamentalbereich für Γ . Dann gilt für die Funktion
N (λ) := card(λΩ ∩ Γ )
die Formel
N (λ) =
vol(Ω) 2
λ + O(λ)
vol(F )
Bemerkung 4.2
Kreisproblem. Ω = {x ∈ R2 : |x| ≥ 1}
2
N (λ) = πλ2 + O(λ 3 )
7
11
N (λ) = πλ2 + O(λ )
um 1910
IWANIEC 1990
Für R1 ist es trivial und für Rn mit n ≥ 3 sind guten Abschätzungen gefunden.
todo: Hier fehlt was
80
4.1 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
p1
Abbildung 4.1: todo: Was ist das und wo kommt das hin?
Folgerung 4.3
Sei Γ ⊂ R2 ein Gitter und Ω wie oben. Dann folgt für NΓ (Ω) = card Γ ∩ Ω:
|NΓ (Ω) −
vol(Ω)
| ≤ c1 l(∂Ω) + c2
vol(Γ )
(c1 , c2 > 0)
Beweis:
Sei L : R2 → R2 linear, mit L(Γ ) = Z2 . Dann ist NΓ (Ω) = NZ2 (L(Ω)), vol(L(Ω)) =
|det L|vol(Ω), vol(Γ ) = |det L|−1 .
⇒ |NΓ (Ω) −
vol(Ω)
vol(Γ ) |
= |NZ2 (L(Ω)) − vol(L(Ω))| ≤ c1 l(L(Ω)) + c2 ≤ c01 l(Ω) + c2
Folgerung 4.4
∃c = c(Γ, Ω) > 0, so dass
|NΓ (λΩ) −
vol(Ω) 2
λ | ≤ cλ
vol(Γ )
λ≥1
Folgerung 4.5
NΓ (λΩ)
vol(Ω)
=
2
λ→∞
λ
vol(Γ )
lim
Bemerkung 4.3 (Kreisproblem)
Ω = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1}, N (λ) − πλ2 = O(λa ). Wir hatten a = 1.
Vermutung: Jedes a + 21 ε ist gut. a =
1
2
stimmt nicht (Hardy 1916)
Einige Abschätzungen: a = 23 von SIERPINSKI 1906, a =
46
MOZZOCHI 1987 und a = 73
HUXLEY 1996
7
11
von IWANIEC und
Folgerung 4.6
L(1, χK ) =
2π
hK
dK < 0
L(1, χK ) = »
hK
|dK |
dK > 0
»
w |dK |
2 log εK
81
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
Beweis:
ζK (s) =
X X
C∈ClK p∈C
|
1
(Np)s
{z
=fC (s)
}
Wähle p̃ ∈ C −1 , dann ist für alle p ∈ C : p · p̃ = (α) ein Hauptideal und Np · Np̃ = |N (α)|
⇒
fC (s) = (Np̃)s
1
|N (α)|s
(α),α∈p̃,α6=0
X
Sei K imaginärquadratisch. (α) = (β) ⇔ α = ζβ. ζ = Einheitswurzel. Also
fC (s) =
X
1
1
(Np̃)s
s
w
|N
(α)|
α∈p̃,α6=0
Wir ordnen die Zahlen α ∈ p̃ \ 0 so an, dass 0 < N (α1 ) ≤ N (α2 ) ≤ · · ·
M (λ) =√card{α ∈ p̃ \ 0 : N (α) ≤ λ} = Goiitterpunkte (λ ≥ 1) in Kreisscheibe vom
Radius λ.
Wir wissen:
M (λ)
π
=
λ→∞
λ
vol(p̃)
lim
vol(p̃) = vol(F undamentalbereichf ürGitterp̃ ⊂ C)
Aus todo: Link: Kap 3 §8: vol(p̃) = Np̃ ·
1
2
»
|dK |.
Setze N (αK ) = λK , dann gilt
M (λK − ε) < k ≤ M (λK )
M (λK − ε) λK − ε
k
M (λK )
<
≤
λK − ε
λK
λK
λK
Für k → ∞ gilt
lim
k→∞
82
k
π
=
λK
vol(p̃)
4.1 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
xy = 1
εK
D
xy = −1
Abbildung 4.2: todo: Was ist das?
also
π
k
π
−ε<
<
+s
k ≥ k0
vol(p̃)
λK
vol(p̃)
ks
π
π
s
)
<
<(
+ ε)s
(
s
−s
vol(p̃)
λK
vol(p̃)
∞
∞
∞
X
X
X
π
1
1
1
π
s
s
⇒(
)
<
s < ( vol(p̃)ε )
s
vol(p̃)−ε k k s
λ
k
K
k
k
0
∞
X
1
k0
λK
=
∞
X
k0
0
0
1
1
=
− endlich viele Terme
N (αK ) α∈p̃,α6=0 N (α)s
X
todo: hfw
Sei nun K reellquadratisch. Geometrische Abbildung K → R2 : α 7→ (α, α0 ).
Wir zeigen nun, dass unter allen zu α ∈ p̃ assoziierten Zahlen β gibt es genau eine, für
welche gilt:
1. β > 0,
0
β
2. ε−2
K <|β|≤1
Die assoziierten zu α sind alle Zahlen der Form β = ±εm
K α, m ∈ Z. β > 0 erreicht man
0
−2m α0
α0
durch ± = sgn α. | ββ | = |ε−2m
|
=
ε
|
|
K
K
α
α
Das Gebiet mit den Eigenschaften (1) und (2) im R2 ist in Abbildung 4.2 dargestellt.
83
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
fC (s) = (Np̃)s
1
α∈p̃,α6=0 |N (α)|s
P
= (Np̃)s
1
α∈p̃⊃0,(α,α0 )∈D |N (α)|s
P
Sei M (λ) := card{α ∈ p̃ \ 0 : (α, α0 ) ∈ D, |N (α)| ≤ λ2 }.
Wir wählen Gitterpunkte in D, geschnitten mit Hyperbelinneren zu xy = λ2
y
Ω = {(x, y) ∈ R2 : ε−2
K ≤ | | ≤ 1, |xy| ≤ 1}
x
Also die Gitterpunkte in λΩ
vol(Ω)
M (Ω)
=
2
λ→∞
λ
vol(p̃)
lim
Z
vol(Ω) = 2
dy dx = 2
=2
(1 − ε
1
dy dx + 2
0 ε−2 x
x,y≥0
xy≤1
y
ε−2 ≤ x
≤1
Z1
Z1 Zx
−2
)x dx + 2
0
Zε
Zε Zx
dy dx
1 ε−2 x
1
− ε−2 x dx
x
1
1
1
1
= 2(1 − ε−2 ) + 2 log ε − 2 + 2 ε−2
2
2
2
Satz 4.1
1. Sei K imaginärquadratisch und w die Anzahl der Einheitswurzeln in K. Dann gilt:
lim (s − 1)ζK (s) =
s→1+0
2πhK
»
w |dk |
K reellquadratisch und εK > 1 Fundamentaleinheit. Dann gilt
lim (s − 1)ζK (s) =
s→1+0
2hK log εK
»
|dK |
Folgerung 4.7
L(1, χD ) =
84


 √2π
hK
w |dK |
2 log ε

 √ K hK
|dK |
dK < 0
dK > 0
4.2 Die Berechnung von L(1, χD )
1
ε
Abbildung 4.3: todo: Was ist das und wo soll das hin?
4.2 Die Berechnung von L(1, χD )
Definition 4.2
Sei m ≥ 1 und χ der Direchlet-Charakter mod∗ m, ζ fixierte primitive n. Einheitswurzel;
z. B.
ζ=e
2πi
m
∈C
Die Gausssche Summe G = G(a, χ) ist definiert durch
G(a, χ) = Ga (χ) =
X
x
χ(x)ζ ax
(mod m)
für a ∈ Z/mZ
Bemerkung 4.4
Die eulersche Gammafunktion
Γ (s) =
Z∞
e−x xs−1 dx
0
=
Z
R∗+
e−x xs
dx
x
ist ein HAAR-Maß, e−x ist ein additiver Charakter auf R und xs ist multiplikativer
Charakter auf R∗ .
dx
x
m = p G(a, χ) =
R
Fp
χ(x)ζ ax dx
sΓ (s) = Γ (s + 1)
Γ (n + 1) = n!, Γ ( 12 ) =
Γ (s)Γ (1 − s) =
√
π
πs
sin πs
85
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
Fakt 4.3
Sei χ + χ0 Direchlet-Charakter modulo∗ m, dann gilt für s > 1:
L(s, χ) =
∞
X
X
ζ −an
1 m−1
G(a, χ)
m a=0
ns
n=1
Beweis:
Da s > 1 im Bereich der absoluten konvergenz, daher können wir fröhlich umordnen.
m−1
X
G(a, χ)ζ
−an
=
a=0
m−1
X
X
a=0 x
=
x
=
(mod m)
X
χ(x)
(mod m)
0
m
(
χ(x)ζ a(x−n)
n 6≡ x
n≡x
m−1
X
ζ a(x−n) =
a=0
X
x
χ(x)
(mod m)
ζ m(x−n) − 1
=
ζ x−n − 1
(mod m)
(mod m)
Also ist das gleich mχ(n).
Bemerkung 4.5
P
Man kann a = 0 weglassen wegen G(0, χ) = x
(mod m) χ(x)
= 0 für χ 6= χ0
Fakt 4.4
Sei 0 < θ < 2π, dann konvergiert
∞ inθ
X
e
n=1
ns
für alle s > 0 und sogar gleichmäßig für s ≥ δ > 0. Insbesonere ist das stetige Funktion
auf (0, ∞).
Beweis:
Abelsche Summation
X
−M
N inθ NX
|ei(N −M +1)θ − 1|
2
inθ =
≤ iθ
e
e
=
iθ
|e − 1|
|e − 1|
n=0
n=M
Weiter wie bei L(s, χ).
Folgerung 4.8
L(1, χ) =
86
∞
X
X
1 m−1
ζ −an
G(a, χ)
m a=1
n
n=1
4.2 Die Berechnung von L(1, χD )
Sprung um 2πi
Abbildung 4.4: Monodromie
Bemerkung 4.6
P1 n
Man hat einen Homomorphismus C : C∗ : z 7→ ez =
n 2 . Sie ist surjektiv, aber nicht
injektiv, und ez = 1 ⇔ z = 2πim mit m ∈ Z. Insbesondere ist e2πi = 1. Also hat jedes
z ∈ C∗ unendlich viel Logarithmen 0 6= z = reiπ mit r = |z| > 0 und 0 ≤ ϕ < 2π.
log z = log|z| + iϕ + 2πim
mit m ∈ Z.
Schlitze C entlang der negativen reellen Achse auf. Betrachte C \ (−∞,0] 3 z = reiϕ , r >
0, −π < ϕ < π. Wir definieren log z = log|z| + iϕ. log C \ (−∞,0]) → C ist stetig und
holomorph (Hauptzweig des Logarithmus)
Monodromie: Abbildung 4.4.
Betrachten f (z) =
zn
n=1 n
P∞
für |z| < 1. f ist stetig (sogar holomorph) und es gilt
− log(1 − z) = f (z)
log ist der Hauptzweig
Beweis:
Jedenfalls gilt ef (z) =
1
1−z ,
denn (wir können ableiten, weil absolutkonvergent)
((1 − z)ef (z) )0 = −ef (z) + (1 − z)f 0 (z)ef (z)
1 f (z)
= −ef (z) + (1 − z)
e
=0
1−z
⇒ (1 − z)ef (z) ist konstant, z = 0 zeigt es.
f (z) ist reell für reelles z, also reelles |z| < 1 durchläuft 1 − z die Kreisscheibe Abbildung 4.5.
Folgerung 4.9
∞ inθ
X
e
n=1
n
= − log(1 − eiθ )
87
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
0
2
1
Abbildung 4.5: Darstellung von f (z)
Beweis:
Satz von Abel.
Einschub:
Lemma 4.1 (Satz von Abel)
P
P
n
Sei ∞
an Rn konvergiere. Dann
n=0 an z eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0.
gilt für x ∈ R
lim
x→R−0
∞
X
an xn =
n=0
∞
X
an Rn
n=0
Beweis:
X
an xn =
X
an R n
Ä x än
R
nehmen Teilreihe raus:
N
X
an Rn
n=M
⇒|
N
X
n=M
an R n
Ä x än
R
Ä x än
R
=
|≤ε
Ä
N
−1
X
n=M
N Ä
X
n=M
sn
ÄÄ x än
R
−
Ä x än+1 ä
R
+ sN
Lemma 4.2
Sei 0 < θ < 2π, dann gilt:
n=1
88
R
Ä x äM
x än Ä x än+1 Ä x äN ä
−
+
=ε
<ε
R
R
R
R
⇒ absolutkonvergent. für 0 ≤ x ≤ R ⇒ Grenze stetig.
∞ inθ
X
e
Ä x äN
θ
π θ
= − log(2 sin ) + i( − )
n
2
2 2
4.2 Die Berechnung von L(1, χD )
Beweis:
iθ
Dabei gilt 0 <
iθ
iθ
1 − eiθ = e 2 (e− 2 ) − e− 2
θ iθ
= −2i sin e 2
2
θ i(− π + θ )
= 2 sin( )e 2 2
2
θ
π
θ
< π, also sin 2 > 0. − 2 < 2 − π2 < π2 .
θ
2
θ π
θ
log(1 − eiθ ) = log(2 sin ) + i( − )
2
2 2
(Hauptzweig)
θ
π θ
− log(1 − eiθ ) = − log(2 sin ) + i( − )
2
2 2
Beispiel 4.1
Für θ = π ergibt sich die harmonische Reihe:
∞
X
(−1)n
n=1
n
= − log 2
Folgerung 4.10
∞
X
ζ −an
n=1
n
= − log(2 sin
πa
1
a
) − πi( − )
m
2 m
= − log(2 sin
πa
π πa
) + i( −
)
m
2
m
für alle 0 < a < m
Beweis:
X ζ an
n
a
ζ a = e2πi m
also θ =
2πa
m .
Dabei ist 0 < a < m zu nehmen!
Komplexe Konjunktion (wenn eine komplexe Funktion konvergiert, dann konvergiert die
konjugiert komplexe Reihe zum konjugiert komplexen Grenzwert) gibt
∞
X
ζ −an
n=1
n
= − log(2 sin
πa
1
a
) − πi( − )
m
2 m
Fakt 4.5
Wir haben einen endlichen Ausdruck für L(1, χ) gefunden:
L(1, χ) =
X
1 m−1
πa
1
a
G(a, χ)(− log(2 sin
) + πi( − ))
m a=1
m
2 m
89
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
4.3 Gausssche Summen
Wir wollen die Zahlen G(a, χ) berechnen und machen es aus nahliegenden Gründen nur
für χ = χK .
Zur Erinnerung: (pj > 2 verschieden)
dK ≡ 1
(mod 4) ⇒ dK = (−1)ε p1 · · · pr
Ä · ä
Ä · ä
···
χK =
p1
pr
dK ≡ 0 (mod 4), dK /4 ≡ 2 (mod 4)
Ä · ä
Ä · ä
χK = ε±8 ·
···
p1
pr
(ε8 für dK /8 ≡ 1 (mod 4), ε−8 für dK /8 ≡ 3 (mod 4))
dK /4 ≡ 0,3 (mod 4)
Ä · ä
Ä · ä
χK = ε−4
···
p1
pr
Bemerkung 4.7
Ist χ1 Charakter modulo m und χ2 ein Charakter modulo n, so ist χ1 χ2 Charakter
modulo m · n.
Fakt 4.6
Sei ggT(m, n) = 1, χ1 Charakter modulo m, χ2 Charakter modulo n und a ∈ Z. Dann
gilt für den Charakter χ1 · χ2 (mod nm)
G(a, χ1 · χ2 ) = χ1 (n)χ2 (m)G(a, χ1 )G(a, χ2 )
Beweis:
∃x, y ∈ Z : mx + ny = 1. Also χ1 (ny) = 1 und χ2 (mx) = 1.
2πi
ζmn = e mn = e
e
2πix
n
e
2πiy
m
2πi(mx+ny)
mn
y
= ζnx ζm
Durchläuft r die Zahlen 0,1, . . . , m − 1 und s die Zahlen 0,1, . . . , n − 1, so durchläuft
rn + sm alle Restklassen modulo m.
G(a, χ1 χ2 ) =
=
=
m−1
X n−1
X
r=0 s=0
m−1
X
X n−1
r=0 s=0
m−1
X n−1
X
r=1 s=1
90
a(rn+sm)
χ1 (rn + sm)χ2 (rn + sm)ζmn
ay(rn+sm)
χ1 (rn)χ2 (sm)ζnax(rn+sm) ζm
ayrn
χ1 (n)χ2 (m)χ1 (r)χ2 (s)ζnaxsm ζm
4.3 Gausssche Summen
Nun gilt ggT(y, m) = ggT(x, n) = 1, also durchläuft mit r auch ynr ein Restklassensystem
modulo m.
Gleiches gilt für xns. r1 = ynr und s1 = xms. Somit
G(a, χ1 χ2 ) =
ar1 as1
χ1 (n)χ1 (y −1 n−1 r1 )χ2 (m)χ2 (x−1 m−1 s1 )ζm
ζn
XX
r1
s1
= χ1 (y −1 )χ2 (x−1 )
X
ar1
χ1 (r1 )ζm
r1
X
χ2 (s1 )ζnas1
s1
= χ1 (n)χ2 (m)G(a, χ1 )G(a, χ2 )
Folgerung 4.11
Q
m = m1 · · · mr , ggT(mi , mj ) = 1 ∀i 6= j. χi (mod mi ), χ = χi . Dann gilt für a ∈ Z:
r
Y
G(a, χ) =
(G(a, χi ) · χi (
i=1
m
))
mi
Beweis:
Induktion über r für dem Indukitionsanfang siehe oben.
Satz 4.2 (nach Gauss)
G(1,
(√
Ä·ä
p
√
i p
)=
p
p≡1
p≡3
(mod 4)
(mod 4)
Beweis:
GG =
p−1
X
(
x,y=1
|G|2 =
p−1
X
(
x,z=1
xy x−y
)ζ
p p
substituiere y = xz
x2 z (1−z)
)ζ
p p
p−1
X
=
z
( )ζpx(1−z)
p
x,z=1
=
X z p−1
X
( )
ζ x(1−z)
z
p
p
x=1
Es gilt:
p−1
X
x=1
p−1
−1
(
ζpax
=
a≡0
a 6≡ 0
(mod p)
(mod p)
91
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
X z
X z
1
|G|2 = ( )(p − 1) +
( )(−1) = p − 1 −
( )=p
p
p
p
z6=1,0
z6=1,0
⇒ |G|2 = p
Andererseits:
G=
=
p−1
X
x
( )ζp−x
p
x=1
p−1
X
(
y=1
(y = −x)
−y y
−1 X y
)ζp = ( ) ( )ζpy
p
p
p
−1
)·G
p
−1
⇒ G2 = ( )p
p
⇒G=(
Also
( √
G=
± p
√
±i p
p ≡ 1 (mod 4)
p ≡ 3 (mod 4)
Nun Schurs Beweis für das Vorzeichen:
M := (ζpxy )0≤x,y≤p−1 ζp = e
Tr M =
p−1
X
ζpx
2πi
p
2
x=0
Durchläuft a die Quadrate in F∗p und b die Nichtquadrate in F∗p , so ist
1+
X
ζpa +
a
X
ζpb = 0
b
Andererseits ist
G=
X
ζpa −
X
a
ζpb = 1 + 2
X
ζpa =
a
b
⇒ Tr M = G.
M 2 hat folgende Einträge
p−1
X
i=0
92
ζpxi ζpiy
=
p−1
X
i=0
ζpi(x+y)
p−1
X
x=0
ζpx
2
4.3 Gausssche Summen
Also
à
p 0 ...
0
..
.
..
.
0 p
M2 =
0
p
í
Seien λ1 , . . . , λp die Eigenwerte von M , dann sind λ21 , . . . , λ2p die Eigenwerte von M 2 .
Das charakteristische Polynom von M 2 ist
à
í
x − p ...
x
det
−p
. .
...
−p
p−1
2
= (x − p)((x + p)(x − p))
Also sind undern den λ2i
√
√
± p, ±i p.
x
. .
...
= (x − p) det
−p
−p
x
= (x − p)
p+1
2
Ö
p−1
2
(x + p)
viele gleich p,
p−1
2
p−1
2
è
x
. Übungsaufgabe.
viele = −p. Die Eigenwerte λi sind
Seien a, b, c, d die Anzahlen der λi gleich
√
Es gilt a + b =
p+1
2
und c + d =
√ √
√
p, − p, i p, −i p
p−1
2
√
G = (a − b + (c − d)i) p
(G =
X
λi )
(Da Tr M auch die Summe der Eigenwerte ist.)
Es folgt
a − b = ±1, c = d
a − b = 0, c − d = ±1für p ≡ 3
(mod 4)
(mod 4)
à
(det M )2 = det
für p ≡ 1
p 0 ...
0 0 ...
..
.
0 p
det M = ±i
0
p
í
= (−1)
p
0
p(p−1)
2
p(p−1)
2
pp
p
p2
93
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
M ist eine Vandermondsche Matrix, also kann man die Determinante auch mit der Formel
det M =
Y
ζpr − ζps
0≤s<r≤p−1
πi
η = e p = ζ2p = cos πp + i sin πp
=
η r+s (η r−s − η s−r )
Y
0≤s<r≤p−1
=
η r+s (2i sin
Y
0≤s<r≤p−1
=
r+s=
X
Y
2i sin
Y
η r+s
0≤s<r≤p−1
0≤s<r≤p−1
p−1
X r−1
X
p−1
X
r+s=
r=1 s=0
0≤s<r≤p−1
(r − s)π
)
p
r2 +
r=1
(r − s)π
p
r(r − 1)
2
31
1 p(p − 1)
=
p(p − 1)(2p − 1) −
26
2
2
Ä p − 1 ä2
≡ 0 (mod 2p)
= 2p
2
Y
⇒
η r+s = 1
0≤s<r≤p−1
det M =
2i sin
Y
0≤s<r≤p−1
=2
p(p−1)
2
i
p(p−1)
2
π(r − s)
p
sin
Y
0≤s<r≤p−1
|
⇒ det M = +i
det M =
Y
p(p−1)
2
{z
>0
π(r − s)
p
}
p
p2
p
λi = (−1)b ic (−i)d p 2
p
= i2b+c−d p 2
p(p − 1)
⇒ 2b + c − d ≡
(mod 4)
2
Sei p ≡ 1 (mod 4) ⇒
a−b≡
p+1
p+1
p−1
− 2b ≡
−p
≡1
2
2
2
(mod 4)
⇒ a − b = +1.
Sei p ≡ 3 (mod 4) ⇒
c−d≡
94
p−1
p−1
p−1 p+1
p(p − 1)
− 2b ≡ −
− 2b ≡ −
−a−b≡−
−
≡ −p ≡ 1
2
2
2
2
2
(mod 4)
4.4 2007 – Interessante Ergebnisse zur Jahreszahl
⇒ c − d = +1.
√
Zurück und einsetzen in die Formel G = (a − b + (c − d)i) p
(√
p
√
i p
G=
Beispiel 4.2
2πi
1. p = 3, ζ3 = e 3 =
p ≡ 1 (mod 4)
√
p 3 (mod 4)
√
−1+i 3
2
Ä·ä
√
0
1
2
= ( )ζ30 + ( )ζ31 + ( )ζ32 = ζ3 − ζ32 = ζ3 − ζ3 = i 3
3
3
3
3
G(1,
2. p = 5
G(1,
Ä·ä
5
Beweis:
G=
= ζ5 − ζ52 − ζ53 + ζ54
XÄ x ä
p
ζpx , ζp = e
2πi
p
4.4 2007 – Interessante Ergebnisse zur
Jahreszahl
todo: hier fehlt der Anfang
√
√
2007 = 9 · 223, 223 ≡ 3 (mod 4), K = Q( −2007) = Q( −223)
√
Ganzheitsbasis: 1, 1+
−223
2
=ω
Ä
b ä2 b2
+
· 223
2
4
= a2 + ab + 56b2
N (a + bω) = a +
Np ≤
2√
π
dk = −223
223 ≤ 20
2 ist zerlegt, dK ≡ 1 (mod 8)
Ä −223 ä
=
Ä −1 ä
= −1
3
3
Ä −223 ä Ä 2 ä
=
= −1
5
5
Ä −223 ä Ä −13 ä Ä 1 ä
=
=
=1
7
7
7
⇒ 3 träge
⇒ 5 träge
⇒ 7zerlegt
95
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
ClK erzeugt von p2 und p7 . Beide keine Hauptideale: α = a+bω, b = 1
a
1
2
3
4
5
6
7
8
N (a + bω) = a2 + ab + 56b2
58 = 2 · 29
62 = 2 · 31
68 = 2 · 2 · 17
76 = 2 · 2 · 19
86 = 2 · 43
98 = 2 · 49
112 = 24 · 7
128 = 27
p2 p27 ∼ 1, p42 p7 ∼ 1 ⇒ p2 erzeugt Clk , p72 ∼ 2 ⇒ ClK zyklisch der Ordnung 7
√
√
L = Q( 2007) = Q( 223), dK = 4 · 223 = 892,
√
1, ω = 223 Ganzheitsbasis
4.4.1 Kettenbruchzerlegung von
√
223
√
223 = 14 + (ω − 14)
ω + 14
ω − 13
1
=
=1+
ω − 14
27
27
27
27(ω + 13)
ω − 13
=
= 13 +
ω − 13
58
2
2
2(ω + 13)
ω − 14
=
=1+
ω − 13
13
27
27(ω + 14)
27
=
= ω + 14 = 28 + (ω − 14)
ω − 14
27
√
223 = [14; 1,13,1,28]
n
0
1
2
3
4
5
an
14
1 13
1 28
pn
1 14 15 209 224
qn
0
1
1 14 15
p2n − 223qn2
−27 2 73
1
√
εK = 224 + 15 223
√
√
ClK : Np ≤ 12 4 · 223 = 223 < 15.
96
4.4 2007 – Interessante Ergebnisse zur Jahreszahl
2 verzweigt:
223
1
)=( )=1
3
3
223
3
(
) = ( ) = −1
5
5
223
13
−1
(
) = ( ) = ( ) = −1
7
7
7
223
3
2
15 11
(
) = ( ) = (−1) ( ) = −( ) = 1
11
11
3
3
223
−37
2
(
)=(
) = ( ) = −1
13
13
3
(
3 zerlegt
5 träge
7 träge
11 zerlegt
13 träge
ClK erzeugt durch p2 , p3 , p11 .
N (a + bω) = a2 − 223b2
a
a2 − 223
15
2
⇒ p2 = (12 + ω) ∼ 1
16
33
⇒ p3 p11 ∼ 1
b=1
14
−27
⇒ p33 ∼ 1
17
66
⇒ p2 · p3 · p11 ∼ 1
13 −54 = −2 · 33
⇒ p33 ∼ 1
ClK erzeugt von p3 , hK = 1,3
Ist p3 ein Hauptideal?
√
p3 = (α), |N α| = 3, α = a + b 223, a, b ∈ Z
a2 − 223b2 = ±3 ⇒= −3
3
3
223
1
a2 − 223b2 = 3 ⇒ (
) = 1, (
) = −(
) = −( ) = −1
223
223
3
3
N (α) = −3 ⇒ N (εm
K α) = −3 Also existieren Lösungen, so auch solche mit 1 < α < εK <
450. αα0 = −3 ⇒ α0 = − α3
√
1 < a + b 223 < 450
1
1
⇒
< <1
450
α
3
3
⇒ −3 < − < −
α
450
√
3
−3 < a − b 223 < −
450
3
⇒ −2 < 2a < 450 −
⇒a>0⇒b>0
450
97
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
Also 0 < b < √450
< 30,2. Also: Man mustere die 30 Zahlen 223b2 − 3 b = 1,2, . . . ,30
223
durch, ob ein Quadrat vorkommt. – Es kommt kein Quadrat vor ⇒ ClK ist zyklisch der
Ordnung 3.
4.4.2 Alle Darstellung von 223 als Summe von vier
Quadraten
.
Die Formel von Jaccobi besagt, dass für ungerades n die Anzahl der Quadrupel
r4 (n) = 8
X
d
d|n
r4 (223) = 8 · 224 = 28 · 7, r4 (223) = card{m ∈ Z4 : kmk2 = 223}
Wir wollen keinen Brute-force-Angriff machen. Ansatz für systematisches Suche:
223 = a2 + b2 + c2 + d2
223 = 7 (mod 8) ⇒ keine Darstellung durch 3
x2 ≡ 0,1,4
(mod 8)
⇒x +y +z ≡7
2
2
2
(mod 8)
Wir nennen eine Lösung (a, b, c, d) generisch :⇔ 0 < a < b < c < d. Sonst ausgeartet.
1. 223 = a2 + b2 + 2c2
2. 223 = a2 + 3b2
Generische Lösung liefert 16 · 24 = 27 · 3 Vektoren:
1. liefert 16 · 12 = 26 · 3 Vektoren
2. liefert 16 · 4 = 26 Vektoren
Mit r bezeichnen wir die Anzahl der generischen Lösungen. Mit s unt t bezeichnen
wir die Anzahl der Lösungen, die nach Typ (1) bzw. (2) (Auszählung oben) ausgeartet
sind.
28 · 7 = 27 · 3r + 26 · 3s + 26 t
28 = 22 · 7 = 6r + 3s + t
98
4.4 2007 – Interessante Ergebnisse zur Jahreszahl
b 223 − 3b2
1
220
2
209
3 196 = 142
4
175
5
148
6
115
7
76
8
31
einzige Lösung t = 1 ⇒ (14,3,3,3).
1 221 = 13 · 17 = 102 + 112 = 52 + 142
2
215 = 5 · 43
3 205 = 5 · 41 = 132 + 62 = 142 + 32
5
173 ≡ 1 (mod 4) ⇒ 132 + 22
7
125 = 53 = 102 + 52 = 112 + 22
9
61 ≡ 1 (mod 4) ⇒ 62 + 52
gefunden 6 Lösungen dieses Typs: (11,10,1,1), (14,5,1,1), (13,6,3,3), (14,3,3,3), (13,5,5,2), (10,7,7,5), (11,7,7,2), (9,9,6,5
28 = 6r + 21 + 1 ⇒ r = 1
Raten: erster Versuch 223 − 142 = 27 lässt sich nicht als Summe von 3 Quadraten
darstellen. Nächster Versuch: 223 − 132 = 54 = 49 + 4 + 1
Also einzige generische Lösung: 223 = 132 + 72 + 22 + 12
4.4.3 Alle Gruppen der Ordnung 2007
abelsche: c3 × c3 × c223 , c1 × c223 .
SYLOW: NP = card P -SYLOW-Gruppen, NP ≡ 1 (mod p), NP | (G : 1)
N3 ≡ 1 (mod 3), N3 | 2007 : 1,3,9,223,3 · 223, 2007
N3 = 1 oder N3 = 223
N223 ≡ 1 (mod 223) ⇒ N223 = 1 ⇒ G223 ist nicht trivial.
G223 und G3 sind „disjunkt“: G223 ∩ G3 = {1}.
⇒ G ist semidirektes Produkt.
G3 operiert dich Konjunktion auf C223 . G3 → Aut(C223 ) = (Z/223Z)∗ ist eine zyklische
Gruppe der Ordnung 222, 222 = 2·3·37. (Aut ist Automorphismus)
99
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
⇒ insgesamt noch zwei Isotypen nicht abelscher Gruppen.
Weiter im eigentlichen Vorlesungsstoff!
Fakt 4.7
G(ε−4 ) = 2i
√
G(ε8 ) = 8
√
G(ε−8 ) = i 8
Beweis:
ε8 1 −1 −1 1
ε−8 1 1 −1 −1
G(ε−4 ) = ε−4 (1)ζ4 + ε−4 (3)ζ43 = i − i3 = 2i
G(ε8 ) = ζ8 − ζ83 − ζ85 + ζ87
√
√
6π
π
3π √
2π
− 2 cos
= 2 cos − 2 cos
= 2+ 2=2 2
= 2 cos
8
8
4
4
√
3π
π
3
5
7
= 2i 2
G(ε−8 ) = ζ8 + ζ8 − ζ8 − ζ8 = 2i sin − 2i sin
4
4
Fakt 4.8
G(a, χK ) = χK (a)G(χK )
Beweis:
G(a, χK ) =
X
x
χK (x)ζpax
mod ∗ |dK |
Mit x durchläuft auch ax die primen Restklassen mod |dK |, falls nur a prime Restklasse
ist. ⇒
G(a, χK ) =
χK (a−1 y)ζpy = χK (a−1 )G(χK )
X
y
mod
∗ |d |
K
χ2K ≡ 1 ⇒ χK (a) = χK (a−1 ).
Übungsuafgabe: Ist (a, dK ) > 1, so ist G(a, χK ) = 0.
Fakt 4.9
(»
G(χK ) =
100
dK > 0
i |dK | dK < 0
|d |
» K
4.5 Die Klassenzahlformeln
Beweis:
Fall 1: dK ≡ 1 (mod 4)
dK = (−1)ε p1 · · · pr
pj > 2 und verschieden.
ε = 0,1, ε ≡ (Anzahl der pi ≡ 3 (mod 4)) (mod 2)
χK =
Ä
·
p1
ä
···
Ä
·
pr
ä
G(χK ) = G(
Ä · ä
Ä · ä
p1
pr
) · · · G(
)·
Y Ä pi ä
i6=j
pj
Sei α = Anzahl der pj ≡ 3 (mod 4)
Ä pi äÄ pj ä
pj
pi
(
=
−1
1
pi ≡ pj ≡ 3
sonst
(mod 4)
α(α−1)
√
2√
G(χK ) = iα p1 · · · pr (−1) 2 = iα p1 · · · pr
Ist dK > 0, so ist ε = 0, also α gerade, α2 + G durch 4, ⇒
G(χK ) =
√
p1 · · · pr =
p
dK
»
Ist dK < 0, so ist ε = 1, α ungerade, α2 ≡ 1 (mod 4) ⇒ G(χK ) = i |dK |
Fall 2: dK ≡ 0 (mod 4) ⇒ so ähnlich.
4.5 Die Klassenzahlformeln
Zur Erinnerung. Satz 10 todo: link finden:
L(1, χK ) =
2π
»
hK
w |dK |
2 log εK
L(1, χK ) = »
hK
|dK |
L(1, χK ) =
dK < 0
dK > 0
X
1 m−1
πa
π πa
G(a, χK )(− log)(2 sin
) − i( −
)
m a=1
m
2
m
101
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
m = |dK | sowie
(»
|d |
» K
G(a, χK ) = χK (a)G(χK ), G(χK ) =
i |dK |
Sei dK > 0
L(1, χK ) =
X
a
1 p
χK (a)(− log 2π
dK
)
dK
dK
(a,d )=1
K
wegen L(1, χK ) ∈ R
⇒
hK = −
Da
P
a χK (a)
1
2 log εK
χK (a)
X
(a,dK )=1
2πa
dK
= 0, kann man die 2 weglassen.
χK (−a) = χK (−1)χK (a), χK (−1) = 1 für K reellquadratisch
log(sin
π(dK − a)
πa
) = log(sin
)
dK
dK
Satz 4.3 (Klassenzahlformel für reellquadratische Zahlkörper)
hK = −
1
log εK
0<a<
πa
dK
χK (a) log sin
X
dK
2
Folgerung 4.12
Für a, b ∈ (0, 21 dK ) mit χK (a) = +1, χK (b) = −1 sei
πb
b sin dK
πa
a sin dK
Q
η=Q
Dann folgt εhKK = η = Einheit im OK , η > 1.
Sei nun dK < 0
√
2π
»
w |dK |
hK =
dK
|dK |
⇒ hK = −
X
a
Äπ
χK (a)
mod |dK |
w
2|dK | a
2
−
χK (a) · a
X
mod |dK |
Sei dK ← 4 ⇒
hK = −
102
1
|dK | a
X
mod |dK |
χK (a) · a
πa ä
|dK |
4.5 Die Klassenzahlformeln
Satz 4.4 (Klassenzahlformel für imaginärquadratische Zahlkörper)
Sei K imaginärquadratisch, dK < −4
hK =
1
2 − χK (2)
χK (a)
X
|d |
0<a< 2K
Beispiel 4.3
Ä ä
Sei dK = −43, dann ist χK = 43· . Da −43 ≡ 5 (mod 8) folgt χK (2) = −1. Also
hK = 13 (R − N ) wobei R die Anzahl der Quadrate in [1,21] und N die Anzahl der
Nichtquadrate in [1,21] ist.
x
1 2
3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
x
( 43
) 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1
damit ergibt sich R = 12 und N = 9 also ist hK =
12−9
3
= 1.
todo: Hier fehlt der Anfang
Sei nun dK gerade. Zuerst zeigen wir χ(a +
m
2)
= −χ(a).
2
m
m
m
m
m
(a + m
2 )(b + 2 ) = ab + (a + b) 2 + 4 , a, b ungerade ⇒ a + b gerade ⇒ (a + 2 )(b + 2 ) ≡ ab
(mod m), man beachte noch, dass dK durch 4 teilbar ist.
m
m
m
⇒ χ(a + m
2 )χ(b + 2 ) = χ(a)χ(b) ⇒ χ(a)χ(a + 2 ) = χ(b)χ(b + 2 ). Das gilt für alle
a, b mod ∗ m, also prim zu m, d. h. χ(a + m
2 ) = cχ(a) mit c = ±1 unabhängig von
a.
Nachgereicht wird: χK nicht periodisch modulo
Also ist c = −1 und χ(a +
hm = −
m
2)
= −χ(a).
X
X
χ(a)a −
0<a< m
2
=−
m
2.
0<a< m
2
χ(a)a +
X
0<a< m
2
X
0<a< m
2
χ(a +
m
m
)(a + )
2
2
χ(a)a +
m X
χ(a)
2 0<a< m
2
1 X
⇒h=
χ(a)
2 0<a< m
2
dK gerade ⇒ χK (2) = 0
Beispiel 4.4
√
D = −23, K = Q( −23), dK = −23, χK (2) = 1, da dK ungerade
hK =
X Äaä
1
2 − χK (2) 0<a<12 23
=1+1+1+1−1+1−1+1+1−1−1=7−4=3
√
Die Klassenzahl von Q( −23) ist 3.
103
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
4.5.1 Nachtrag 1: Gebrochene Ideale
K/Q quardatisch, λ ∈ K ∗ , dann ist (λ) = λOK fast ein Ideal: additive Untergruppe und
Multiplikation aus OK führen nicht aus OK heraus. Außerdem existiert µ ∈ K ∗ , sogar
aus OK ⊃ 0, so dass µ(λ) ⊂ OK .
Definition 4.3
Eine additive Untergruppe p ⊂ K heißt gebrochenes Ideal :⇔
1. p ist OK -Modul: OK · p ⊂ p und
2. ∃µ ∈ K ∗ : µ(p) ⊂ OK
Beispiel 4.5
1. Ideale
2. gebrochene Hauptideale (λ) = λOK , λ ∈ K ∗
3. Ist p ⊂ OK Ideal, so ist λp, p ∈ K ∗ gebrochenes Ideal
4. K ∗ ist kein gebrochenes Ideal
Definition 4.4
a, b gebrochene Ideale
a · b = {a1 b1 + · · · + ar br : ai ∈ a, bi ∈ b}
Bemerkung 4.8
Das ist wieder ein gebrochenes Ideal: λab ⊂ ab für λ ∈ OK ist klar.
αa ⊂ OK und βb ⊂ OK ⇒ αβ(a · b) ⊂ OK
Übungsaufgabe:
1. a(bc) = (ab)c
2. ab = ba
Definition 4.5
Sei a ⊂ OK ein Ideal, dann sei
a−1 := {α ∈ K : αa ⊂ OK }
Fakt 4.10
1. a−1 ist gebrochenes Ideal
2. OK ⊂ a−1 , (a−1 : OK ) todo: hier fehlt was
Beweis:
1. folgt aus (3)
104
4.5 Die Klassenzahlformeln
2. OK ⊂ a−1 ist klar,
1 0
a : OK )
Na
= (a0 : Na · OK )
(a−1 : OK ) = (
= (OK : NaOK )/(OK : a0 )
= (Na)2 /Na = Na
3. Sei α ∈ a−1 ⇒ αa ⊂ OK ⇒ αaa0 ⊂ a0 ⊂ OK .
aa0 = (Na) = NaOK . Somit α · Na ∈ OK , α ∈
Sei α =
4. a · a0 =
1
Na β,
1
Na a
β ∈ a0 ⇒ αa =
· a0 =
1
Na (Na)
1
Na βa,
1 0
Na a
βa ⊂ a0 a = Na · OK ⇒ αa ⊂ OK
= OK
Fakt 4.11
Jedes gebrochene Ideal besitzt eine eindeutige Darstellung als Produkt von ganzahligen
Potenzen von Primidealen. Mit anderen Worten: Die Gruppe der gebrochenen Ideal ist
eine freie abelsche Gruppe über der Menge der Primideale.
Beweis:
Sei a gebrochen, λ ∈ OK , λ 6= 0, so dass λa ⊂ OK ⇒ (λ)a = b ist übliches Ideal. Dann
folgt für c = (λ) · b−1 , dass ac = a · (λ) · b−1 = b · b−1 = OK . Daraus folgt, dass a eine
Inverses besitzt und damit bilden IdK eine abelsche Gruppe.
(λ)a = b wie oben. (λ) und b haben eine Zerlegung in Primideal ⇒ a = (λ)−1 b ebenfalls.
Zeigen wir die Eindeutigkeit:
Y m
Y nj
pi i =
qj , mi , nj ∈ Z
Y
Y −m
Y
−nj
m
a=
⇒
Y
pi i ·
mj >0
qj
nj <0
=
pi
mj <0
i
·
n
qj j
nj >0
⇒ pi = qj , mi = nj .
Fakt 4.12
Der kannonische Homomorphismus K ∗ → IdK : λ 7→ (λ) besitzt als Kern die Einheiten∗ und als Cokern Cl . Mit anderen Worten: Cl = IdK/gebr. HI
gruppe OK
K
K
Beweis:
(λ) = OK ⇒ λ ∈ OK , 1 ∈ OK ⇒ 1 = λµ mit µ ∈ OK ⇒ λ ist Einheit.
Für λ Einheit ist (λ) = OK klar.
Aus (α)a = (β)b folgt a = (β/α)b ⇒ liegen in derselben Klasse in
derselben Klasse in der alten ClK ⇒ in derselben in der neuen
IdK/(HI).
Also a, b in
105
4 Die Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
ClK → IdK/HI durch a 7→ a. Wir zeigen: Das ist ein Isomorphismus.
Sei a ⊂ OK Ideal und a = (λ), λ ∈ K ∗ . Dann ist λ ∈ OK also a = (λ) · OK ⇒ a ∼ OK
ind ClK .
Surjektivität: Für jedes gebrochene Ideal a existiert λ ∈ K ∗ , so dass (λ)a ⊂ OK , also λa
übliches Ideal ist. Das folgt aus der Defeinition von gebrochenen Idealen.
Bemerkung 4.9
Wir hatten ClK so konstruiert: a, b ⊂ OK , a ∼ b := ∃α, β ∈ OK , α 6= 0 6= β, so dass
(α)a = (β)b.
Die Äquivalenzklassen bilden die Gruppe ClK .
106
Index
Absolutnorm, 58
arithmetische Progression, 10
assoziiert, 38
Charakter von K, 71
Dedekind-Ringe, 65
Diskriminante, 41, 52
Euler-Funktion, 14
eulersche Gammafunktion, 85
Fundamentaleinheit, 43
ganz, 40
ganzabgeschlosen, 59
Gausssche Summe, 85
gebrochenes Ideal, 104
Halbsystem, 18
Hauptideal, 57
Hauptidealring, 58
Hauptzweig des Logarithmus, 87
Homomorphismen, 13
Ideal, 57
Idealklassengruppe, 72
integer, 64
kannonische Basis, 60
Klassenzahl, 75
Körper, 13
Periode, 55
periodisch, 55
Polynom, 16
prime Restklasse modulo m, 14
Primideal, 64
Primitivwurzeln modulo p, 17
Primzahl, 8
Primzahlzwilling, 11
quadratfrei, 36
quadratischer Zahlenkörper, 36
Quaternionen, 23
reduziert, 52
reellquadratisch, 36
reinperiodisch, 55
Restklasse modulo m, 13
Restklassenring modulo m, 13
teilerfremd, 12
Topologie, 10
topologischer Raum, 10
träge, 67
verzeweigt, 67
zerlegt, 67
zyklisch, 17
äquivalent, 53, 72
L-Reihe, 30
Legendre-Symbol, 17
Multiplikation von Idealen, 58
Noethersche Ring, 59
Ordnung, 16
107