Mathematik für Informatiker II (Analysis)

Mathematik für Informatiker II (Analysis)
J. Schicho et alias
Id: skriptum.tex,v 1.2 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
1 Symmetrien
1.1 In der Ebene
1.2 Im Raum
1.2.1 Symmetrien 1. Art
1.2.2 Symmetrien 2. Art
1.3 Symmetrien von Graphen
Id: symmetry.tex,v 1.1 2002/04/10 09:18:10 xbx Exp
1
1 Symmetrien
2
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2 Reelle Zahlen
Das Kontinuum, oder der Raum der reellen Zahlen, ist von fundamentaler Bedeutung für
die Analysis. Die Vorstellung, die mit einer reellen Zahl verbunden ist, ist die einer meÿbaren Gröÿe, z. B. die Länge. Eine reelle Zahl kann vorgestellt worden als das Verhältnis
zweier Gröÿen, nämlich der zu messenden Gröÿe und der Maÿeinheit (z.B. Meter).
Zur mathematischen Erfaÿung des Begries der reellen Zahlen ist es notwendig, Axiome anzugeben, die von den reellen Zahlen erfüllt werden. Jede weitere mathematische
Aussage über das Kontinuum von diesen Axiomen herzuleiten.
Axiomensysteme für die reellen Zahlen waren bereits in der Antike bekannt. Die am
schwierigsten zu erfassende Eigenschaft, nämlich die Vollständigkeit des Kontinuums,
wurde im 19. Jahrhundert von Dedekind in bisher nicht dagewesener Klarheit begrien.
2.1 Axiome von
R
In der ersten Gruppe von Axiomen werden die Eigenschaften festgehalten, die zum Rechnen mit reellen Zahlen benötigt werden.
2.1.1 Axiom (Körperaxiome)
a + (b + c) = (a + b) + c,
a + b = b + a,
a + 0 = a,
a + (−a) = 0;
a · (b · c) = (a · b) · c,
a · b = b · a,
a · 1 = a,
a 6= 0 =⇒ a · a−1 = 1;
a · (b + c) = a · b + a · c.
In der zweiten Gruppe von Axiomen werden die Eigenschaften festgehalten, die Vergleiche von reellen Zahlen betreen.
2.1.2 Axiom (Ordnungsaxiome)
a ≤ a,
a ≤ b ∧ b ≤ a =⇒ a = b,
a ≤ b ∧ b ≤ c =⇒ a ≤ c;
a ≤ b ∨ b ≤ a;
a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c,
0 ≤ a ∧ 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ a · b.
2.1.3 Denition
Ein
geordneter Körper ist eine Struktur, in der sowohl die Körper-
axiome als auch die Ordnungsaxiome gelten.
2.1.4 Beispiel
Die Menge
Q
der rationalen Zahlen ist ein geordneter Körper.
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
3
2 Reelle Zahlen
4
2.1.5 Bemerkung
Die Menge
D
der Dezimalzahlen bildet nur einen geordneten Ring:
Es gelten alle Regeln für Addition, Subtraktion, und Multiplikation, aber nicht jedes
0
Element, das von
Die Menge
verschieden ist, hat ein Inverses bezüglich der Multiplikation.
der rationalen Zahlen ist unvollständig: es benden sich zwischen
Q
√
den rationalen Zahlen Löcher, entsprechend den nichtrationalen Zahlen (z.B.
2). Diesen
nichtrationalen Zahlen kann man sich beliebig knapp nähern, sie aber nicht erreichen
ohne den Bereich
Q
zu verlassen. Um solche Löcher aufzunden bzw. mathematisch
dingfest zu machen, wird ein Grenzprozeÿ benötigt. Man kann entweder Cauchy-Folgen
oder Intervallschachtelungen verwenden.
2.1.6 Denition
Sei
(an )n
eine Folge von reellen Zahlen. Dann sagt man, daÿ diese
a ∈ R konvergiert , und schreibt limn→∞ an = a, falls es
|aN +m − a| < , für alle m.
Die Folge heiÿt eine Cauchy-Folge falls es für alle > 0 ein N gibt, sodaÿ
|aN +m − aN +n | < , für alle m und n.
Folge gegen einen
für alle
>0
ein
2.1.7 Beispiel
Grenzwert
N
gibt, sodaÿ
Die ersten Glieder der durch
a0 := 1
und
an+1 :=
an + a2
n
rekursiv de2
nierten Folge sind:
a0 = 1.00000000000000000000 . . .
a1 = 1.50000000000000000000 . . .
a2 = 1.46666666666666666666 . . .
a3 = 1.41421568627450980392 . . .
a4 = 1.41421356237468991062 . . .
a5 = 1.41421356237309504880 . . .
a6 = 1.41421356237309504880 . . .
a7 = 1.41421356237309504880 . . .
...
Oensichtlich ändern sich vom 5-ten Glied an die ersten 20 Stellen hinter dem Komma
nicht mehr. Daher gilt für
alle
= 10−20
und
N =5
die Ungleichung
für
m, n.
Eine ähnliche Beobachtung läÿt sich nicht nur für
für
|aN +m − aN +n | ≤ =
10−50 ,
=
= 10−20
machen, sondern auch
10−100 , überhaupt für jedes noch so kleine positive
.
Die vorliegende
Folge ist daher eine Cauchy-Folge.
Jede konvergente Folge ist automatisch eine Cauchy-Folge. Umgekehrt ist es aber vorstellbar, daÿ der Grenzwert einer Cauchy-Folge fehlt, bzw. sich auÿerhalb der betrachteten Struktur bendet, diese also Löcher hat. Die reellen Zahlen sollten keine Löcher
haber, also vollständig sein.
2.1.8 Axiom (Vollständigkeit) Jede Cauchy-Folge von reellen Zahlen hat einen
Grenzwert in R.
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2.1 Axiome von R
2.1.9 Beispiel
5
Die durch
a0 := 1
und
an+1 :=
an + a2
n
2 √ rekursiv denierte Folge ist eine
2 bendet sich aber auÿerhalb der
Cauchy-Folge von rationalen Zahlen. Der Grenzwert
rationalen Zahlen. Daher ist
2.1.10 Denition
Eine
Q
nicht vollständig.
Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen
In = [an , bn ] = { x | an ≤ x ≤ bn },
sodaÿ gilt
In 6= ∅;
In+1 ⊆ In ;
lim
n→∞
länge(In )
= lim bn − an = 0.
n→∞
2.1.11 Axiom (Intervallschachtelung) Jede Invervallschachtelung hat einen innersten Punkt.
2.1.12 Theorem Das Axiom für Intervallschachtelungen ist eine äquivalente Formulierung des Vollständigkeitsaxioms.
Beweis
Es sind zwei Implikationen zu zeigen: Cauchy-Vollständigkeit (nämlich daÿ je-
de Cauchy-Folge einen Grenzwert hat) impliziert Intervallschachtelungs-Vollständigkeit
(nämlich daÿ jede Intervallschachtelung einen innersten Punkt hat); und umgekehrt,
Intervallschachtelungs-Vollständigkeit impliziert Cauchy-Vollständigkeit.
Die Idee für die erste Implikation ist die folgende. Ausgehend von einer beliebigen Intervallschachtelung
(In )n
konstruieren wir die Folge der Intervall-Mittelpunkte. Wir zeigen,
daÿ diese Folge eine Cauchy-Folge ist. Mit der Annahme der Cauchy-Vollständigkeit können wir sagen, daÿ ein Grenzwert existiert. Wir zeigen daÿ dieser Grenzwert innerster
Punkt von
(In )n
ist. Damit ist die IS-Vollständigkeit gezeigt.
Die Idee für die zweite Implikation ist die folgende. Ausgehend von einer beliebigen
Cauchy-Folge
(an )n
konstruieren wir eine Folge von Intervallen, die die Cauchy-Folge ein-
fangen (d.h. ab einem gewissen Index liegen alle Folgenglieder im Intervall). Wir zeigen,
daÿ diese Folge eine Intervallschachtelung ist. Mit der Annahme der IS-Vollständigkeit
können wir sagen, daÿ ein innerster Punkt existiert. Wir zeigen, daÿ dieser innerste Punkt
Grenzwert von
(an )n
2.1.13 Bemerkung
ist. Damit ist die Cauchy-Vollständigkeit gezeigt.
Typische Beweise in der Mathematik haben kreative Elemente (die
Beweisidee) und technische Elemente. Die technischen Aspekte stellen manchmal groÿe
Hürden für das Verstehen oder Darstellen eines Beweises dar, auch dann wenn die Beweisidee im Grunde klar ist. Sie gehorchen aber einfachen Beweisprinzipien und können
durch Übung wie eine formale Sprache erlernt werden.
Der
sich
obige
sehr
Beweis
gut
als
ist
technisch
Beispiel
für
auÿerordentlich
die
erwähnten
anspruchsvoll.
Beweisprinzipien.
Daher
Eine
eignet
er
detaillier-
te Ausarbeitung des Beweises ist auf der Vorlesungs-Webseite ttp://www.risc.unilinz.ac.at/courses/ss2002/math1/ zu nden.
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2 Reelle Zahlen
6
Das letzte Axiom besagt, daÿ jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen
approximiert werden kann.
2.1.14 Axiom (Archimedes) Für jede reelle Zahl α und jede positive reelle Zahl gibt
es eine rationale -Approximation a, d.h. |a − α| ≤ .
Auch zu diesem Axiom erwähnen wir zwei äquivalente Formulierungen:
2.1.15 Axiom (Archimedes0 ) Für jede reelle Zahl α und jede positive reelle Zahl gibt
es eine Dezimalzahl a mit |a − α| ≤ .
2.1.16 Axiom (Archimedes00 ) Für jede reelle Zahl
mit α ≤ n.
α
gibt es eine natürliche Zahl n
2.2 Approximation mit rationalen Zahlen
Die folgende gute dezimale Approximation
approx(α, n) :=
round(10n · α)
10n
erfüllt
|α − approx(α, n)| ≤
2.2.1 Denition
heiÿt
1
.
2 · 10n
Eine Dezimal-Approximation mit Nenner
korrekte Approximation der Ordnung
10n
und Fehler
≤
1
2·10n
n,
Durch Wahl eines geeigneten Nenners kann man oft wesentlich besser approximieren:
π − 3141593 ≈ 0.35 · 10−6 ,
1000000 π − 355 ≈ 0.27 · 10−6 .
113 Wie gut kann man approximieren?
2.2.2 Satz Zu jeder reellen Zahl α und natürlichen Zahl n gibt es eine rationale Approximation mit Nenner q ≤ n und Fehler ≤ q1n .
Wie kann man eine gute Approximation ezient berechnen?
p−1 := 1; q−1 := 0;
α0 := α; a0 := bα0 c; p0 := a0 ; q0 := 1;
i := 1;
repeat
αi :=
1
αi−1 −ai−1 ;
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2.2 Approximation mit rationalen Zahlen
7
ai := bαi c;
pi := pi−1 ai + pi−2 ;
qi := qi−1 ai + qi−2 ;
i := i + 1;
until Abbruchbedingung
2.2.3 Beispiel
Führt man den Algorithmus mit der Eingabe
α = π = 3.1415926535
durch, ergeben sich in den ersten vier Schritten die folgenden Werte:
i
αi
ai
pi
qi
-1
-
-
1
0
pi /qi
-
0
3.1415926535
3
3
1
3.0000000000
1
7.0625133059
7
22
7
3.1428571428
2
15.9965944066
15
333
106
3.1415094339
3
1.0034172310
1
355
113
3.1415929203
4
292.6345910143
292
103993
33102
3.1415926530
2.2.4 Satz
Beweis
pi qi−1
α − pi < 1 < 1 .
qi qi qi+1
qi2
i ≥ 1 gilt αi ≥ 1, ai ≥ 1, qi > qi−1 , qi > 0. Der Wert des Ausdrucks
− pi−1 qi ändert bei jeder Erhöhung von i um eins sein Vorzeichen, sein Betrag
Für
bleibt aber konstant; denn es gilt
pi+1 qi − pi qi+1 = (pi ai+1 + pi−1 )qi − pi (qi ai+1 + qi−1 ) = −(pi qi−1 − pi−1 qi ).
Für
i=0
ist der Wert gleich
−1,
daher ist der Wert stets gleich
(−1)i+1 .
Daher ändert
der Wert des Ausdrucks
pi pi−1
pi qi−1 − pi−1 qi
(−1)i+1
−
=
=
qi
qi−1
pi q i
pi q i
bei jeder Erhöhung das Vorzeichen, der Betrag wird jedoch bei jedem Schritt kleiner und
konvergiert gegen Null. Es folgt, daÿ die Folge von Intervallen
p2 p 1
p2 p 3
p4 p3
p 0 p1
,
,
,
,
,
,
,
,...
q0 q1
q2 q1
q2 q3
q4 q3
eine Intervallschachtelung ist. Wenn
β
der innerste Punkt ist, dann gilt für alle
i,
daÿ
i
pi+1
pi
zwischen
qi und qi+1 liegt, daher gilt
β − pi ≤ pi − pi+1 = 1 < 1 .
qi
qi
qi+1 qi qi+1
qi2
Wir behaupten, daÿ
jedes
i ≥ 1,
daÿ
α
α=β
gilt, daÿ also
α
der innerste Punkt ist. Dazu zeigen wir für
pi−1
pi
zwischen
qi und qi−1 liegt.
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2 Reelle Zahlen
8
Der Wert des Ausdrucks
pi−1 αi +pi−2
qi−1 αi +qi−2 ändert sich nicht, wenn
i
um eins erhöht wird,
denn es gilt
1
(pi−1 ai + pi−2 ) αi −a
+ pi−1
pi αi+1 + pi−1
pi−1 αi + pi−2
i
=
=
.
1
qi αi+1 + qi−1
qi−1 αi + qi−2
(qi−1 ai + qi−2 ) αi −ai + qi−1
Für
i=0
ist dieser Wert gleich
α,
also ist der für jedes
Allgemein kann gezeigt werden (Übung), daÿ
α
zwischen
pi αi+1
qi αi+1
i
gleich
α.
a+b
a
b
c+d zwischen c und d liegt. Daher liegt
pi−1
pi
qi und qi−1 . Damit ist alles gezeigt.
=
Diese Art der Approximation heiÿt
pi
= ao +
qi
Kettenbruch , weil gilt
1
.
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
..
.
ai−1 +
1
ai
2.3 Darstellung reeller Zahlen im Computer
2.3.1 Variante 1: Unendliche Liste von Dezimalziern
2.3.1 Bemerkung
Unendliche Listen lassen sich mit Hilfe von funktionalen Program-
miersprachen, denieren und manipulieren.
Die elementaren Operationen der funktionalen Programmiersprachen erfüllen die folgenden Gleichungen:
head[n : L] = n, tail[n : L] = L.
Die unten denierte Funktion
from
liefert dann die Liste aller natürlichen Zahlen
≥ n.
Sie ist durch eine unendliche Rekursion deniert.
from n := [n : from(n + 1)]
Selbstverständlich ist es unmöglich, alle Elemente einer unendlich langen Liste anzuzeigen. Daher denieren wir eine Funktion
langen Liste
L
take , welche die ersten n Elemente einer unendlich
extrahiert.
take n L := if n = 0
then
else
[]
[head L : take(n − 1)(tail L)]
Beispiel:
take 3 f rom 4
[4, 5, 6].
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2.3 Darstellung reeller Zahlen im Computer
9
Damit kann man zwar die Dezimalzahlen, auch unendlich lange, im Computer darstellen, es gibt aber ein kleines technisches Problem: Die Arithmetik stürzt manchmal ab.
α := [3 : α], also die Dezimalentwicklung von 13 . Dann ist 3·α nicht berechenbar,
etwa zur Bestimmung von (3 · α) die Kenntnis aller Dezimalen notwendig wäre, was
Sei etwa
weil
aber unendlich viel Zeit benötigt. Man kann versuchen, das Problem zu ignorieren; das
Problem tritt aber doch häuger auf als man meinen könnte, zum Beispiel jedesmal wenn
wir eine Zahl von sich selber abziehen. Oder man kann, wie folgt, eine kleine Modiktion
vornehmen.
2.3.2 Variante 2: Statt der Ziern 0, . . . , 9, verwende −5, . . . , 5
Es gilt dann beispielsweise
0.2222 = 2 · 10−1 + (−2) · 10−2 + 2 · 10−3 + (−2) · 10−4 .
(Das Minuszeichen wird aus Gründen des Schriftbilds über der Zier geschrieben.) Da wir
eine Zier mehr verwenden (nämlich 11 statt 10), kommt es dabei zu Mehrdeutigkeiten,
etwa
0.35 = 0.45
oder
0.444444 . . . = 1.555555 . . .. (Wir hatten
0.999999 . . . = 1.000000 . . . . )
jedoch auch schon bei
Variante 1 Mehrdeutigkeiten, etwa
Dafür sind jetzt alle Grundrechnungsarten eektiv ausführbar.
Addition
Deniere zuerst die Ziernoperationen

falls −5 ≤ a + b ≤ 4,

0
falls a + b ≥ 5,
c1 (a, b) := 1


−1 falls a + b ≤ −6;
s1 (a, b) := a + b − 10 · c1 (a, b),
Sei
α∈R
gegeben durch
a−n . . . a−1 a0 .a1 a2 a3 . . . ,
β∈R
gegeben durch
b−n . . . b−1 b0 .b1 b2 b3 . . . ,
α+β
gegeben durch
c−n−1 c−n . . . c−1 co .c1 c2 c3 . . . ,
ci := s1 s2 (ai , bi ), c2 (ai+1 , bi+1 ) + c1 s2 (ai+1 , bi+1 ), c2 (ai+2 , bi+2 ) .
dann ist
wobei


 0 falls −4 ≤ a + b ≤ 5,
1 falls a + b ≥ 6,
c2 (a, b) :=


−1 falls a + b ≤ −5;
s2 (a, b) := a + b − 10 · c2 (a, b).
Übertrag panzt sich maximal bis zur zweiten Stelle fort.
Subtraktion
Wie in Addition (Multiplikation mit
−1
ist trivial).
Multiplikation, Division
Gehen auch ähnlich, aber komplizierter.
Arithmetik mit unendlichen Listen solcher Ziern stürzt nicht ab!
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2 Reelle Zahlen
10
Was kann man mit solchen Zahlen machen?
Eine reelle Zahl
α
kann genau dann als unendliche Liste wie in Variante 2 dargestellt
werden, wenn es ein Programm gibt, daÿ für jede Eingabe
mation
a
mit Fehler
|α − a| ≤ 1/n
n∈N
eine rationale Approxi-
berechnen kann. In der Tat bestimmen die ersten
−m
Ziern die Zahl bis auf eine Genauigkeit von 0.5555 . . . · 10
m
5
9·10m . Um eine rationale
=
1/n zu bestimmen, reicht es, ein m zu bestim5
1
men sodaÿ
9·10m ≤ n gilt, und die ersten m Ziern auszurechnen. Umgekehrt können aus
1
der Kenntnis von α bis auf eine Genauigkeit von
2·9·10m mindestens m Ziern berechnet
werden, die zu einer unendlichen Darstellung von α gemäÿ Variante 2 vervollständigt
werden können. Dann läÿt sich aber auch ein Programm digit schreiben, daÿ bei Eingabe n die n-te Zier einer solchen Darstellung berechnet. Die Zahl α läÿt sich dann
darstellen durch die unendliche Liste alpha, deniert durch
Approximation mit Fehler kleiner gleich
digits_from(n) = [ digit(n) : digits_from(n+1) ]
alpha = digits_from(0)
Wir nennen eine reelle Zahl
berechenbar , wenn sie eine Darstellung wie oben besitzt,
oder anders ausgedrückt wenn sie bis auf eine beliebige Genauigkeit berechnet werden kann. Die arithmetischen Operationen laÿen sich für Variante 2 implementieren, das
heiÿt die Summe bzw. Dierenz usw. von zwei berechenbaren Zahlen ist wieder berechenbar und läÿt sich durch ein Programm automatisch berechnen. Andererseits kann nicht
automatisch entschieden werden, ob eine berechenbare Zahl gleich Null ist oder nicht:
Dazu müÿten alle Ziern der unendlichen Liste bekannt sein, und ein Programm, das bei
gegebener unendlichen Liste entscheidet, ob alle Elemente gleich Null sind, kann nicht
terminieren.
Die folgende Zusammenstellung gibt eine Übersicht, welche Operationen mit berechenbaren Zahlen automatisch durchgeführt werden können und welche nicht.
ja: Arithmetic:
+, −, ·, /
(falls Nenner
nein: Test auf Null. Die reelle Zahl
müssen
0
6= 0).
0 besitzt zwar eine eindeutige Darstellung, alle Ziern
sein, aber der Vergleich unendlicher Listen terminiert nicht, wenn die
Listen gleich sind.
nein: Test auf Gleichheit zweier Zahlen.
ja: Maximum/Minimum.
max(α, β) und min(α, β) sind berechenbar. Zur Berechnung
max(α, β) bis auf eine Genauigkeit von reicht es, die
auf eine Genauigkeit von zu kennen.
einer Approximation von
Zahlen
α
und
β
bis
Man beachte, daÿ man zwar das Maximum in obigem Sinn berechnet werden kann,
daÿ sich aber im allgemeinen nicht entscheiden läÿt, welche von den beiden Zahlen
nun die gröÿere ist oder ob nicht doch die beiden gleich sind!
ja: Sortieren. Die Sortierung von
(α, β)
ist
(min(α, β), max(α, β)).
Also läÿt sich das
Sortier-Problem auf die Berechnung von Maximum und Minimum zurückführen.
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2.3 Darstellung reeller Zahlen im Computer
11
ja: Konvertierung von Variante 1 nach Variante 2.
nein: Konvertierung von Variante 2 nach Variante 1.
nein: Berechnung einer korrekten Dezimalapproximation der Ordnung
ja: Berechnung einer korrekten Dezimalapproximation der Ordnung
ja:
exp, log
(falls Argument
>0
n
n.
oder
n + 1.
).
ja: Innerster Punkt einer Intervallschachtelung (gegeben als unendliche Liste von Paaren
reeller Zahlen).
Grenzwerte von Cauchy-Folgen laÿen sich im Allgemeinen nicht bestimmen. Solange
nur endlich viele Folgenglieder bekannt sind, läÿt sich nämlich über die Lage des Grenzwerts keine Aussage machen. Daher kann nicht einmal die erste Zier des Grenzwerts
bestimmt werden, bevor nicht unendlich viele Folgenglieder bekannt sind, und das ist nie.
Wenn jedoch ein Cauchy-Modulus für die Folge gegeben ist, das heiÿt eine Funktion
N : R+ → N
mit
|aN ()+m − aN ()+n | ≤ für alle
∈ R+ , m, n ∈ N,
dann läÿt sich der Grenzwert berechnen.
Id: real.tex,v 1.3 2002/04/26 04:35:52 xbx Exp
2 Reelle Zahlen
12
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp
3 Lösen von Gleichungen mittels
Grenzwerten
3.0.2 Beispiel
Wir betrachten die Gleichung
x − cos x = 0.
Um sie zu lösen, brauchen wir nur den Cosinus zu iterieren:
a0
:= 0,
an+1 := cos an .
Wir erhalten dann die Lösung
3.0.3 Satz Wenn die Folge
Grenzwert ein Fixpunkt.
x = 0.73908513321516 . . ..
an+1 := f (an )
konvergiert und f stetig ist, dann ist der
Dieser Satz liefert keine Aussage über die Kovergenzrate (Cauchy-Modulus). Die Konvergenz muÿ vorausgesetzt werden!
3.0.4 Denition
α < 1,
Eine Funktion heiÿt
wenn für alle
x, y
kontrahierend mit Kontraktionszahl
α, 0 <
gilt
|f (x) − f (y)| ≤ α |x − y| .
3.0.5 Theorem (Banach) Es sei f : [a, b] → [a, b] kontrahierend mit Kontraktionszahl α. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt x. Sei (xn )n die Folge mit x0 ∈ [a, b]
beliebig und xn+1 = f (xn ). Dann konvergiert (xn )n gegen x. Die Kontraktionsrate ist
gegeben durch
|xn − x| ≤ αn (b − a).
3.0.6 Bemerkung
Wenn
f
dierenzierbar ist und
|f 0 (x)| ≤ α, dann gilt |f (x) − f (y)| ≤
α |x − y|.
3.0.7 Beispiel
0.85;
Sei
f : [0, 1] → [0, 1], x 7→ cos x.
Dann gilt
|f 0 (x)| = |sin x| ≤ sin(1) ≤
daher konvergiert die obige Folge.
Nachteil der gegebenen Version: nur 1 Variable. Die passende Verallgemeinerung führt
zum Konzept der metrischen Räume.
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp
13
3 Lösen von Gleichungen mittels Grenzwerten
14
3.0.8 Denition
X → R,
Es sei
X
eine Menge. Eine
Metrik auf
X
ist eine Funktion
d: X ×
sodaÿ gilt:
d(x, y) ≥ 0
und
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
d(x, y) = d(y, x);
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
(X, d)
heiÿt dann ein
metrischer Raum .
3.0.9 Beispiel
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
1.
R2
mit
d(x, y) =
2.
R2
mit
d(x, y) = max(|x1 − x2 | , |y1 − y2 |).
3.
R2
mit
d(x, y) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |.
3.0.10 Denition
1. Eine Folge
(xn )n
heiÿt
Cauchy-Folge , wenn es für jedes
>0
ein
N = N ()
ein
N
gibt
mit
d(xN +m , xN +n ) ≤ ,
2. Eine Folge
(xn )n konvergiert
gegen
x,
für alle
n, m ∈ N.
wenn es für jedes
d(xN +m , x) ≤ ,
für alle
>0
gibt mit
n ∈ N.
3.0.11 Satz Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge.
Beweis
(xn )n eine Folge mit limn→∞ xn = x, und mit Kontraktionsrate M : R+ →
N, 7→ M () (d.h. d(xM ()+n , x) ≤ , für alle > 0, n ∈ N. Dann ist N : R+ → N,
7→ N () := M ( 2 ein passender Cauchy-Modulus:
Es sei
d(xN ()+m , xN ()+n ) = d(xM ( 2 )+m , xM ( 2 )+n ) ≤ d(xM ( 2 )+m , x) + d(xM ( 2 )+n x) ≤
3.0.12 Denition
Metrik
Wenn jede Cauchy-Folge konvergiert, dann heiÿt
d vollständig .
3.0.13 Beispiel
1.
R
ist vollständig bezüglich
2.
Q,
3.
[a, b] ⊆ R
d(x, y) = |x − y|.
mit der selben Metrik, ist nicht vollständig.
ist vollständig.
4. Alle Beispiele in 3.0.9 sind vollständig.
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp
X
+ = .
2 2
bezüglich der
15
3.0.14 Denition
Sei
(X, d)
ein metrischer Raum und
geschlossen , wenn für alle konvergenten Folgen
x = limn→∞ xn
in
3.0.15 Beispiel
A
(xn )n ,
A ⊆ X . Dann heiÿt A abxn ∈ A, auch der Grenzwert
liegt.
[a, b] ⊆ R
ist abgeschlossen.
3.0.16 Satz Wenn (X, d) vollständig und A ⊆ X abgeschlossen ist, dann ist auch (A, d)
vollständig.
Frage: Ist der Grenzwert überhaupt eindeutig bestimmt?
3.0.17 Denition
f : X1 → X2
heiÿt
Es seien
(X1 , d1 )
und
(X2 , d2 )
Lipschitz-stetig mit Konstante
metrische Räume. Eine Funktion
K,
wenn für alle
x, y ∈ X1
gilt
d2 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ Kd(x1 , x2 ).
3.0.18 Theorem (Banach'scher Fixpunktsatz) Es sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und f : (X, d) → (X, d) Lipschitz-stetig mit Konstante α < 1. Dann hat
f genau einen Fixpunkt x. Die Folge xn+1 := f (xn ), mit x0 ∈ X beliebig, konvergiert
gegen x und die Konvergenzrate ist gegeben durch
d(x, xn ) ≤
Beweis
αn
d(x0 , x1 ).
1−α
Aus der Voraussetzung erhalten wir mit Induktion
d(xn , xn+1 ) ≤ αn d(x0 , x1 ).
Die Dreiecksungleichung liefert dann, zusammen mit der Formel für die geometrische
Reihe,
d(xn , xn+m ) ≤
αn
d(x0 , x1 ).
1−α
Damit ergibt sich der Cauchy-Modulus
N () := d
(1−α)
log d(x
0 ,x1 )
log α
e.
Ganz allgemein, ist die Cauchy-Modulus auch ein Konvergenzrate.
3.0.19 Anwendung
Groÿe lineare Gleichungssystem lassen sich folgendermaÿen itera-
tiv lösen. Gegeben sei dazu eine
n × n-Matrix A =

tor
b=

b1
 .. . Gesucht ist dann ein Vektor
.
bn
x ∈ Rn ,
a1 1 ... a1 n !
..
..
und ein Spaltenvek.
.
an 1 ... an n
sodaÿ
Ax = b,
linearen Gleichungssystems
a1,1 x1 + · · · + a1 n xn = b1 ,
..........................
an 1 x1 + · · · + an n xn = bn .
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp
d.h. eine Lösung des
3 Lösen von Gleichungen mittels Grenzwerten
16
A nicht-singulär (sodaÿ eine eindeutige Lösung existiert). Nun wählen wir eine
B, sodaÿ die Abbildung R → R,
Dabei sei
Matrix
x 7→ x − B(Ax)
Lipschitz-stetig mit Konstante
B = β · AT ,
mit
β > 0,
α<1
ist. Solche Matrizen
B
sind leicht zu nden (z.B.
aber "`klein genug"'). Wir betrachten dann die Folge
xn+1 = xn + B(b − Axn ).
x0 = b,
Diese konvergiert dann gegen die Lösung, durch Anwendung des Banach'schen Fixpunktsatzes auf
f : Rn → Rn ,
x 7→ x + B(b − Ax).
Bei der Umformulierung eines Problems
f (x) = 0
in ein Fixpunktproblem für eine
kontrahierende Funktion ergeben sich die folgenden Probleme:
•
dies ist nicht immer möglich;
•
zusätzlich soll
α
möglichst klein sein.
3.0.3 Newton-Verfahren
f
Jede Nullstelle einer Funktion
ist Fixpunkt von
g(x) := x + a(x)f (x).
Wir wollen die Funktion
a so wählen, daÿ |g 0 (x)| möglichst klein ist (|g 0 (x)| ist Lipschitz-
Konstante!):
0 g (x) = 1 + a(x)f 0 (x) + a0 (x)f (x) .
Wenn wir jetzt den ersten Teil
=0
setzen, also
a(x) := −
1 + a(x)f 0 (x) = 0,
1
f 0 (x)
,
und somit
0
00
a (x)f (x) = f (x)f (x) .
f 0 (x)2 Daraus ergibt sich das
Newton-Verfahren :
xn+1 = xn −
f (xn )
.
f 0 (xn )
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp
dann ergibt sich
3.1 Stetige Funktionen
17
3.0.20 Satz Wenn f zweimal dierenzierbar ist, f 0 keine Nullstelle hat und
00
f (x)f (x) f 0 (x)2 ≤ α < 1
für alle x gilt, dann konvergiert das Newton-Verfahren gegen die Lösung.
Rn
Das Newton-Verfahren läÿt sich auf
(und sogar unendlich-dimensionale Räume)
verallgemeinern. Dazu braucht man aber höher-dimensionale Ableitungen und lineare
Algebra.
3.1 Stetige Funktionen
Es sei
f: R → R
eine Funktion. Wir wollen für gegebenes
unendliche Dezimalapproximation mit
−5, . . . , 5)
den Wert
x ∈ R (gegeben durch eine
f (x) berechnen. Wie macht
man das?
1. "`f (x) zu berechnen"' ist äquivalent dazu, für gegebenes
nden, das Länge
2. Wir können
3. Wenn
f
x
hat und
f (x)
> 0,
eine Intervall zu
enthält.
beliebig genau approximieren.
K , dann reicht es,
|x − xδ | ≤ K folgt dann
z.B. Lipschitz-stetig wäre, mit Lipschitz-Konstante
x bis auf Genauigkeit δ =
|f (x) − f (xδ )| ≤ .
K zu kennen, denn aus
4. Allgemein: wenn es eine Funktion
R+ → R+ , 7→ δ()
gibt mit
|x − xδ | ≤ δ() =⇒ |f (x) − f (xδ )| ≤ ,
dann reicht es,
3.1.1 Denition
es eine Funktion
x
bis auf Genauigkeit
Eine Funktion heiÿt
7→ δ()
δ()
zu kennen.
gleichmäÿig stetig auf einem Intervall
I,
wenn
gibt, sodaÿ
|x − xδ | ≤ δ() =⇒ |f (x) − f (xδ )| ≤ ,
für alle
> 0, x, y ∈ I gilt.
δ heiÿt dann Stetigkeitsmodul .
Die Funktion
3.1.2 Bemerkung
Wenn
f
in einem Intervall
I,
und er der Stetigkeitsmodul bekannt ist, und wenn wir
beliebig genau berechnen können, dann läÿt sich
x
das
f (x)
f
enthält, gleichmäÿig stetig ist,
für die approximierenden Stellen
berechnen.
Gibt es Funktionen, die stetig, aber nicht Lipschitz-stetig sind?
2
√
f : [0, 1] → R die Wurzelfunktion x 7→ x. Es folgt: f (x) − f (y) = (sqrtx −
sqrty)2 ≤ |sqrtx − sqrty| |sqrtx + sqrty| ≤ |x − y|, also
Sei
|x − y| ≤ 2 =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ .
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp
3 Lösen von Gleichungen mittels Grenzwerten
18
2
ist also Stetigkeitsmodul.
Wäre
f
√
√ K , dann würde x − y ≤ K |x − y| gelten,
1
1 − 0 ≤ K 1 2 − 0, d.h. 4 ≤ 2, Wider2)
Lipschitz-stetig mit Konstante
x := 0, y =
also insbesondere (mit
2K
2K
C · r
heiÿen
4K
spruch!
Funktionen mit Stetigkeitsmodul
Hölder-stetig .
3.1.3 Satz Jede Polynomfunktion ist Hölder-stetig (in Intervallen).
Es gibt auch Funktionen, die gleichmäÿig stetig, aber nicht Hölder-stetig sind, etwa
f (x) = e−1/x
2
.
3.1.4 Denition
Eine Funktion
f
heiÿt
seitigen"' Stetigkeitsmodul gibt, d.h. ein
stetig an der Stelle
δ() > 0,
x,
wenn es einen "`ein-
sodaÿ
|x − y| ≤ δ() =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ,
für alle
>0
und
3.1.5 Denition
y.
Eine Funktion
f
heit
stetig , wenn eine der folgenden äquivalenten
Bedingungen erfüllt ist:
1.
f
ist gleichmäÿig stetig in jedem endlichen Intervall im Denitionsbereich.
2.
f
ist stetig an jeder Stelle.
3. der Graph von
4. Falls
f
läÿt sich zeichnen, "`ohne mit dem Bleistift abzusetzen"'.
limx→∞ xn = x
dann ist auch
limx→∞ f (xn ) = f (x).
Die zweite und vierte Variante sind in oensichtlicher Weise auf beliebige metrische Räume erweiterbar.
Id: x.tex,v 1.1 2002/04/26 04:33:01 xbx Exp