Übungsbla 4 zum Modul G

Dr. M. Ensenbach
Department Mathematik
Universität Siegen
Siegen, den 7. September 2017
Übungsblatt 4 zum Modul G
Vorkurs Mathematik 2017
Aufgabe 1
Welche der folgenden Ausdrücke definieren Abbildungen? Die Menge R+
0 ist dabei definiert als
+
Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen, das heißt, es gilt R0 = {x ∈ R | x ≥ 0} = [0, ∞).
(a) f : R → R, x 7→ x2 ,
2
(b) f : R → R+
0 , x 7→ x ,
(c) f : N → N, x 7→ x2 ,
(d) f : R → R, x 7→ x3 ,
√
(g) f : R → R, x 7→ x,
3
(e) f : R → R+
0 , x 7→ x ,
√
+
(h) f : R+
x,
0 → R0 , x 7→
(f) f : Z → Z, x 7→ x3 ,
√
(i) f : R+
0 → R, x 7→ ± x
Aufgabe 2
Man berechne jeweils die Bildmenge von A unter der Funktion f .
(a) f : R → R, x 7→ x2 und A = [0, 1],
(b) f : R → R, x 7→ x2 und A = (0, 1),
(c) f : R → R, x 7→ x2 und A = [−1, 2],
(d) f : R → R, x 7→ x2 und A = (−1, 2),
(e) f : R → R, x 7→ 2x − x2 und A = [0, 2],
(f) f : R → R, x 7→ 2x − x2 und A = [1, ∞),
(g) f : R \ {0} → R, x 7→
1
x
und A = [1, 2],
(h) f : R \ {0} → R, x 7→
1
x
und A = (0, 1)
Aufgabe 3
Man bestimme jeweils die Wertemenge der Funktion f .
(a) f : R → R, x 7→ x2 + 1,
(b) f : R → R, x 7→ x2 − 6x + 7,
(c) f : [−1, ∞) → R, x 7→ x3 + 1,
(d) f : [−1, ∞) → R, x 7→ x4 + 1,
(e) f : R \ {−2} → R, x 7→
x
,
x+2
(f) f : R \ {1} → R, x 7→
x2
x−1
Aufgabe 4
Sei f : A → B eine Abbildung, und seien W , X ⊆ A. Man zeige die folgenden Aussagen über
Bildmengen.
(a) f (W ∩ X) ⊆ f (W ) ∩ f (X),
(b) f (W ∪ X) = f (W ) ∪ f (X)
Aufgabe 5
Man bestimme jeweils die Urbildmenge f −1 ([0, 1]).
(a) f : R → R, x 7→ 2x − 3,
(b) f : R → R, x 7→ −x + 1,
(c) f : R → R, x 7→ x2 ,
(d) f : R → R, x 7→ x2 + 2x,
(e) f : R \ {1} → R, x 7→
x
,
2x−2
(f) f : [0, ∞) → R, x 7→
x2
x+1
Aufgabe 6
Sei f : A → B eine Abbildung, und seien Y , Z ⊆ B. Man zeige die folgenden Aussagen über
Urbildmengen.
(a) f −1 (Y ∩ Z) = f −1 (Y ) ∩ f −1 (Z),
(b) f −1 (Y ∪ Z) = f −1 (Y ) ∪ f −1 (Z)
Aufgabe 7
Sei f : R → R, x 7→ 2x + 1 und g : R → R, x 7→ (x − 1)2 . Man bestimme explizite Abbildungsvorschriften für g ◦ f sowie f ◦ g, und man gebe die Wertemengen von f und g sowie g ◦ f und f ◦ g
an.