Semestralklausur zur Vorlesung ” Logik“

Name:
Vorname:
Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
Dozentin: Prof. Dr. B. König
Matr.Nr:
WS 2011/12
23. Februar 2012
Klausur
Semestralklausur zur Vorlesung Logik“
”
Hinweise:
• Es gibt 6 (sechs) Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind.
• Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung.
• Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden.
• Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt.
• Schreiben Sie weder in roter noch in grüner Farbe noch mit Bleistift.
Aufgabe 1
Kurze Behauptungen (8 Punkte)
Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Behauptungen zur Aussagen- und Prädikatenlogik.
Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an. Antworten ohne Begründung erhalten keine
Punkte!
(a) Eine Wahrheitstafel mit n atomaren Formeln hat genau n2 verschiedene Zeilen,
d.h. n2 mögliche Belegungen.
(b) Eine aussagenlogische Formel F ist genau dann gültig, wenn 1 → F gültig ist.
(Dabei steht 1 für eine beliebige gültige Formel.)
(c) Sei F eine aussagenlogische Formel in KNF mit n atomaren Formeln. Dann ist die
Anzahl der Resolventen von F durch 4n beschränkt, d.h. es gilt | Res∗ (F )| ≤ 4n .
(d) Mittels der (aussagenlogischen) Resolution kann von einer beliebigen aussagenlogischen Formel in KNF gezeigt werden, ob diese unerfüllbar ist.
(e) Eine Hornformel ist eine Formel in KNF, in der jede Klausel höchstens ein negatives
Literal enthält.
(f) Es gibt keine prädikatenlogische Formel, für die das Herbrand-Universum endlich
viele Elemente enthält.
Aufgabe 2
Logische Äquivalenzen (7 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Formelpaare Fi und Gi (i = 1, 2, 3). Stellen Sie für die
beiden Formeln jeweils Wahrheitstafeln auf und überprüfen Sie, ob die Formeln Fi und
Gi äquivalent sind, d.h. ob Fi ≡ Gi gilt (i = 1, 2, 3). Begründen Sie Ihre Antworten und
nehmen Sie dabei Bezug auf die Wahrheitstafeln.
F1 = (¬A ∧ B) → (A ∨ B),
F2 = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B),
F3 = ¬(A ∧ C),
Aufgabe 3
G1 = ¬A ∨ (A ∧ B) ∨ ¬B
G2 = A ↔ B
G3 = (A ∨ ¬B) ∧ C → (¬A ∧ C)
Normalformen (4 Punkte)
Gegeben sei die folgende Formel
F = (A ∨ ¬B) ∧ C → (¬A ∧ C).
Wandeln Sie mit Hilfe der Gesetze aus der Vorlesung die Formel F in zwei äquivalente
Formeln F 0 und F 00 um, so dass die Formel F 0 in konjunktiver und die Formel F 00 in
disjunktiver Normalform ist. Geben Sie bei der Umwandlung jeweils ausreichend Zwischenschritte und – nach Möglichkeit – das verwendete Äquivalenzgesetz an.
Aufgabe 4
Strukturen (6 Punkte)
Bei den folgenden Formeln Fi (i = 1, 2) handelt es sich um erfüllbare Formeln. Geben
Sie für die Formeln je eine passende Struktur Ai an, so dass Ai ein Modell für die Formel
Fi ist (i = 1, 2). Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) F1 = ∀x∀y (P (x) ∧ P (y)) → P (f (x, y))
(b) F2 = ∀x∃y P (x) ∨ Q(g(x), y)
(Hinweis: Überlegen Sie sich geeignete Universen und Interpretationen für die vorkommenden Prädikat- und Funktionssymbole.)
Aufgabe 5
Unifikation (6 Punkte)
Verwenden Sie den Unifikationsalgorithmus, um von den folgenden Literalmengen zu
entscheiden, ob sie unifizierbar sind oder nicht. Geben Sie ausreichend viele Zwischenschritte des Algorithmus an, so dass Ihr Vorgehen nachvollzogen werden kann. Falls die
Literalmenge unifizierbar ist, so geben Sie außerdem einen allgemeinsten Unifikator an.
(a) L1 = P (x, f (y), b), P (g(a, b), z, z), P (x, z, b)
(b) L2 = Q(f (x), h(y)), Q(z, h(a)), Q(f (x), y)
Bei x, y, z handelt es sich um Variablen und bei a sowie b um Konstantensymbole.
Aufgabe 6
Normalformen und prädikatenlogische Resolution (9 Punkte)
(a) Gegeben sei die folgende Formel
F = ∀x P (x) ∧ ∀y¬Q(y, f (x)) → ∀x∃yR(f (x), y) .
Wandeln Sie die Formel F in eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel F 0 in Klauselform um. Geben Sie dabei außerdem die folgenden Formeln als Zwischenschritte
an:
1) die zu F äquivalente, bereinigte Formel,
2) die zu F äquivalente Formel in Pränexform,
3) die zu F erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe der prädikatenlogischen Resolution, dass die Formel
G = ∀x P (x, f (x)) ∧ ¬P (a, x) ∨ Q(x) ∧ ¬Q(x) ∨ ¬Q(f (x)) ∧ P (x, f (f (x))) .
unerfüllbar ist.