Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05

Prof. S. Krauter
Endliche Geometrie. SS 05.
Blatt03
1. Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der
Einführungsveranstaltung.
2. Die zahlentheoretische Kongruenz ist folgendermaßen definiert:
Sind a und b ganze Zahlen und m eine natürliche Zahl, so gilt a ≡ b mod m genau
dann, wenn m ein Teiler von a – b ist, d. h. m ⎪(a – b).
a) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation in ] ist.
b) Wie viele verschiedene Restklassen gibt es für ein festes m?
Zählen Sie alle Restklassen für den Modul m = 5 auf.
c) Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
ƒ a ≡ b mod m
ƒ Die Zahlen a und b unterscheiden sich um ein Vielfaches von m.
ƒ Die Zahlen a und b lassen bei Division durch m den gleichen Rest 0 ≤ r < m.
ƒ Die Zahl a lässt sich schreiben in der Form a = b + q * m mit ganzzahligem q.
ƒ Die Zahl b lässt sich schreiben in der Form b = a + p * m mit ganzzahligem p.
ƒ Die Zahlen a und b liegen in derselben Restklasse mod m, d.h. a ∈ Rm(b)
bzw. b ∈ Rm(a) bzw. Rm(a) = Rm(b).
d) Zeigen Sie, dass die Kongruenzrelation verträglich ist mit der Addition und
Multiplikation bei ganzen Zahlen:
Wenn a ≡ x und b ≡ y mod m, dann a + b ≡ x + y und a * b ≡ x * y mod m.
e) Beweisen Sie:
ggT(a, b) = 1 ⇔
es gibt ganze Zahlen x und y gibt mit x * a + y * b = 1.
3. Die Menge Rm = {0, 1, 2, 3, …, m – 1} der Restklassen mod m bildet einen Ring mit
0 als Neutralelement der Addition („Ringnull“) und 1 als Neutralelement der
Multiplikation („Ringeins“). Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Ist m keine Primzahl, so gibt es Nullteiler im Restklassenring Rm, d.h. von 0
verschiedene Elemente, deren Produkt 0 ergibt.
b) Besitzt a im Restklassenring mod m ein multiplikativ Inverses, so kann a kein
Nullteiler sein.
c) Ist a ein Nullteiler im Restklassenring mod m, so besitzt a kein multiplikativ
Inverses.
d) Genau dann, wenn ggT(a, m) = 1 ist, besitzt a im Restklassenring mod m ein
multiplikativ Inverses.
e) In einem Restklassenring mit einer Primzahl als Modul sind alle Elemente außer
der 0 multiplikativ invertierbar. Der Ring ist also ein Körper.
4. Beweisen Sie: Lineare Gleichungen der Form a * x + b = 0 haben in Körpern stets
eine eindeutige Lösung (sofern a ≠ 0). Zeigen Sie, dass dies in beliebigen Ringen
nicht so sein muss.
5. Beweisen Sie folgende Eigenschaften für alle a, b in einem Körper (K, +, *):
a) a * 0 = 0 * a = 0
b) a * (– b) = – a * b
c) (– a) * (– b) = a * b.
d) Gilt 1 + 1 + 1 + … + 1 = χ * 1 = 0, so gilt a + a + a + … + a = χ * a = 0 für alle a.
Die natürliche Zahl χ (griechisch; gesprochen: chi) heißt die Charakteristik des
Körpers. Gibt es keine solche natürliche Zahl χ, wie z. B im Körper _, so sagt
man, die Charakteristik sei 0.
e) In jedem Körper gelten die binomischen Formeln.
f) In Körpern der Charakteristik 2 gilt die binomische Formel: (a + b)² = a² + b².
g) Warum kann man in Körpern der Charakteristik 2 keine Vorzeichenfehler
machen?
6. Berechnen Sie in der affinen Koordinatenebene über dem Restklassenkörper mod 3
zu einem selbst gewählten Dreieck die Koordinaten der Seitenmitten, die
Gleichungen der Seitenhalbierenden, die Gleichungen der Höhen, den
Höhenschnittpunkt, die Gleichungen der Mittelsenkrechten und die Koordinaten des
Schnittpunkts der drei Mittelsenkrechten.
Benutzen Sie folgende Senkrechtrelation: Zwei Geraden sind zueinander senkrecht,
wenn das Produkt ihrer Steigungen m1 * m2 = – 1 ist, bzw. falls sie jeweils
achsenparallel sind.
7. In der Koordinatenebene über dem Restklassenkörper mod 5 ist eine
Senkrechtrelation mit der Orthogonalitätskonstante 2 definiert.
Gegeben ist das folgende Dreieck ABC: A(0; 0), B(3; 0), C(4; 2).
a) die Seitenmitten und den Schwerpunkt S,
b) die Höhen und den Höhenschnittpunkt H,
c) die Mittelsenkrechten und deren Schnittpunkt M.
JJJG
JJJG
d) Zeigen Sie, dass S, H und M kollinear liegen und HS = 2 * SM gilt.
e) Zeigen Sie: Die zentrische Streckung aus S mit dem Faktor k = – ½ bildet das
Dreieck ABC ab auf sein Mittendreieck und den Punkt H auf den Punkt M.
8. Konstruieren Sie einen Körper mit den vier Elementen 0, 1, a und b. Stellen Sie die
Verknüpfungstafeln für die Addition und die Multiplikation auf. Untersuchen Sie die
affine Koordinatenebene über diesem Körper: Punkte, Geraden, Anzahlen.
9. Untersuchen Sie die Gültigkeit einfacher geometrischer Sätze in den affinen
Koordinatenebenen über Körpern mit 3 bzw. 5 bzw. 7 Elementen.
10. Zeigen Sie die Gültigkeit des Satzes vom Trapez für je ein selbst gewähltes Beispiel
aus der Koordinatenebene über den Körpern mit 5, 7 bzw. mit 11 Elementen:
Verbindet man den Schnittpunkt der Diagonalen mit dem Schnittpunkt der beiden
nicht parallelen Trapezgegenseiten, so schneidet diese Gerade die parallelen Seiten
in deren Mittelpunkten.
11. Untersuchen Sie die Gültigkeit des Satzes vom Mittenviereck in affinen Ebenen
ungerader Ordnung an Beispielen.