16. Fourierreihen - iks.hs

16. Fourierreihen
Die Fourierreihe (trigonometrische Reihe) einer periodischen Funktion f mit der Periode
2 besitzt die Gestalt:
1
a0 X
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
(*)
2
k=1
Der Grenzwert wird mit Sf (x) bezeichnet.
Folgende Probleme ergeben sich:
a) Wie sind die Koe¤zienten zu berechnen?
b) Unter welchen Bedingungen liegt Konvergenz gegen f vor, d.h. f (x) = Sf (x)?
Formeln für Koe¢ zienten allgemein:
a0 =
bk =
1
1
Z
f (x)dx;
Z
ak =
Z
1
f (x) cos kx dx (k
f (x) sin kx dx (k
1);
1)
Formeln für Koe¢ zienten für gerade Funktionen:
a0 =
2
Z
f (x)dx;
ak =
Z
2
0
bk = 0 (k
f (x) cos kx dx (k
1);
0
1)
Formeln für Koe¢ zienten für ungerade Funktionen:
ak = 0 (k
0);
bk =
2
Z
f (x) sin kx dx (k
1)
0
Dirichlet’sche Bedingungen:
a) f (x) ist stückweise monoton, d.h. das Intervall [ ; ] kann in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden, so dass f (x) auf jedem Teilintervall entweder monoton wachsend
oder monoton fallend ist.
b) f (x) besitzt auf [ ; ] höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen 1. Art, an allen
anderen Stellen ist f (x) stetig.
c) Am linken Intervallrand besitzt f (x) einen rechtsseitigen Grenzwert, am rechten
Intervallrand einen linkssseitigen Grenzwert.
Unstetigkeitsstelle erster Art: limx!x0 +0 f (x) = f (x + 0), limx!x0
existieren.
1
0
f (x) = f (x
0)
Satz: Genügt f (x) den Dirichletschen Bedingungen, dann konvergiert die Fourierreihe
(*) an allen Stetigkeitsstellen x gegen f (x), an allen Unstetigkeitsstellen 1. Art x 2
und gegen 12 f (
0) +
( ; ) gegen 12 f (x 0) + 12 f (x + 0) und an den Stellen
1
f(
+ 0).
2
periodische Funktion f : [0; T ] ! R mit Periode T oder f : [a; a + T ] ! R
Fourierreihe:
1
a0 X
Sf (x) =
+
(ak cos(k!x) + bk sin(k!x))
2
k=1
mit ! =
2
T
ak
bk
Z
2 T
=
cos(k!x) f (x)dx (k
T 0
Z
2 T
sin(k!x) f (x)dx (k
=
T 0
0)
1):
17. Gewöhnliche Di¤erentialgleichungen
. explizite Form einer Dgl. 1. Ordnung:
y 0 = f (x; y) (x; y) 2 D
R2
Methode der Trennung der Variablen:
1) y und y 0 auf die linke Seite, Funktion von x auf die rechte Seite
2) Integrieren unter Berücksichtigung von
y 0 dx = dy
Lineare Di¤erentialgleichungen 1. Ordnung
y 0 + p0 (x) y = q(x)
Satz: Die homogene lineare Di¤erentialgleichung 1. Ordnung besitzt die allgemeine
Lösung
Z x
y(x) = C exp
p0 (x) dx
x0
mit der beliebigen Konstanten C. Dabei ist y(x0 ) = C.
Die inhomogene Di¤erentialgleichung besitzt die allgemeine Lösung:
y(x) = C exp
Z
x
p0 (x) dx + yp (x)
x0
2
mit der beliebigen Konstanten C. yp ist irgendeine konkrete Lösung der inhomogenen
Di¤erentialgleichung (partikuläre Lösung).
Lineare Di¤erentialgleichungen mit konstanten Koe¢ zienten
y (n) + an 1 y (n
1)
+ : : : + a1 y 0 + a0 y = q(x)
zugehörige homogene Di¤erentialgleichung:
y (n) + an 1 y (n
1)
+ : : : + a1 y 0 + a0 y = 0
Ansatz: y(x) = e x
charakteristische Gleichung der homogenen Di¤erentialgleichung:
n
+ an 1 n 1 + : : : + a1 + a0 = 0
Satz: Besitzt die charakteristische Gleichung verschiedene reelle Lösungen
dann besitzt die homogene Di¤erentialgleichung die Lösung
yh (x) = C1 e
1x
+ C2 e
2x
+ : : : + Cn e
1; : : : ;
nx
n,
(L)
C1 ; : : : ; Cn sind frei wählbare Konstanten, fe 1 x ; e 2 x ; : : : ; e n x g ist das Fundamentalsystem . Ist eine k fache Nullstelle, dann werden die entsprechenden Summanden in (L)
durch
Cl e x + Cl+1 xe x + : : : + Cl+k 1 xk 1 e x , d.h.
im Fundamentalsystem die entsprechenden Funktionen durch fe x ; xe x ; : : : ; xk 1 e x g
ersetzt. Bilden = a + bj und = a bj ein Paar komplexer Nullstellen der charakteristischen Gleichung, dann werden die beiden entsprechenden Summanden durch
Cl eax sin bx + Cl+1 eax cos bx ersetzt,
im Fundamentalsystem treten an der entsprechenden Stelle die Funktionen eax sin bx,
eax cos bx auf.
1. Fall:
Störgliedansätze
2 R bzw. a + bj keine Nullstelle von
Störfunktion
e
Ansatzfunktion
x
Pm (x)e
Ae
x
x
(A0 + A1 x + : : : + Am xm ) e
x
eax sin bx oder eax cos bx
eax (B1 sin bx + B2 cos bx)
Pm (x) eax sin bx
oder Pm (x) eax cos bx
(A0 + A1 x + : : : + Am xm ) eax (B1 sin bx + B2 cos bx)
2.Fall:
2 R bzw. a + bj ist k-fache Nullstelle von
3
- Resonanzfall
Störfunktion
e
Ansatzfunktion
x
Pm (x)e
Axk e
x
x
xk (A0 + A1 x + : : : + Am xm ) e
x
eax sin bx oder eax cos bx
xk eax (B1 sin bx + B2 cos bx)
Pm (x) eax sin bx
oder Pm (x) eax cos bx
xk (A0 + A1 x + : : : + Am xm ) eax (B1 sin bx + B2 cos bx)
charakteristisches Polynom, Pm Polynom vom Grad m, zu bestimmende Koe¢ zienten:
A1 ; A2 : : : Am ; B1 ; B2
Spezielle Methoden für Di¤erentialgleichungen zweiter Ordnung
y 00 = f (x; y; y 0 )
Spezialfall 1: y taucht in der Dgl. nicht auf,
y 00 = g(x; y 0 )
(1) In Dgl. y 0 durch p(x) ersetzen, Dgl. für p lösen
R
(2) Integration y(x) = p(x) dx
Spezialfall 2: x taucht in der Dgl. nicht auf,
y 00 = h(y; y 0 )
(1) y wird als unabhängige Variable betrachtet,
y 0 = p(y); y 00 = p0 (y)p(y)
Einsetzen in Dgl. ergibt eine Dgl. erster Ordnung für p(y), die zu lösen ist.
(2) Dgl. y 0 = p(y) lösen.
18. Systeme linearer Di¤erentialgleichungen mit konstanten Koe¢ zienten
x_ 1 (t) = a11 x1 (t) + : : : + a1n xn (t) + b1 (t)
x_ 2 (t) = a21 x1 (t) + : : : + a2n xn (t) + b2 (t)
:::
x_ n (t) = an1 x1 (t) + : : : + ann xn (t) + bn (t)
4
(1)
:
in vektorieller Form:
~x = A~x + ~b(t)
Gesucht ist ~x = (x1 (t); : : : ; xn (t))> , jetzt t die neue unabhängige Variable statt x. Ist
~b(t) = ~o, dann ist das System homogen.
Homogene Systeme
~b(t) = ~o. Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass die Matrix A genau n unabhängige
Eigenvektoren ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn besitzt (z.B. erfüllt, wenn A symmetrisch oder wenn alle
Eigenwerte verschieden sind). Bei allen Eigenwerten ist die geometrische Vielfachheit
gleich der arithmetischen. Eigenwerte 1 : : : n , bei Vielfachheit > 1 entsprechend der
Vielfachheit mehrfach notiert.
Satz: Das System (1) mit ~b(t) = ~o besitzt die allgemeine Lösung
~x(t) = C1 e
1t
~v1 + C2 e
2t
~v2 + : : : + Cn e
nt
~vn (Konstanten),
falls alle Eigenwerte 1 : : : n von A reell sind. Sind i ; i+1 zwei konjugiert komplexe Eigenwerte, dann tritt an entsprechender Stelle in der Lösung Ci Re e i t~vi +
Ci+1 Im e i t~vi auf, wobei ~vi Eigenvektor von i .
Bei zwei konjugiert komplexen Eigenwerten genügt die Betrachtung eines Eigenwertes.
Real- und Imaginärteil ergeben zwei Fundamentallösungen, = a + bj :
Re e t~v
= eat (cos bt Re ~v
Im e t~v
= eat (sin bt Re ~v + cos bt Im ~v )
sin bt Im ~v )
Inhomogene Systeme
~b(t) 6= ~o.
Satz: Die Lösung eines inhomogenen Systems linearer Dgl. (mit konstanten Koe¢ zienten) besitzt die Gestalt:
~x(t) = ~xh (t) + ~xp (t)
wobei ~xh (t) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und ~xp (t) irgendeine konkrete
(partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung ist.
B Bestimmung einer partikulären Lösung ~xp (t) von (1):
5
a) Eliminationsverfahren: System (1) wird in Dgl. n-ter Ordnung umgeformt und
dann Lösung bestimmt.
b) Ansatzmethode: ~b(t) = e t (~u0 + ~u1 t + : : : + ~um tm ) ;
ist k-fache Nullstelle des
charakteristischen Polynoms, k = 0 falls keine Nullstelle.
~0 + A
~ 1t + : : : + A
~ m+k tm+k , gesucht sind die Vektoren A
~0 +
Ansatz: ~xp (t) = e t A
~ 1t + : : : + A
~ m+k
A
19. Wahrscheinlichkeitsrechnung
Raum der Ereignisse. Die einelementigen Teilmengen f!g heiß
en auch Elementarereignisse.
Das Ereignis A tritt ein, wenn ein ! 2 A eintritt.
A ist ein geeignetes System von Teilmengen A von .
B Operationen mit Ereignissen A; B; A1 ; A2 ; : : : 2 A
A [ B Ereignis A oder B tritt ein
A \ B Ereignisse A und B treten ein
AnB Ereignis A tritt ein, nicht aber B
A B Ereignis B schließ
t A ein
Sn
Ai mindestens eines der Ereignisse Ai tritt ein
Tni=1
i=1 Ai alle Ai treten ein
nA = A das zu A komplementäre Ereignis, tritt ein, wenn A nicht eintritt.
A \ B = ; bedeutet, dass Ereignisse A und B unvereinbar sind.
Axiome: P (A) heiß
t Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses, falls
(1) Für alle A 2 A gilt: 0 P (A) 1.
Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.
(2) P ( ) = 1:
(3) Für unvereinbare Ereignisse A1 ; : : : ; An 2 A (Ai \ Aj = ; für i 6= j) gilt:
P
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
P (Ai ).
i=1
allgemeiner: für alle unvereinbaren Ereignisse A1 ; : : : ; An ; : : : 2 A gilt:
!
1
1
[
X
P
Ai =
P (Ai ).
i=1
i=1
6
B Daraus lassen sich weitere Formeln ableiten:
(4) P (;) = 0
(5) Falls A \ B = ; erfüllt ist =) P (A [ B) = P (A) + P (B)
(6) P (A) = 1 P (A)
(7)
P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B)
(8) P (A) = P (A \ B) + P (A \ B)
Definition: Es seien A; B 2 A mit P (B) > 0. Dann heiß
t
P (A j B) =
P (A \ B)
P (B)
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Formeln:
P (A j C) = 1
P (A j C);
P (A j C) = P (A \ B j C) + P (A \ B j C)
Definition: Die Ereignisse A und B 2 A heiß
en unabhängig, wenn
P (A \ B) = P (A)P (B):
B A und B sind genau dann unabhängig, wenn P (A j B) = P (A):
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit - Bayessche Formel
B Gegeben seien Ereignisse A; B 2 A.
P (A) = P (A j B) P (B) + P (A j B) P (B)
P (A j B)P (B)
P (B j A) =
P (A)
B Gegeben seien Ereignisse A; B1 ; : : : ; Bn 2 A, P (Bi ) > 0.
S
Die Bi bilden ein vollständiges System von Ereignissen:
= ni=1 Bi , Bi \ Bj = ; für
i 6= j, d.h. die Bi sind unvereinbar und schöpfen alle Möglichkeiten in
aus. Das
bedeutet, dass genau ein Bi immer eintritt.
7
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P (A) =
n
X
i=1
P (A j Bi )P (Bi )
Bayessche Formel
P (Bi j A) =
P (A j Bi )P (Bi )
P (A j Bi )P (Bi )
= n
X
P (A)
P (A j Bj )P (Bj )
j=1
Diskrete Zufallsgröß
en
Verteilungstabelle:
Wert
x1
x2
Wahrscheinlichkeit p1
p2
:::
xr
evtl. unendlich viele Werte
pr
pi = P (X = xi )
Bedingungen:
r
X
0 < pi < 1;
pi = 1
i=1
Diskrete Verteilungen
Verteilung
Parameter
Einzelwahrscheinlichkeiten
pi
Gleichverteilung
n2N
Binomialverteilung n 2 N; p 2 (0; 1)
1
n
n
i
(i = 1 : : : n)
pi (1
p)n
i
(i = 0; : : : ; n)
Kenngröß
en diskreter Verteilungen
Erwartungswert:
E (X) =
r
X
xi pi
i=1
Varianz (Streuung):
Var (X) =
r
X
(xi
2
E (X)) pi =
i=1
Standardabweichung:
(X) =
p
Var (X)
r
X
i=1
8
x2i pi
(E (X))2
Verteilung
Erwartungs- Varianz
wert E(X)
Var(X)
Gleichverteilung
n+1
2
Binomialverteilung np
1 2
n
12
1
12
np(1
p)
Stetige Zufallsgröß
en
B Verteilungsfunktion:
F (x) = P (X
x)
B Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) der Zufallsgröß
e:
f (x) = F 0 (x)
=)
P (a
X
P (X
a) =
P (X
b) =
b) =
Z a
Z
1
1
Z
b
f (x) dx = F (b)
F (a)
a
f (x) dx = F (a)
f (x) dx = 1
F (b)
b
Das Argument x, für das f (x) maximal wird, heiß
t Modalwert.
B Eine Funktion f ist Dichte einer Zufallsgröß
e, falls
Z 1
f (x) dx = 1
1) f (x) 0, 2)
1
Stetige Verteilungen
Verteilung
Parameter
Gleichverteilung auf [a,b]
a; b 2 R; a < b
Normalverteilung N ( ;
2
)
2 R;
2
>0
Dichtefunktion f (x)
1
(x 2 [a; b])
b a
1
(x
)2
p
exp
2 2
2
e x (x > 0)
(x 2 R)
Exponentialverteil. Exp( )
>0
x
exp(x) bedeutet e ;
Chiquadratverteilung 2n entspricht Gammaverteilung mit = 12 ; p = n2
Normalverteilung N (0; 1) ist die standardisierte Normalverteilung
ist Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung !Tabelle
9
Verteilung
VerteilungsErwartungswert Varianz
funktion F (x) E(X)
Var(X)
x
b
Gleichverteilung [a,b]
a
a
x
Normalverteilung
Exponentialverteilung 1
e
a+b
2
(b
2
1
x
a) =
P (a
Beachte:
X
2
a
;
2
N( ;
P (X
)
b
b) = 1
b
b) =
a
(x) für alle x,
( x) = 1
>0
1
B Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung: X
P (X
a)2
12
;
;
(0) = 0:5
Kenngröß
en stetiger Verteilungen
Erwartungswert:
Z
E(X) =
Varianz :
Var(X) =
Z
1
(x
xf (x) dx
1
2
E(X)) f (x) dx =
1
Standardabweichung:
(X) =
Schiefe:
1
sZ
1
Z
1
x2 f (x) dx
(E(X))2
1
E(X))2 f (x) dx
(x
1
(X) =
R1
1
(x E(X))3 f (x) dx
p
(Var (X))3
(X) > 0 bedeutet rechtsschiefe Verteilung, Modalwert liegt i.A. links neben E(X)
(X) < 0 bedeutet linksschiefe Verteilung, Modalwert liegt i.A. rechts neben E(X)
(X) = 0 symmetrische Verteilung
Normalverteilung N ( ; 2 )
E(X) = ;
Var(X) =
2
;
(X) = ;
(X) = 0
Exponentialverteilung Exp( )
E(X) =
1
;
Var (X) =
1
2;
10
(X) =
1
;
(X) = 2
Definition: Eine Zahl q heiß
t Quantil der Ordnung
mit der Verteilungsfunktion F , falls
der stetigen Zufallsgröß
eX
F (q ) =
Dies bedeutet:
P (X
q )=
Z
q
f (x) dx =
1
Median: m = q0:5
P (X
m) = P (X > m) = 0:5
20. Statistik
Vorgegeben Daten X1 ; : : : ; Xn
Variationsreihe (Ordnungsstatistik) X(1) ; X(2) ; : : : ; X(n) mit
X(1)
X(2)
:::
X(n) :
Definition: Die relative Häu…gkeit des Ereignisses Xi
Verteilungsfunktion an der Stelle x:
Fn (x) =
1
Anzahl der Xi mit Xi
n
x ergibt die empirische
x
monoton wachsende Treppenfunktion mit Sprüngen in Xi
B Histogramm
Wir teilen den Grundbereich G des Merkmals in mehrere disjunkte Intervalle ein
S
(möglichst gleiche Breite): I1 ; I2 ; : : : ; Ik ; kj=1 Ij = G.
Hj Anzahl der Stichprobenelemente im Intervall Ij mit Breite
Über jedem Intervall I1 ; : : : ; Ik werden Balken der Breite in das Diagramm eingetragen.
Die Höhe dieser Balken beträgt:
a) die absolute Häu…gkeit Hj oder
H
b) die relative Häu…gkeit hj = nj oder
c)
relative Häu…gkeit
hj
Hj
=
=
Intervallbreite
n
11
Empirische Kenngröß
en
B Stichprobenmittel (Mittelwert)
Empirischer Median
m
^X =
(
1X
Xi
n i=1
n
X=
X(N ) mit N = n+1
, falls n ungerade,
2
1
1
X + 2 X(L+1) mit L = n2 , falls n gerade.
2 (L)
Stichprobenvarianz
2
SX
=
1
n
1
n
X
Xi
X
2
=
i=1
n
X
1
n
1
Xi2
i=1
nX
2
!
Empirische Standardabweichung
v
u
u
SX = t
1
n
1
n
X
Xi
X
2
i=1
Variationskoe¢ zient
Empirische Schiefe:
dX =
SX
VX =
X
n
X
1
Xi
n
X
3
i=1
3
SX
empirisches -Quantil:
N ergibt sich durch Aufrunden von n auf die nächstgröß
ere ganze Zahl.
q^ =
(
X(N ) , wenn n keine ganze Zahl ist,
1
X
+ 21 X( n+1) , wenn n eine ganze Zahl ist.
2 ( n)
Schätzer für spezielle Verteilungen
Normalverteilung N ( ;
2
)
1X
1 X
Xi ; ^ 2 = Sn2 =
(Xi
n i=1
n 1 i=1
n
^ = Xn =
n
12
Xn )2
Exponentialverteilung mit Parameter
^= 1 = n
n
X
Xn
Xi
i=1
Binomialverteilung mit Parameter p und vorgegebenem Parameter N
p^ =
n
1 X
Xi
nN i=1
Kon…denzbereiche
Gegeben Stichprobe X1 ; X2 ; : : : ; Xn unabhängiger Zufallsgröß
en, Grundgesamtheit X
2
Xn Mittelwert, Sn Stichprobenvarianz
Kon…denzniveau " = 1
Z
2
n;
X
N (0; 1), X und Z unabhängig. Die Zufallsgröß
e
X
Y =q
Z
n
besitzt dann eine t-Verteilung mit n Freiheitsgraden (n
X N ( ; 2)
Kon…denzintervall für den Erwartungswert
J = Xn
z (1
=2) p ; Xn + z (1
n
1, Symbol: Y
bei bekannter Varianz
=2) p
tn ).
2
n
P ( 2 J) = 1
Kon…denzintervall für den Erwartungswert
J = Xn
tn 1 (1
Sn
=2) p ; Xn + tn 1 (1
n
P ( 2 J) = 1
13
bei unbekannter Varianz
Sn
=2) p
n
2
tn 1 (1
=2) ist das Quantil der Ordnung 1
Freiheitsgraden
(n 1)Sn2
1)Sn2
; 2
=2)
1 (1
n 1 ( =2)
(n
2
n
P(
2
n 1(
) ist das Quantil der Ordnung
2
einseitig: J =
0;
(n
2
n
1)Sn2
1( )
2 J) = 1
der Chiquadrat-Verteilung mit n
1 Freiheits-
graden
Statistische Tests
Stichprobe X1 ; X2 ; : : : ; Xn unabhängiger Zufallsgröß
en
Verteilung mit Parameter ,
Parametermenge, 2
Nullhypothese H0 : 2 0 .
H1 : 2 1 , 1 Teilmenge von n 0 , heiß
t Alternativhypothese.
B Schritte beim statistischen Test:
1) Nullhypothese H0 , Alternativhypothese H1 ,
Voraussetzungen, Signi…kanzniveau
2) Auswahl des Tests, Berechnung der Testgröß
eT
3) Entscheidung zur Ablehnung/Nichtablehnung der Nullhypothese
Entscheidung
H0 wird nicht
abgelehnt, T 2
=K
H0 wird abgelehnt
T 2K
1
2
Kon…denzintervalle für die Varianz
zweiseitig: J =
=2 der Student-t-Verteilung mit n
Wahrer Sachverhalt
H0 richtig und H1 falsch H0 falsch und H1 richtig
richtige
Entscheidung
Fehler 2. Art
Fehler 1. Art
richtige
Entscheidung
K kritischer Bereich der Testgröß
e
B Signi…kanztest:
P (T 2 K )
für
14
2
0
Signi…kanzniveau
0
= f 0 g =)
P 0 (T 2 K ) =
Tests für normalverteilte Grundgesamtheiten
im Folgenden X N ( ; 2 ).
Xn Mittelwert, Sn2 Stichprobenvarianz
Gauß
-Test
2
bekannt, 0 vorgegeben
Hypothese: H0 : = 0 , H1 :
Testgröß
e:
6=
0
T =
Xn
0p
n
0p
n
Testentscheidung: H0 wird also abgelehnt, falls:
jT j > z(1
=2):
t-Test
2
unbekannt, 0 vorgegeben
Hypothese: H0 : = 0 , H1 :
Testgröß
e:
6=
0
T =
Xn
Sn
Testentscheidung: H0 wird abgelehnt, falls:
jT j > tn 1 (1
=2):
15