Die Höldersche Ungleichung Für 1

Die Höldersche Ungleichung
Für 1 < p, q < ∞ mit 1/p + 1/q = 1 und beliebige (reelle oder komplexe)
Zahlen ak und bk gilt
n
n
n
1/q
1/p X
X
X
q
p
|bk |
|ak |
.
|ak bk | ≤
k=1
k=1
k=1
Beweis: Die Funktion f (x) := log x ist auf R+ wegen f 00 (x) = −1/x2 < 0
konkav. Deshalb gilt für 0 ≤ λ, µ ≤ 1, λ + µ = 1 und x, y > 0
f (λx + µy) ≥ λf (x) + µf (y),
log(λx + µy) ≥ λ log x + µ log y = log(xλ y µ ).
Weil die Logarithmusfunktion monoton wachsend ist, folgt
xλ y µ ≤ λx + µy.
Dies gilt auch für x = 0 oder y = 0. Setzt man speziell λ := 1/p, µ :=
1 − 1/p := 1/q, x := ap und y := bq , so folgt für a, b ≥ 0
ap b q
+ .
ab ≤
p
q
Sind alle ak oder bk Null, ist die Höldersche Ungleichung trivialerweise
erfüllt. Wir können also annehmen, daß
X
1/p
X
1/q
p
q
A :=
|ak |
,
B :=
|bk |
positiv sind und αk := |ak |/A, βk := |bk |/B setzen. Dann folgt
αkp βkq
1 |ak |p 1 |bk |q
|ak bk |
= αk βk ≤
+
=
+
.
AB
p
q
p Ap
q Bq
Summation über k liefert
n
1 P |a |p 1 P |b |q X
k
k
+
|ak bk | ≤ AB
p
q
p A
q B
k=1
1 Ap 1 B q = AB
+
p Ap q B q
1 1
= AB +
= AB
p q
X
1/p X
1/q
p
q
=
|ak |
·
|bk |
.
Die Minkowskische Ungleichung
Für 1 ≤ p < ∞ und alle (reellen oder komplexen) Zahlen ak und bk gilt
n
X
p
|ak + bk |
1/p
≤
n
X
p
|ak |
1/p
+
p
|bk |
1/p
.
k=1
k=1
k=1
n
X
Beweis: Für p = 1 folgt die Aussage unmittelbar aus der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen.
Für 1 < p < ∞ gilt
|ak + bk |p = |ak + bk | |ak + bk |p−1
≤ |ak | |ak + bk |p−1 + |bk | |ak + bk |p−1 .
Summation und Anwendung der Hölderschen Ungleichung ergibt unter Beachtung von (p − 1)q = p
n
X
p
|ak + bk | ≤
n
X
k=1
p−1
|ak | |ak + bk |
n
X
+
k=1
≤
n
X
p
|ak |
k=1
1/p
n
X
k=1
+
n
X
p
|bk |
n
X
Division durch
|ak + bk |
1/q
(p−1)q
|ak + bk |
1/q
k=1
p
|ak |
1/p
+
k=1
P
(p−1)q
k=1
n
1/p X
k=1
=
|bk | |ak + bk |p−1
n
k=1 |ak
n
X
k=1
p
+ bk |
1/q
p
|bk |
n
1/p X
p
|ak + bk |
k=1
liefert die Behauptung.
1/q
.