magische zahlen und ihre bedeutung

Die magische
Welt der Zahlen
Teil 3
Irina Dück
MAGISCHE
ZAHLEN
UND IHRE
BEDEUTUNG
Lehrerinformationen
und Arbeitsblätter
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LEHRERINFORMATION
Der griechische Buchstabe π (Pi) zur
Bezeichnung der Verhältniszahl des
Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser wurde erst im 18. Jh. gebräuchlich, er steht für den griechischen Begriff
des Kreisumfangs: περιφέρεια (periphereia).
Die Zahl selbst beschäftigt die Welt der Mathematik schon sehr viel länger. Bereits die Ägypter gaben mit
19
π = ≈ 3,16
6
eine Näherung für die Kreiszahl an. Vor allem aber
die Griechen beschäftigten sich gerne mit π: Sie
versuchten sich an der „Quadratur des Kreises“,
der Überführung eines Kreises in ein Quadrat mit
dem gleichen Flächeninhalt. Die Idee war, in einen
Kreis ein Vieleck mit immer höherer Eckenzahl einzubeschreiben bzw. einen Kreis mit Vielecken von
immer kleinerem Flächeninhalt zu füllen, sodass
der Kreis schließlich komplett ausgefüllt wäre.
Dass man jedes Vieleck in ein Quadrat verwandeln
konnte, war bereits bekannt und man ging davon
aus, dass man schlussendlich ein Quadrat mit der
Seitenlänge π erhalten müsste. Auf Archimedes
von Syrakus (287 – 212 v. Chr.) geht die folgende
Näherung von π zurück, die er aus der Berechnung
eines in einen Kreis einbeschriebenen 96-Ecks gewann:
10
1
3 < π > 3 .
71
7
Verfeinert wurde diese Näherung durch den
griechischen Astronomen Claudius Ptolemäus
(85 – 165 n. Chr.), der die Arbeit des Archimedes
bis zum 720-Eck fortsetzte. In der neueren Zeit
berechnete u. a. der niederländische Mathematiker Ludolf von Ceulen (1539 – 1610) im Prinzip
nach der gleichen Methode die ersten 35 Nach-
kommastellen von π. Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716) und andere Mathematiker entwickelten schließlich Reihen zur Bestimmung von
π. Im 18. Jahrhundert dann gelang es Johann
Heinrich Lambert (1728 – 1777), einem deutschen
Mathematiker, Physiker, Astronomen und Philosophen, die Irrationalität von π zu beweisen. Dass
π eine trans­zendente Zahl ist, konnte schließlich
der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) zeigen. Die Unmöglichkeit der
„Quadratur des Kreises“ war dadurch bewiesen.
Unterrichtsfach:
Mathematik
Voraussetzungen:
Voraussetzung für die Bearbeitung
der Aufgaben ist die Beherrschung der Bruchrechnung, insbesondere der Umrechnung von Brüchen
in die Dezimalschreibweise.
Neben abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen benötigen die Schülerinnen und Schüler
(SuS) darüber hinaus Kenntnis über nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen. Diese
lernen sie mit der Behandlung von Wurzeln (je
nach Bundesland in Klasse 8 oder 9) kennen.
Die Arbeitsmaterialien machen die SuS mit der
Zahl π an sich vertraut, führen jedoch nicht in Berechnungen am Kreis ein.
Hinweise zum Stundenablauf:
Obwohl die meisten SuS schon von dieser merkwürdigen Zahl mit dem Namen Pi gehört haben
dürften, könnte es sinnvoll sein, zuerst die Arbeitsblätter zu bearbeiten, bevor das Video angeschaut
wird. Erst bei einer Kenntnis über die Bedeutung
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der Zahl lassen sich die vorgestellten Forschungsergebnisse einordnen und beurteilen. Das Video
verweist auf eine ganze Reihe weiterer „besonderer Zahlen“. In einem kleinen Projekt können diese von den Schülerinnen und Schülern selbst untersucht und vorgestellt werden. Dazu sollen sich
Teams jeweils eine Zahl oder Zahlenfolge wählen,
ihre Bedeutung recherchieren und der Lerngruppe
präsentieren. Es eigenen sich sowohl Zahlen von
mathematischer Relevanz, beispielsweise Primzahlen, „vollkommene Zahlen“ und FibonacciZahlen als auch solche mit historisch-mythischer
Bedeutung.
Aufgabe 1: Für diese Aufgabe
­bitte einige runde / zylinderförmige Gegenstände mitbringen, ebenso
Maßbänder und Schnüre. Die Gegenstände sollten einen möglichst großen Durchmesser haben
(z. B. Eimer, große Blumentöpfe), damit man beim
Abmessen sieht, dass der Umfang etwas mehr als
dreimal so groß ist wie der Durchmesser. Diese
Tatsache würde man bei kleinen Durchmessern
leicht übersehen können. Es ist aus praktischen
Gründen hilfreich, wenn diese Aufgabe in Gruppen
bearbeitet wird.
Aufgabe 2 a: Die Schülerinnen und Schüler sollten
hier nicht den Taschenrechner benutzen, sondern
die Brüche durch schriftliches Dividieren in Dezimalbrüche umwandeln, damit ihnen erneut klar
wird, dass das Auftreten von gleichen Resten bei
der schriftlichen Division dafür verantwortlich ist,
dass Dezimalzahlen periodisch werden. Hilfe dafür finden sie gegebenenfalls in Mathematikbüchern der Klasse 6.
Aufgabe 3: Für die Bearbeitung dieser Aufgabe benötigt die Lerngruppe einen Internetzugang.
LINKTIPPS
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Bildnachweis und Quellen: S. 3: shutterstock.com (Evgeny Karadaev,
Reinhold Leitner, Olivier Le Moal, style-photography.de, Diana Taliun;
S. 4: auf Basis Lambacher Schweizer 8, Nordrhein-Westfalen, 2011,
S. 36 f.
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de.wikipedia.org/wiki/Liste_besonderer_Zahlen
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WAS HAT π MIT DEM KREIS ZU TUN?
Der griechische Buchstabe π zur Bezeichnung des Verhältnisses von
π=
Kreisumfang zum Kreisdurchmesser leitet sich ab von dem
3.14159265358979323846
2643383279502884197169399375
griechischen Wort „periphereia“ = Kreisumfang.
105820974944592307816406286208998
Schon die Ägypter, die Babylonier und die Griechen beschäftigten
6280348253421170679821480865132823066
470938446095505822317253594081284811174
sich damit, diese Zahl näher zu bestimmen.
50284102701938521105559644622948954930381
Die Griechen versuchten, den Flächeninhalt eines Kreises zu
964428810975665933446128475648233786783165
271201909145648566923460348610454326648213
bestimmen, indem sie ganz viele immer kleiner werdende
39360726024914127372458700660631558817488
Vielecke hineinlegten, deren Flächeninhalte sich einfach berech1520920962829254091715364367892590360011
nen ließen. Erst 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand 33053054882046652138414695194151160943
3057270365759591953092186117381932
von Lindemann (1852 – 1939), dass π eine transzendente Zahl ist.
611793105118548074462379962749
567351885752724891227938
Das heißt unter anderem: π ist unendlich und unperiodisch.
1830119491 …
Eine Konstruktion der Zahl π durch Zirkel und Lineal, die geometrische
„Quadratur des Kreises“, ist also nicht möglich.
1. a)Ermittle möglichst genau den Durchmesser eines runden (besser: zylinderförmigen) Gegenstands.
Umspanne mit einer Schnur den Kreisumfang und schneide sie in der passenden Länge ab. Miss
den Durchmesser des Gegenstands mithilfe der zugeschnittenen Schnur möglichst genau aus
und ­trage beide Werte in die folgende Tabelle ein. Verfahre mit anderen zylinderförmigen Gegen­
ständen ebenso.
Gegenstand
Durchmesser [cm]
Umfang [cm]
b) Welchen Zusammenhang von Durchmesser und Umfang eines Kreises kannst du feststellen?
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WAS VERBIRGT SICH HINTER π?
2. a) Stelle die folgenden Brüche als Dezimalzahlen dar, ohne den Taschenrechner zu benutzen.
5 =
8
5
=
7
5 5
=
=
9 12
b) Was fällt dir auf? Vergleiche mit π!
3. Man kann jede beliebige Zahlenkombination in den Nachkommastellen von π finden. Teste dies auf:
www.angio.net/pi.
An welcher Stelle erscheint dein Geburtsdatum?
4. Wie kann man sich solche Zahlen vorstellen?
a)Wir können versuchen, nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen zu konstruieren.
Finde bei folgenden Dezimalzahlen das zugrunde liegende Muster heraus und schreibe die
­nächsten 20 Ziffern:
0,10111213141516171819110111112113 ...............................................................................................
0,1011011101111011111011111101 .......................................................................................................
0,12113111411115111116111111171 .....................................................................................................
b) In welcher dieser drei Zahlen könntest du auch nach deinem Geburtsdatum suchen? Begründe!
c)Was unterscheidet diese drei Dezimalzahlen von π? Vergleiche sie mit den ersten
500 Nachkommastellen von π, die auf dem ersten Arbeitsblatt abgedruckt sind.
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LÖSUNGEN
1. a) Individuelle Lösungen
b)Der Umfang eines Kreises ist immer
etwas mehr als das Dreifache seines Durchmessers.
2. a) 5 : 8 = 0,625
5 : 9 = 0,5555 … = 0,5
5 : 7 = 0,714285714285 … = 0,714285
5 : 12 = 0,416666 … = 0,416
b)Die Brüche aus Aufgabenteil a) haben entweder eine abbrechende oder eine perio­
dische Darstellung in Dezimalschreibweise.
π dagegen ist weder eine abbrechende,
noch eine periodische Dezimalzahl. Daher
ist π nicht als Bruch darstellbar und somit
keine rationale Zahl.
3. Individuelle Lösung
4.a)1. Zahl: immer abwechselnd eine 1 und
aufsteigend die natürlichen Zahlen:
0,10111213141516171819110111112113114
115116117118119120 …
2. Zahl: eine Eins, eine Null, zwei Einsen,
eine Null, drei Eisen, eine Null usw.:
0,10110111011110111110111111011111110
1111111101111…
3. Zahl: immer abwechselnd eine steigende
Zahl an Einsen und aufsteigend eine natürliche Zahl:
0,12113111411115111116111111711111118
1111111191111 …
b)Nach seinem Geburtsdatum kann man in
der ersten und dritten Zahl suchen, da hier
durch die aufsteigenden natürlichen Zahlen
irgendwann jede Zahlenkombination in den
Nachkommastellen vorkommen wird. In
der zweiten Zahl kommen nur Nullen und
Einsen vor, sodass hier nicht jede beliebige
Zahlenkombination gefunden werden kann,
wenngleich auch diese Zahl nicht periodisch und nicht abbrechend ist.
c)Für diese drei Zahlen kann man jeweils ein
Muster angeben, nach dem sie „konstruiert“
werden können. Für π ist ein solches Muster
nicht erkennbar. Gemeinsam haben diese
Zahlen mit π, dass alle nicht abbrechende
und nicht periodische Dezimalzahlen sind.
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