Einführung in die Zahlentheorie — 2. ¨Ubung Aufgabe 1 (5 × 2

Nicola Oswald, Prof. Dr. Jörn Steuding
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
16. April 2014
Einführung in die Zahlentheorie — 2. Übung
Aufgabe 1 (5 × 2 Punkte).
(i) Beweise, dass 2m + 1 nur dann eine Primzahl sein kann, wenn m = 2n für ein
n ∈ N0 gilt.
Die Fermat-Zahlen f0 = 3, f1 = 5, f2 = 17, f3 = 257, f4 = 65 537, f5 = 4 294 967 297 usw.
sind definiert durch
n
fn := 22 + 1
für n ∈ N.
(ii) Verifiziere
m
Y
fn = fm+1 − 2
n=0
und folgere ggT(fk , fj ) = 1 für k 6= j.
(iii) Benutze die paarweise Teilerfremdheit verschiedener Fermat-Zahlen für einen Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen.
(iv) Fermat glaubte mit den fn eine Primzahlformel gefunden haben, allerdings widerlegte
dies Euler gut einhundert Jahre später. Wandle auf Eulers Pfaden und verifiziere
ohne Zuhilfenahme einer elektronischen Rechenhilfe: Wegen 641 = 5 · 27 + 1 ist
54 · 228 − 1 ein Vielfaches von 641 und wegen 641 = 24 + 54 ist auch f5 durch 641
teilbar.
Zwei Folgen von ganzen Zahlen an und bn seien rekursiv definiert durch a0 = b0 = 1 sowie
an = an−1 + bn−1
und
bn = an−1 bn−1
für
n ∈ N.
(v) Zeige, dass die Zahlen an paarweise teilerfremd sind und folgere die Existenz unendlich vieler Primzahlen.
•
△
⋆
△
△
⋆
⋆
⋆
⋆
Aufgabe 2.
(i) Welche natürlichen Zahlen lassen sich darstellen als Differenz zweier Quadrate ganzer Zahlen?
(ii) Tritt jede natürlich Zahl in einem primitiven pythagoräischen Tripel auf ? Charakterisiere die natürlichen Zahlen, die in a) pythagoräischen Tripeln bzw. b) primitiven
pythagoräischen Tripeln auftreten!
Alle Bearbeitungen sind ausreichend zu begründen. Verwendet werden dürfen lediglich Ergebnisse, die bereits in der Vorlesung oder auf vorangegangenen Übungsblättern dieser Veranstaltung behandelt wurden. Für die Klausurzulassung sind fünfzig Prozent der Punkte
der Übungsblätter hinreichend.
Abgabe der Übungsblätter ist am kommenden Mittwoch vor Vorlesungsbeginn.
Viel Spaß!
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Lösungsskizze ÜA 1: (i): Angenommen, m = pq mit einer ungeraden Primzahl p. Dann
ist
2m + 1 = 2pq + 1 = (2q + 1)(2q(p−1) − 2q(p−2) ± . . . − 2q + 1)
eine nicht-triviale Faktorisierung und also 2pq + 1 nicht prim.
(ii) Die Produktdarstellung beweist man per Induktion: Sicherlich besteht die Formel für
m = 1, denn f0 = 3 = 5 − 2 = f1 − 2. Der Induktionsschritt folgt aus
m
Y
n=0
fn = fm ·
m−1
Y
fn = fm · (fm − 2) = (22 + 1) · (22 − 1) = 22
m
m
m+1
− 1 = fm+1 − 2.
n=0
Für den größten gemeinsamen Teiler d = ggT(fm , fn ) mit o.B.d.A. n < m folgt mit der
Produktformel aus (ii)
m−1
Y
d|
fn = fm − 2;
n=0
wegen d | fm ist d auch ein Teiler der Differenz 2. Weil Fermat-Zahlen ungerade sind, folgt
d = 1.
(iii) Es gibt unendlich viele verschiedene Fermat-Zahlen; diese sind nach (ii) paarweise
teilerfremd. Also treten nach dem Fundamentalsatz in den unendlich vielen, verschiedenen
Primfaktorzerlegungen lauter verschiedene Primzahlen auf, was nur mit unendlich vielen
Primzahlen zu bewerkstelligen ist.
(iv) Vielleicht hat Euler so gerechnet: Wegen 641 = 5 · 128 + 1 = 5 · 27 + 1 ist
54 · 228 − 1 = (52 · 214 + 1)(52 · 214 − 1) = (52 · 214 + 1)(5 · 27 + 1)(5 · 27 − 1)
und also ein Vielfaches von 641 (ziemlich ähnlich zur obigen Rechnerei bei den FermatZahlen). Weil ferner 641 = 16 + 625 = 24 + 54 gilt zudem
54 · 228 − 1 = (641 − 24 ) · 228 − 1 = 641 · 228 − 232 − 1 = 641 · 228 − f5
und im Vergleich ergibt sich besagte Teilbarkeit: 641 | f5 . Hierbei haben wir erstaunlich
wenig gerechnet!
(v) Wir berechen zunächst ein paar Werte:
an
bn
:
:
1, 2, 3, 5, 11, 41, . . . ,
1, 1, 2, 6, 30, 330, . . . .
Die Folge der bn fällt für besagtes Argument aus; hier zeigt eine einfache Induktion die
Formel
bn = a0 a1 · . . . · an−1 .
Versuchen wir also die paarweise Teilerfremdheit der an zu zeigen. Angenommen, d =
ggT(aj , ak ) mit natürlichen Zahlen j > k; dann wäre j = k + ℓ mit einem ℓ ∈ N und
d = ggT(ak+ℓ , ak ). Mittels der Formel für die bn ergibt sich
an = an−1 + a0 a1 · . . . · an−1 .
und insbesondere für n = k + ℓ ergäbe sich
ak+ℓ = ak+ℓ−1 + a0 a1 · . . . · ak · . . . · ak+ℓ−1 .
Der größte gemeinsame Teiler d = ggT(ak+ℓ , ak ) geht sowohl links als auch im zweiten
Summanden rechts auf, also folgt d | an−1 . Setzen wir (unabhängig vom bislang Gezeigten)
zusätzlich voraus, dass ℓ minimal mit der Eigenschaft ist, dass d = ggT(ak+ℓ , ak ) > 1 gilt,
so ergibt sich der gewünschte Widerspruch.
Also folgt ggT(aj , ak ) = 1 für j 6= k, und die Zahlen an sind paarweise teilerfremd und
liefern somit einen weiteren Beweis für die Existenz unendlich vieler Primzahlen. Dieser Teil
der Aufgabe geht zurück auf R. Haas, M. Somos, A Linked Pair of Sequences Implies the
Primes Are Infinite, Amer. Math. Monthly 110 (2003), 539-540.
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Lösungsskizze ÜA 2: (i) Alle natürlichen Zahlen m besitzen eine Darstellung als Differenz
zweier Quadrate, es sei denn m ist von der Form m = 4n + 2 für ein n ∈ N0 . Für ungerade
m = 2n + 1 ergibt sich die Differenz zweier Quadrate aus
(n + 1)2 − n2 = 2n + 1;
für natürliche Zahlen der Gestalt m = 4n ergibt sich die gewünschte Darstellung aus der
Formel
(n + 1)2 − (n − 1)2 = 4n.
Wegen (2n)2 = 4n2 und (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1 lassen Quadrate ganzer Zahlen bei
Division durch 4 den Rest 0 oder 1, und also lässt die Differenz zweier Quadrate nie den
Rest 2 bei Division durch 4, weshalb also kein m = 4n + 2 eine Darstellung als Differenz
zweier Quadrate besitzt.
(ii) Mit Blick auf Euklids Parametrisierung der primitiven pythagoräischen Tripel x, y, z
durch x = a2 − b2 , y = 2ab, z = a2 + b2 für teilerfremde a > b unterschiedlicher Parität folgt
nach (i), dass bereits für x jede ungerade natürliche Zahl m in Frage kommt (mit a = n + 1
und b = n; s.o.), sicher aber nicht Zahlen der Form m = 4n + 2 für ein n ∈ N0 . Diese Zahlen
treten auch nicht als y oder z in einem primitiven pythagoräischen Tripel auf, weil wegen der
Paritätsbedingung y ein Vielfaches von 4 ist und z ungerade ist. Also kommen auch Zahlen
der Form m = 4n unter den primitiven pythagoräischen Tripeln vor. In der Menge der
pythagoräischen Tripel finden sich hingegen alle natürlichen Zahlen bis auf m = 2 wieder,
denn m = 4n + 2 = 2(2n + 1) und für 2n + 1 mit n ≥ 1 tritt als x bei den primitven
pythagoräischen Tripeln auf. Insgesamt treten also nur 1 und 2 nicht auf!