Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson 8 Der Satz von

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson
In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche �-Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von
Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante Folgerungen ziehen werden. Insbesondere
werden wir einen ersten Primzahltest bekommen und Fermats Lösbarkeitsaussage zur diophantischen
Gleichung X 2 + Y 2 = � für positive ganze Zahlen � untersuchen.
Notation: In diesem Kapitel bezeichnen wir mit [�] die Restklasse von � in Z/�Z (� ∈ Z>0 ).
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Der Satz von Euler
Satz 3.1 (Satz von Euler)
Für alle �� � ∈ Z>0 mit ggt(�� �) = 1 gilt
� �(�) ≡ 1
(mod �) �
Der Beweis des Satzes von Euler ist eine Anwendung des Satzes von Lagrange, der in den algebraischen Strukturen bewiesen wurde. (Siehe Kapitel 0.)
Beweis : Wegen ggt(�� �) = 1 ist also [�] ∈ (Z/�Z)× (d.h. invertierbar). Nach Satz 2.17(a) ist |(Z/�Z)× | =
�(�) und aus dem Satz von Lagrange folgt
×
d.h.
Beispiel 10
[1] = [�]|(Z/�Z) | = [�]�(�) = [� �(�) ] ∈ Z/�Z �
� �(�) ≡ 1
(mod �) �
Wir überlegen uns nun, wie lineare Kongruenzen mit dem Satz von Euler gelöst werden können. Sei
dazu �� ≡ � (mod �) mit �� � ∈ Z, � ∈ Z>0 und ggt(�� �) = 1 gegeben. Damit ist [�] ∈ (Z/�Z)×
und es gilt
[�] = [�] · [�]−1 = [�] · [1] · [�]−1 = [�] · [�]�(�) · [�]−1 = [�] · [�]�(�)−1 ∈ Z/�Z
nach dem Satz von Euler, da ��(�) ≡ 1 (mod �). Somit ist � = ���(�)−1 eine Lösung der Kongruenz
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Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017
23
�� ≡ � (mod �).
Z.B.: Löse 5� ≡ 4 (mod 12). Hier ist �(12) = 4 und damit ist
� = 4 · 53 = 4 · 125 = 500
eine Lösung. Wegen 500 = 41 · 12 + 8 ≡ 8 (mod 12) ist auch � = 8 eine Lösung:
5 · 8 = 40 ≡ 4
9
(mod 12)�
Der kleine Satz von Fermat
Der kleine Satz von Fermat ist ein Spezialfall des Satzes von Euler.
Folgerung 3.2 (kleiner Satz von Fermat)
Für alle � ∈ Z>0 und alle Primzahlen � ∈ P ist
Beweis : Aus dem Satz von Euler folgt
�� ≡ �
(mod �)�
� �(�) = � �−1 ≡ 1
(mod �)
für alle � mit ggt(�� �) = 1.
Nun ist ggt(�� �) �= 1, so ist � durch � teilbar. Somit ist � ≡ 0 (mod �), also � � ≡ 0 ≡ � (mod �). Damit
gilt die Behauptung für alle � ∈ Z>0 .
Anmerkung 3.3
Das vorstehende Resultat liefert also eine notwendige Bedingung dafür, dass eine positive Zahl �
prim ist. Dies führt zu folgendem einfachen Primzahltest:
Für � ∈ Z>0 teste, ob � �−1 ≡ 1 (mod �) für alle � < �.
· Falls dies nicht der Fall ist, so ist � keine Primzahl.
· Falls doch, so ist � entweder eine Primzahl oder eine sogenannte Carmichael-Zahl:
Eine zusammengesetzte natürliche Zahl � heißt Carmichael-Zahl, falls für alle zu � teilerfremden
Zahlen � gilt: ��−1 ≡ 1 (mod �).
10 Der Satz von Wilson
Der Satz von Euler impliziert auch den folgenden Satz von Wilson.
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Satz 3.4 (Wilson)
Sei � ∈ P eine Primzahl. Dann ist
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(� − 1)! ≡ −1
(mod �)�
Anmerkung 3.5
Wie man leicht sieht, gilt hiervon auch die Umkehrung. (Aufgabe 14(a), Blatt 4)
Beweis : Betrachte das Polynom � := X �−1 − [1] ∈ (Z/�Z)[X ]. Da Z/�Z ein Körper ist, besitzt � höchstens
� − 1 verschiedene Nullstellen in Z/�Z. Nun ist nach dem Satz von Euler (Satz 3.1)
� �−1 ≡ 1
(mod �)
für alle 1 ≤ � ≤ � − 1�
Also sind [1]� � � � � [� − 1] verschiedene Nullstellen von �. Daher gilt
(X − [1]) · · · (X − [� − 1]) | ��
Da beide Polynome denselben Grad und denselben höchsten Koeffizient haben, folgt
(X − [1]) · · · (X − [� − 1]) = � = X �−1 − [1] �
Auswerten bei X = [0] ergibt
und somit ist
[(−1) · · · (−(� − 1))] = [−1] ∈ Z/�Z
�−1
(−1)�−1 · (� − 1)! ≡ −1
(mod �)�
Ist � ungerade, so ist (−1)
= 1.
Für � = 2 gilt −(� − 1)! ≡ (� − 1)! (mod �). Insgesamt haben wir also
(� − 1)! ≡ (−1)�−1 (� − 1)! ≡ −1
Beispiel 11
Es gilt
(mod �)�
(7 − 1)! = 720 = 7 · 103 − 1 ≡ −1
Folgerung 3.6
(mod 7)�
Sei � eine ungerade Primzahl. Dann gilt:
X 2 + [1] ∈ (Z/�Z)[X ] hat eine Nullstelle in Z/�Z genau dann, wenn � ≡ 1
Beweis :
(mod 4) ist�
’⇒’ Sei [α] ∈ Z/�Z eine Nullstelle von X 2 + [1], also α 2 + 1 ≡ 0 (mod �), beziehungsweise α 2 ≡ −1
(mod �). Wegen Folgerung 3.2 (kleiner Satz von Fermat) ist
Also ist
�−1
2
1 ≡ α �−1 ≡ (α 2 )
�−1
2
≡ (−1)
�−1
2
(mod �)�
gerade, und daher � − 1 durch 4 teilbar. Also gilt � ≡ 1 (mod 4).
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�−1
2
’⇐’ Sei � ≡ 1 (mod 4) und somit
gerade. Mit dem Satz von Wilson gilt
1 · 2 · · · (� − 1) ≡ −1
Nun ist � − � ≡ −� (mod �) für 1 ≤ � ≤
�
(mod �) �
also
�
�
�−1
�−1
−1 ≡ 1 · · ·
· �−
· · · (� − 1)
2
2
�
�
�−1
�−1
≡ 1···
· (−1) · · · −
�
2
2
Damit gilt
Also ist [
�−1
2 ,
25
�−1
2
�
(−1)
�−1
2
��
� �2
�−1
! ≡ −1
2
(mod �)�
!] eine Nullstelle von X 2 + [1] in Z/�Z, wie gesucht.
11 Die diophantische Gleichung X 2 + Y 2 = �
In diesem Abschnitt erhalten wir das erste Teilergebnis zu Quadratsummen, indem wir die Frage beantworten, welche Primzahlen sich als Summe zweier Quadrate schreiben lassen. Anders gesagt, suchen
wir nach (positiven) ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung
wobei � eine Primzahl ist.
X2 + Y 2 = �
Anmerkung 3.7
Zunächst ist es klar, dass wir uns dabei auf die Betrachtung ungerader Primzahlen � beschränken
können, da
12 + 12 = 2
die einzige Lösung für � = 2 ist.
Lemma 3.8
Sind �� � ∈ Z mit � 2 + �2 = �, so ist ggt(�� �) = ggt(�� �) = 1.
Beweis : Wir nehmen an, dass ggt(�� �) �= 1, und somit � | �. Dann aus � | � folgt � | � 2 , damit � | �2 = � 2 −�
und sogar � | �. Damit �2 | �2 und �2 | � 2 , so dass �2 | � 2 + �2 = � im Widerspruch zu �2 - �. Also ist
ggt(�� �) = 1.
Ähnlich: ggt(�� �) = 1.
Aus Folgerung 3.6 lässt sich somit folgende Tatsache ableiten:
Lemma 3.9
Ist � �= 2 eine Primzahl mit einer Darstellung � = � 2 + �2 , mit �� � ∈ Z, so ist � ≡ 1 (mod 4).
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Beweis : Aus � 2 + �2 = � folgt � 2 + �2 ≡ 0 (mod �) und daher � 2 ≡ −�2 (mod �). Nach Lemma 3.8 ist
ggt(�� �) = 1, daher dürfen wir durch �2 teilen. Dies liefert
(��−1 )2 ≡ −1
Aus Folgerung 3.6 folgt somit � ≡ 1 (mod 4).
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(mod �) �
Es gilt auch die Umkehrung von Lemma 3.9. Um dies zu zeigen, bedarf es wieder eines Existenzbeweises, für den wir noch einen Satz von Thue benötigen. Dieser beruht auf Dirichlets bekanntem
Schubfachprinzip.
Lemma 3.10 (Schubfachprinzip)
Werden � (mathematische oder physikalische) Objekte auf weniger als � Schubfächer (Teilmengen)
verteilt, so enthält mindestens ein Schubfach mindestens zwei Objekte.
Satz 3.11 (Thue)
Seien � ∈ Z und � ∈ Z>0 keine Quadratzahl. Dann hat die Kongruenz
�� ≡ �
(mod �)
√
√
eine Lösung (�� �) ∈ Z2 \ {(0� 0)} mit − � < �� � < �.
√
Beweis : Betrachte die√Menge A := {(�� �) ∈ Z2 | 0 ≤ �� � < �}. Bezeichnet � ∈ Z die kleinste ganze
Zahl größer gleich �, so haben wir für �� � je genau � Möglichkeiten, also insgesamt |A| = �2 . Da �
keine Quadratzahl ist, ist �2 > �. Aber Z/�Z hat genau � < �2 Elemente. Nach dem Schubfachprinzip
(Lemma 3.10) gibt es daher (�1 � �1 )� (�2 � �2 ) ∈ A mit
(�1 � �1 ) �= (�2 � �2 ) und ��1 − �1 ≡ ��2 − �2 (mod �) �
√
√
Also ist �(�1 − �2 ) ≡ (�1 − �2 ) (mod �) mit |�1 − �2 | < �, |�1 − �2 | < �. Damit ist
eine Lösung, wie gewünscht.
(�� �) := (�1 − �2 � �1 − �2 ) �= (0� 0)
Satz 3.12 (Fermat)
Sei � ∈ P eine ungerade Primzahl. Dann sind äquivalent:
(a) Es gibt (�� �) ∈ Z2 mit � 2 + �2 = �;
(b) Es gibt � ∈ Z mit � 2 ≡ −1 (mod �);
(c) Es gilt � ≡ 1 (mod 4).
Beweis :
(a)⇒(c): Dies ist Lemma 3.9.
(b)⇔(c): Dies ist Folgerung 3.6.
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(c)⇒(a): Sei � ≡ 1 (mod 4). Nach Folgerung 3.6 existiert ein � ∈ Z mit
�2 + 1 ≡ 0
(mod �)�
also �2 ≡ −1 (mod �). Nach dem Satz von Thue (Satz 3.11) existiert (�� �) ∈ Z2 \ {(0� 0)} mit
�� ≡ � (mod �)
Damit gilt
und somit
und
−� 2 ≡ �2 � 2 ≡ �2
2
2
� 2 + �2 ≡ 0
|�|� |�| <
(mod �)
√
(mod �)�
Dies zeigt, dass � + � = �� für ein � ∈ Z>0 ist. Wegen |�|� |�| <
� 2 + �2 < 2��
��
√
� gilt aber auch
Damit folgt 0 < � < 2, also � = 1, und � 2 + �2 = � wie behauptet.
Anmerkung 3.13
Der Beweis liefert keine gute Konstruktion von �� � mit � 2 +�2 = �, da er auf dem nicht konstruktiven
Schubfachprinzip beruht.
12 Die diophantische Gleichung X 2 + Y 2 = �
Wir können jetzt Fermats Lösbarkeitsaussage zur diophantischen Gleichung
X2 + Y 2 = �
für beliebige positive ganze Zahlen � beweisen.
Lemma 3.14
Sind �1 � �2 ∈ Z>0 positive ganze Zahlen, die jeweils Summe zweier Quadrate sind, dann ist auch
ihr Produkt �1 · �2 Summe zweier Quadrate.
Beweis : Schreibe �1 = �21 + �21 und �2 = �22 + �22 . Dann gilt:
�1 · �2 = (�21 + �21 ) · (�22 + �22 ) = (�1 �2 − �1 �2 )2 + (�1 �2 + �1 �2 )2
Setze also � := �1 �2 − �1 �2 und � := �1 �2 + �1 �2 und es gilt �1 · �2 = � 2 + �2 .
Satz 3.15 (Fermat)
Sei � ∈ Z>0 eine ganze Zahl. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) Es gibt (�� �) ∈ Z2 mit � 2 + �2 = �, d.h., n ist Summe von zwei Quadraten;
(b) Für jede Primzahl � mit � | � und � ≡ 3 (mod 4) ist �� (�) gerade.
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Anders gesagt: Die diophantische Gleichung X 2 + Y 2 = � hat genau dann eine Lösung, wenn � eine
Primfaktorzerlegung der Form
2β�
1
� = 2α �α11 · · · �α� � · �2β
1 · · · ��
besitzt mit α ∈ Z≥0 , Primzahlen �� ≡ 1 (mod 4) und �� ≡ 3 (mod 4), und α� � β� ∈ Z>0 für alle 1 ≤ � ≤ �
(� ∈ Z≥0 ) und für alle 1 ≤ � ≤ � (� ∈ Z≥0 ).
Beweis :
(a)⇒(b): Sei � Summe zweier Quadrate, etwa � = � 2 + �2 mit �� � ∈ Z und wir nehmen an, dass es eine
Primzahl � ∈ P gäbe mit � | �, � ≡ 3 (mod 4) und �� (�) ungerade. Zudem können wir annehmen,
dass � minimal mit dieser Eigenschaft ist. Wir unterscheiden zwei Fälle.
· 1. Fall: � | � . Wegen � | � gilt auch � | � und sogar �2 | � 2 , �2 | �2 , und daher �2 | �. Aber
dann ist auch
� �2 � �2
�
�
�
=
+
2
�
�
�
� �
�
Summe zweier Quadrate mit 1 ≤ �� �2 = �� (�) − 2 ungerade, im Widerspruch zur Minimalität von �.
· 2. Fall: � - � . Wegen ggt(�� �) = 1 ist [�] ∈ (Z/�Z)× (eine Einheit). Also existiert � ∈ Z mit
� · � ≡ 1 (mod �) und damit ist
1 + (��)2 ≡ (��)2 + (��)2 = � 2 (� 2 + �2 ) = � 2 � ≡ 0
Damit gilt
(��)2 ≡ (−1)
(mod �) �
(mod �) �
Es folgt dann aus dem Satz von Fermat 3.12, dass � ≡ 1 (mod 4). Widerspruch!
(b)⇒(a): Wir nehmen nun an, dass für jede Primzahl � mit � | � und � ≡ 3 (mod 4) die Zahl �� (�) gerade
ist. Dann hat � eine Primfaktorzerlegung der Form
2β�
1
� = 2α �α11 · · · �α� � · �2β
1 · · · ��
(wie oben). Nach dem Satz von Fermat 3.12 sind �1 � � � � � �� jeweils Summe zweier Quadrate. Ebenso
2 = 12 + 12 . Zudem ist auch
2β�
1
�2β
= (�β1 1 · · · �β� � )2 + 02
1 · · · ��
Summe zweier Quadrate. Somit ist � das Produkt von Zahlen, die jeweils Summe zweier Quadrate
sind, und ist damit selbst Summe zweier Quadrate nach Lemma 3.14.
13 Existenz unendlich vieler Primzahlen � mit � ≡ 1 (mod 4)
Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir noch zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen � ∈ P mit
� ≡ 1 (mod 4) gibt.
Dazu brauchen wir die Reduktion modulo � von Polynomen in Z[X ], d.h. der Ringhomomorphismus
Φ� :
Z[X ]
��
� = �=0 �� · X �
−→
�→
(Z/�Z)[X ]
�
Φ� (�) := ��=0 [�� ] · X � .
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017
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Anmerkung 3.16
Außerdem brauchen wir auch die Tatsache, dass für ein Polynom � ∈ Z[X ] mit deg(�) ≥ 1 und � ∈ Z
gilt:
#{� ∈ Z | �(�) = �} ≤ deg(�)
Dies gilt sicherlich in Q[X ], da Q ein Körper ist, also auch in Z. (Siehe AGS.)
Satz 3.17
Sei � ∈ Z[X ] mit deg(�) ≥ 1 beliebig. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen � ∈ P, so dass die
Reduktion Φ� (�) ∈ (Z/�Z)[X ] von � modulo � eine Nullstelle in (Z/�Z) besitzt.
Beweis : Da deg(�) ≥ 1 ist, hat � die Form � =
��
�=0
�� · X � mit � ≥ 1, �� ∈ Z (0 ≤ � ≤ �) und �� �= 0.
1. Fall: � besitzt eine Nullstelle α in Z. Dann ist offensichtlich die Restklasse [α] ∈ Z/�Z eine Nullstelle
von Φ� (�) für jede Primzahl � ∈ P. Die Behauptung folgt also aus |P| = ∞.
2. Fall: � besitzt keine Nullstelle in Z. Insbesondere ist dann �0 = �(0) �= 0.
Wir zeigen nun per Induktion, dass es Primzahlen �� ∈ P (� ∈ Z>0 ) gibt, so dass Φ�� (�) eine
Nullstelle in Z/�� Z besitzt. Für � = 0 ist dies trivial. Seien also �1 � � � � � �� ∈ P (� ∈ Z≥0 ) gefunden,
so dass Φ�� (�) eine Nullstelle in Z/�� Z ∀ 1 ≤ � ≤ � besitzt. Dann betrachten wir das Polynom
�
�
�
�
�
� := � �0 ·
�� · X ∈ Z[X ] �
�=1
(Für � = 0 ist das Produkt der �� gleich 1.) Es gilt
mit
�=
�
�
�=0
�� · X �
���
� = �0 · �
�� = ��−1
0 ·(
�
�
�=1
�� )� · �� ∈ Z ∀ 1 ≤ � ≤ ��
Also ist �
� ein Polynom, bei dem jeder Koeffizient durch �0 �= 0 teilbar ist, so dass � = �10 �
� ∈ Z[X ]
mit konstantem Term 1 ist. Nach Anmerkung 3.16 gibt es nun ein � ∈ Z, so dass �(�) ∈
/ {−1� 0� 1}.
Sei also � eine Primzahl mit � | �(�), d.h.
Dann gilt
Φ� (�)([�]) = [�(�)] = [0] ∈ Z/�Z �
Φ� (�)([�0 ·
�
�
�=1
�� · �]) = [�0 ] · Φ� (�)([�]) = [�0 ] · [0] ∈ Z/�Z �
Damit hat � modulo � dann ebenfalls eine Nullstelle. Da alle Koeffizienten von � (bis auf den
konstanten Term) durch �� für alle 1 ≤ � ≤ � teilbar sind, gilt � �= �� für alle 1 ≤ � ≤ �.
Folgerung 3.18
Es gibt unendlich viele Primzahlen � ∈ P mit � ≡ 1 (mod 4).
Beweis : Nach Satz 3.17 gibt es unendlich viele Primzahlen �, so dass X 2 + [1] ∈ Z/�Z[X ] eine Nullstelle
in Z/�Z hat. Aus dem Satz von Fermat (Satz 3.12) folgt dann, dass es unendlich viele Primzahlen � mit
� ≡ 1 (mod 4) gibt.
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017
Anmerkung 3.19
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Die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen � ∈ P mit � ≡ 3 (mod 4) gibt ist einfacher zu
beweisen:
Beweis : Sei P die Menge der Primzahlen der Form 4� + 3 (� ∈ Z). Wegen 3 ∈ P ist P �= ∅. Wir
nehmen an, dass Q = {�1 � � � � � �� } ⊆ P eine endliche Teilmenge ist. Betrachte die Zahl
� := 4�1 · · · �� − 1 = 4(�1 · · · �� − 1) + 3�
Sei also �1 · · · �� eine Primfaktorzerlegung von �. Da � ungerade ist, müssen auch alle Primteiler
von � ungerade sein. Daraus folgt, dass für 1 ≤ � ≤ � entweder �� ≡ 1 (mod 4) oder �� ≡ 3 (mod 4)
ist. Wäre �� ≡ 1 (mod 4) für alle 1 ≤ � ≤ �, so gelte in Z/4Z:
[�] = [�1 · · · �� ] = [�1 ] · · · [�� ] = [1] · · · [1] = [1] �
da [1] das Einselement von Z/4Z ist. Damit wäre � ≡ 1 (mod 4): Widerspruch. Also existiert eine
Primzahl � mit � | � und � = 4� + 3. Aber �� - � für � = 1� � � � � �, also � ∈ P \ Q. Daher ist Q eine
echte Teilmenge von P, und P notwendig unendlich.