Diskrete Mathematik LVA 703015 3. PS

Diskrete Mathematik
3. PS-Blatt für den 27. März 2017
LVA 703015
Institut für Informatik
1) Die Menge der Binärbäume sei induktiv definiert durch:
• Der leere Baum ∅ ist ein Binärbaum.
• Sind T1 und T2 Binärbäume so ist auch hT1 , x, T2 i ein Binärbaum. Hierbei nennt man x
den Inhalt und T1 und T2 das linke bzw. rechte Kind von hT1 , x, T2 i.
Nun Sei sp die Funktion die einen Binärbaum spiegelt, d.h.,
(
∅
wenn T = ∅
sp(T ) =
hsp(T2 ), x, sp(T1 )i wenn T = hT1 , x, T2 i
Beweisen sie dass sp(sp(T )) = T für alle Binärbäume T per struktureller Induktion.
2) Betrachten Sie den binären logischen Operator Z (NAND) mit folgender Wahrheitstafel:
Z T F
T F T
F T T
Beweisen Sie mittels struktureller Induktion über die Syntax der Aussagenlogik (siehe Beispiel
3.11), dass es für jede aussagenlogische Formel F eine äquivalente Formel F 0 gibt, welche als
einzigen Operator Z verwendet.
3) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1:
n! ≤ nn
4) Zeigen Sie mittels wohlfundierter Induktion, dass alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 als Produkt
von Primzahlen dargestellt werden können (also dass es ein k ≥ 1 gibt so dass n = p1 p2 · · · pk
und für alle 1 ≤ i ≤ k gilt dass pi eine Primzahl ist).
5) Sei B = {1x | x ∈ {0, 1}∗ } die Menge aller Binärworte die mit 1 anfangen. (Wir verwenden
0 und 1 für Bits um den Unterschied zu den natürlichen Zahlen 0 und 1 zu verdeutlichen.)
Betrachten Sie die Funktionen nat : B → N+ und bin : N+ → B die zwischen natürlichen
Zahlen und Binärworten konvertieren:
nat(1) = 1
nat(x0) = 2nat(x)
für x ∈ B
nat(x1) = 2nat(x) + 1 für x ∈ B
bin(1) = 1
bin(2n) = bin(n)0 für n ∈ N+
bin(2n + 1) = bin(n)1 für n ∈ N+
Zum Beispiel gilt nat(11) = 2nat(1) + 1 = 2 + 1 = 3 und bin(3) = bin(2 + 1) = bin(1)1 = 11.
• Zeigen Sie dass nat und bin wohldefiniert sind.
• Zeigen Sie dass nat und bin bijektive Funktionen und gegenseitig invers sind.
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• Zeigen Sie dass 2|x|−1 ≤ nat(x) < 2|x| für alle x ∈ B.
• Zeigen Sie (unter Zuhilfenahme des vorherigen Punktes) dass für alle x, y ∈ B, x <gradlex y
genau dann wenn nat(x) < nat(y).
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