4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM

4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
4.2.1.3
99
Konstruktion der Potentiale
Wir konstruieren nun mit Hilfe der gefundenen Greenfunktion (4.38) die Lösung der Wellengleichung mit beliebig
ausgedehnter Inhomogenität für die Potentiale Φ und A. Die Lösung der Gleichung
Φ(r, t) = −4πρ(r, t)
ergibt sich gemäß
Z
Φ(r, t) = −4π G(r − r′ , t − t′ )ρ(r′ , r)d3 r′ dt′
Z
ρ(r′ , t′ ) 3 ′ ′
d r dt
= c δ[|r − r′ | − c(t − t′ )]
|r − r′ |
Z |r − r′ |
ρ(r′ , t′ ) 3 ′ ′
d r dt
= δ t′ − t −
c
|r − r′ |
Z ρ r′ , t − |r−r′ |
c
=
d3 r ′
|r − r′ |
Für das Vektorpotential geht man analog vor, und wir können zusammenfassen:
Die Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen
Φ(r, t) = −4πρ(r, t)
4π
A(r, t) = − j(r, t)
c
sind gegeben durch die retardierten Potentiale:
Φ(r, t) = |{z}
1
SI:
A(r, t) =
1
4πǫ0
1
c
|{z}
SI:
µ0
4π
Z ρ r′ , t −
|r−r ′ |
c
|r − r′ |
Z j r′ , t −
|r−r ′ |
c
|r − r′ |
d3 r ′
d3 r ′
(4.45)
(4.46)
Diskussion: Die Gleichungen (4.45) und (4.46) sind eine Verallgemeinerung der Resultate aus der Statik.
∂
→ 0. Das Potential in r ist eine Überlagerung der Beiträge aller Quellen bei r′ .
Dieser Spezialfall folgt bei ∂t
Im zeitabhängigen Fall breitet sich eine Ursache bei (r′ , t′ ) mit der endlichen Geschwindigkeit c aus, und die
Laufzeit dieser Anregung vom Ort r′ zum Ort r ist
∆t(r′ ) =
Betrachte hierzu folgende Abbildung.
|r − r′ |
c
100
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Abbildung 4.10: Entstehung der retardierten Potentiale
Ein Empfänger in (r, t) registriert die Signale aus P1′ , P2′ , ... die zur Zeit (i = 1, 2)
t−
|r − r′i |
c
ausgesandt wurden. Wir prüfen nun die Konsistenz der Lösungen für Φ und A, das heißt wir testen, ob die
Lorentzeichung erfüllt ist:
1
1
div A + Φ̇ = ∇r A + Φ̇t
c
c
Z j(r′ , t′ )
1 ρ̇(r′ , t′ ) 3 ′
d r
+
=
∇r
c|r − r′ | c |r − r′ |
Wir betrachten nun zunächst den ersten Summanden unter dem Integral. Indem wir r und r′ entsprechend
tauschen, erhalten wir:
j(r′ )
1
1
1
= − j(r′ )∇r′
∇r
c
|r − r′ |
c
|r − r′ |
Da
Z
lim ∇r′
′
|r |→∞
j(r′ )
|r − r′ |
d3 r ′ = 0
gilt, folgt mit der Produktregel
−j(r′ )∇r′
1
1
=
∇r′ j(r′ )
′
|r − r |
|r − r′ |
Setzen wir dies in die Lorentzeichung ein, so erhalten wir


Z


1
1
1
 div j + ∂ ρ  = 0
∇r + Φ̇ =


′
c
c
|r − r |
{z ∂t }
|
=0, Kontinuitätsgl.
Damit sind die Lösungen konsistent. Die Felder E und B folgen direkt aus den Potentialen. Wir betrachten
diese später bei der Multipolentwicklung elektromagnetischer Wellen.
4.2.2
Potential und Feld einer bewegten Punktladung. Lienard-Wiechert-Potentiale
Für einige Spezialfälle ist eine exakte explizite Lösung der inhomogenen Wellengleichung möglich. Wir betrachten
hier das Beispiel, dass sich eine Punktladung q auf einer Trajektorie r0 (t) bewegt. Ladungs- und Stromdichte
ergeben sich also zu:
ρ(r, t) = qδ[r − r0 (t)],
j(r, t) = q ṙ0 (t)δ[r − r0 (t)].
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
101
Setzen wir dies in die allgemeine Lösung für Φ, Glg. (4.45), ein, so erhalten wir
′
|
Z
Z
δ t − t′ − |r−r
c
· δ(r′ − r0 (t′ ))
Φ(r, t) = q d3 r′ dt′
|r − r′ |
Z
|r − r0 (t′ )|
1
′
′
δ t−t −
= q dt
|r − r0 (t′ )|
c
Diese Integration ist ausführbar mit
t ′ = t0 = t −
R(t0 )
,
c
wobei R(t) = |r − r0 (t)| gilt. t0 ist eine Nullstelle der Delta-Distribution. Das Problem ist nun, dass t0 von der
funktionalen Form von R(t) abhängig ist. Wir nutzen nun eine der Eigenschaften der Delta-Distribution (siehe
Behauptung 5 in 2.1.2) für eine Verkettung von Funktionen:
δ[f (x)] =
1
δ(x − x0 )
|f ′ (x0 )|
Hierbei ist x0 die einzige Nullstelle von f . Unsere Funktion f ist hier
f (t′ ) = t − t′ −
R(t′ )
c
mit der Ableitung
f ′ (t′ ) = −1 −
∂
1
R(t′ )
∂t′
c
Damit folgt:
δ(t′ − t0 )
|r − r0 (t′ )|
= δ t − t′ −
c
1 + 1c ∂t∂0 |r − r0 (t0 )|
δ(t′ − t0 )
δ(t′ − t0 )
=
= ṙ (t0 )R(t0 )
ṙ (t ) R(t ) 1 − 0 cR(t
1 − 0 c 0 R(t00 ) 0)
(4.47)
Im letzten Schritt wurde, wegen |v 0 | < c, der Betragsstrich weggelassen. Dies folgt aus der Relativitätstheorie,
ist für die Lösung an dieser Stelle aber nicht zwingend. Setzen wir (4.47) in das obige Integral ein so erhalten
wir die Lösung für das skalare Potential mit t′ = t0 :
Φ(r, t) =
Analog lässt sich das Vektorpotential berechnen.
1
q
h
R(t0 ) 1 − v ·
0
R(t0 )
cR(t0 )
i
Die Potentiale einer bewegten Punktladung (“Lienard-Wiechert-Potentiale”) ergeben sich mit
R = r − r0
und
t0 = t −
|r − r0 |
c
zu
q
R(t0 ) − 1c R(t0 ) ◦ v 0 (t0 )
qv 0 (t0 )
1
A(r, t) =
c R(t0 ) − 1c R(t0 ) ◦ v 0 (t0 )
Φ(r, t) =
(4.48)
(4.49)
Bemerkungen: In obigen Gleichungen ist die Richtung und die Zeitabhängigkeit von v 0 beliebig. Die Potentiale sind retardiert und kausal. Für die Richtungsabhängigkeit definiere:
n0 :=
r − r0 (t0 )
R(t0 )
=
R
|r − r0 (t0 )|
102
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Damit wird der Nenner der Potentiale zu:
1
Nenner = R(t0 ) 1 − n0 ◦ v 0
c
Abbildung 4.11: Definierte Größen einer bewegten Punktladung
Man erkennt nun, dass Φ minimal für ϑ = π wird. Dann entfernt sich die Ladung. Entsprechend wird Φ maximal
für ϑ = 0. Dann fliegt die Ladung auf den Beobachter zu. Beachte die Divergenz für |v 0 | → c.
4.2.2.1
Strahlung einer geradlinig gleichförmig bewegten Punktladung
Wir betrachten das Beispiel einer sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 bewegenden Punktladung.
Abbildung 4.12: Eine sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegende Punktladung und ihre Wirkung am Ort r
Die Größe r0 (t) gibt die aktuelle Position des Teilchens an. Diese kann man mit der Setzung r0 (0) = 0 zu
r0 (t) = v 0 · t0
berechnen. Der Winkel <
) (R, v 0 ) ist zeitabhängig. In unserem Spezialfall ist also das Potential:
Φ(r, t) =
q·c
|R|c − R ◦ v 0
(4.50)
Hierbei ist R = R(t0 ) und v0 = v0 (t0 ). Die allgemeine Gleichung für die Gesamtlaufzeit ist:
t − t0 =
R
>0
c
(4.51)
Wir werden nun ein explizites Resultat für t0 = t0 (r, v0 , ϕ) aus
c(t − t0 ) = |r − v 0 · t0 |
berechnen. Es gilt
c2 (t2 − 2t · t0 + t20 ) = r2 − 2v 0 ◦ r · t0 + v02 t20
(4.52)
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
103
mit der Lösung:
t01/2
c2 · t − r ◦ v 0
±
=
c2 − v02
s
c2 t − r ◦ v 0
c2 − v02
2
+
r 2 − c 2 t2
c2 − v02
(4.53)
Aufgrund der Kausalität ist nur das negative Vorzeichen möglich, da für v0 → 0: t01/2 → t ± rc ≤ t gilt. Nun
setzen wir (4.53) in (4.50) ein und berechnen zunächst den Nenner. Es gilt hierbei R = r − v 0 · t0 .
R(t0 ) · c − R(t0 ) ◦ v 0 = (t − t0 )c2 − v 0 (r − v 0 · t0 )
= t0 (v02 − c2 ) + c2 t − r ◦ v 0
Im letzten Schritt wurde (4.51) benutzt. Weiter gilt:
2
2
2
v02 )
R(t0 ) · c − R(t0 ) ◦ v 0 = (c · t − r ◦ v 0 )(−1) + c t − r ◦ v 0 +(c −
|
{z
}
0
q
= (c2 t − r ◦ v 0 )2 + (c2 − v02 )(r2 − c2 t2 )
r
q
v2
2
2
2
2
2
= c Rt − r v0 sin ϕ = cRt 1 − 20 sin2 θ
c
s
c2 t − r ◦ v 0
c2 − v02
2
+
r 2 − c 2 t2
c2 − v02
Die Potentiale einer bewegten Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit sind:
Φ(r, t) =
A(r, t) =
4.2.2.2
q
q
v2
Rt 1 − c20 sin2 θ
q·
q
Rt 1 −
v0
c
v02
c2
(4.54)
(4.55)
sin2 θ
Feldstärken einer geradlinig gleichförmig bewegten Punktladung
Für diese Potentiale bestimmen wir nun die Feldstärken E und B durch:
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
B =∇×A
Aus den vorigen Überlegungen gilt nun
A=
v0
Φ,
c
und damit folgt:
B=
v0
× E,
c
da A||v 0 gilt. Setzen wir die Form des Potentials A nun in das elektrische Feld ein, so erhalten wir:
v0 ∂
E =− ∇+ 2
Φ
c ∂t
Mit f (r, t) gilt:
qc
Φ(r, t) = √
f
qc 1
∇f
∇Φ = −
2 f 23
qc 1 ˙
∂t Φ = −
f.
2 f 23
(4.56)
104
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Hierbei gilt:
f (r, t) = c2 Rt2 + (r ◦ v 0 )2 − v02 r2
= (c2 t − r ◦ v 0 )2 + (c2 − v02 )(r2 − c2 t2 ).
Die beiden benötigten Ableitungen ergeben sich zu:
r
∇f = −2(c2 t − rv0 )v 0 + 2r (c2 − v02 )
r
2
2
˙
f = 2c (tc − r ◦ v 0 ) − 2tc2 (c2 − v02 ).
Setzen wir dies nun in das elektrische Feld ein, so ergibt sich:


2
c v
qc  2
v 
(c t − r ◦ v0 ) v 0 − 2 0 −(c2 − v02 ) r − c2 t · 20 
E=− 3 


c
f2
{z c }
|
{z
}
|
Rt
=0
Ersetzen wir nun wieder
f
1
2
= cRt
r
1−
v02
sin2 Θ,
c2
so erhalten wir folgendes Endresultat:
Die Feldstärke einer gleichmäßig geradlinig bewegten Punktladung ergibt sich mit
Rt = r − v 0 · t = r − r0 (t)
zu:
qR
E(r, t) = 3t · h
Rt
1−
1−
v02
c2
v02
c2
sin2 θ
i3/2
(4.57)
Im Fall v0 ≪ c geht dies in das Feld einer ruhenden Punktladung über. Die Feldrichtung ist parallel zu Rt .
Man kann Gleichung (4.57) auch mit Hilfe einer Lorentztransformation aus dem mitbewegten System (v 0 )
berechnen2 .
Betrachten wir nun noch die Richtungsabhängigkeit des Feldes.
Abbildung 4.13: Veränderung der Isotropie in der Nähe von c
2 Anders
gesagt: wir haben hier direkt die Lorentz-Transformation der elektromagnetischen Potential und der Felder gefunden.
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
105
Im linken Fall erkennt man die Isotropie. Wird die Punktladung jedoch schneller, erkennt man eine Stauchung
des Feldes in v 0 -Richtung. Insgesamt wird das Feld minimal für θ = 0, π:
v2
E ∝ 1 − 20
c
und maximal für θ = ± π2 :
E∝q
1
1−
v02
c2
Fazit: Die Lienard-Wiechert-Potentiale gelten für beliebig bewegte Punktladungen (beziehungsweise Systeme,
wenn die Ladung in Ruhe ist. Enscheidend ist nur die Relativ-Bewegung). Im zuvor behandelten Fall liegt
keine elektromagnetische Welle vor, sondern lediglich ein bewegtes Feld. Eine EM-Welle erfordert nämlich eine
beschleunigte Bewegung, wie wir in Kürze sehen werden.
4.2.2.3
Allgemeines Resultat für die Feldstärken einer bewegten Punktladung
Wir kehren nun noch mal zum allgemeinen Fall einer beliebigen Geschwindigkeit v 0 der Punktladung zurück.
Es gilt zunächst wieder
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
und
B = ∇ × A.
Für Φ und A gelten wieder die Zusammenhänge aus Gleichung (4.48) und (4.49). Diese beiden Potentiale hängen
von r und t nur über die retardierte Zeit t0 ab.
R(t0 ) = c(t − t0 )n = r − r0 (t0 ),
t0 = t0 (r, t)
Wir benutzen nun R2 = R2 und
R·
∂R
∂R
=R
= −Rv 0 (t0 )
∂t0
∂t0
um die folgende Kettenregel wie folgt umzuschreiben:
∂R
∂R ∂t0
=
∂t
∂t0 ∂t
Rv ∂t0
=− 0
R ∂t
(4.58)
Gleichzeitig benutzen wir
∂t0
∂R
=c−c·
.
∂t
∂t
(4.59)
Setzt man (4.58) und (4.59) gleich so erhält man:
∂t0
1
=
v0 R
∂t
1 − cR
(4.60)
Analog betrachten wir
1 ∂R
R
1
· ∇t0 +
∇r t0 = − ∇R(t0 ) = −
c
c ∂t0
R
und erhalten
R
.
∇ r t0 = − v R
c R − 0c
(4.61)
106
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Mit (4.60) und (??) ergibt sich die Berechnung der Felder. Für das Magnetfeld gilt:
1
,
B(r, t) = R × E R
t0 (R,t)
(4.62)
mit
v̇ 0 =
∂v 0
.
∂t0
Für das elektrische Feld gilt:
E(r, t) = q 1−
R−
v02
c2
R·v 0
c
3
v
R × R − c0 R × v̇ 0 v0
·R +q
R−
3
c
t0
t0
R·v
c2 R − c 0
(4.63)
Es gilt immer B ⊥ E und es gibt zwei physikalisch verschiedene Beiträge:
1. Ein Beitrag ist nur von v 0 abhängig und proportional zu 1/R2 bei R → ∞.
2. Der andere Beitrag ist proportional zu v̇ 0 und zu 1/R. Dieser wird assoziiert mit EM-Wellen.
4.2.3
EM-Strahlung einer entfernten Quelle. Multipolstrahlung
Wir geben zunächst noch einmal die allgemeine Lösung der inhomogenen Wellengleichung für Φ und A an.
Z ρ r′ , t − |r−r′ |
c
Φ(r, t) =
d3 r ′
|r − r′ |
Z j r′ , t − |r−r′ |
c
1
d3 r ′
A(r, t) =
c
|r − r′ |
Die spezielle Lösung für eine Punktladung haben wir im vorigen Abschnitt besprochen. Nun suchen wir die
Lösung im Grenzfall |r| ≫ L, wobei L die Ausdehnung der Ladungs- bzw. Stromdichte ist. Die Idee ist eine
Multipolentwicklung wie in der Elektro- und Magnetostatik, wobei nun eine t-Abhängigkeit (Retardierung)
vorliegt. Wir demonstrieren hier nur die Herleitung für die niedrigste Ordnung (Dipolstrahlung). Bisher haben
wir wie folgt entwickelt:
1
1
= + O(α)
|r − r′ |
r
Hierbei ist α =
L
r
≪ 1 der Entwicklungsparameter.
Abbildung 4.14: Multipolentwicklung
Nun haben wir in den Argumenten der Dichtefunktionen folgenden Ausdruck zu entwickeln:



1
1
∂


|r − r′ | = r +
|r − r′ | ′ ·(r′ ) + O(r · α2 )
c
c
∂r

r =0
|
{z
}
= rr
Hiermit ist die Entwicklung am Beispiel der Ladungsdichte:
|r − r′ |
r r ◦ r′
′
′
ρ r ,t −
≈ ρ r ,t − +
c
c
cr
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
107
Wir definieren die retardierte Zeit, die der Laufzeit vom Ladungsschwerpunkt zum Betrachter entspricht
r
t− = t − .
c
(4.64)
Die tatsächlichen retardierten Zeiten, für alle r′ , weichen leicht davon ab, so dass wir diese Zeiten um t herum
entwickeln können. Wenn man das Zeitargument der Ladungsdichte weiterentwickelt so erhält man:
ρ(r′ , t− ) + ρ̇(r′ , t− ) ·
r ◦ r′
+ ...
cr
(4.65)
Die Konvergenz hängt nicht nur von α (also der Geometrie der Laudungsverteilung), sondern auch von der
t-Abhängigkeit von ρ ab. Die Anwendbarkeit der Taylorentwicklung (Multipolentwicklung) erfordert immer:
r′ ρ̇ ≪ |ρ|,
c
(4.66)
was natürlich auch von der zeitlichen Änderung der Ladungsdichte abhängt.
Beispiel: Wir prüfen obige Gleichung für den wichtigen Fall einer monochromatischen Zeitabhängigkeit der
Ladungsdichte:
ρ(t) = ρ0 eiωt
Dies führt zu:
′
r ρ̇ c |ρ|
Hierbei ist t′ =
wenn
r′
c
=ω·
r′
2π ′
=
·t
c
T
die Laufzeit innerhalb der Ladungsverteilung ρ. Das Konvergenzkriterium (4.66) ist erfüllt,
t′ ≪ T
gilt. Hierbei ist T = 2π/ω die Periode der Oszillation von ρ. Diese Bedingung lässt sich auch umformulieren für
ein Verhältnis der relevanten Längenskalen. Da die Laufzeit des Signals innerhalb von ρ maximal L/c betragen
kann und T = λ/c gilt, erhalten wir, nach Multiplikation der Ungleichung mit c, eine neue Ungleichung
L ≪ λ, r.
Analog zu obiger Entwicklung der Ladungsdichte ist die Entwicklung der Stromdichte gegeben durch:
|r − r′ |
j r′ , t −
= j(r′ , t− ) + ...
c
(4.67)
Der Monopolbeitrag genügt an dieser Stelle. Setzt man die Entwicklung der Ladungsdichte in das Potential Φ
ein so erhält man:
Z 1
r ◦ r′
Φ(r, t) =
+ ... d3 r′
ρ(r′ , t− ) + ρ̇(r′ , t− )
r
c
i
1h
n
=
Q(t− ) + Ṗ (t− ) + ...
r
c
Dies gilt mit n =
r
r
und
Ṗ (t) =
d
dt
Z
ρ(r′ , t) · r′ d3 r′ =
Z
ρ̇(r′ , t) · r′ d3 r′
Der Monopolterm entspricht einer Erzeugung oder Vernichtung von Ladungen und ist daher meist konstant
oder langsam veränderlich. Die Zeitabhängigkeit wird daher vom Dipolbeitrag von Φ dominiert, welcher die
Bewegungen von Ladungen impliziert.
108
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Der zeitabhängige Dipolbeitrag des Potentials Φ ist mit t− = t −
ΦD (r, t) =
r
c
gegeben durch:
1
n ◦ Ṗ (t− )
cr
(4.68)
Einsetzen in das Vektorpotential A liefert analog:
A(r, t) =
1
cr
Z
j(r′ , t− )d3 r′
Der zeitabhängige Monopolbeitrag des Potentials A ist mit t− = t −
AM (r, t) =
Beweis:
r
c
gegeben durch:
1
Ṗ (t− )
cr
(4.69)
Die obige Beziehung bedarf eines Beweises. Hierzu benutzen wir die Kontinuitätsgleichung.
Z
ρ̇(r′ , t) · r′ d3 r′
Z
= − div j(r′ , t) ◦ r′ d3 r′
Z
= j(r′ , t)d3 r′
Ṗ (t) =
Wir beweisen dies noch für eine diskrete Ladungsverteilung mit:
j(r′ , t− ) =
N
X
i=1
qi v 0i δ[r′ − r0i (t− )]
Für eine fixiertes r gilt:
v 0i =
d
d
r (t− ) = r0i (t− )
dt− 0i
dt
Sei außerdem |r0i | ≪ |r| für alle i, damit die Retardierungszeit von qi bis P ungefähr konstant ist. Hiermit wird
der Monopolbeitrag des Vektorpotentials zu:
AM (r, t) =
Diskussion:
N
1 d
1 X
qi ṙ (t− ) =
P (t− )
cr i=1 0i
cr dt
In der Magnetostatik ist die Stromdichte stets stationär. Das heißt es gilt immer
Z
j(r′ )d3 r′ = 0
V
für ein endliches Volumen V . Hier ist j veränderlich und ortsabhängig. Ein gutes Beispiel hierfür ist der HertzDipol.
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
109
Abbildung 4.15: Hertz’scher Dipol
Das Dipolmoment ist hier, wie bereits vorher berechnet:
P (t) = qd(t),
wobei hier allerdings der Abstand d zeitabhängig ist. Nun gibt es zwei Möglichkeiten: Schwingen die beiden
Punktladungen in Phase, so ist der Abstand d = const. und damit ist d˙ = Ṗ = 0. Liegt eine gegenphasige
Bewegung von q und −q vor, so wird ein Strom ohne einen geschlossenen Stromkreis erzeugt. Also ist dann:
Z
j(r′ )d3 r′ 6= 0
V
Nehmen wir für den Abstand folgende Form an:
d(t) = d0 cos ωt
Dies führt zu folgendem Monopolbeitrag der Vektorpotentials:
AM (r, t) = −
mit
r
r
d0
ωq sin ω t −
= −A0 sin ω t −
cr
c
c
A0 (r) = qd0
4.2.3.1
ω
rc
Magnetfeld eines zeitabhängigen Dipols:
Wie gewöhnlich gilt:
B M (r, t) = ∇ × Am (r, t)
1
Ṗ (t− )
∇×
c
r
1
1
= ∇ × Ṗ (t− ) + O
rc
r2
| {z }
=
→0 für r→∞
Weiter ist:
∇r Ṗ (t− ) =
∂ Ṗ ∂t−
1r
= P̈ (t− ) −
∂t− ∂r
cr
Mit den vorangegangenen Überlegungen gilt für das magnetische Feld eines zeitabhängigen Dipols:
B M (r, t) = −
1
n × P̈ (t− )
c2 r
(4.70)
110
4.2.3.2
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Elektrisches Feld eines zeitabhängigen Dipols
Auch hier gilt, wie gewohnt:
E D (r, t) = −∇ΦD −
=−
1 ∂AM
c ∂t
i
1h
P̈
∇t− ·(n ◦ P̈ ) − 2
cr |{z}
c r
− 1c n
1 = 2 n(n ◦ P̈ (t− )) − P̈ (t− )
c r
Für das elektrische Feld eines zeitabhängigen Dipols ergibt sich:
E D (r, t) = −
n
× (P̈ (t− ) × n)
c2 r
(4.71)
oder
E D (r, t) = B M × n
(4.72)
Hiermit ist auch die Frage nach der Orientierung der Feldvektoren geklärt. Folgende Skizze verdeutlicht dies.
Abbildung 4.16: Feldorientierung eines zeitabhängigen Dipols
4.2.3.3
Energiestromdichte der Dipolstrahlung
Wir können den Poynting-Vektor mit den vorigen Ergebnissen berechnen.
c
[E × B]
S ED (r, t) =
4π
1 1
c
2
n · B2 =
(n
×
P̈
)
=
·n
4π
4π c3 r2
t−
Der Poyntingvektor der elektrischen Dipolstrahlung ist gegeben durch:
1 1
(n × P̈ )2 · n
S ED (r, t) =
3
2
4π c r
t−
(4.73)
Es gilt wieder
S =n·c·u
(4.74)
mit der Energiedichte u. Für die Intensität (Leistung pro Fläche) gilt:
I = c · u = |S ED |
(4.75)
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
111
Betrachten wir die Energiestromdichte durch ein Raumwinkelelement dΩ, so entspricht dies einer Fläche dF
mit:
dF = r2 dΩ
Abbildung 4.17: Raumwinkelelement
Die Strahlungsleistung ist dann:
dΦs =
i2
1 h
n × P̈ (t− ) dΩ
3
4πc
Die Strahlung besitzt also eine Verteilung bezüglich des Winkels θ =<
) (P̈ , n),
dΦs (θ) ∝ sin2 θ
Abbildung 4.18: Winkelabhängigkeit des Energiestromes der Strahlung in ein Winkelelement dΩ
Ein Maximum der Intensität wird also auf der Achse senkrecht zum Dipol erreicht. Auf der Achse des Dipols
ist keine Intensität vorhanden.
4.2.3.4
Gesamt-Leistung
Die Gesamt-Leistung ergibt sich nach Integration der Intensität über die Gesamt-Fläche (dieser Zusammenhang
folgt aus dem Energieerhaltungssatz):
dWED
=
dt
Z
dΦs =
1
· 2π
4πc3
Zπ
sin θ|P̈ (t− )|2 sin2 θdθ .
0
Setzt man z = cos θ und benutzt
Z1
−1
so kann man das Integral leicht ausrechnen:
(1 − z 2 )dz =
4
,
3
112
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Die Leistung der elektrischen Dipolstrahlung durch eine geschlossene Oberfläche (Kugel), die den Dipol
enthält ist–bis auf die Retardierung–unabhängig von r.
2
dWED
(r, t) = 3 |P̈ (t− )|2
dt
3c
(4.76)
Beispiel: Wir behandeln nun die elektrische Dipolstrahlung einer mit ω oszillierenden Punktladung. Wir
definieren folgende Trajektorie:
rq (t) = r0 cos ωt
Abbildung 4.19: oszillierende Punktladung
Mit der Ladungsdichte
ρ(r) = qδ[r − rq (t)]
wird das Dipolmoment zu:
Pq =
Z
ρ(r′ ) · r′ d3 r′ = qrq (t)
Man erkennt also, dass eine unbewegte Ladung am Ursprung kein Dipolmoment besitzt (rq = P = 0). Eine
bewegte Ladung besitzt dagegen ein zeitabhängiges Dipolmoment.
P (t) = P 0 cos ωt
mit P 0 = qr0 (t). Jetzt können wir die Felder berechnen.
r
ω2
· n × (P 0 × n)
cos
ω
t
−
c2 r
c
=B×n
E(r, t) =
Also wird das Magnetfeld zu:
B(r, t) =
r
ω2
n × P0
cos
ω
t
−
c2 r
c
Mit den Feldern lässt sich die Intensität der elektrischen Dipolstrahlung einer geradlinig mit ω oszillierenden
Punktladung berechnen.
I(r, t) =
h ω4 1
r i
2
ω
t
−
(n × P 0 )2
cos
4πc3 r2
c
(4.77)
Diskussion: Die Intensität ist proportional zu ω 4 und q 2 und beinhaltet wie die Energiedichte einen Abfall
mit r12 . Eine Ladung emittiert Strahlung, wenn r̈ 6= 0, d.h nur bei beschleunigter Bewegung. Das emittierte
elektromagnetische Feld hat dabei das gleiche Zeitverhalten wie rq (t). Wir haben oben erkannt das die Intensität
folgende Proportionalität hat:
I(θ) ∝ sin2 θ
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
113
Hierbei ist θ der Winkel zwischen der Beobachtungsrichtung und rq . Die Intensität erreicht also ein Maximum
senkrecht zu rq . Die Wechselwirkung zwischen Ladung und Feld ist reversibel. Eine beschleunigte Ladung
emittiert EM-Wellen und umgekehrt beschleunigt eine Feld die Ladung q. Also re-emittiert q. Die Emission
erfolgt hierbei dann in allen Richtungen.
Abbildung 4.20: Reversibilität WW Feld und Ladung
Bei diesem Prozess gibt es keine Dämpfung, d.h. keine Reduktion der Feldenergie. Die Ladung bewirkt nur eine
Umverteilung (Richtung) oder auch eine Streuung der Feldenergie. Die Gesamtenergie aus Ladung und Feld ist
konstant.
Beispiel 2: Nun betrachten wir eine Ladung, die eine Kreisbewegung vollführt. Die entsprechenden Größen
sind in der folgenden Skizze definiert.
Abbildung 4.21: kreisförmige Trajektorie einer Punktladung
Das Dipolmoment ist also parallel zum Einheitsvektor in ρ-Richtung. Dieser Einheitsvektor wird allerdings
gedreht und ist daher zeitabhängig,
P q (t) = P0 êρ (t)
mit P0 = q · ρ. Damit können wir das Magnetfeld berechnen
B ED (r, t) =
P̈ q × n
q · ρ¨ r
× n.
=
ê
t
−
ρ
c2 r
c2 r
c
Also ist B ED parallel zur z-Achse und das elektrische Feld ist E D = n × B ED . Außerdem gilt:
r
|B(t)| ∝ sin α t −
c
Weitere Beispiele für beschleunigte Bewegungen von Ladungen sind etwa die Streuung zweier Teilchen oder eine
Abbremsen im externen Feld (Bremsstrahlung).
4.2.3.5
EM-Strahlung höherer Multipol-Beiträge
Die elektrische Dipolstrahlung ist hat eine lange Reichweite (S ED ∝ r12 ) und dominiert das Strahlungsfeld,
wenn P̈ 6= 0 ist. Bei P̈ = 0 sind die nächsten Beiträge der Entwicklung die elektrische Quaddrupolstrahlung und
114
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
die magnetische Dipolstrahlung. Ein Beispiel für die magnetische Dipolstrahlung ist eine stationärer homogener
Kreisstrom.
Abbildung 4.22: Stationärer Kreisstrom
Hier ist dann P = 0, Q = const., Qij = 0 und I = I(t). Ein Beispiel für elektrische Quadrupolstrahlung sind
zwei Ladungen die auf einer Kreisbahn umeinander mit der Frequenz ω rotieren.
Abbildung 4.23: zwei rotierende Punktladungen
Nimmt man zum Beispiel q1 = q2 und r1 = −r2 so ist P = 0 aber Qij 6= 0 und es liegt elektrische Quaddrupolstrahlung vor.
Multipolentwicklung für das Vektorpotential Wir möchten nun die zeitabhängige Multipolentwicklung
für das Vektorpotential genauer betrachten. Bekannt ist bereits der Monopolbeitrag AM .
A = AM + AD + ...
Doch wenn der Monopolbeitrag verschwindet, dominiert der Dipolbeitrag und es macht daher Sinn sich über
ihn Gedanken zu machen.
Z
j(r′ , t− ) 3 ′
1
(r′ ∇)
d r
AD (r, t) = −
c
r
Z
∂j
1
≈−
(r′ ∇t− )
|{z} ∂t−
cr
− 1c n
Wir betrachten zunächst N Punktladungen mit der Stromdichte
j(r, t) =
N
X
i=1
qi ṙi δ(r − ri (t))
und dem Vektorpotential:
N
AD (r, t) =
1 ∂ X
q
(r
·
ṙ
◦
n)
i
i
i
c2 r ∂t i=1
t−
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
115
Hierbei müssen wir uns zunächst folgendes anschauen:
1 ∂
[(r ◦ n)ri ] +
2 ∂t i
1 ∂
[(r ◦ n)ri ] +
=
2 ∂t i
(ri ◦ n) · ṙi =
1
1
(r ◦ n)ṙi − (ṙi ◦ n)ri
2 i
2
1
n × (ṙi × ri )
2
Damit können wir das Vektorpotential in veränderter Form schreiben.
AD (r, t) =
N
1 ∂ X
∂
×
(
ṙ
q
[(r
◦
n)r
]
+
n
×
r
)
i
i
i
i
2c2 r ∂t i=1
∂t i
t−
Erinnern wir uns an die Definition des magnetischen Momentes
N
m(t) =
1 X
qi r (t) × ṙi (t)
2c i=1 i
und an das elektrische Quadrupolmoment
Qmk =
Z
ρ(r′ (3x′m x′k − r′2 δmk )
Wir können nun folgendes definieren:
Dk (t) := 3 ·
N
X
i=1
qi xim xik · nm = Qmk (t) · nm
Dies funktioniert, da der zweite
PSummand und dem Integral des Quadrupolmomentes ein irrelevanter Zusatzterm
zu D ist. Dies ist der Fall da i qi ri2 · n nicht zum Magnetfeld beiträgt wegen B ⊥ n.
Der Dipolbeitrag zur zeitabhängigen Multipolentwicklung der Vektorpotentials A ist:
AD (r, t) =
zugehöriges Magnetfeld:
gnetfeld.
1
1
D̈(t− ) + [ṁ(t− ) × n]
6c2 r
cr
(4.78)
Wir berechnen nun das zum Dipolbeitrag des Vektorpotentials gehörende MaB D = ∇ × AD (r, t− )
=
1 ∂2
1
[∇t− × Ḋ] + ∇t− (m̈ × n)
2
2
6c r ∂t
cr
Mit ∇t− = − 1c n erhält man dann die Felder.
Die Felder der elektrischen Quadrupol- und magnetischen Dipolstrahlung sind gegeben durch:
und
BD r,t
=
1 ∂3
1
D
(
m̈
×
n
×
n)
×
n
+
6c3 r ∂t3
c2 r
t−
t−
ED = BD × n
Strahlungsleistung:
dΦs =
c 2 2
B · r dΩ
4π
dΦED
1
=
(n × P̈ )2
dΩ
4πc3
(4.79)
(4.80)
116
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Also gilt:
2
3
2 3
1 1 1
dΦEQ
∂
∂
=
D
Q
∝
×
n
km
dΩ
36 4π c5 ∂t3
∂t3
1 1
dΦM D
=
((m̈ × n) × n)2
dΩ
4π c3
Betrachtet man das Größenverhältnis mit der charakteristischen Geschwindigkeit v der Ladungen:
v 2
c3 ṙ2
dΦEQ
∝ 5 =
dΦED
c
c
v 2
dΦM D
∝
dΦED
c
Die beiden Anteile haben dieselbe r-Abhängigkeit.
Gesamtstrahlungsleistung:
Nach Landau ist das Resultat [LL92]:
2
1
dW
2
(t) = 3 |P̈ (t− )|2 + 3 |m̈(t− )|2 +
dt
3c
3c
180c5
∂3
Qab
∂t3
2
Nun betrachten wir noch die räumliche Winkelverteilung.
D ∝ r ◦ n ∝ cos θ
und
B EQ ∝
∂3
D × n ∝ sin θ
∂t3
Hierbei ist θ <
) (r, n).
dΦEQ
(θ) ∝ cos2 θ · sin2 θ
dω
und der magnetische Dipolbeitrag ist proportional zu sin2 θ analog zum elektrischen Dipolbeitrag.
Spektralzusammensetzung der Strahlung: Ist die Quelle der Strahlung eine sich monochromatisch bewegende Ladung mit ri (t) ∝ cos(ωt), dann gilt P ∝ r und damit P̈ ∝ cos(ωt). Daraus folgt, dass die Felder E, B
ebenfall proportional zu cos(ωt) mit derselben Frequenz sind. Betrachten wir das Quadrupolmoment, welches
proportional zu ra rb ist, so gilt:
...
Qab ∝ sin2 (ωt)
Hieraus folgt dann:
E, B ∝ A sin(ωt) + B sin(2ωt).
4.2.4
Dämpfung einer strahlenden Ladung (Energieverlust)
Abstrahlung elektromagnetischer Wellen bedeutet einen Energieverlust des abstrahlenden Teilchens und unterliegt der Energieerhaltung für Feld und Materie. Wir nehmen eine Abschätzung für das elektrische Dipolmoment
bei einer harmonischen Bewegung vor. Es gilt:
2
dWED
= 3 |P̈ |2
dt
3c
Hierbei ist das Dipolmoment P gegeben durch:
P (t) = qr0 cos(ωt)
Außerdem gilt:
v = −ωr0 sin(ωt)