Geometrie-Aufgaben: ¨Ahnlichkeit 2 Repetitionsserie zur

Geometrie-Aufgaben: Ähnlichkeit 2
Repetitionsserie zur Satzgruppe des Pythagoras
• den Satz des Pythagoras
Formuliere
• den Höhensatz
• den Kathetensatz
1. Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC die fehlenden Seiten und
Winkel:
Gegeben sind:
(a) a = 7 ∧ b = 24
(b) q =
25
13
∧ p=
144
13
(c) b = 4 ∧ A∆ABC = 15
(d) h = 3 ∧ q = 1.5
√
(e) b = 5 ∧ p = 4
(f) h = 2 ∧ A∆ABC = 8.5
Lösungen:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
a
b
c
h
q
p
A∆ABC
7
24
25
6.72
23.04
1.96
84
13
60
13
25
13
144
13
30
8.5
60
17
64
34
225
34
15
7.5
3
1.5
6
11.25
5
2
1
4
5
8.5
2
0.5
8
8.5
12
7.5
√
3 5
√
2 5
√
2 17
5
4
√
5
√
5
√
1
17
2
3
2
1
2. In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind a = 7 und b = 24.
Berechne (a) c,
(b) h,
(c) q,
(d) p,
(e) den Flächeninhalt A∆ABC .
3. In einem gleichseitigen Dreieck ∆ABC ist s = 6.
Berechne (a) die Höhe h,
(b) den Flächeninhalt A∆ABC .
4. In einem gleichseitigen Dreieck ∆ABC ist die Seitenlänge s.
Berechne (a) die Höhe h,
(b) den Flächeninhalt A∆ABC .
(c) Kontrolliere mit Deinen Formeln die Resultate aus Aufg. 2..
5. In einem gleichschenkligen Dreieck
√ ∆ABC mit der Spitze C ist die Höhe
hc = 5 und die Seitenlänge a = 29.
Berechne (a) die Basislänge,
(b) den Flächeninhalt A∆ABC .
6. Von einer quadratischen Platte mit der Kantenlänge a werden vier Dreiecke so abgesägt, dass ein regelmässiges Achteck entsteht.
Bestimme die Seitenlänge des Achtecks und dessen Flächeninhalt.
2
7. Vom Dreieck ∆ABC sind die folgenden Punkte gegeben:
A = (−5/ − 10), B = (40/ − 10), C = (11.2/11.6)
(a) Beweise, dass das Dreieck ∆ABC rechtwinklig ist.
(b) Berechne den Flächeninhalt A∆ABC des Dreiecks ∆ABC.
(c) Berechne die Länge der Hypotenusenabschnitte.
8. Die Quadratseite ist immer a.
Berechne jeweils die fehlenden Grössen r, R und s:
(a)
(b)
3
(c)
(d)
(e)
4
9. Wie tief sackt die Kugel ein?
10. Welcher Abstand haben die Ecken eines Würfels mit der Kantenlänge a
von der Raumdiagonalen?
11.
Def.:
Drei Zahlen a, b und c heissen
ein pythagoräisches Zahlentrippel :⇔ a2 + b2 = c2
Beweise die folgenden Aussagen:
Wenn x und y zwei natürliche Zaheln sind, dann bilden a, b und
c ein pythagoräisches Zahlentrippel, mit
a) a = 2x,
b = x2 − 1,
c = x2 + 1.
2
2
b) a = 2xy, b = x − y , c = x2 + y 2 .
Bestimme weiter mit den obigen Vorschriften drei verschiedene pythagoräische Zahlentrippel.
12. Erkläre, warum das Dreieck eine so wichtige Figur in der Geomtrie ist.
13. Gegeben sind zwei beliebige Quadrate I & II.
Konstruiere ein Quadrat III mit dem Flächeninhalt AIII = AI + AII .
14. Konstruiere
√
2,
√
3,
√
10,
√
24
5