Die irrationalen Zahlen - School

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Auszug aus:
Die irrationalen Zahlen
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Die Irrationalen Zahlen – eine Einführung
Reihe 6
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Literatur
S1
I/A
Die irrationalen Zahlen
– eine Einführung
(9./10. Schuljahr)
Dr. Walter Geßner, Würzburg
Inhaltsübersicht
Begründung des Reihenthemas
Fachwissenschaftliche und didaktisch-methodische Orientierung
Verlaufsübersicht
Material
31 RAAbits Mathematik Juni 2002
Die Irrationalen Zahlen – eine Einführung
Reihe 6
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Literatur
S2
Begründung des Reihenthemas
I/A
Die schrittweise Erweiterung der benötigten Zahlenmengen, von der Menge ⺞ der
natürlichen Zahlen bis hin zum Körper ⺓ der komplexen Zahlen, ist eine der
Grundaufgaben des Mathematikunterrichts. Demgemäß wird sie in allen Lehrplänen zu
Recht hervorgehoben.
Im Folgenden betrachten wir den Übergang vom Körper ⺡ der rationalen Zahlen zum
Körper ⺢ der reellen Zahlen, der in den Jahrgangsstufen 9 und 10 zu leisten ist. Für
diesen Schritt wird im Folgenden eine Unterrichtssequenz vorgestellt, die verschiedene
Durchläufe erlaubt. Naturgemäß spielt dabei die Menge ⺢\⺡ der irrationalen Zahlen
eine entscheidende Rolle.
Fachwissenschaftliche und didaktisch-methodische Orientierung
Es gibt im Wesentlichen zwei (miteinander verwandte) Methoden, um ⺢ aus ⺡ zu
konstruieren: die Dedekind’schen Schnitte und die Cantor’schen Fundamentalfolgen.
Beide Verfahren lassen sich zwar elementarisieren, verlangen von den Schülerinnen und
Schülern aber auch dann noch ein erhebliches Abstraktionsvermögen. Im Folgenden
werden sie daher nicht verwendet.
Stattdessen wird ein populärer, wenngleich nicht gerade axiomatischer Weg zur
Definition von ⺢ beschritten: Der rechnerischen Praxis entsprechend definieren wir ⺢
als die Menge aller denkbaren Dezimalbrüche. Eingeschlossen sind positive und
negative Dezimalbrüche mit endlich vielen (echten) Stellen, periodische Dezimalbrüche
mit oder ohne Vorperiode, aber nun auch unperiodische Dezimalbrüche mit unendlich
vielen Stellen. Diese populäre Definition von ⺢ „erkauft“ man allerdings mit der
theoretischen Schwierigkeit, die Grundrechenarten zu definieren. An welcher Stelle soll
man schließlich anfangen, Dezimalbrüche mit unendlich vielen echten Stellen zu
addieren, wenn es keine „letzten“ Stellen gibt? Hier hilft aber die Rechenpraxis weiter:
Man legt sich bei der vorgelegten Grundrechenaufgabe auf eine bestimmte
Mindestgenauigkeit fest, also eine feste Zahl von Dezimalstellen, und denkt sich die
übrigen unendlich vielen Dezimalstellen „abgeschnitten“. Es verbleiben dann rationale
Zahlen, mit denen man wie üblich rechnen kann. Auf diese Weise lassen sich die
Grundrechenarten auch in der Zahlenmenge ⺢\⺡ bis zu einer beliebigen Genauigkeit
festlegen. Damit sind, für den Unterricht in der Sekundarstufe I völlig ausreichend, die
Grundrechenarten in ⺢ definiert. Ein weiterer Vorteil der Methode ist, dass die
Permanenz der Rechengesetze nicht mehr eigens nachgewiesen werden muss.
Somit bleibt Zeit, Themen zu wiederholen oder neu zu behandeln, die beim Übergang
von ⺡ zu ⺢ eine große Rolle spielen:
– Die Zahlenmengen ⺞, ⺞0 und ⺪; Begriff der Primzahl; Primfaktorzerlegung.
– Definition der Zahlenmenge ⺡; Dezimalbruchschreibweise der rationalen Zahlen;
Einsicht, dass jede rationale Zahl sich entweder als Dezimalbruch mit endlich vielen
(echten) Stellen oder als periodischer Dezimalbruch (mit oder ohne Vorperiode)
schreiben lässt; praktische Durchführung der entsprechenden Umformungen.
– Beweisverfahren der „indirekten“ Beweise bzw. Beweise „durch Widerspruch“: Zum
Thema gehören auch Beweise für die Irrationalität verschiedener Quadratwurzeln
und höherer Wurzelzahlen. Diese Beweise gehören zu den ersten indirekten, welche
die Schülerinnen und Schüler überhaupt kennen lernen und sollten daher einen
nachhaltigen Eindruck hinterlassen.
31 RAAbits Mathematik Juni 2002
Die Irrationalen Zahlen – eine Einführung
Reihe 6
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Literatur
S3
Schematische Verlaufsübersicht
I/A
Irrationale Zahlen
Das beschriebene Thema wird in sechs Unterrichtseinheiten gegliedert, denen jeweils
die Materialien M 1 bis M 6 zugeordnet sind:
Einheit 1
M1
Wiederholung der Zahlenmengen ⺞, ⺞0 und ⺪; Wiederholung der Primfaktorzerlegung für Zahlen aus ⺞; Wiederholung der Zahlenmenge ⺡; Dezimaldarstellung der Zahlen aus ⺡; Erkenntnis, dass als Dezimalbruch entweder ein
Bruch mit endlich vielen echten Stellen oder ein periodischer Dezimalbruch
entsteht; Aufgaben zur Umformung.
Einheit 2
M2
Demonstration, dass es unperiodische Dezimalbrüche mit unendlich vielen
echten Stellen gibt; Definition der Menge ⺢ der reellen Zahlen als Menge aller
denkbaren Dezimalbrüche; Veranschaulichung durch die Zahlengerade; Definition der Grundrechenarten in ⺢ durch die Methode des „Abschneidens“; Menge
der irrationalen Zahlen = ⺢\⺡.
Einheit 3
M3
Beweis der Irrationalität von ED
10. Der Beweis erfolgt fast intuitiv und erfordert
nicht einmal eine Primfaktorzerlegung.
Einheit 4
M4
Beweis der Irrationalität von EFp, p = Primzahl.
Einheit 5
M5
Diskussion maßgleicher und maßfremder Streckenpaare als geometrische Anwendung der algebraischen Überlegungen.
Einheit 6
Beweis der Irrationalität von
M6
k
p , p = Primzahl.
Minimalplan
Bei Zeitmangel oder für einen betont praktisch orientierten Unterricht dürfte es ausreichen, den Stoff nur im Rahmen der Materialien M 1 bis M 3 zu behandeln.
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Reihe 6
Verlauf
Material
LEK
S1
Materialübersicht
I/A
M 1 (Ab)
Wiederholung
M 2 (Ab)
Irrationale und reelle Zahlen
M 3 (Ab)
Ist ED
10 eine rationale oder eine irrationale Zahl?
M 4 (Ab)
Die Irrationalität von EFp (p = Primzahl)
M 5 (Ab)
Maßgleiche und maßfremde Strecken
M 6 (Ab)
Die Irrationalität von
31 RAAbits Mathematik Juni 2002
k
p
(p = Primzahl)
Glossar
Literatur
Die Irrationalen Zahlen – eine Einführung
Reihe 6
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Literatur
S4
M 3 Ist
10 eine rationale oder eine irrationale Zahl?
Vorüberlegung
Die Zahlen 65, 130, 4500, 17 000, 20 000 enden mit
0, 1, 2, 3, 4 Nullen.
Quadriere diese Zahlen. Mit wie vielen Nullen
enden die Quadratzahlen?
Ergebnis:
Die Quadratzahl einer natürlichen Zahl endet stets mit einer _________________ Anzahl
von Nullen (eventuell mit 0 Nullen).
Untersuchung von ED
10
Wir gehen nach einer Methode vor, die man „indirekter“ Beweis oder „Beweis durch
Widerspruch“ nennt.
Dazu nehmen wir an, ED
10 wäre eine rationale Zahl. Dann kann ED
10 als gewöhnlicher
Bruch geschrieben werden:
ED
10 = ab , wobei a und b natürliche Zahlen sind. Multiplikation beider Seiten mit b und
Quadrieren ergibt
10b2 = a2.
Mit wie vielen Nullen enden die Quadratzahlen a2 und b2 ?
Die Zahl 10b2 der linken Seite endet folglich mit einer ___________________ Anzahl von
Nullen. Damit hat sich ein Widerspruch ergeben, denn ein und dieselbe Zahl kann nicht
gleichzeitig mit einer geraden und einer ungeraden Anzahl von Nullen enden.
Die Annahme, ED
10 sei eine rationale Zahl, war also falsch. Folglich ist ED
10 eine
irrationale Zahl und stellt als solche einen unperiodischen Dezimalbruch mit unendlich
vielen echten Stellen dar.
Aufgaben
a) Weshalb funktioniert der eben angegebene Beweis nicht für EFD
100 = 10 oder für
EDD
1000 = 100?
1000 und EDD
1000D
00 irrationale Zahlen sind.
b) Beweise, dass auch EDD
c) Wenn a und b irrationale Zahlen sind, ist dann auch ihr Produkt a ⋅ b oder ihr
Quotient ba , immer eine irrationale Zahl?
[Hinweis: Nimm a =EDD
1000 und b = ED
10.]
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