Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik
Woche 2
Harald Zankl
Institut für Informatik @ UIBK
Wintersemester 2014/2015
Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Beispiel
Wenn das Kind schreit, dann hat es Hunger.
Das Kind schreit.
Also, hat das Kind Hunger.
Fakt
Die Korrektheit dieser Schlussfigur ist unabhängig von den konkreten
Aussagen.
Definition (Modus Ponens)
Wenn A, dann B.
A gilt.
Also, gilt B.
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
19/210
Zusammenfassung
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Logik
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen
Einführung in die Algebra
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Einführung in die Programmverifikation
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
20/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax der Aussagenlogik
Definition
Sei AT eine Menge von atomaren Formeln (oder Atomen), deren
Elemente mit p, q, r , . . . bezeichnet werden
Definition
Wahrheitswertsymbole:
True
False
Junktoren:
¬
HZ (IFI)
∧
∨
ETI - Woche 2
→
21/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax der Aussagenlogik (2)
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
1
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
2
ein Wahrheitswertsymbol (True, False) ist eine Formel, und
3
wenn A und B Formeln sind, dann sind
¬A
(A ∧ B)
(A ∨ B)
auch Formeln
(A → B)
Beispiel
Der Ausdruck ((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) ist eine Formel
Konvention
Wir verwenden die folgende Präzedenz:
¬ > ∨, ∧ > →
HZ (IFI)
→ ist rechts-assoziativ: A → (B → C )
ETI - Woche 2
22/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
T und F bezeichnen die beiden betrachteten Wahrheitswerte
2
Belegung v : AT → {T, F} assoziiert Atome mit Wahrheitswerten
Beispiel
Betrachte die Atome p, q und r, sowie


T
v(a) := F


F
die folgende Belegung:
a=p
a=q
a=r
Wir schreiben auch v(p) = T, v(q) = F, v(r) = F.
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
23/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik (2)
Definition
1
Atome sind Platzhalter für konkrete atomare Aussagen (Formeln)
2
Junktoren sind formale Zeichen, die Aussagen verbinden
¬
∧
∨
→
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation
3
Die Bedeutung wird durch Wahrheitstafeln definiert
¬
T F
F T
∧ T F
T T F
F F F
∨ T F
T T T
F T F
→ T F
T T F
F T T
Beispiel
Die allgemeine Aussage Wenn p, dann q“ schreiben wir:
”
p→q
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
24/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik (3)
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert
für Formeln:
(
T v̄(A) = F
v̄(p) = v(p)
v̄(¬A) =
F v̄(A) = T
(
T v̄(A) = v̄(B) = T
v̄(True) = T
v̄(A ∧ B) =
F sonst
(
F v̄(A) = v̄(B) = F
v̄(False) = F
v̄(A ∨ B) =
T sonst
(
T v̄(A) = F oder v̄(B) = T
v̄(A → B) =
F sonst
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann ist v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F.
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
25/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf.
Beispiel
Betrachte die Formel:
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
Wir stellen die folgende Wahrheitstabelle auf:
p
T
T
F
F
HZ (IFI)
q
T
F
T
F
(p → ¬q)
F
T
T
T
(¬q → ¬p)
T
F
T
T
ETI - Woche 2
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
T
F
T
T
26/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Eigenschaften
Definition
Eine Formel A heißt
1
erfüllbar, wenn Belegung v existiert, sodass v̄(A) = T,
2
unerfüllbar, wenn keine solche Belegung existiert, und
3
gültig bzw. Tautologie, wenn für alle Belegungen v, v̄(A) = T.
Beispiel
• erfüllbar: p, q, p ∧ q
• unerfüllbar: p ∧ ¬p
• Tautologie: p ∨ ¬p, ¬(p ∧ ¬p)
Satz
Wenn eine Formel A gültig ist, dann ist A auch erfüllbar.
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
27/210
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar.
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• angenommen v̄(A) = T, für alle Belegungen v
• also v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• somit ist ¬A unerfüllbar
2
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
• angenommen ¬A ist unerfüllbar
• v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• also v̄(A) = T, für alle Belegungen v und somit gültig
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
28/210
Konsequenz und Äquivalenz
Konsequenz und Äquivalenz von Formeln
Definition (Konsequenz)
Die Konsequenzrelation A1 , . . . , An |= B gilt, gdw. für alle Belegungen v:
Wenn v̄(A1 ) = T, . . . , v̄(An ) = T, dann
v̄(B) = T
Beispiel
p 6|= q
p, q |= q
p ∧ q |= q
p 6|= p ∧ q
p → q |= ¬p ∨ q
|= p ∨ ¬p
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Beispiel
p 6≡ q
HZ (IFI)
p ∧ q 6≡ q
p 6≡ p ∧ q
ETI - Woche 2
p → q ≡ ¬p ∨ q
29/210
Konsequenz und Äquivalenz
Assoziativität und Kommutativität von Junktoren
Fakt
• Konjunktion und Disjunktion sind assoziativ und kommutativ
• Wir unterscheiden nicht zwischen:
(A ∧ B) ∧ C
A ∧ (B ∧ C )
A∧B
B ∧A
A∧B ∧C
Definition
1
2
3
4
HZ (IFI)
Vn
Ai = A1 ∧ · · · ∧ An
Wi=1
n
Ai = True
Vi=1
0
Wi=1
0
Ai = A1 ∨ · · · ∨ An
i=1 Ai
= False
ETI - Woche 2
30/210
Konsequenz und Äquivalenz
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∧ True ≡ A
A → True ≡ True
A ∨ False ≡ A
A ∧ False ≡ False
A → False ≡ ¬A
A∧A≡A
True → A ≡ A
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
A ∧ ¬A ≡ False
False → A ≡ True
A → A ≡ True
Lemma (Distributivgesetze und Andere)
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )
A → B ≡ ¬A ∨ B
HZ (IFI)
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B
ETI - Woche 2
31/210
Konsequenz und Äquivalenz
Äquivalenzen II
Lemma (Kommutativ- und Assoziativgesetze)
A∧B ≡B ∧A
A∨B ≡B ∨A
A ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ C
Lemma (Absorptionsgesetze)
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B
A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B
Lemma (Gesetze von de Morgan)
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
HZ (IFI)
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
ETI - Woche 2
32/210
Konsequenz und Äquivalenz
Gleiches durch Gleiches Ersetzen
Definition
Eine Teilformel A einer Formel B ist ein Teilausdruck von B, der
wiederum eine Formel ist.
Satz
1
Seien A, B Formeln und E , F Teilformeln von A, B
2
Gelte E ≡ F
3
B ist das Resultat der Ersetzung von E durch F in A
Dann gilt A ≡ B
Beispiel
Seien A = (p → q) ∧ r und B = (¬p ∨ q) ∧ r .
Da p → q ≡ ¬p ∨ q gilt (p → q) ∧ r ≡ (¬p ∨ q) ∧ r .
HZ (IFI)
ETI - Woche 2
33/210