8. Kapitel: Zufallsvariablen und Verteilungen

8. Kapitel: Zufallsvariablen und Verteilungen
8.1 Verschiedene Typen von Zufallsvariablen
Eindimensionale Zufallsvariablen
Beispiel:
2 unterscheidbare Münzen: „Kopf“ oder „Zahl“
Ω=
X sei Zufallsgröße mit Anzahl „Kopf“
X(
;
)=
X(
;
)=
X(
;
)=
X(
;
)=
Definition Zufallsvariable
Ist ein Zufallsvorgang mit der Ergebnismenge Ω gegeben, so heißt jede Abbildung
X: Ω ->ℝ eine (eindimensionale) Zufallsvariable.
Ereignisse, die durch Zufallsvariablen gebildet werden, sind allgemein von der Gestalt
X ∑ B , wobei B ein Bereich reeller Zahlen ist.
Realisierung oder Realisation von X
= der Wert x, den eine Zufallsvariable X bei der Durchführung des zu Grunde liegenden
Zufallsvorganges annimmt.
 Jede Zufallsvariable stellt selbst ein Zufallsgeschehen dar!
Wertebereich
= Menge aller möglichen Realisierungen von X
X(Ω) = {x : x = X (ω), ω ∑Ω}
Beispiel Zeitungskiosk
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Bei Zufallsvorgang können mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig von Interesse sein.
Durch Zufallsvariablen X1,…, Xn lässt sich allgemein beschreiben:
-
die simultane Beobachtung von n Merkmalen bei einem Zufallsvorgang
ein Zufallsgeschehen, das aus n verschiedenen Teilvorgängen besteht,
z.B. die n-fache Durchführung eines wiederholbaren Zufallsvorgangs, sofern die
möglichen Ergebnisse der einzelnen Teilvorgänge durch reelle Zahlen
charakterisierbar sind;
Xi beschreibt dann den i-ten Teilvorgang
Definition n-dimensionale Zufallsvariable
= Abbildung X mit Werten im ℝn, die bei der Zusammenfassung der n Zufallsvariablen zu
X = (X1, X2,…, Xn) entsteht
 Ereignisse i.A. von Werten aller n Zufallsvariablen abhängig!
Weiteres Beispiel
Jedes Zufallsgeschehen ist (hinreichend genau) durch Zufallsvariablen charakterisierbar.
„wirtschaftliche Situation der BRD Ende nächstens Jahres“ als Ergebnis eines
Zufallsvorgangs
Elementarereignis:
Zufallsvariablen:
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Die Zufallsvariablen X1, X2,..., Xn heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des
Durchschnitts von Ereignissen Xi ∑ Bi, i= 1, …, n stets (d.h. für alle zulässigen Bereiche Bi
⊆ ℝ) gleich dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist:
P (X1 ∑ B1, … , Xn ∑ Bn) = P (X1 ∑ B1 ) * …* P (Xn∑ Bn)
 Eintreten eines beliebigen Ereignisses Xi ∑ Bi liefert keine Info mit welcher
Wahrscheinlichkeit übrige Zufallsvariablen Xj , j ≠ i Werte in irgendwelchen
Bereichen Bj annehmen
8.2 Verteilungsfunktion einer eindimensionalen Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion von X
Funktion F zu einer eindimensionalen Zufallsvariablen, die jeder Zahl x zwischen
-∞ und +∞ die Wahrscheinlichkeit
zuordnet.
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
8.3 Eindimensionale diskrete Zufallsvariablen
diskrete Zufallsvariable
 X kann nur endlich oder abzählbar unendliche Werte annehmen Wertebereich {x1,
x2, x3, …}
 zu jedem xi existiert eine Zahl pi > 0 mit pi = P(X=xi),
wobei p1+p2+p3+…= 1 gelten muss
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

Funktion die jeder reellen Zahl x die Wahrscheinlichkeit zuordnet, mit der sie von
X angenommen wird
 Verteilung diskret: Verteilungsfunktion ist Treppenfunktion mit Sprüngen in jedem
in jedem xi und Sprunghöhe f(xi)=pi