Einführung in die Funktionentheorie

Notizen zur Vorlesung
Einführung in die Funktionentheorie
Grundlagenkapitel
Daniela Kraus
Sommersemester 2014
Universitat W
urzburg
A Grundlagen
A.1 Komplexe Zahlen
Es sei R der Korper der reellen Zahlen. Wir denieren zwei Verknupfungen + : R2 R2 ! R2
und : R2 R2 ! R2 durch
(a; b) + (c; d) := (a + c; b + d)
(a; b) (c; d) := (ac bd; bc + ad) :
Dann bildet R2 mit den Verknupfungen + und einen Korper mit der Null\ 0 := (0; 0) 2 R2
"
und der Eins\ 1 := (1; 0) 2 R2 .
"
Insbesondere gilt (0; 1)2 + 1 = (0; 1) (0; 1) + 1 = ( 1; 0) + (1; 0) = (0; 0) = 0. Das Element
i := (0; 1) 2 R2 hat also die Eigenschaft i2 = 1. Wir nennen i die imaginare Einheit.
Es gilt (a; 0) + i (b; 0) = (a; 0) + (0; 1)(b; 0) = (a; b) fur alle a; b 2 R. Identiziert man also
(a; 0) 2 R2 jeweils mit a 2 R, so lassen sich die Elemente (a; b) 2 R2 in der komplexen\
"
Form a + ib schreiben.
Definition A.1
Es sei C := fa + ib : a; b 2 Rg. Wir nennen (C; +; ) mit der Addition
(a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d)
und der Multiplikation
(a + ib) (c + id) := (ac
bd) + i(bc + ad)
den Korper der komplexen Zahlen.
Fur eine komplexe Zahl z = x + iy 2 C mit x; y 2 R heit x der Realteil von z und wird mit
Re z abgekurzt; die Zahl y heit Imaginarteil von z und wird mit Im z abgekurzt.
Die komplexe Zahl z 2 C heit rein imaginar, wenn Re z = 0. Sie heit reell, wenn Im z = 0.
Wir schreiben dann z 2 R.
Fur z = x + iy 2 C heit z := x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.
p
Fur z = x + iy 2 C heit jz j := x2 + y 2 der Betrag der komplexen Zahl.
Bemerkungen A.2
(a) Jede komplexe Zahl
z = x + iy lasst sich mit dem Punkt (x; y) 2 R2 identizieren. Die
Addition der beiden komplexen Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 entspricht dann
gerade der Vektoraddition von (x1 ; y1 ) 2 R2 und (x2 ; y2 ) 2 R2 .
R mit fx + i0 : x 2 Rg C, so enthalt der Korper der komplexen
Zahlen den Korper der reellen Zahlen. Man nennt fx + i0 : x 2 Rg deshalb auch die
reelle Achse. Die Menge fiy : y 2 Rg C heit imaginare Achse.
(b) Identiziert man
jz j einer komplexen Zahl z = x + iy 2 C entspricht der euklidischen Lange
des Vektors (x; y ) 2 R .
(c) Der Betrag
2
1
Grundlagen
Bemerkung A.3
Der Korper der komplexen Zahlen C kann nicht angeordnet werden.
Lemma A.4
Es gelten die Rechenregeln:
(a)
z1 + z2 = z1 + z2 fur alle z1 ; z2 2 C.
1
1
(b)
z1 z2 = z1 z2 fur alle z1 ; z2 2 C und
(c)
z + z = 2 Re z und z z = 2i Im z fur alle z 2 C.
(d) F
ur
z
=
z
z 2 C gilt: z = z () z 2 R.
(g)
zz = x2 + y2 2 R fur alle z = x + iy 2 C.
1
z
x
Fur z = x + iy 2 Cnf0g gilt =
= 2
z zz x + y2
jz1 z2j = jz1j jz2j fur alle z1; z2 2 C.
(h)
jz
(e)
(f)
1
fur alle z 2 Cnf0g.
+ z2 j jz1 j + jz2 j und jz1 j
jz j jz
2
1
i
y
x + y2
2
.
z2 j fur alle z1 ; z2 2 C.
Fur eine komplexe Zahl z0 2 C und r > 0 bezeichnet
Kr (z0 ) := fz 2 C : jz z0 j < rg
die oene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z0 und Radius r.
A.2 Folgen und Reihen
Definition A.5
(a) Eine Folge (an ) C heit konvergent, falls ein a 2 C existiert derart, dass
8"> 9N 2N 8nN jan aj < ".
0
Man schreibt nlim
!1 an = a.
(b) Eine Folge (an ) C heit Cauchy{Folge, falls
8"> 9N 2N 8n;mN jan amj < ".
0
Satz A.6
Der Korper der komplexen Zahlen C ist vollstandig, d.h. jede Cauchy{Folge in C konvergiert
in C.
Korollar A.7
Es sei (an ) C eine Folge. Dann sind folgende Aussagen aquivalent.
(a) (an ) konvergiert in
C.
(b) (an ) ist eine Cauchy{Folge.
(c) Die reellen Folgen (Re(an )) und (Im(an )) konvergieren in
2
R.
Grundlagen
Definition A.8
Es sei (an ) C eine Folge. Ein Punkt a 2 C heit Haufungspunkt der Folge (an ), falls eine
Teilfolge (ank ) der Folge (an ) existiert, die gegen a konvergiert.
Definition A.9
Es sei (ak )
sn :=
n
P
k=0
C. Die Reihe
1
P
k=0
ak heit konvergent, falls die Folge (sn ) der Partialsummen
ak konvergiert.
Bemerkung A.10
Es sei (ak ) C.
1
P
ak .
(a) Falls ak 6= 0 f
ur fast alle k und lim sup aak+1
< 1, so konvergiert die Reihe
k
k!1
k=0
1
p
P
(b) Falls lim sup k jak j < 1, so konvergiert die Reihe
ak .
k!1
k=0
A.3 Stetige Funktionen
Definition A.11
Es sei D C und f : D ! C. Die Funktion f heit stetig in z0 2 D, falls eine der folgenden
aquivalenten Aussagen gilt.
(a)
8"> 9> 8z2K
0
0
jf (z ) f (z )j < " :
0\
(z ) D
0
(b) F
ur jede Folge (zn ) D mit lim
n
!1 zn = z0 folgt nlim
!1 f (zn ) = f (z0 ) .
Bemerkung A.12
Es sei D C und f : D ! C. f ist genau dann stetig in z0
Im(f ) : D ! R stetig in z0 sind.
2 D, falls Re(f ) : D ! R und
A.4 Funktionenfolgen und Funktionenreihen
Definition A.13
Es sei D C und fn : D ! C, n 2 N.
(a) Die Funktionenfolge (fn ) heit punktweise konvergent in
D (gegen die Grenzfunktion
f ), falls fur jedes z 2 D die Folge (fn (z )) gegen f (z ) konvergiert, d.h.
8z2D 8">0 9N 2N 8nN jfn(z ) f (z )j < ".
(b) (fn ) heit gleichmaig konvergent in
8">
0
D (gegen die Grenzfunktion f ), falls
9N 2N 8nN 8z2D jfn(z ) f (z )j < ".
Definition A.14
Es sei D C und fn : D ! C, n 2 N.
1
P
(a) Die Funktionenreihe
fn (z ) heit punktweise konvergent in D, falls fur jedes z 2 D
n=1
die Folge (sk ) der Partialsummen sk (z ) =
k
P
n=1
fn (z ) punktweise konvergiert.
3
Grundlagen
(b) Die Funktionenreihe
1
P
n=1
fn (z ) heit gleichmaig konvergent in D, falls die Folge (sk )
der Partialsummen sk (z ) =
k
P
n=1
fn (z ) gleichmaig konvergiert.
Satz A.15
Es sei D C und fn : D ! C sei stetig fur jedes n 2 N.
(a) Konvergiert (fn ) gleichmaig in
(b) Konvergiert
1
P
n=1
D gegen f : D ! C, so ist f stetig in D.
fn (z ) gleichmaig in D, so ist
1
P
n=1
fn (z ) stetig auf D.
1
P
Es sei D C, fn : D ! C fur n 2 N und cn > 0 fur n 2 N, derart, dass
cn konvergiert.
n=1
1
P
Falls jfn (z )j cn fur alle z 2 D und jedes n 2 N gilt, so konvergiert
fn (z ) gleichmaig
n=1
in D.
Satz A.16 (Majorantenkriterium)
Definition A.17
Es sei ak 2 C fur jedes k 2 N0 und z0 2 C. Dann heit die Reihe
1
X
ak (z z0 )k
k=0
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z0 .
Die Zahl
R :=
1
p
lim sup k jak j
k!1
wird Konvergenzradius der Potenzreihe genannt und die Kreisscheibe KR (z0 ) die Konvergenzkreisscheibe der Potenzreihe.
Satz A.18
1
ak (z z0 )k konvergiert in jeder kompakten Menge K KR (z0 )
ihrer Konvergenzkreisscheibe KR (z0 ) absolut und gleichmaig. Sie ist daher auf KR (z0 ) stetig.
Eine Potenzreihe f (z ) =
P
k=0
Beispiele A.19
Die Funktionen
1 zk
exp(z ) :=
k!
k=0
X
sin(z ) :=
cos(z ) :=
exp(iz )
2i
=
1
( 1)k (2k+1)
z
(2k + 1)!
k=0
X
1 ( 1)k
exp(iz ) + exp( iz ) X
=
z (2k)
2
2
k
!
k=0
sind auf ganz C wohldeniert.
4
exp( iz )
Grundlagen
A.5 Die Exponentialfunktion und Polarkoordinaten
Satz A.20
Die Exponentialfunktion exp : C ! C hat folgende Eigenschaften:
(a) F
ur alle
z; w 2 C gilt exp(z + w) = exp(z ) exp(w).
(b) F
ur alle
z 2 C gilt exp(z ) 6= 0 und exp( z ) = 1= exp(z ).
(c) F
ur alle
z 2 C gilt exp(z ) = exp(z ) und j exp(z )j = exp(Re(z )).
(d) F
ur jedes
(e) F
ur alle
t 2 R gilt exp(t) > 0 und j exp(it)j = 1.
z 2 C gilt exp(iz ) = cos(z ) + i sin(z ). Inbesondere gilt exp(it) = cos t + i sin t
fur alle t 2 R.
(f) Es gilt exp(i=2) = i. Dies impliziert exp(z + 2i) = exp(z ) f
ur alle
(g) exp(z ) = 1 genau dann, wenn
z 2 C.
z = 2i k mit k 2 Z.
Bemerkung
Anstelle von exp(z ) schreibt man auch kurz ez .
Korollar A.21 (Polarkoordinaten)
Jede komplexe Zahl z lasst sich schreiben als
z = rei'
mit ' 2 R und r = jz j. Fur z 6= 0 ist ' bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2 eindeutig
bestimmt.
Die Zahl ' ist ein Ma fur den Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Vektor (x; y ) 2 R2 von z = x + iy . Man nennt ' Argument der komplexen Zahl z 6= 0. Die
Multiplikation zweier komplexer Zahlen lasst sich mit Polarkoordinaten visualisieren. Sind
z1 = r1 ei'1 und z2 = r2 ei'2 , so gilt z1 z2 = r1 r2 ei('1 +'2 ) . Man multipliziert also die Betrage
und addiert die Argumente.
Beweis von Korollar A.21
Fur z = 0 ist z = 0 ei' fur jedes ' 2 R. Fur z 6= 0 setzen wir := z=jz j. Dann ist
jj = 1 und fur a =: Re und b := Im gilt a2 + b2 = 1. Speziell ist a 2 [ 1; 1]. Die Funktion
cos : [0; ] ! R ist streng monoton fallend mit cos 0 =p1 und cos = 1. Es gibt also (genau)
ein 2 [0; ] mit cos = a. Es gilt dann sin = 1 a2 = b. Wir setzen ' := , falls
sin = b und ' := , falls sin = b. Es gilt dann ei' = cos ' + i sin ' = a + ib = = z=jz j,
d.h. z = jz jei' . Ist z = jz jei fur ein 2 R, so ist ei(' ) = 1, also ' = + 2k fur ein
k 2 Z.
A.6 Differentation und Integration
Definition A.22
Es seien a; b 2 R mit a < b und f : (a; b) ! C. Die Funktion f heit in t0 2 (a; b)
dierenzierbar, falls die reellwertigen Funktionen Re(f ) : (a; b) ! R und Im(f ) : (a; b) ! R
5
Grundlagen
dierenzierbar sind. Man deniert
f 0 (t0 ) := tlim
!t
Re(f (t))
Re(f (t0 ))
t t0
f (t) f (t0 )
= lim
t! t0
t t0
0
+ i lim
t!t0
Im(f (t))
Im(f (t0 ))
t t0
Beachte, dass fur eine dierenzierbare Funktion f : (a; b) ! C gilt
(Re f )0 (t) = Re(f 0 )(t)
(Im f )0 (t) = Im(f 0 )(t)
fur alle t 2 (a; b) ;
fur alle t 2 (a; b) :
Definition A.23
Es seien a; b 2 R mit a < b und f : [a; b] ! C. Die Funktion f heit integrierbar auf [a; b]
falls die reellwertigen Funktionen Re(f ) : [a; b] ! R und Im(f ) : [a; b] ! R integrierbar sind.
Man deniert
Zb
Zb
f (t)dt :=
a
Re(f (t))dt + i
a
Zb
Im(f (t))dt :
a
Beachte, dass fur eine integrierbare Funktion f : [a; b] ! C gilt
0
1
Zb
Re @ f (t) dtA =
a
Zb
0
Re(f (t)) dt
1
Zb
Im @ f (t) dtA =
und
a
a
Zb
Im(f (t)) dt :
a
Satz A.24 (Hauptsatz der Differential– & Integralrechnung)
Es seien a; b 2 R, a < b, und f : [a; b] ! C stetig dierenzierbar. Dann gilt
Zb
f 0 (t) dt = f (b) f (a) :
a
Satz A.25 (Partielle Integration)
Es seien a; b 2 R, a < b, und f : [a; b]
Funktionen. Dann gilt
Zb
!C
g(t) f 0 (t) dt = g(b) f (b)
und g : [a; b]
g(a) f (a)
a
Zb
!C
g0 (t) f (t) dt :
a
Satz A.26
Es seien a; b 2 R, a < b, und fn : [a; b] ! C, n 2 N, stetig.
(a) Falls die Folge (fn ) gleichmaig auf [a; b] konvergiert, so gilt
lim
!1
n
6
Zb
a
fn (t) dt =
Zb
a
lim
!1 fn (t) dt :
n
stetig dierenzierbare
Grundlagen
(b) Falls die Reihe
1
X
n=1
fn (t) auf [a; b] gleichmaig konvergiert, so gilt
lim
!1
n
Zb
1
X
a n=1
fn (t) dt =
1
X
Zb
n=1 a
fn (t) dt :
A.7 Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen
Definition A.27
Eine Menge U C heit oen (oder oen in C), wenn zu jedem Punkt z0
scheibe Kr (z0 ) existiert, derart, dass Kr (z0 ) U .
2U
eine Kreis-
Eine Menge A C heit abgeschlossen, falls CnA oen ist.
Bemerkung A.28
Es sei J eine Indexmenge. Dann gilt:
(a) Ist
Uj C fur jedes j 2 J oen, so ist
(b) Ist
Aj C fur jedes j 2 J abgeschlossen, so ist
S
2
j J
Uj oen.
T
2
j J
Aj abgeschlossen.
Definition A.29
Es sei B C. Dann heit
B := fz 2 B : es existiert eine Kreisscheibe Kr (z ) B g das Innere von B ,
B := fz 2 C : in jeder Kreisscheibe Kr (z ) liegt ein Punkt z 2 B g der Abschlu von B .
@B := fz 2 C : in jeder Kreisscheibe Kr (z ) liegt ein Punkt z 2 B und ein Punkt
z0 2 CnB g der Rand von B .
Beachte, B ist oen, B ist abgeschlossen und @B = B nB .
Definition A.30
Es sei T
C.
(a) Eine Teilmenge
existiert.
U T heit oen in T, falls eine oene Menge U~ in C mit U = U~ \ T
A T heit abgeschlossen in T, falls eine abgeschlossene Menge A~ in
C mit A = A~ \ T existiert.
(b) Eine Teilmenge
Bemerkung A.31
Es sei T
C und A T . Dann sind aquivalent:
(a) A ist abgeschlossen in T .
(b) T nA ist oen in T .
7
Grundlagen
Bemerkung A.32
Es sei T
C oen und U T . Dann sind aquivalent:
(a)
U ist oen in T .
(b)
U ist oen in C.
Bemerkung A.33
Es sei T
(a)
C oen und A T . Dann sind aquivalent:
A ist abgeschlossen in T .
(b) Jeder Haufungspunkt von
A in T liegt bereits in A, d.h.
Ist (zn ) eine Folge in A mit nlim
!1 zn = z0 und z0 2 T , so folgt z0 2 A.
Beweis.
(a) ) (b): Beachte, da
T oen ist und A abgeschlossen in T , ist T nA oen (in C), siehe
Bemerkung A.31 und Bemerkung A.32.
Es sei (zn ) A mit nlim
!1 zn = z0 und z0 2 T . Annahme: z0 62 A =) z0 2 T nA. Da T nA
oen in C ist, existiert Kr (z0 ) T nA. (b) ) (a): Deniere A~ = A (Abschluss von A in C). Dann ist A~ \ T = (A \ T ) [ (@A \ T ). Es
sei z0 2 (@A \ T ). Da z0 2 @A, existiert (zn ) A mit nlim
!1 zn = z0 . Da z0 2 T folgt z0 2 A.
Somit ist A = (A~ \ T ).
Satz A.34
Es seien X; Y
(a)
C. Dann sind aquivalent:
f : X ! Y ist stetig.
(b) Ist
U oen in Y , so ist f 1 (U ) oen in X .
(c) Ist
A abgeschlossen in Y , so ist f 1 (A) abgeschlossen in X .
Beweis.
(a) ) (b) Es sei
V Y oen in Y , U := f 1 (V ) und z 2 U . Dann ist w = f (z ) 2 V . Da V
oen in Y ist, existiert ein V~ oen (in C) mit V = V~ \ Y . Wahle K" (w) V~ . Da f stetig ist,
existiert ein z > 0 mit f (Kz (z ) \ X ) K" (w) \ Y V . Es folgt Kz (z ) \ X f 1 (V ) = U .
Da
0
U=
[
2
z U
(Kz (z ) \ X ) = @
1
[
2
Kz (z )A
\
X;
z U
ist U oen in X .
(b) ) (a) Es sei z 2 X . Wahle " > 0 und setze V := K" (f (z )) \ Y . Dann ist V oen in Y .
Nach Voraussetzung ist U := f 1 (V ) oen in X , also existiert U~ C oen mit U = U~ \ X .
Wahle > 0, derart, dass K (z ) U~ . Dann folgt
f (K (z ) \ X ) f (U ) V :
(b) , (c) Es sei
T abgeschlossen (oen) in Y . Dann ist Y nT oen (abgeschlossen) in Y . Also
ist f (Y nT ) = X nf 1 (T ) oen (abgeschlossen) in X . Somit folgt f 1 (T ) abgeschlossen
(oen) in X .
1
8
Grundlagen
Definition A.35
Eine Menge X
C heit beschrankt, falls ein R > 0 existiert, derart, dass X KR (0).
Definition A.36
Eine Menge K C heit kompakt, falls sie abgeschlossen und beschrankt ist.
Satz A.37 (Bolzano–Weierstraß)
Jede beschrankte Folge in C besitzt eine konvergente Teilfolge.
Satz A.38
Es sei K1 K2 : : : eine Folge nichtleerer kompakter Mengen in C. Dann ist
K :=
\
2N
Kn
n
kompakt und nichtleer.
Beweis. K ist abgeschlossen und beschrankt, also kompakt. Wahle zn 2 Kn . Dann ist (zn ) K1 und besitzt daher einen Haufungspunkt z0 2 K1 . Wir behaupten z0 2 Kn fur alle n 2 N.
Annahme: Es existiert ein n0 mit z0 2 CnKn0 . Da CnKn0 oen ist, existiert Kr (z0 ) CnKn0 .
Da zn 2 Kn0 fur alle n n0 , kann z0 kein Haufungspunkt von (zn ) sein.
Satz A.39
Es sei K C kompakt und f : K ! R stetig. Dann ist f (K ) eine kompakte Menge in C.
Satz A.40
Es sei K
in K an.
C kompakt und f : K ! R stetig. Dann nimmt f ihr Maximum und Minimum
9