¨Ubungen zur Algebra II

Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 11.1. Geben Sie für den Ring Z(2) (siehe Aufgabe 6.4) das Spektrum an.
Geben Sie dazu alle Primideale und alle offenen Mengen an.
Ist Spec(Z(2) ) zusammenhängend? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 11.2. Geben Sie für den Ring Z/(12) sein Spektrum an!
Geben Sie dazu alle Primideale und alle offenen Mengen an.
Ist Spec(Z/(12)) zusammenhängend?
Gibt es stetige Bijektionen von ϕ : Spec(Z(2) ) → Spec(Z/(12)) oder
ψ : Spec(Z/(12)) → Spec(Z(2) )?
Begründen Sie Ihre Antworten!
Tipp zu Aufgabe 11.1 & 11.2: Die Spektra beider Ringe haben gleich viele Elemente.
Aufgabe 11.3. Sei f : A → B ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie die beiden Aussagen:
(1) Das Bild von f ∗ : Spec(B) → Spec(A) liegt in der Teilmenge V (ker(f )) ⊂ Spec(A).
(2) Ist f ∗ : Spec(B) → Spec(A) surjektiv, so liegt ker(f ) im Nilradikal von A.
Aufgabe 11.4. Wir betrachten die Ringabbildung
f : C[T ] 7→ C[X, Y ]/(XY − 1)
f (T ) 7→ f (X) mod (XY − 1).
Untersuchen Sie die Abbildung f ∗ der Spektra auf Injektivität und Surjektivität.
Abgabe: Bis Dienstag, 1. Juli 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 10.1. Eine nicht endlich erzeugte K-Algebra
Sei K ein Körper und C = K[X, Y ]. Wir betrachten die Menge
X
B := {c =
ai,j X i Y j ∈ C mit ak,0 = a0,k = 0 für alle k ≥ 1}
ij
(i)
(ii)
Zeigen sie, dass B ein Unterring von C ist.
Zeigen Sie, dass B als K-Algebra nicht endlich erzeugt ist.
Tipp: Zeigen Sie zunächst: Ist B endlich erzeugt, so lässt sich B auch durch
endlich viele Monome (Elemente der Form X i Y j ) erzeugen. Argumentieren Sie
nun mit dem Grad!
(iii) Folgern Sie, (Tipp: Lemma 1) dass C als B-Modul nicht endlich erzeugt ist.
Aufgabe 10.2. Für welche rationalen Zahlen m ∈ Q ist das Ideal am
am = (X + Y − 1, X 2 + 2Y, Y 22 − m) ⊆ Q[X, Y ]
gleich dem Ring Q[X, Y ].
Aufgabe 10.3. Für welche reellen Zahlen r ∈ R ist das Ideal
ein maximales Ideal?
ar = (X − r, X 3 − X − Y 2 ) ⊂ R[X, Y ]
Die Kurve y 2 = x3 − x
1
-1
-0.5
-1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Aufgabe 10.4. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen λ ∈ C für die das Ideal
aλ = (X − λ, X 3 − X − Y 2 ) ⊂ C[X, Y ] nur in einem maximalen Ideal enthalten ist!
Abgabe: Bis Dienstag, 24.6. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 9.1. Berechnen Sie Ext1Z (Z/(4), Z) und geben Sie für jedes Element η ∈ Ext1Z (Z/(4), Z)
die zugehörige Extension 0 → Z → Mη → Z/(4) → 0 an!
Aufgabe 9.2. Einfache Moduln
Definition: Ein A-Modul M heißt einfach, wenn der einzige Untermodul M ′ ( M der
Modul M ′ = 0 ist.
Zeigen Sie die folgenden Aussagen für einen einfachen A-Modul M:
(i) M ist endlich erzeugt.
(ii) jedes m ∈ M \ 0 ist ein Erzeuger von M.
(iii) Ann(M) = {a ∈ A|a · m = 0 für alle m ∈ M} ist ein maximales Ideal.
(iv) es existiert ein Isomorphismus A/Ann(M) ∼
= M.
Aufgabe 9.3. K-Vektorräume mit Endomorphismen als K[X]-Moduln
Sei V ein K-Vektorraum und ϕ ∈ EndK (V ) ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass es
einen K[X]-Modul M(V, ϕ) mit den folgenden Eigenschaften gibt: als abelsche Gruppe
ist M(V, ϕ) = V und die Multiplikation ist durch f (X) · m = f (ϕ)(m) gegeben.
Berechnen Sie den Annulator Ann(M(V, ϕ)) ⊂ K[X].
Aufgabe9.4. Wir betrachten
für die vier Körper K ∈ {F5 , F7 , R, C} den K[X]-Modul
0 −1
M := M K 2 ,
. Entscheiden Sie, für welche Körper K der Modul M einfach
1
0
ist. Begründen Sie Ihre Antwort.
Abgabe: Bis Dienstag, 17.6 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 8.1. Gegeben seien zwei natürliche Zahlen m und n. Berechnen Sie für die
Z-Moduln M = Z/(m) und N = Z/(n) die Z-Moduln Ext0Z (M, N) und Ext1Z (M, N).
Tipp: Vergessen Sie nicht die Fälle, wenn m = 0 oder n = 0 sind. Wenn Sie es lieber konkret mögen, dann beginnen Sie mit (m, n) ∈ {(0, 0), (0, n), (7, 0), (6, 15)}. Der Korrektor
wird diese vier Fälle als ausreichend bewerten.
Aufgabe 8.2. Sei A ein Hauptidealbereich. Wir betrachten zwei (möglicherweise gleiche)
maximale Ideale m1 ⊂ A und m2 ⊂ A. Wir betrachten die A-Moduln M1 = A/m1 und
M2 = A/m2 . Zeigen Sie die Äquivalenzen:
m1 6= m2 ⇐⇒ HomA (M1 , M2 ) = 0 ⇐⇒ Ext1A (M1 , M2 ) = 0 .
Aufgabe 8.3. Sei A ein Ring mit endlich viele Elementen, also #(A) = q < ∞.
(i) Zeigen Sie, dass jeder endlich erzeugte A-Modul M endlich viele Elemente besitzt.
(ii) Sind M ′ , M, M ′′ ∈ Modfg (A) dann ist die Sequenz
f
g
0 → M ′ −→ M −→ M ′′ → 0
genau dann exakt, wenn f injektiv, g surjektiv, g ◦ f = 0 und #(M) =
#(M ′ )#(M ′′ ) gilt.
(iii) Wir betrachten die Funktion F : Modfg (A) → R die M auf logq (#(M)) abbildet.
Beweisen Sie: Ist
0 → Mn → Mn−1 → · · · → M1 → M0 → 0
P
eine exakte Sequenz endlich erzeugter A-Moduln, so gilt: ni=0 (−1)i F (Mi ) = 0.
(iv) Zeigen Sie: Ist das F aus Teil (iii) eine additive Funktion, so ist A ein Körper.
Aufgabe 8.4. Sei A ein Ring und M ein endlich erzeugter A-Modul. Eine freie Auflösung
der Länge n von M ist eine lange exakte Sequenz
0 → Mn → Mn−1 → · · · → M1 → M0 → M → 0 ,
wobei die Mi endlich erzeugte freie A-Moduln sind.
Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N der A = Z/(4)-Modul M = Z/(2) keine freie Auflösung
der Länge n besitzt.
Abgabe: Bis Dienstag, 10.6 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 7.1. Sei A ein Ring. Wir betrachten das folgende kommutative Diagramm von
A-Moduln mit exakten Zeilen.
M3
d3
M2
/
ϕ3
N3
d2
M1
/
ϕ2
f3
/
N2
d1
M0
/
ϕ0
ϕ1
f2
/
N1
f1
/
N0
Es seien ϕ2 und ϕ0 injektive A-Modulhomomorphismen und ϕ3 sei ein surjektiver AModulhomomorphismus.
Beweisen Sie, dass ϕ1 injektiv ist!
Aufgabe 7.2. Seien zwei kurze exakte Sequenzen von A-Moduln gegeben:
0 → M3 → M2 → M1 → 0 und 0 → M3 → M2′ → M1 → 0 .
Entscheiden Sie, ob M2 und M2′ zueinander isomorph sein müssen. Geben Sie ein Gegenbeispiel oder einen Beweis der Isomorphie!
Tipp: Es reicht, dies für einen der Ringe A = Z oder A = K[X] zu tun.
Aufgabe 7.3. Sei A ein noetherscher Ring. Sei Modfg (A) die Klasse der endlich erzeugten
A-Moduln. Eine Funktion F : Modfg (A) → Z heißt additiv, wenn für alle kurzen exakten
Sequenzen 0 → M3 → M2 → M1 → 0 von A-Moduln Mi ∈ Modfg (A), die Gleichheit
F (M2 ) = F (M1 ) + F (M3 ) gilt. Zeigen Sie, dass für alle exakten Sequenzen
die Gleichung
Pn
0 → Mn → Mn−1 → · · · → M2 → M1 → 0
i=1 (−1)
i
F (Mi ) = 0 gilt.
Aufgabe 7.4. Wir nehmen in dieser Aufgabe an, dass A ein Körper sei. Zeigen Sie, dass
die Funktion dim : Modfg (A) → Z, die jedem A-Vektorraum V seine Dimension dimA (V )
zuordnet additiv ist. Zeigen Sie ferner, dass jede additive Funktion F : Modfg (A) → Z
vom Typ a · dim für ein a ∈ Z ist.
Abgabe: Bis Dienstag, 3.6. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 6.1. Die direkte Summe von Moduln
Sei A ein Ring und {Mi }i∈I eine Familie von A-Moduln. Ein Modul M heißt direkte
Summe der Familie {Mi }i∈I , wenn wir Modulmorphismen ψi : Mi → M, haben so dass
für alle A-Moduln N die Abbildung
Y
Hom(M, N) →
Hom(Mi , N)
ϕ 7→ {ϕ ◦ ψi }i∈I
i∈I
eine Bijektion ist.
(i) Zeigen Sie, dass direkte Summen beliebiger Familien von A-Moduln existieren.
(ii) Zeigen Sie die Universaleigenschaft der direkten Summe: Sind ϕi : Mi → N
gegeben, so existiert genau ein Homomorphismus ϕ : M → N mit ϕi = ϕ ◦ ψi .
(iii) Nutzen Sie die Universaleigenschaft um die Eindeutigkeit der direkten Summe zu
beweisen. Das heißt, es gilt: Sind M und M ′ direkte Summen von {Mi }i∈I mit
Morphismen ψi : Mi → M und ψi′ : Mi → M ′ , so existiert ein Isomorphismus
′
′
Qα : M → M mit ψi = α ◦ ψ.
Mit i∈I Hom(Mi , N) bezeichnen wir das Kreuzprodukt der Mengen {Hom(Mi , N)}i∈I .
Tipp: Erinnern Sie sich an direkte Summen von Vektorräumen.
L
Aufgrund der Eindeutigkeit bezeichnen wir die direkte Summe mit i∈I Mi
Aufgabe 6.2. Das Produkt von Moduln
Sei A ein Ring und {Mi }i∈I eine Familie von A-Moduln. Ein Modul M heißt Produkt
der Familie {Mi }i∈I , wenn wir Modulmorphismen πi : M → Mi , haben so dass für alle
A-Moduln N die Abbildung
Y
Hom(N, M) →
Hom(N, Mi )
ϕ 7→ {πi ◦ ϕ}i∈I
i∈I
eine Bijektion ist.
Zeigen Sie, dass das Produkt beliebiger Familien von A-Moduln existiert.
Formulieren Sie die Universaleigenschaft
des Produkts von Moduln!
Q
Tipp: Das Produkt wird mit i∈I Mi bezeichnet.
Aufgabe 6.3. Vergleich von direkter Summe und Produkt
Vergleichen Sie die Kardinalität von direkter Summe und Produkt für die folgende Familie:
A = F2 ,
I = N und Mi = A für alle i ∈ N .
Aufgabe 6.4. Lokale Ringe
(i) Bilden in einem Ring A die Nichteinheiten ein Ideal, so ist A ein lokaler Ring.
(ii) Berechnen Sie das Jacobson Radikal des Ringes
na
o
Z(2) :=
∈ Q a, b ∈ Z wobei b ungerade ist
b
(iii) Für welche natürlichen Zahlen n ∈ N is Z/(n) ein lokaler Ring?
Abgabe: Bis Dienstag, 27.5. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Algebra II
Aufgabe 5.1. Paramatrisierte Kurven — Teil 1
Wir betrachten zwei Polynome f, g ∈ K[T ]. Das Bild Cf,g der Abbildung A1K → A2K
mit λ 7→ (f (λ), g(λ)) heißt eine parametrisierte Kurve in A2K . Zeigen Sie, dass das Ideal
I(Cf,g ) ein Primideal ist, wenn K unendlich viele Elemente hat.
Aufgabe 5.2. Paramatrisierte Kurven — Teil 2
Wir benutzen die Bezeichnungen aus Aufgabe 5.1. Beweisen Sie: I(Cf,g ) 6= 0.
Aufgabe 5.3. Paramatrisierte Kurven — Teil 3
Ist deg(f ) > 0 (oder deg(g) > 0) und hat K unendlich viele Elemente, so gilt I(Cf,g ) ist
ein von einem Primelement F erzeugtes Hauptideal.
Tipp: Sie könnten der folgenden Strategie folgen:
(i) Nutzen Sie Aufgabe 5.1 und 5.2, um ein Primelement F ∈ I(Cf,g ) zu finden.
(ii) Zeigen Sie, wenn ein G ∈ I(Cf,g ) kein Vielfaches von F ist, dass die Menge
Cf,g ⊂ V (F, G) ⊂ A2K endlich ist.
(iii) Nutzen Sie nun die Kardinalität von K und den Grad des Polynoms aus!
Aufgabe 5.4. Die Spitze — diese Aufgabe ist ein Tipp für die obigen drei
Das Bild CT 2 ,T 3 der polynomialen Abbildung R → R2 , die durch λ 7→ (λ2 , λ3 ) gegeben
wird, nennen wir Spitze.
Wir betrachten die Ringe A = R[X, Y ], B = R[T ], und die durch ϕ(X) = T 2 , ϕ(Y ) = T 3
definierte Abbildung ϕ : A → B.
(i) Berechnen Sie das Ideal I(CT 2 ,T 3 ) = ker(ϕ) ⊂ A.
(ii) Ist A/ ker(ϕ) → B ein Ringisomorphismus?
(iii) Ist das Ideal I(CT 2 ,T 3 ) ⊂ C[X, Y ] ein Primideal?
(iv) Ist die Abbildung R → V (I(CT 2 ,T 3 )) eine Bijektion?
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Abgabe: Bis Dienstag, 20.5. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Algebra II
√
Aufgabe 4.1. Die Norm eines Ideals in Z[ D]
Sei D eine ganze Zahl, die√kein Quadrat einer ganzen Zahl sei. Wir betrachten in dieser
Aufgabe den Ring A = Z[ D]. Sei 0 6= a ⊂ A ein Ideal.
(i) Zeigen Sie, dass der Ring A/a endlich viele Elemente hat. Wir definieren nun die
Norm N(a) := card(A/a).
(ii) Berechnen Sie die Norm des Hauptideals a = (a) für√ein a ∈ Z.
(iii) Berechnen Sie die Norm des Hauptideals a = (a + b D) für a, b ∈ Z.
(iv) Zeigen Sie die Implikation a ⊂ b =⇒ N(b)|N(a).
√
Aufgabe 4.2. Die Norm in Z[ −2]
√
Wir betrachten in dieser Aufgabe den Ring A = Z[ −2].
(i) Zeigen Sie, dass für zwei von Null verschiedene Ideale a ⊂ A und b ⊂ A die
Gleichung N(ab) = N(a)N(b).
(ii) Geben Sie zwei verschiedene Ideale mit der selben Norm an. Folgern Sie: Die
Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 4.1.(iv) gilt nicht.
Tipp zu (i): Vielleicht beweisen Sie zunächst, dass A ein euklidischer Ring ist.
√
Aufgabe 4.3. Die Norm in Z[ −3]
√
Sie sollen folgendes zeigen: Die Norm im Ring A = Z[ −3] verhält sich nicht√multiplikativ.
Berechnen Sie dazu die Normen N(a) und N(a2 ) für das Ideal a = (2, 1 + −3).
Aufgabe 4.4. Die Norm in C[X, Y ]/(Y 2 − X 3 + X)
Wir betrachten in dieser Aufgabe den Ring A = C[X, Y ]/(Y 2 − X 3 + X). Ihre Aufgabe
ist es zu zeigen, dass das Ideal m = (X, Y ) kein Hauptideal ist. Sie könnten wie folgt
vorgehen:
(i) Zeigen Sie, dass sich jedes Element f ∈ A eindeutig als Summe f = f0 + Y f1 mit
f0 , f1 ∈ C[X] schreiben läßt.
(ii) Zeigen Sie, dass die Abbildung N : A → C[X], die für f0 , f1 ∈ C[X] durch
N(f0 +Y f1 ) = f02 −(X 3 −X)f12 definiert ist, folgendes erfüllt N(f ·g) = N(f )N(g)
für alle f, g ∈ A.
(iii) Nehmen Sie nun an, m = (f ) und wenden die Abbildung N auf die Gleichungen
X = f · g1 und Y = f · g2 an!
Abgabe: Bis Dienstag, 6.5. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Algebra II
Aufgabe 3.1.
(i) Sei p ≡ 1 mod 4 eine Primzahl. Wir haben in Aufgabe 1.2 gesehen, dass wir
p = a2 + b2 für zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z schreiben können. Zeigen Sie: Die
Zahlen a und b sind eindeutig bestimmt, wenn wir zusätzlich 0 < a < b fordern.
(ii) Sei n = 99045822390973705 = 5 · 13 · 17 · 29 · 37 · 41 · 53 · 61 · 73 · 89 · 97. Wieviele
Darstellungen n = a2 + b2 mit a, b ∈ Z mit 0 < a < b gibt es?
√
√
Aufgabe 3.2. Zeigen Sie, dass im Ring A = Z[ −5] das Ideal p = (2, 1 + −5) ein
maximales Ideal ist. Zeigen Sie, dass p kein Hauptideal ist.
√
Aufgabe 3.3. Sei ω := −3−1
eine primitive dritte Einheitswurzel. Zeigen Sie, dass
2
der Ring A := Z[ω] ein euklidischer Ring ist und geben Sie eine Zerlegung von 165 in
Primelementen von A an!
Aufgabe 3.4. Wir betrachten den Ring A = C(I, R) der stetigen reellwertigen Funktionen
auf dem Einheitsinterval I = [0, 1].
(i) Zeigen Sie, dass A kein Integritätsbereich ist.
(ii) Zeigen Sie, dass A reduziert ist.
(iii) Zeigen Sie, dass nur 0, 1 ∈ A idempotente Elemente sind.
(Ein Element a ∈ A heißt idempotent, wenn a2 = a gilt.)
(iv) Geben Sie eine Folge {an }n∈N von Idealen aus A so an, dass an $ an+1 für alle
n ∈ N gilt.
(v) Ist der Ring B = C ∞ (I, R) ein Integritätsbereich?
Abgabe: Bis Dienstag, 29.4. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Aufgabe 2.1. Nilpotenzen und Taylorentwicklungen
Seien ein Ring A, eine Einheit u ∈ A und ein nilpotentes n ∈ A gegeben.
(i) Zeigen Sie, dass u + n eine Einheit ist.
(ii) Wir nehmen weiterhin an, dass 2 ∈ A eine Einheit sei.
Zeigen Sie dann, dass A ein Element w mit w 2 = 1 + n enthält.
Aufgabe
Einheiten in A[X]
P2.2.
n
Sei f = i=0 ai X i ∈ A[X]. Zeigen Sie die Äquivalenz
f ist Einheit ⇐⇒ a0 ist Einheit und die ai sind nilpotent für alle i > 0 .
Pm
i
Tipp: Sei f −1 =: g =
i=0 bi X ein Inverses, dann erhält man durch Betrachten des
Koeffzienten von X m+r·n+1−r in f r g die Nilpotenz von an . Nun noch geschickt Aufgabe
2.1.(i) nutzen!
Aufgabe 2.3. Nilpotenzen
P und Nullteiler in A[X]
Sei A ein Ring und f = ni=0 ai X i ∈ A[X]. Zeigen Sie
(i) f ist nilpotent ⇐⇒ die ai sind alle nilpotent.
(ii) f ist ein Nullteiler ⇐⇒ es existierte ein b ∈ A mit b 6= 0 und bai = 0 für alle
i = 0, . . . , n gibt.
P
i
Tipp zu (ii) =⇒ : Sei g = m
i=0 bi X ∈ A[X] ein Polynom minimalen Grades
mit f g = 0, dann kann man zeigen, dass f gai = 0 und gai = 0 sind für alle
i = n, . . . , 0.
Aufgabe 2.4. Das Gaußsche
PnLemma
Wir nennen ein Polynom f = i=0 ai X i ∈ A[X] primitiv, wenn für das Koeffizientenideal
(a0 , a1 , . . . , an ) = A gilt. Als Gaußsches Lemma bezeichnet man die folgende Aussage:
Sind f, g ∈ A[X], so ist f · g primitiv ⇐⇒ f und g sind primitiv.
Tipp 1: Ist ein Ideal a ( A, so existiert ein maximales Ideal a ⊂ m ( A.
Tipp 2: Gibt es Nullteiler in (A/m)[X], oder nicht?
Abgabe: Bis Dienstag, 22.4. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2008
Übungen zur Algebra II
Aufgabe 1.1. Berechnen Sie das Legendre Symbol
−154
1031
.
Aufgabe 1.2. Beweisen Sie den folgenden Satz: Ist p eine ungerade Primzahl, dann ist
p = a2 + b2 für zwei a, b ∈ N genau dann, wenn p ≡ 1 mod 4 ist.
Sie könnten wie folgt vorgehen:
(i) Zeigen Sie, dass ein p ≡ 3 mod 4 keine Summe von zwei Quadraten sein kann.
Wir nehmen daher ab jetzt an, dass p ≡ 1 mod 4 gelte.
(ii) Zeigen, Sie dass ein a ∈ Z existiert mit a2 ≡ −1 mod p.
√
√
(iii) Sei b := ⌊ p⌋ die größte ganze Zahl kleiner gleich p. Dann gibt es mehr als p
Paare (x, y) ∈ Z2 mit 0 ≤ x ≤ b und 0 ≤ y ≤ b.
(iv) Schließen Sie, dass es zwei solche Paare (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) mit x1 −ay1 ≡ x2 −ay2
mod p geben muss.
(v) Zeigen Sie, dass (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ≡ 0 mod p gilt!
(vi) Folgern Sie nun aus der Ungleichung 0 < (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 < 2p, dass die
Gleichung p = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 gilt.
Aufgabe 1.3. Geben Sie die Primideale des Ringes A = Z[i] an!
Sie könnten wie folgt vorgehen:
(i) Erinnern Sie sich, dass A ein Ring mit euklidischem Algorithmus (Algebra I,
Aufgabe 3.4) war und damit Hauptidealring mit eindeutiger Primzerlegung.
(ii) Sei p ⊂ A ein Primideal mit p 6= 0, dann ist p ∩ Z = (p) für eine Primzahl p.
Somit genügt es die Hauptideale (p) ⊂ A in unzerlegbare zu zerlegen.
(iii) Zeigen Sie unter Ausnutzung der Norm, dass aus p ≡ 3 mod 4 =⇒ (p) ⊂ A ist
Primideal.
(iv) Nutzen Sie 1.2 um p ≡ 1 mod 4 =⇒ p = p1 · p2 für zwei Primelemente pi ∈ A.
(v) Vervollständigen Sie die Primideale durch Untersuchung der Fälle p = 2 und
p = 0.
Aufgabe 1.4. Geben Sie für den Ring A = Z/(12Z) folgendes an:
(i) alle Ideale,
(ii) das Nilradikal,
(iii) die Einheitengruppe,
(iv) alle Primideale,
(v) alle maximalen Ideale und
(vi) alle Nullteiler.
Abgabe: Bis Dienstag, 15.4. 12 Uhr, in das Fach 5 bei Raum T03 R03 D89.