¨Ubungen zur Linearen Algebra II

Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 1.1. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl, K ein Körper. Weiterhin seien n Elemente
a1 , a2 , . . . , an ∈ K von K gegeben. Wir betrachten die Matrix A ∈ Mat(n × n, K):


a1 1
 a2

1


n−1
n
X
X
 a3

1
.

A = A(a1 , a2 , . . . , an ) =
Ek,k+1 +
ak Ek,1 =  ..
...

.


k=1
k=1
 a
1 
n−1
an
Beweisen Sie, dass det(A(a1 , a2 , . . . , an ) − tEn ) = (−1)n (tn −
Tipp: Induktion und Laplacescher Entwicklungssatz.
Aufgabe 1.2. Ist die reelle Matrix

15
 −85

A=
 225
 −274
120
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
Pn
k=1
ak tn−k ).



 ∈ Mat(5 × 5, R)


diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Entscheidung!
Aufgabe 1.3. Wir betrachten die reelle Matrix


2
1 −2


A :=  −6 5 12  .
3 −1 −5
Entscheiden Sie, ob eine Matrix S ∈ Mat(3 × 3, R) existiert, so dass S −1 · A · S eine
Diagonalmatrix ist!
Begründen Sie Ihre Entscheidung und geben Sie ein solches S, sowie S −1 · A · S im Falle
der Existenz an.
t t
Aufgabe 1.4. Berechnen Sie für alle t ∈ R die Matrix exp
.
0 t
P
(Zur Erinnerung: exp(A) = k≥0 k!1 Ak .)
Abgabe: Bis Mittwoch, 11. April 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 2.1. Bestimmen Sie die



1 2 3
2



0
2
4
0
A1 =
A2 =
0 0 3
0
Minimalpolynome der


0 0
2
2 0  A3 =  0
0 2
0
folgenden Matrizen:



1 0
2 1 0
2 0  A4 =  0 2 1 
0 2
0 0 2
Aufgabe 2.2. Das Minimalpolynom eines Vektors
Sei v ∈ V \ {0} ein Vektor in einem endlichdimensionalen K-Vektorraum. Weiterhin sei
ein Endomorphismus ϕ ∈ EndK (V ) fixiert. Wir betrachen die folgende Abbildung
X
X
ai ϕi (v),
evϕ,v : K[T ] → V
ai T i 7→
i≥0
i≥0
2
sowie den Unterraum span(v)ϕ := span(v, ϕ(v), ϕ (v), . . .).
(i)
Zeigen Sie, dass ein eindeutig
MinPol(ϕ, v, T ) ∈ K[T ] existiert mit
bestimmtes
normiertes
Polynom
ker(evϕ,v ) = (MinPol(ϕ, v, T )) := {f · MinPol(ϕ, v, T ) | f ∈ K[T ]}
Dieses Polynom ist das Minimalpolynom von ϕ bezüglich v.
(ii) Zeigen Sie, dass deg(MinPol(ϕ, v, T )) = dimK (span(v)ϕ ) gilt.
2
(iii) Berechnen
Sie
auch span(vi )
ϕ fürV = R ,
sowohl MinPol(ϕ,
vi , T ), als 2 0
1
0
1
, v2 =
sowie v3 =
.
ϕ=
und v1 =
0 3
0
1
1
Aufgabe 2.3. Wir betrachten die Matrix

3 1
1



A =  0 1 −2 
0 3 −4
und die Folge a : N → Z der Spuren der Potenzen von A, also an := tr(An ).
(i)
(ii)
Geben Sie eine explizite Formel für die Folge a an!
Zeigen Sie die Implikation
n ist Primzahl =⇒ n teilt an
(Hinweis: Der Kleine Fermat wird oft in der Form ap ≡ a mod p angegeben.)
(iii) Gilt für natürliche Zahlen n ≥ 2 auch die Umkehrung der Aussage (ii)?
Aufgabe 2.4. Sei V ein n-dimensionaler
Q K-Vektorraum. Das charakteristische Polynom
von ϕ ∈ EndK (V ) sei pϕ (t) = (−1)n ni=1 (t − λi ) mit λi 6= λj für i 6= j. Ferner sei
ψ ∈ EndK (V ) mit ψϕ = ϕψ. Zeigen Sie, dass ψ diagonalisierbar ist!
Abgabe: Bis Mittwoch, 18. April 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Aufgabe 3.1. Geben Sie für die durch


−3 6 −3


 −2 4 −2 
−1 2 −1
gegebene nilpotente Abbildung N : R3 → R3 eine Basis B von R3 an, so dass MBB (N ) die
Jordansche Normalform eines nilpotenten Endomorphismus ist.
Aufgabe 3.2. Es sei V ein K-Vektorraum und N ∈ EndK (V ) nilpotent. Wir definieren,
wie in der Vorlesung, Vk := ker(N k ). Es sei
dim(V1 ) = 5
dim(V2 ) = 9
dim(V3 ) = 12
dim(V4 ) = 13
dim(V5 ) = 13 .
Geben Sie die Jordansche Normalform von N an! Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 3.3. Gibt es einen K-Vektorraum V und ein ϕ ∈ End(V ) mit
dim(ker(ϕ)) = 4
dim(ker(ϕ2 )) = 6
dim(ker(ϕ3 )) = 9 ?
Beweisen Sie die Nichtexistenz oder geben Sie ein Beispiel an!
(Hinweis: Betrachten Sie W = ker(ϕ3 ).)
Aufgabe 3.4. Sei N ∈ EndF3 (F53 ) nilpotent vom Typ (3, 2). Wieviele N -Basen von F53
gibt es?
(Erinnerung: (v1 , v2 ) bilden eine N -Basis des Vektorraumes F53 , wenn N 3 (v1 ) = 0 = N 2 (v2 )
gilt und {N 2 (v1 ), N (v1 ), v1 , N (v2 ), v2 } eine Basis von F53 ist.)
Abgabe: Bis Mittwoch, 25. April 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 4.1. Geben Sie eine Basis B des Q-Vektorraumes Q4 an, so dass der bezüglich
der Standardbasis durch


1 2 3 −4
 −1 4 2 −4 


 0 0 2 1 
0 0 0 2
gegebene Endomorphismus bezüglich B eine Jordansche Normalform hat.
Aufgabe 4.2. Sei ϕ ∈ EndK (V ) ein Endomorphismus eines Vektorraumes V von endlicher Dimension. Zeigen Sie die folgende Äquivalenz:
r
Y
(t − λi ) mit λi 6= λj für i 6= j
ϕ ist diagonalisierbar ⇐⇒ MinPol(ϕ, t) =
i=1
Aufgabe 4.3. Berechnen des Exponentials einer Matrix
Sei A ∈ Mat(n × n, C) gegeben. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Gilt A = B −1 · C · B für B ∈ GLn (C) und C ∈ Mat(n × n, C), so gilt die
Matrizengleichung exp(A) = B −1 · exp(C) · B.
(ii) Gilt A = B + C für Matrizen B, C ∈ Mat(n × n, C) mit B · C = C · B, so gilt
exp(A) = exp(B) · exp(C).
2πi 1
Nutzen Sie nun (i) und (ii), um exp
zu berechnen.
π2 0
Hinweis: Da es sich hier um einen Lineare Algebra Übungszettel handelt, dürfen Sie annehmen, dass alle Summen absolut konvergieren.
Aufgabe 4.4. Sei ϕ ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums V .
Ferner sei ein Vektor v ∈ V gegeben.
(Das Minimalpolynom MinPol(ϕ, v, t) wird in Aufgabe 2.2 definiert. Die Aussagen aus
dieser Aufgabe 2.2 sind durchaus hilfreich!)
(i)
(ii)
Beweisen Sie, dass das MinPol(ϕ, v, t) ein Teiler von MinPol(ϕ, t) ist.
Zeigen Sie: Ist span(v)ϕ = V , dann ist das charakterische Polynom
(−1)dim(V ) det(ϕ − t · idV ) gleich dem Minimalpolynom MinPol(ϕ, t) von ϕ.
(iii) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der Begleitmatrix A(a1 , a2 , . . . , an ) aus
Aufgabe 1.1.
Abgabe: Bis Mittwoch, 2. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 5.1. Geben Sie eine Basis B des C5 , so dass die durch


2 1 −1 −1 3
 0 2 1 −1 1 


 0 0 2
0 0 


 0 0 0
0 4 
0 0 0 −2 6
gegebene Abbildung bezüglich B Jordansche Normalform hat.
Aufgabe 5.2. Sei eine Matrix A ∈ Mat(3×3, C) gegeben. Beweisen Sie, dass sich aus dem
charakteristischen Polynom und dem Minimalpolynom von A die Jordansche Normalform
ablesen läßt.
Begründen Sie ferner, warum diese Ausage für 4 × 4 Matrizen nicht stimmt.
Aufgabe 5.3. Invariante Unterräume
Seien ein K-Vektorraum V und ein ϕ ∈ EndK (V ) gegeben. Ein Unterraum U ⊂ V heißt
ϕ-invariant, wenn ϕ(U ) ⊆ U gilt.
(i) Bestimmen Sie alle invarianten Unterraume von C2 für
−5 6
−1 4
und ϕ2 =
.
ϕ1 =
−3 4
−1 3
Hinweis: Vergessen Sie nicht die offensichtlichen Unterräume!
(ii) Sei U ⊂ V ein ϕ-invarianter Unterraum. Zeigen Sie, dass es auf dem Quotientenraum V̄ := V /U mit kanonischer Surjektion π : V → V̄ (ist π die kanonische
Surjektion, so gilt π(v) = v + U ) einen eindeutig bestimmten Endomorphismus
ϕ̄ ∈ EndK (V̄ ) gibt, so dass π ◦ ϕ = ϕ̄ ◦ π gilt.
(iii) Sei U ⊂ V ein ϕ-invarianter Unterraum. Wir bezeichnen mit ϕU ∈ EndK (U )
die Einschränkung von ϕ auf U und mit ϕ̄ ∈ EndK (V̄ ) den Endomorphismus
aus Teil (ii). Gilt die folgende Aussage? Sind ϕU und ϕ̄ diagonalisierbar, so ist
auch ϕ diagonalisierbar. Begründen Sie Ihre Entscheidung!
Aufgabe 5.4. Zeigen Sie, dass es unendlich viele verschiedene Funktionen f : R → R
gibt, die die Bedingungen
f (1) = 1 und f (a + b) = f (a) + f (b) für alle a, b ∈ R
erfüllen.
Hinweis: Sie könnten die Aufgabe in die folgenden Teilaufgaben zerlegen:
(i) Zeigen Sie dass eine Funktion f : R → R mit f (a + b) = f (a) + f (b) für alle
a, b ∈ R eine Q-lineare Abbildung ist.
(ii) Zeigen Sie, unter der Annahme des Zornschen Lemmas, dass es unendlich viele
solcher Funktion f mit f (1) = 1 gibt.
Abgabe: Bis Mittwoch, 9. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 6.1. Sei V ein fünfdimensionaler Q-Vektorraum mit zwei Basen A und B. Die
Basiswechselmatrix TBA sei durch


2 9 4 3 4
 0 2 3 0 4 



0
2
3
2
0
TBA = 


 0 12 6 4 4 
6 3 0 5 4
∨
gegeben. Berechnen Sie die Basiswechselmatrix TAB∨ der dualen Basen!
Aufgabe 6.2. Lineare Gleichungssysteme und der Dualraum
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und {f1 , f2 , . . . , fm } ⊂ V ∨ eine endliche Teilmenge. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:
(i) Für alle Vektoren (λ1 , . . . , λm )t ∈ K m existiert ein v ∈ V mit fi (v) = λi für
alle i = 1, . . . , m.
(ii) Die Teilmenge {f1 , f2 , . . . , fm } ⊂ V ∨ ist linear unabhängig.
Hinweis: Betrachten Sie die K-lineare Abbildung f : V → K m mit v 7→ (f1 (v), ..., fm (v)).
Aufgabe 6.3. Sei V = R[x]3 der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 3. Wir
bezeichnen mit evλ die Auswertungsabbildung: f (x) ∈ R[x]3 7→ f (λ) ∈ R. Insbesondere
ist evλ ∈ V ∨ .
(i) Zeigen Sie, dass {ev0 , ev1 , ev2 , ev3 } eine Basis von V ∨ ist.
R3
(ii) Zeigen Sie, dass die Abbildung I : f (x) 7→ 0 f (x)dx in V ∨ liegt.
(iii) Schreiben Sie I als Linearkombination von {evi }i=0,...,3 d.h. geben Sie reelle
R3
P
Zahlen a0 , ..., a3 an, so dass für jedes f (x) ∈ V gilt: 0 f (x)dx = 3i=0 ai f (i).
Aufgabe 6.4. Seien U , V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Ferner seien lineare Abbildungen ϕ ∈ HomK (U, V ) und ψ ∈ HomK (V, W ) gegeben. Wir sagen, dass
ϕ
ψ
0→U →V →W →0
eine kurze exakte Sequenz ist, wenn
- ϕ injektiv ist,
- ψ surjektiv ist und
- ker(ψ) = im(ϕ) gilt.
Zeigen Sie die Äquivalenz:
ϕ
ψ
0 → U → V → W → 0 ist kurze exakte Sequenz
ψ∨
ϕ∨
⇐⇒ 0 → W ∨ → V ∨ → U ∨ → 0 ist kurze exakte Sequenz.
Abgabe: Bis Mittwoch, 16. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 7.1. Entscheiden Sie für jede der Teilaufgaben (0)–(3), ob die angegebene Abbildung b eine Bilinearform ist. Wenn dies der Fall sein sollte, so stellen Sie die Bilinearform
b als Summe b = s + a einer symmetrischen und einer alternierenden Bilinearform dar!
a
b
2
,
= ab + bc + 3ad + 2cd
(0) V = K
b0
c
d
2
(1)
V =K
b1
(2)
V = K[x]
(3)
V = EndK (W )
dimK (W ) < ∞
a
c
b
,
= ab + c + d
d
b2 (f (x), g(x)) = f (0) · g 0 (0) g 0 ist die Ableitung von g
b3 (ϕ, ψ) = tr(ϕ · ψ)
tr(α) ist die Spur von α
(In dem Köper K in dieser Aufgabe gelte 2 6= 0.)
Aufgabe 7.2. Sei V = R[x]2 der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2. Wir
bezeichnen mit ev−1 die Auswertungsabbildung: f (x) ∈ R[x]2 7→ f (−1) ∈ R.
(i)
Zeigen Sie, dass die Bilinearform
Z
s : V × V → R (f (x), g(x)) 7→
1
f (x)g(x)dx
0
nicht ausgeartet ist.
(ii) Geben Sie die Gramsche Matrix M{1,x,x2 } (s) an!
(iii) Geben Sie ferner ein Element g(x) ∈ V , an welches ev−1 (f (x)) = s(f (x), g(x))
erfüllt. Mit
Z anderen Worten: Gesucht ist ein g(x) ∈ V , welches die Gleichung
1
f (x)g(x)dx für alle f (x) ∈ V erfüllt.
f (−1) =
0
Aufgabe 7.3. Zeigen Sie, dass jede alternierende Bilinearform a ∈ BLFC (C3 ) ausgeartet
ist.
Aufgabe 7.4. Sei V ein K-Vektorraum und s ∈ BLFK (V ) eine symmetrische Bilinearform. Wir betrachten den Unterraum W = {v2 ∈ V | s(v1 , v2 ) = 0 für alle v1 ∈ V }. Die
kanonische Abbildung V → V /W bezeichnen wir mit π.
Zeigen Sie, dass genau eine nicht ausgearteten Bilinearform s̄ ∈ BLFK (V /W ) existiert, so
dass für alle v1 , v2 ∈ V die Gleichung s(v1 , v2 ) = s̄(π(v1 ), π(v2 )) gilt.
Abgabe: Bis Mittwoch, 23. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 8.1. Eigenschaften des Winkels und Satz des Pythagoras
Sei (V, h, i) ein euklidischer Vektorraum. Wir definieren
∠(v1 , v2 ) zwischen
den Winkel
hv1 ,v2 i
den Vektoren v1 , v2 ∈ V \ {0} durch ∠(v1 , v2 ) := arccos ||v1 ||·||v2 || ∈ [0, π]. Zeigen Sie, die
folgenden Eigenschaften des Winkels:
(i)
∠(v1 , v2 ) = 0 ⇐⇒ v1 = λv2 für ein λ ∈ R>0
(ii) ∠(v1 , v2 ) = π ⇐⇒ v1 = λv2 für ein λ ∈ R<0
(iii) Es gilt ∠(v1 , v2 ) = ∠(v2 , v1 )
(iv) Für alle λ1 , λ2 ∈ R>0 gilt ∠(v1 , v2 ) = ∠(λ1 v1 , λ2 v2 ).
(v) Es gilt ∠(v1 , v2 ) + ∠(−v1 , v2 ) = π
(vi) ||v1 − v2 ||2 = ||v1 ||2 + ||v2 ||2 − 2||v1 || · ||v2 || cos(∠(v1 , v2 )).
(vii) Erklären Sie, warum (vi) den Satz des Pythagoras impliziert.
Tipp: Sie dürfen das Additionstheorem für den Kosinus benutzen.
Aufgabe 8.2. Sei V = R[x]2 der euklidische Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2
mit der Bilinearform
Z 1
s : V × V → R (f (x), g(x)) 7→
f (x)g(x)dx
0
(i)
Konstruieren Sie, mittels des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens, aus der Basis {1, x, x2 } eine orthonormale Basis von V !
(ii) Geben Sie den Abstand d(x2 , span(1, x)) des Vektors x2 zu dem von 1 und x
aufgespannten Unterrraum an!
Aufgabe 8.3. Auf dem reellen Vektorraum R3 mit Standardbasis
{e1 , e2 , e
3 } sei eine

3 −1 −1
4 −1  gegeben.
Bilinearform s durch ihre Gramsche Matrix M{e1 ,e2 ,e3 } (s) :=  −1
−1 −1
5
(i) Zeigen Sie, dass (R3 , s) ein euklidischer Vektorraum ist.
(ii) Geben Sie eine Orthogonalbasis von (R3 , s) an!
Aufgabe 8.4. Sei W ⊂ V ein Unterraum eines euklidischen Vektoraumes endlicher Dimension. Wie üblich, bezeichnen wir mit W ⊥ ⊂ V das orthogonale Komplement zu W in
V . Zeigen Sie, dass die Komposition π ◦ ι der linearen Abbildungen
W⊥
ι
/
V
π
/
V /W
ein Isomorphismus ist.
Abgabe: Bis Mittwoch, 30. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 9.1. Sei V = R[x]2 der euklidische Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2
mit der Bilinearform
Z 1
s : V × V → R (f (x), g(x)) 7→
f (x)g(x)dx
0
∂
∂x
: V → V mit f 7→ f 0 .
Wir betrachten den Ableitungsendomorphismus ϕ =
∗
(i) Geben Sie die adjungierte Abbildung ϕ von ϕ bezüglich s an!
(ii) Gibt es ein euklidisches Skalarprodukt s̃ auf V (das heißt, eine symmetrische
und positive definite Bilinearform s̃ ∈ BLFR (V )), so dass ϕ bezüglich s̃ selbstadjungiert ist? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 9.2. Seien (V, h, i) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, sowie ein
ϕ ∈ EndR (V ) gegeben. Wir bezeichnen mit W = im(ϕ) das Bild von ϕ. Sei v ∈ V gegeben,
dann nennen wir einen Vektor v 0 ∈ v + W minimal, wenn d(v 0 , 0) = d(v, W ) gilt.
(Zur Erinnerung: d(v, W ) = minw∈W {||v − w||}.)
(i) Zeigen Sie, dass es genau einen minimalen Vektoren v 0 ∈ v + W gibt!
(ii) Zeigen Sie die Äquivalenz v 0 ist minimal ⇐⇒ ϕ∗ v 0 = 0.
Aufgabe 9.3. Die orthogonale Gruppe O(3)
Sei ϕ ∈O(3) gegeben. Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis B, des E3 gibt mit




±1
0
0
±1
0
0
0  oder MBB (ϕ) =  0 cos(α) − sin(α)  .
MBB (ϕ) =  0 ±1
0
0 ±1
0 sin(α)
cos(α)
Hinweis: Zeigen Sie zunächst (Zwischenwertsatz), dass ϕ einen Eigenvektor v ∈ E3 mit
reellem Eigenwert hat. Betrachten Sie nun span(v)⊥ und wenden Ihr Wissen (Vorlesung
vom 21. Mai) über O(2) an.
Aufgabe 9.4. Spiegelungen
Sei (V, h, i) ein euklidischer Vektorraum endlicher Dimension. Für einen Vektor v ∈ V
mit ||v|| = 1 definieren wir die Abbildung sv : V → V durch sv (w) = w − 2hv, wiv.
(i) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung sv eine euklidische Abbildung ist.
(ii) Zeigen Sie, dass sv eine Spiegelung ist, das heißt es existiert eine Orthonormalbasis B = {v1 , v2 , . . . , vn } von V mit sv (v1 ) = −v1 und sv (vi ) = vi für alle
i = 2, . . . , n.
(iii) Zeigen Sie, dass jedes ϕ ∈ SO(3) sich als Hintereinanderausführung von zwei
Spiegelungen schreiben läßt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass jede Abbildung aus O(2) sich als Hintereinanderausführung von Spiegelungen schreiben läßt.
Abgabe: Bis Mittwoch, 6. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 10.1. Sei V ein komplexer Vektorraum mit Basis B = {v1 , v2 , . . . , vn }. Die
Sesquilinearform s ∈ Sesqui(V ) sei durch ihre Gramsche Matrix B = MB (s) gegeben.
Zeigen Sie die Äquivalenz: s ist hermitesch
⇐⇒
B t = B̄.
Aufgabe 10.2. Sei V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit einer hermiteschen
Sesquilinearform s ∈ Sesqui(V ).
(i) Zeigen Sie die folgende Aussage: Gilt s(v, v) > 0 für einen Vektor v ∈ V , so
besitzt V eine Basis B = {v1 ,
. . . , vn} mit
s(v
i , vi ) > 0 für i = 1, . . . , n.
x1
y1
(ii) Geben Sie für V = C2 mit s(
,
) = x1 ȳ2 + x2 ȳ1 drei Basen B−1 ,
x2
y2
B0 und B1 so an, dass für alle Basisvektoren vij ∈ Bi gilt: s(vij , vij ) = i.
Aufgabe 10.3. Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung
Sei (V, h, i) ein unitärer Vektorraum und {v1 , . . . , vn } eine Teilmenge von Vektoren mit
hvi , vj i = δi,j . (Eine solche Teilmenge nennen wir auch orthonormales System.)
(i) Weisen Sie nach, dass für alle v ∈ V gilt:
n
X
|hvi , vi|2 .
||v||2 ≥
i=1
(ii) Zeigen Sie für alle v ∈ V die Äquivalenz:
n
X
|hvi , vi|2 ⇐⇒ v ∈ span({v1 , . . . , vn }).
||v||2 =
i=1
Hinweis: Schreiben Sie v als Summe von zwei Vektoren v = v1 + v2 , wobei v1 aus dem von
{v1 , . . . , vn } aufgespannten Unterraum ist und v2 orthogonal zu diesem Unterraum ist.
Aufgabe 10.4. Wir betrachten den komplexen Vektorraum V = C([0, 2π], C) der stetigen
komplexwertigen Funktionen auf dem kompakten Interval [0, 2π].R
2π
1
(i) Zeigen Sie, dass V mit der Sesquilinearform hf, gi = 2π
f (t) · g(t)dt ein
0
unitärer Vektorraum ist.
(ii) Wir definieren für eine ganze Zahl k die Funktion fk (x) = exp(ikx). Zeigen
Sie, dass hfk , fl i = δk,l gilt.
(iii) Wir betrachten die Funktion g(x) = x. Berechnen Sie das Längenquadrat
||g||2 = hg, gi, sowie die Skalarprodukte hfk , gi für alle k ∈ Z.
(iv) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n der Vektor g nicht im von
{fk }k=−n,...,n aufgespannten Unterraum liegt. Folgern Sie, mittels der Ungleichung aus Aufgabe 10.3, dass für alle natürlichen Zahlen n die Ungleichung
P
n
1
π2
k=1 k2 < 6 gilt.
Hinweis 1: Beachten Sie: fk ist 2π-perodisch.
Hinweis 2: es gilt für alle x ∈ [0, 2π], dass fk (x) = f−k (x) ist.
Hinweis
3: Sie dürfen die folgenden
Stammfunktionen (für a ∈ C∗ ) benutzen:
R
R
1
exp(ax)dx = a exp(ax) und exp(ax)xdx = a1 exp(ax)x − a12 exp(ax).
Abgabe: Bis Mittwoch, 13. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
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Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 11.1. Gärtnerkonstruktion einer Ellipse
Geben Sie eine symmetrische Bilinearform s ∈ BLFR (E2 ) so an, dass
−3
3
2
+ v −
= 10 = v ∈ E2 mit s(v, v) = 1 .
v ∈ E mit v −
0
0
(Die Norm ||v|| eines Vektors v ist die Norm bezüglich des Standardskalarprodukts!)
Skizzieren Sie anschließend mit Hilfe eines 10 cm langen Fadens, zweier Stecknadeln und
eines spitzen Bleistifts diese Menge!
Aufgabe 11.2. Wir betrachten die symmetrische Bilinearform s ∈ BLFR (R3 ), die bezüglich
der Standardbasis B die Gramsche Matrix


0 2 1
MB (s) =  2 0 1  besitzt.
1 1 0
Geben Sie eine Basis B 0 so an, dass MB0 (s) eine Diagonalmatrix ist!
Geben Sie eine Zerlegung R3 = V+ (s) ⊕ V− (s) an. Dabei soll s auf dem Unterraum V+ (s) (bzw. V− (s)) positiv (bzw. negativ) definit sein.
(iii) Geben Sie alle Unterräume V+ (s) an, auf denen s positiv definit ist und deren
Dimension rk+ (s) ist.
Erinnering: rk+ (s) ist die maximale Dimension eines Unterraumes V ⊂ R3 mit
s|V ist positiv definit.
(i)
(ii)
Aufgabe 11.3. Sei s ∈ BLFR (Rn ) eine symmetrische Bilinearform. Wir definieren den
Nullkegel NK(s) := {v ∈ Rn mit s(v, v) = 0}. Zeigen Sie die Äquivalenz
NK(s) ⊂ Rn ist Untervektorraum ⇐⇒ rk+ (s) · rk− (s) = 0.
Aufgabe 11.4. Der Satz von Jacobi
Seien V n-dimesionaler R-Vektorraum und s ∈ BLFR (V ) eine symmetrische Bilinearform
mit Gramscher Matrix MB (s) = (ai,j )i,j=1,...,n ∈ Mat(n × n, R) bezüglich einer Basis B.
Für
k = 1,. . . , n definieren wir die Matrizen Ak := (ai,j )i,j=1,...,k . (A1 = (a11 ), A2 =
a11 a12
, . . .)
a21 a22
Annahme: Es gelte det(Ak ) 6= 0 für alle k = 1, . . . , n.
Behauptung: Dann gilt rk0 (s) = 0 und rk− (s) ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel
in der Zahlenfolge 1, det(A1 ), det(A2 ), . . . , det(An ).
(i) Zeigen Sie, dass unter obigen Annahme rk0 (s) = 0 gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass die Aussage gilt wenn A eine Diagonalmatrix ist.
(iii) Nehmen Sie an, die Aussage gelte für (n − 1)-dimensionale R-Vektorräume.
Dann gilt die Behauptung, wenn a1,j = 0 für alle j = 2, 3, . . . , n.
(iv) Beenden Sie den Beweis (beispielsweise durch Ausnutzen des Verfahrens von
Gram-Schmidt)!
Abgabe: Bis Mittwoch, 20. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 12.1. Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Wir betrachten die
folgende Abbildung
ϕ : V ∨ × W → HomK (V, W ) (f, w) 7→ fw mit fw (v) = f (v) · w .
(i)
(ii)
Zeigen Sie, dass ϕ bilinear ist.
Zeigen Sie, dass ϕ eine lineare Abbildung ψ : V ∨ ⊗K W → HomK (V, W ) mit
ϕ = ψ ◦ ΦV ∨ ,W induziert. (Erinnerung: ΦV ∨ ,W war die bilineare Abbildung
ΦV ∨ ,W : V ∨ × W → V ∨ ⊗K W aus der Vorlesung.)
(iii) Zeigen Sie, dass ψ ein Isomorphismus ist!
Aufgabe 12.2. Wir betrachten die dreidimesionalen R-Vektorräume

 V = R[t]2 und W =
f (0)
3

f (1) . Wie wir in Aufgabe
R . Ferner die lineare Abbildung α : V → W mit f (t) 7→
f (2)
∨
12.1 sahen, existiert ein α̃ ∈ V ⊗K W mit ψ(α̃) = α. Sei {f0 , f1 , f2 } die duale Basis zur
V -Basis {1, x, x2 } und {e1 , e2 , e3 } die Standardbasis von W . P P
(i) Geben Sie reelle Zahlen {µi,j }i=0,1,2 j=1,2,3 so an, dass α̃ = 2i=0 3j=1 µi,j fi ⊗ ej
gilt.
(ii) Gibt es Vektoren g ∈ V ∨ und w ∈ W mit α̃ = g ⊗w? Geben Sie diese Vektoren
an, oder begründen Sie, warum sie nicht existieren!
(iii) Gibt es Vektoren g1 , g2 ∈ V ∨ und w1 , w2 ∈ W mit α̃ = g1 ⊗ w1 + g2 ⊗ w2 ?
Geben Sie diese Vektoren an, oder begründen Sie, warum sie nicht existieren!
Aufgabe 12.3. Seien V und W zwei K-Vektorräume und {vi }i∈I und {wj }j∈J zwei linear
unabhängige Teilmengen von V und W .
(i) Zeigen Sie, dass {ui ⊗ wj }i∈I, j∈J ⊂ V ⊗K W eine linear unabhängige Teilmenge ist!
(ii) Folgern Sie: v ⊗ w = 0 in V ⊗K W ⇐⇒ v = 0 oder w = 0.
Aufgabe 12.4. Eine erstaunliche Anwendung von Tensorprodukten
Sie sollen den folgenden Satz beweisen:
Ein Rechteck mit den Kantenlängen a und
b wird in n kleinere Rechtecke mit den
Kantenlängen ai und bi zerlegt. Für jedes
i = 1 . . . n gilt: ai oder bi ist rational. Zeigen Sie, dass a oder b rational sind.
Hinweis 1: Zeigen Sie,
Pn dass in R ⊗Q R die
Gleichung a ⊗ b = i=1 ai ⊗ bi gilt.
Hinweis 2: Betrachten Sie R0 = R/Q und
die Abbildung α : R ⊗Q R → R0 ⊗Q R0 .
Hinweis 3: Zeigen Sie, dass α(a ⊗ b) = 0
und nutzen Sie 12.3.(ii) aus.
Abgabe: Bis Mittwoch, 27. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
Georg Hein
Sommersemester 2007
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 13.1. Das Kronecker-Produkt zweier Matrizen
Wir betrachten zwei zweidimenionale Vektorräume V und W mit Basen A = {v1 , v2 } und
B = {w1 , w2 }, sowie zwei Endomorphismen ϕ ∈ EndK (V ) und ψ ∈ EndK (W ), die durch
a b
A B
A
B
MA (ϕ) =
und MB (ψ) =
c d
C D
gegeben seien. Geben Sie die lineare Abbildung ϕ ⊗ ψ bezüglich der Basis
C = {v1 ⊗ w1 , v1 ⊗ w2 , v2 ⊗ w1 , v2 ⊗ w2 } von V ⊗ W an!
Aufgabe 13.2. Sei 2 6= 0 in K.
(i) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung sym : V ⊗K V → V ⊗K V mit
sym(v1 ⊗ v2 ) = 12 (v1 ⊗ v2 + v2 ⊗ v1 ) gibt!
(ii) Zeigen Sie, dass sym(v1 ⊗ v2 ) = sym(v2 ⊗ v1 ).
(iii) Beweisen Sie, dass sym ◦ sym = sym gilt!
(iv) Geben Sie den Kern von sym an und zeigen Sie im(sym) ∼
= Sym2K (V ).
Aufgabe 13.3. Scherenkongruenz
Ein Polyeder im En ist eine beschränkte Teilmenge P ⊂ En die durch endlich viele lineare
Ungleichungen hx, ai i ≤ bi gegeben ist, wobei ai ∈ En Vektoren der Länge ||ai || = 1 und
die bi reelle Zahlen sind. Das heißt P = {x ∈ En mit hx, ai i ≤ bi für i = 1, . . . , N }. Eine
Hyperebene H = H(a, b) ist eine Menge vom Typ H(a, b) = {x ∈ En mit hx, ai = b}, wobei auch hier a ∈ En ein vorgegebener Vektor mit ||a|| = 1 und die b ∈ R eine fixierte reelle
Zahl ist. Eine Hyperebene H(a, b) zerlegt ein Polyeder P in zwei Polyder P = P− ∪ P+
mit
P− = {x ∈ En mit hx, ai ≤ b und hx, ai i ≤ bi für i = 1, . . . , N } sowie
P+ = {x ∈ En mit hx, −ai ≤ −b und hx, ai i ≤ bi für i = 1, . . . , N }.
Zwei Polyeder nennen wir kongruent, wenn Sie bis auf Verschiebung durch eine orthogonale Abbildung aufeinander abgebildet werden. Das heißt:
P1 ∼
= P2 ⇐⇒ es gibt ein ϕ ∈ O(n) und ein a ∈ En mit P2 = ϕ(P1 ) + a.
Zwei Polyeder heißen scherenkongruent, wenn sie durch endlich viele Hyperebenen in
kongruente Polyder zerlegt werden können.
(i) Zeigen Sie, dass die Kongruenz von Polyedern eine Äquivalenzrelation ist!
(ii) Zeigen Sie, dass die Scherenkongruenz von Polyedern eine Äquivalenzrelation
ist!
(iii) Zeigen Sie, dass zwei Polyeder im E2 genau dann scherenkongruent sind, wenn
ihre Flächeninhalte übereinstimmen.
Hinweis 1: Zeigen Sie, dass jedes Polyeder mit n Ecken zu n − 2 Dreiecken
scherenkongruent ist.
Hinweis 2: Zeigen Sie, dass jedes Dreieck zu einem Parallelogramm scherenkongruent ist.
Hinweis 3: Zeigen Sie, dass jedes Parallelogramm zu einem Parallelogramm mit
einer vorgegebenen Seitenlänge scherenkongruent ist.
Hinweis 4: Zeigen Sie, dass jedes Parallelogramm mit einer vorgegebenen Seitenlänge zu einem Rechteck mit einer vorgegebenen Seitenlänge scherenkon-
Aufgabe 13.4. Zeigen Sie, dass ein Würfel und ein Tetraeder im E3 nicht scherenäquivalent sind!
Sie können den Beweis entlang der folgenden Hinweise führen:
Hinweis 1: Der Kantenwinkel ϕ(e) eines Polyders P entlang seiner Kante e, die in den
durch hx, a1 i = b1 und hx, a2 i = b2 gegebenen Begrenzungsflächen des Polyeder enthalten
ist, ist durch arccos(ha1 , a2 i) gegeben.
Hinweis 2: Die Dehn-Invariante eine Polyeders P ist durch
X
D(P ) =
||e|| ⊗ ϕ(e) ∈ R ⊗Q (R/(π · Q))
e
gegeben. Dabei erfolgt die Summation über alle Kanten des Polyeders.
Hinweis 3: Die Summe der Dehn-Invarianten ändert sich bei der Zerlegung von Polyedern
durch Hyperebenen nicht.
Hinweis 4: Berechnen Sie die Dehn-Invariante eines Würfels.
Hinweis5: Berechnen
die
Dehn-Invariante
eines Tetraeders. (Zum Beispiel das mit den
  Sie 

1
1
0 

Ecken 0,  1  ,  0  ,  1  ).

0
1
1 
√
Hinweis 6: Sie dürfen die Formel V = 122 a3 für das Volumen V eines Tetraeders mit der
Seitenlänge a benutzen.
Hinweis 7: Sie dürfen das Ergebnis der Algebra-Übungsgabe unten benutzen.
Hinweis 8: http://en.wikipedia.org/wiki/Scissors congruence
Aufgabe 13.5. Es gelte cos(α) = 31 . Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl r ∈ Q mit
α = r · π gibt.
Hinweis: Sie könnten den Beweis mittels folgender Strategie führen:
1. Wir nehmen an, es gelte α = r · π für ein r ∈ Q.
2. Zeigen Sie, dass dann die Folge a : m 7→ am := cos(2m α) nur endlich viele
Werte annimmt.
3. Die Folge a ist durch a0 = 31 und an+1 = 2a2n − 1 gegeben. (Additionstheorem
des Kosinus)
4. Ist an = 3kb·c mit nicht durch drei teilbaren ganzen Zahlen b und c, so ist
an+1 = 32kB·C mit nicht durch drei teilbaren ganzen Zahlen B und C.
5. Folgern Sie aus 4. einen Widerspruch zu 2.
Abgabe: Bis Mittwoch, 4. Juli 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.