Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

Grundlagen der Physik 2
Schwingungen und Wärmelehre
Othmar Marti
[email protected]
Institut für Experimentelle Physik
24. 05. 2007
Othmar Marti (Universität Ulm)
Schwingungen und Wärmelehre
24. 05. 2007
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Geschwindigkeitsvereilung
f (v ) dv = C
m v2
exp −
dv
kT
Die Anzahl Vektoren mit v0 < |v | < v0 + dv ist proportional zu 4π v 2 dv .
Aus der Normierungsbedingung
Z
f (v ) dv = 1
folgt
C
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0
A
3
=
2
π
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung lautet also
f (v ) dv
=
=
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m v 2 e − mvkT dv
r 2π kT
m v 2 e − mvkT dv
2
π kT
4π
·
3
2
3
2
Schwingungen und Wärmelehre
2
2
2
2
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
0.002
20 K
100 K
273.15 K
500 K
1000 K
0.0018
0.0016
0.0014
f(v,T)
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
v/(m/s)
Maxwell-Boltzmann-Verteilung für Wassersto H2
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Mittelwerte aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Mittelwerte einer Grösse g (v ) bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsdichte
f (v ) werden durch
hg i =
R
gR(v ) f (v ) dv
f (v ) dv
berechnet.
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Mittelwerte aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Lineare Geschwindigkeiten wie vx
hvx i = hvz i = hvz i =
Z∞
vx f (v )dv = 0
−∞
Geschwindigkeitsquadrat v
2
v
2
Z
=
v 2 f (v ) dv
=3
Geschwindigkeitsbetrag v
hv i =
Maximale Geschwindigkeit vmax
Z∞
vf (v ) dv =
0
vmax =
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r
r
kT
m
8kT
πm
2kT
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m
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Asymptotik der Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Für kleine v lautet die Taylorentwicklung von f (v ) um v = 0
f (v ) =
r 2
π
m 2
v + O (v 4 )
kT
3
2
Die Notation O (v 4 ) bedeutet, dass der erste nicht verschwindende weitere
Summand von der Ordnung v 4 ist. Höhere Ordnungen können vorkommen.
Der Anteil der Teilchen mit kinetischen Energien im Intervall [E0 , ∞) im
Vergleich zu allen Teilchen (Intervall [0, ∞)) ist
R∞
E0
R∞
0
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f (E ) dE
f (E ) dE
2
=√
π
r
E
E0 − kT
e
kT
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0
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Mittlere freie Weglänge
Stossquerschnitt
Zwei Teilchen mit Radius r stossen sich, wenn ihre Mittelpunkte weniger
als 2a senkrecht zur Relativgeschwindigkeit auseinander liegen. Damit kann
man Stösse so behandeln, wie wenn die beteiligten Teilchen sich wie
punktförmige Teilchen bewegen würden, sich aber mit der
Querschnittsäche σ , dem Stossquerschnitt stossen.
Alle Moleküle in der gezeigten Röhre mit Geschwindigkeiten entlang der
Zylinderachse stossen mit einem auf der Endäche ruhend
angenommenen Molekül.
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Mittlere freie Weglänge
Berechnung der mittleren freien Weglänge
Ae
= A dz n σ
Die Wahrscheinlichkeit P , ein Teilchen zu treen, ist
P=
Ae
A
= n σ dz
Wenn N Teilchen auf der Oberäche eintreen, dann werden
dN = −N P = −N n σ dz
weggestreut werden.
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Mittlere freie Weglänge
Berechnung der mittleren freien Weglänge
Wir können aus der Streugleichung eine Dierentialgleichung erster
Ordnung konstruieren
dN
dz
+ N nσ = 0
Diese Gleichung für die Abschwächung eines Teilchenstrahles durch ein
ruhendes atomares Medium hat die Lösung
N (z ) = N0 e −nσ z
(Abschwächung eines Teilchenstrahls)
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Mittlere freie Weglänge
Berechnung der mittleren freien Weglänge
Wenn wir eine dickere Schicht betrachten, werden die unteren Teilchen
durch die oberen abgeschattet. Dies geschieht mit der Wahrscheinlichkeit
P = n σ dz . In der Tiefe z stehen
N (z ) = N0 e −nσ z
Teilchen für die Streuung zur Verfügung. Die Anzahl gestreuter Teilchen ist
deshalb
dN (z ) = −PN (z ) = −nσN0 e −nσ z dz
Die Streurate ist deshalb
dN (z ) dN (z = 0) −nσ z
=
e
dz
dz
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Mittlere freie Weglänge
Berechnung der mittleren freien Weglänge
Wie tief kann nun ein Teilchen im Mittel eindringen? Wir verwenden die
allgemeine Formel
hG i =
R
GR(z ) f (z ) dz
f (z ) dz
für den mit der Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) f (z )
gewichteten Mittelwert von G . Wir haben also
R∞
R∞
N0
−nσ z dz
z
dN
(z )
1
0
0 −z nσ N0 e
R
R
` = hz i = ∞
= ∞
= nσ =
−nσ z dz
N
n
σ
dN
(
z
)
−
n
σ
N
e
0
0
0
0
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Mittlere freie Weglänge
Mittlere freie Weglänge bei bewegten Hindernissen
Nun bewegen sich aber alle Teilchen. Wir müssen deshalb den Stoss zweier
Teilchen in deren Schwerpunktsystem betrachten. Die relative kinetische
Energie ist in dem Falle
1 0 02
mv
2
mit m0 = mm +mm der reduzierten Masse. Wenn m1 = m2 ist, gilt m0 = m2 .
Wir kennen die Geschwindigkeitsverteilung im Laborsystem. Da im Mittel
alle Schwerpunktsysteme die Geschwindigkeit null haben (das Gas als
solches bewegt sich ja nicht) ist im Mittel die Relativgeschwindigkeit der
Teilchen gleich verteilt wie die Geschwindigkeit einzelner Teilchen. Deshalb
gilt:
1
1
und deshalb
2
2
m0
m
m
3
kT = (v 0 )2 = (v 0 )2 = v 2
2
2
4
2
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√
v 0 = 2v
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Mittlere freie Weglänge
Mittlere freie Weglänge bei bewegten Hindernissen
Da die Dichte der Teilchen im Schwerpunktssystem gleich ist (eine
Galileitransformation ändert√keine Volumina), ist die Zeit bis zu einem
Stoss kürzer, und zwar um 2. Deshalb reduziert sich die mittlere freie
Weglänge auf
`= √
1
2
nσ
(mittlere freie Weglänge)
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Mittlere freie Weglänge
Mittlere freie Weglänge, weitere Betrachtung
Wir betrachten genauer, was wir bei
R∞
R∞
N0
z
dN
(z )
−z nσ N0 e −nσ z dz
0
nσ = 1
` = hz i = R ∞
= R0 ∞
=
−nσ z dz
N
nσ
dN
(
z
)
−
n
σ
N
e
0
0
0
0
vernachlässigt hatten.
Man betrachtet die mittlere Anzahl Stösse pro Zeit eines Teilchens
p
q
hv 2 i
hζi =
= hv 2 inσ
`
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Mittlere freie Weglänge
Mittlere freie Weglänge, weitere Betrachtung
Wir haben dabei über das Quadrat der Geschwindigkeit gemittelt, da
Richtungen nicht relevant sind und da kinetischen Energien letztlich
p die
relevanten
sind. Im bewegten Bezugssystem müssen wir hv 2 i
p Grössen p
0
2
durch h(v ) i = h2v 2 i ersetzen.
Für statistisch unabhängige Teichen mit den Geschwindigkeiten v 1 und v 2
ist
hv 1 · v 2 i = 0
Dann ist
(v 0 )2 = (v 1 − v 2 )2 = v 21 + v 22 + 2v 1 · v 2 = v 21 + v 22
Da wir identische Teilchen betrachten folgt
(v 0 )2 = 2v 2
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Mittlere freie Weglänge
Mittlere freie Weglänge, weitere Betrachtung
Die Stosszahl pro Zeit bei bewegten Teilchen ist
√ q
0 q
ζ = h(v 0 )2 inσ = 2 hv 2 inσ
Bezogen auf die Geschwindigkeitsverteilung im Laborsystem v 2 wird
dann die freie Weglänge in einem Gas
p
`=
hv 2 i
1
=√
0
ζ
2 nσ
Auch hier gibt die exakte Rechnung das gleiche Ergebnis wie die qualitative
Argumentation.
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Brownsche Bewegung
Brownsche Bewegung
Brownsche Bewegung
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Brownsche Bewegung
Robert Brown
•
•
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1773 (Schottland) 10. Juni 1858 (London).
Er studierte Medizin in Edinburgh und ging dann zum Militär.
In London lernte er den berühmten Botaniker Banks kennen,
mit dem er von 1801 - 1805 eine botanische Entdeckungsreise
nach Australien unternahm.
Im Jahre 1827 entdeckte er in einer Suspension von
Pollenkörnern die nach ihm benannte Brownsche Bewegung.
Die brownsche Bewegung erfuhr durch Einstein und
Smoluchowski 1905 ihre theoretische Deutung.
1831 erkannte er die regelmäÿige Struktur in einer Zelle als
Zellkern.
Nach http://lei.physik.uni-muenchen.de/web_ph09/versuche/07brown/brown.htm
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Diusion
Teilchenströme bei Diusion
Betrachtung von Teilchenströmen N` von links nach rechts und Nr von
rechts nach links.
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