Zufallsvariable Zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, deren

Zufallsvariable
Zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, deren Versuchsausgänge durch Zahlen realisiert werden, verwendet man Zufallsvariablen.
Beispiel 1: 1 mal würfeln: Die Zufallsvariable X kann die Werte
1,2,3,4,5 und 6 annehmen.
Beispiel 2: Ein oben offenes zylindrisches Gefäß mit 30 mm Höhe
steht im Freien. Es dient als Regenmesser. Jeden Tag um 8 Uhr
am Morgen wird die Füllhöhe X gemessen und das Gefäß wird
entleert: X ∈ [0; 30]
Diskrete Zufallsvariable: Kann eine Zufallsvariable nur abzählbar viele Werte annehmen, so heißt sie diskrete Zufallsvariable
(z.B.: Beispiel 1)
Kontinuierliche oder stetige Zufallsvariable: Kann eine Zufallsvariable alle Werte aus einem Intervall von reellen Zahlen annehmen, so heißt sie stetige oder kontinuierliche Zufallsvariable
(z.B.: Beispiel 2)
Diskrete Zufallsvariable:
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Abbildung xi → P(X = xi), die
jedem Wert xi seine Wahrscheinlichkeit P(X = xi) zuordnet,
heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X.
Verteilungsfunktion: Die Funktion F(x) = P(X ≤ x) heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X.
Haben die Realisierungen x1, x2, x3, . . . der Zufallsvariablen X
jeweils die Wahrscheinlichkeiten p1, p2, p3, . . ., so gilt:
F(x) =
∑
pi
bzw. F(x) =
i: xi ≤x
∑
P(X = xi)
i: xi ≤x
Die Verteilungsfunktion für diskrete Zufallsvariable ist eine
Treppenfunktion.
Erwartungswert: Unter dem Erwartungswert E(X) einer diskreten
Zufallsvariable X mit den Werten x1, x2, . . . , xn versteht man
den Ausdruck:
n
E(X) = ∑ xi · P(X = xi)
i=1
Statt E(X) wird häufig das Symbol µ verwendet.
(Wenn das Zufallsexperiment unendlich oft durchgeführt wird,
so ist das arithmetische Mittel der Versuchsausgänge gleich dem
Erswartungswert der Zufallsvariable)
Varianz: Unter der Varianz einer diskreten Zufallsvariablen X mit
den Werten x1, x2, . . . , xn versteht man den Ausdruck
n
Var(X) = ∑(xi − µ )2 · P(X = xi)
i=1
Für die Varianz einer Zufallsvariablen X verwendet man auch
das Symbol σ 2.
Eine einfache Umformung erlaubt es, die Varianz auch mit folgender Formel zu berechnen:
¡ ¢
Var(X) = ∑ xi2 · P(X = xi) − µ 2 = E X 2 − µ 2
n
i=1
Unabhängigkeit: Zwei Zufallsvariable X und Y heißen unabhängig,
falls für beliebige Mengen A und B ihres Wertebereichs gilt:
P(X ∈ A
und Y ∈ B) = P(X ∈ A) · P(Y ∈ B)
Rechenregeln für Zufallsvariable: Seien X und Y Zufallsvariablen
und α eine reelle Zahl, dann gilt:
E(α · X) = α · E(X)
E(X + α ) = E(X) + α
Var(α · X) = α 2 · Var(X)
Var(X + α ) = Var(X)
E(X +Y ) = E(X) + E(Y )
Sind X und Y unabhängig, dann gilt:
Var(X +Y ) = Var(X) + Var(Y )
Beispiel 1:
Eine Studierendengruppe hat die folgende Altersstruktur:
Alter in Anzahl.d.
Jahren Studierenden
18
4
19
7
20
5
21
3
24
1
Zufallsexperiment: Eine Person dieser Gruppe wird zufällig ausgewählt und nach ihrem Alter befragt. Die Zufallsvariable X gibt
das Alter der Person an.
(a) Welche Werte kann die Zufallsvariable annehmen?
(b) Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable
an!
(c) Gib die Verteilungsfunktion für diese Zufallsvariable an!
(d) Zeichne den Graphen der Verteilungsfunktion!
(e) Berechne den Erwartunswert der Zufallsvariablen!
(f) Berechne die Varianz der Zufallsvariablen!
Beispiel 2:
In einem Spielcasino kann man an einem Spiel mit folgenden Spielregeln teilnehmen:
Eine teilnehmende Person muss zunächst 4e Einsatz zahlen. Dann
wird eine Münze 3 mal geworfen. Je nach Ergebnis werden die folgenden Beträge ausbezahlt:
- Es fällt 3 mal Kopf: 11e werden ausbezahlt
- Es fällt 2 mal Kopf: 5e werden ausbezahlt
- Es fällt 1 mal Kopf: 1e wird ausbezahlt
Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn für dieses Spiel an (Auszahlungsbetrag minus Einsatz)
(a) Gib die Warhscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariable X
an.
(b) Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariable X!
(c) Berechne die Varianz!
(d) Während der „Happy hour“ von 19-20 Uhr wird der Einsatz
bei gleichen Auszahlungsbeträgen um 1e gesenkt.
Berechne Erwartungswert und Varianz für dieses Spiel während der „Happy hour“!
(e) Am Tag des Glückspiels werden Einsatz und Auszahlungsbeträge verdoppelt. Berechne Erwartungswert und Varianz
am Tag des Glücksspiels!