¨Ubungsbeispiel 7 Alle (partiell) rekursiven Funktionen sind

Übungsbeispiel 7 Alle (partiell) rekursiven Funktionen sind wahlweise durch
z.B.: Turingmaschinen-Programme, Programme von Unlimitierten Register Maschinen, Lambda-Termen oder eben rekursive Funktionen mit µ-Rekursion darstellbar.
All diese Mechanismen haben es gemeinsam, dass es nur abzählbar viele von
ihnen gibt (und dass selbst dann noch verschiedene Programme die gleiche Funktion beschreiben). Mittels einer geeigneten Gödel-Nummerierung kann man also eine (bijektive) Abbildung aller Turingmaschinen-Programme/λ-Terme/URMProgramme/usw. in die natürlichen Zahlen bilden.
Sei im folgenden fn (x) die (partiell) rekursive Funktion, die der Zahl n zugeordnet wird. Um zu zeigen, dass es eine Funktion gibt, die keine (partiell)
rekursive Funktion ist, reicht es zu zeigen, dass es eine Funktion g : N → N
bzw. g : N → N ∪ {undef} die sich an mindestens einer Stelle von jedem fn
unterscheidet.
x=1
x=2
x=3
fn (x)
f1
g(1) 6= f1 (1)
f1 (2)
f1 (3)
f2
f2 (1)
g(2) 6= f2 (2)
f2 (3)
f3
f3 (1)
f3 (2)
g(3) 6= f3 (3)
..
..
..
..
.
.
.
.
...
...
...
...
..
.
Man kann nun - im Fall der rekursiven Funktionen - g wie folgt definieren
g(x) = fx (x) + 1
Im Fall der partiell rekursiven Funktionen wäre so eine Definition möglich:
(
g(x) =
fx (x) + 1 wenn fx (x) definiert
1
sonst
Man hat somit auch gezeigt, dass es zwar nur abzählbar viele (partiell) rekursive Funktionen gibt, aber überabzählbar viele (partielle) Funktionen von N
nach N gibt.