Elektrodynamik Skript

Vorlesungsmitschrift
Elektrodynamik I
Prof. Dr. techn. Wolfgang M. Rucker
WS 2000/2001
Elektrotechnik (Diplom)
3. Fachsemester
Allgemeines:
Diese Vorlesung findet jeden
Donnerstag von 11.30 Uhr – 13.00 Uhr im Hörsaal V 47.03 statt.
Übungen finden jeden
zweiten Montag von 14.00 Uhr – 15.30 Uhr im Hörsaal V 47.03 statt.
RECHTLICHE HINWEISE
Copyright © 2001
Frank Illenseer
Andreas Peitz
Jesko Berger
Alle Rechte vorbehalten.
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Speicherung und Weiterverarbeitung auch einzelner Abschnitte/Textpassagen (mit Ausnahme der
Vervielfältigung zum persönlichen Gebrauch [gem. §53/54, URG]) sind ohne ausdrückliche Erlaubnis der
Verfasser nicht zulässig.
Printed in Germany.
Inhalt
i
Inhaltsverzeichnis
0.
Einleitung .............................................................................................. 5
•
•
•
•
•
•
•
•
1.
elektrische Ladungen ........................................................................................................................................... 5
elektrische Kräfte zwischen den Ladungen ............................................................................................................ 5
elektrisches Feld.................................................................................................................................................. 5
magnetisches Feld ............................................................................................................................................... 6
Maxwell'sche Gleichungen .................................................................................................................................... 6
deduktives Herleiten der Gesetzmäßigkeiten ......................................................................................................... 6
induktives Herleiten ............................................................................................................................................. 6
Lösung elektromagnetischer Feldprobleme............................................................................................................ 6
Elektrostatik .......................................................................................... 7
1.1.
Das Coulomb'sche Gesetz ........................................................................................ 7
1.2.
Das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) ................................................ 7
1.3.
Die elektrische Feldstärke ....................................................................................... 8
• elektrische Feldstärke einer Punktladung............................................................................................................... 8
1.3.1.
kontinuierliche Ladungsverteilungen................................................................................................ 8
• Raumladungsdichte ρ .......................................................................................................................................... 8
• Flächenladungsdichte σ ....................................................................................................................................... 9
• Linienladungsdichte q .......................................................................................................................................... 9
1.4.
Der elektrische Fluß............................................................................................... 10
1.4.1.
Das Gauß’sche Gesetz der Elektrostatik.......................................................................................... 11
• mehrere Punktladungen im betrachteten Volumen:.............................................................................................. 12
• kontinuierliche Ladungsverteilung:...................................................................................................................... 12
• Übergang auf Zylinderkoordinaten:..................................................................................................................... 13
• Unendlich lange Linienladung ............................................................................................................................. 13
• Berechnung mittels Gauß’schem Gesetz: ............................................................................................................. 14
1.4.2.
Die Divergenz eines Vektorfeldes.................................................................................................... 14
• Divergenz in kartesischen Koordinaten................................................................................................................ 14
1.4.3.
Der Gauß'sche Integralsatz............................................................................................................. 15
1.5.
Arbeit im elektrischen Feld.................................................................................... 16
• Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals: ........................................................................................................... 16
• N Ladungen: ..................................................................................................................................................... 17
1.6.
Das elektrische Potential....................................................................................... 17
• Potentialdifferenz............................................................................................................................................... 18
1.6.1.
Das Gradient einer skalaren Funktion ............................................................................................. 18
1.6.2.
Das Potential von Ladungsverteilungen.......................................................................................... 18
1.7.
1.8.
Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung................................................ 21
Die Poisson'sche und Laplace'sche Gleichung....................................................... 21
• Punktladung ...................................................................................................................................................... 22
• Lösung eines allgemeinen elektrostatischen Feldproblems:................................................................................... 22
1.9.
Die Rotation eines Vektorfeldes ............................................................................ 23
• Rotation des Vektorfeldes E ............................................................................................................................... 23
• Rotation in kartesischen Koordinaten: ................................................................................................................. 24
• Darstellung mit dem Nabla-Operator: ................................................................................................................. 24
• Elektrostatik ...................................................................................................................................................... 25
1.9.1.
Der Stokes'scher Integralsatz ......................................................................................................... 25
3
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INHALTSVERZEICHNIS
1.10.
E-TECHNIK 4. FS
EINFÜHRUNG IN DIE NACHRICHTENTECHNIK II
Leiter im elektrostatischen Feld.......................................................................... 26
1.10.1.
Metallkugel im Feld einer Punktladung........................................................................................... 27
• Lösung des Feldproblems:.................................................................................................................................. 29
1.10.2.
Punktladung über einer unendlich ausgedehnten Ebene................................................................ 29
1.10.3.
Spiegelung einer Punktladung an 2 leitenden halbunendlichen Ebenen (schließen Winkel α ein). 30
1.10.4.
Metallzylinder im Feld einer Linienladung ...................................................................................... 31
1.11.
Der Kondensator und die Kapazität .................................................................... 32
• Definition der Kapazität...................................................................................................................................... 32
1.11.1.
im Kondensator gespeicherte Energie ............................................................................................ 33
1.11.2.
Kapazität zweier Zylinderelektroden .............................................................................................. 34
1.11.3.
Kapazität zweier Kugelelektroden .................................................................................................. 35
• Gesamtladung auf der Elektrode......................................................................................................................... 36
1.12.
Mehrleiterprobleme ............................................................................................ 37
1.13.
Elektrische Felder in Materie .............................................................................. 39
1.13.1.
Der elektrische Dipol ....................................................................................................................... 39
• Potential eines Dipols......................................................................................................................................... 40
Potential .............................................................................................................................................................. 40
• Elektrische Feldstärke ........................................................................................................................................ 41
1.13.2.
Polarisation ..................................................................................................................................... 41
• Potential eines polarisierten Mediums des Volumens V ......................................................................................... 42
1.13.3.
Homogen polarisierte Platte ........................................................................................................... 43
1.13.4.
Dielektrische Verschiebung im Medium .......................................................................................... 43
• Eigenschaften von D.......................................................................................................................................... 43
• Allgemeiner Zusammenhang zur Polarisation....................................................................................................... 44
1.13.5.
Verhalten der elektr. Feldgrößen an Grenzflächen ......................................................................... 45
• Brechung der Feldlinien: .................................................................................................................................... 45
1.13.6.
Homogen polarisierte Kugel............................................................................................................ 46
• Gesamtdipolmoment:......................................................................................................................................... 47
• elektr. Potential ................................................................................................................................................. 47
1.14.
Kräfte im elektrischen Feld ................................................................................. 49
1.14.1.
Kräfte auf Leiter .............................................................................................................................. 49
• Kraft auf die Ladung Q im el. Feld E ................................................................................................................... 49
• Korrekte Betrachtung:........................................................................................................................................ 49
• Kraft auf die Elektrode: ...................................................................................................................................... 49
1.14.2.
Prinzip der virtuellen Verschiebung (virtuelle Verrückung)............................................................ 50
1.14.3.
Kräfte an der Grenzfläche zweier verschiedener Dielektrika .......................................................... 51
2.
Das stationäre elektrische Strömungsfeld .......................................... 53
2.1.
Elektrischer Strom und Stromdichte ..................................................................... 53
2.2.
Das Prinzip der Ladungserhaltung – Kontinuitätsgleichung ................................. 53
2.3.
Das ohmsche Gesetz .............................................................................................. 54
• gerades Leiterstück zwischen zwei Elektroden mit der Potentialdifferenz U............................................................ 54
• für ein beliebig geformtes Leiterstück ................................................................................................................. 55
2.4.
Verhalten der Feldgrößen an Grenzflächen ........................................................... 56
• Brechungsgesetz ............................................................................................................................................... 56
2.5.
Verlustbehaftete Dielektrika ................................................................................. 57
• Plattenkondensator mit geschichtetem Medium ................................................................................................... 57
2.6.
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Die Leistung im elektrischen Strömungsfeld......................................................... 58
4
Kapitel
0
0. EINLEITUNG
V01 – 19.10.2000
• klassische Elektrodynamik:
keine Quantenphänomene
Ladungen bzw. Ströme sind die Ursachen der Felder
• elektrische Ladungen
2 Arten (willkürlich) als positiv und negativ bezeichnet
Ladungen bleiben erhalten
d.h. die gesamte elektrische Ladung eines abgeschlossenen Systems ist eine invariante Größe
Ladung ist quantisiert:
e = 1,602... · 10-19 C
(Elementarladung)
• elektrische Kräfte zwischen den Ladungen
gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige Ladungen ziehen sich an.
bestimmen die physikalischen und chemischen Eigenschaften der Materie
Fernwirkungstheorie
(Newton'sche Gravitationstheorie)
Nahwirkungstheorie
(Faraday, Maxwell)
Einführung des Feldbegriffs
• elektrisches Feld
Vektorfeld; ist in jedem Raumpunkt durch Betrag und Richtung gegeben
ein Vektorfeld ist vollständig durch die Angabe seiner Quellen und Wirbel gegeben
Darstellung:
z.B.
1)
System von Pfeilen mit Länge und Richtung
2)
Feldlinien, wobei die Dichte der Feldlinien proportional zur Feldstärke (Betrag) ist und die
Tangente in jedem Punkt die Richtung des Feldes angibt.
Quellenfeld
z.B. Wirbelfeld
5
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KAPITEL 6: FUNKSYSTEME
E-TECHNIK 4. FS
EINFÜHRUNG IN DIE NACHRICHTENTECHNIK II
• magnetisches Feld
Feld elektrischer Ströme (bewegte Ladungsträger)
• Maxwell'sche Gleichungen
(James Clark Maxwell, 1862)
mathematische Beschreibung der elektrischen und magnetischen Felder durch partielle
Differentialgleichungen
4 Gleichungen:
2 zur Beschreibung der Wirbel
2 zur Beschreibung der Quellen
Gleichungen sind gekoppelt!
allgemeine Lösung:
elektromagnetisches Feld
elektromagnetische Wellen
• deduktives Herleiten der Gesetzmäßigkeiten
(aus den vollständigen Maxwell'schen Gleichungen)
• induktives Herleiten
(entsprechend historischer Entwicklung)
Elektrostatik
(elektrisches Feld ruhender Ladungen)
das stationäre elektrische Strömungsfeld
Magnetostatik
(magnetisches Feld stationärer Ströme)
zeitabhängige Feldprobleme
quasistationäre Feldprobleme (elektromagnetische Induktion, Diffusion, Wirbelstromprobleme)
elektromagnetische Wellen
V02 – 26.10.2000
• Lösung elektromagnetischer Feldprobleme
elektrotechnische Problemstellung
z.B.
Energietechnik (elektrische Maschinen, Hochspannungs-Anlagen)
Kommunikationstechnik, Hochfrequenztechnik (Sende- & Empfangsanlagen, Wellenausbreitung,
EMV-Probleme)
Modellierung (Ingenieurgeschick)
mathematische Formulierung
partielle DGL + Randbedingungen, Anfangsbedingungen
(möglichst effizient, z.B. Einführung von Hilfsgrößen [vgl. elektrisches Potential])
analytische Lösung
(nur für einfache Probleme möglich; grobe Näherung, Parameterstudien)
numerische Lösung
(reale Probleme; Simulations-Software, z.B. FEM [finite Elemente-Methode])
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6
Kapitel
1
1. ELEKTROSTATIK
1.1.
Das Coulomb'sche Gesetz
r
F12 =
r
r
Q1Q 2
4π ε 0 r12
r
2
r
r12
= −F 21
r12
(1.1)
r
r12 = r 2 − r1
(1.2)
r
r12 = r12 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2
ε0 = 8,854... · 10-12 As/Vm
r
r
Q1Q 2 r 21
F 21 =
2
4π ε 0 r 21 r 21
z.B.: Q1 = Q2 = 1C
;
(1.3)
... elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante des Vakuums)
(1.4)
F12 = F21 ≈ 9 · 109 N
r12 = 1m
42
• abstoßende Kraft zweier Protonen ist ca. 4·10 mal größer als ihre Gravitationsanziehung
• Gültigkeit des
1
r2
Annahme:
-Gesetzes
1
r
(2 + δ )
δ < 106
1876 Maxwell:
1.2.
... Messung an geladenen Hohlkugeln
-15
heute:
δ < 10
Gültigkeitsbereich:
10-16m (Atomkern) < r < 1010m (Magnetfeldmessungen der Jupitersonde)
Das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip)
• Kraftwirkung zwischen 2 Punktladungen ist unabhängig von der Anwesenheit weiterer Ladungen
r
F12 ist unabhängig von Q3 , Q4 , ...
r
r
r
F 2 = F12 + F 32 =
r
Q1Q 2 r12
4π ε 0 r12
3
+
r
Q 3Q 2 r 32
4π ε 0 r 32
(1.5)
3
7
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.3.
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
Die elektrische Feldstärke
r
r
F
E =
Q0
Definition:
• Probeladung Q0
Punktladung, damit Angriffspunkt der Kraft eindeutig definiert ist
Q0 nur so groß, dass kein Einfluß auf die felderzeugende Ladungsverteilung gegeben ist
• elektrische Feldstärke einer Punktladung
r
r
r
(1.1): Q1 , r1 , Q 2 = Q 0 , r 2 = r = (x , y , z )
r
(r − r1 )
Q
4π ε 0 rr − rr 3
2
r
r
E (1) (r ) =
z.B.
r
(1.7)
r
r1 = 0 , d.h. Q1 liegt im Koordinaten-Ursprung
r r
E (r ) =
r
Q
4π ε 0 r 2
r
r
Q
=
er
r
4π ε 0 r 2
(1.8)
• N Punktladungen (Superpositionsprinzip)
r r
N
r r
r − ri
Q
E (r ) = ∑
r r 3
i =1 4π ε 0 r − r i
bzw.
(1.9)
r r
r r
F (r ) = Q 0E (r )
1.3.1. kontinuierliche Ladungsverteilungen
• Makroskopische "Verschmierung" einer diskreten Ansammlung vieler Punktladungen zu einer Ladungsdichte
• Volumenelement:
∆V = ∆x·∆y·∆z
∆Q =
N
∑Qi
i =1
• Raumladungsdichte ρ
ρ = lim
∆V → 0
dQ
∆Q
=
dV
∆V
C 
 3
m 
(1.10)
r' = (x',y',z')
... Quellpunktsvektor
r = (x,y,z)
... Aufpunktsvektor
dV' = dx' dy' dz'
dQ(r) = ρ(r') dV'
r r
dE (r ) =
dQ
4π ε 0
... wirkt wie eine Punktladung
r
r −r '
r r 3
r −r '
r
• gesamte elektrische Feldstärke im Aufpunkt
r r r
r r
1
ρ (r ) · (r − r ' )
E (r ) =
dV '
∫
r r 3
4π ε 0 V
r −r '
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8
(1.11)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
• Flächenladungsdichte σ
σ =
dQ
dA
C 
 2
m 
(1.12)
(1.13)
σ = lim ρ ·d
d →0
ρ →0
r r
E (r ) =
r
r r
σ (r ' ) · (r − r ' )
dA '
r r 3
4π ε 0 A∫
r −r '
1
(1.14)
• Linienladungsdichte q
q =
dQ
dl
C 
 
m 
(1.15)
q = lim ρ d h = lim σ h
d →0
h →0
ρ →0
r r
E (r ) =
(1.16)
h →0
σ →0
r
r r
q (r ' ) · (r − r ' )
dl '
r r 3
4π ε 0 C∫
r −r '
1
(1.17)
9
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.4.
V03 – 02.11.2000
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
Der elektrische Fluß
• Flussbegriff aus der Hydromechanik
• homogener Fluß
z.B. homogenes Geschwindigkeitsfeld V
Ω=v·A
...skalares Produkt (inneres Produkt)
(1.18)
• inhomogener Fluß
r r
r r
r r
Ω = ∫ v (r ) • dA (r ) = ∫ v • n dA = ∫ v n dA
A
A
n ... Einheitsnormalenvektor
• elektrischer Fluß
r r
r r
Ω = ε 0 ∫ E dA = ∫ D dA
A
(1.19)
A
(1.20)
A
r
r
mit D = ε 0E ... dielektr. Verschiebung; elektr. Flussdichte
(1.21)
• Fluß durch eine geschlossene Oberfläche: Hüllfluß
r r
Ω = ∫ D dA = ∫ D n dA
A
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(1.22)
A
10
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.4.1. Das Gauß’sche Gesetz der Elektrostatik
z.B. Hüllfluß um eine Punktladung
E bzw. D ist konst. auf der Kugeloberfläche:
r
D =
Ω=
Q
4π r0
r
2
r
r
er = D er
r r
D =D
r
∫ D ·dA = D ∫ dA = D ·4π r 0
Ak
(1.23)
2
(1.24)
Ak
• Aus (1.23)
(Coulomb’sche Gesetz)
folgt:
2
4π r0 D = Q
(Voraussetzung:
1
r 2 +δ
=
1
r2
d.h. δ = 0)
d.h.
Ω=
r r
∫ D ·dA = Q
(1.25)
A( k )
gilt für beliebig geformte Hüllflächen!
Beweis:
mit Strahlensatz:
A =a
R2
r0
2
1
cos α
(1.26)
r
• Fluß durch a :
r
r
Ωa = D (r0 ) a = D (r0 )a
r
• Fluß durch A :
r
r
Ω A = D (R ) A = D (R ) A cos α
wegen
gilt:
D (R ) r02
=
D (r0 ) R 2
2
r
R2 1
Ω A = D (r0 ) 02 a 2
cos α = D (r0 )a = Ωa
R3 r0 cos α
1424
142
4 43
4
D (R )
damit
Ω=
r r
∫ D ·dA = Q
A
Gauß’sches Gesetz
(1.27)
A ,beliebig
11
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Ist die Ladung außerhalb der Hüllfläche:
• eintretender Fluß:
r r
Ω1 = D1 A1
• austretender Fluß:
r r
Ω 2 = D 2 A2
Ω1 = Ω2
gesamter Hüllfluß:
r r
∫ DdA = 0
(keine eingeschlossene Ladung)
(1.28)
A
• mehrere Punktladungen im betrachteten Volumen:
r r
Ω = ∫ D dA =
A
N
∑Qi
i =1
= Q gesamt
• kontinuierliche Ladungsverteilung:
r r
Ω = ∫ D dA = ∫ ρ dV
A
(1.29)
Gauß’sches Gesetz
• Coulomb’sches Gesetz und Gauß’sches Gesetz sind äquivalent.
Beispiel:
elektrische Feldstärke einer Linienladung q der Länge l
Gesamtladung: Q=q·l
Ladung des differentiellen Elements: dQ=q·dz’
r
r
r
r
r = (x , y , z ) = xe x + ye y + ze z
r
r
r = (0,0, z ' ) = z ' e z
r
r
r
r r
r − r ' = (x , y , z ' ) = xe x + ye y + (z − z ' )e z
Coulomb’sches Gesetz:
r r
r
dQ (r − r ' )
dE =
· r r 3 = (dE x , dE y , dE z )
4π ε 0 (r − r ' )
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(1.30)
v
12
(
1
r2
...Abhängigkeit)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
r
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
r
E = ∫ dE = (E x , E y , E z )
Gesamtfeld:
komponentenweise Integration
Ex =
l /2
1
q ·x ·dz '
∫
4π ε 0
z ' = −l / 2
und Substitution:

2
2
2 
 x + y + (z − z ' ) 


s = z-z’
3
, ds = -dz’
∫
;
ds
 2
2
 a +s 


3
=
s
a
2
a2 + s 2
+c
liefert:


z +
qx

=
4π ε 0 (x 2 + y 2 ) 
Ex
l
2
−
l
 x 2 + y 2 + ( z + )2

2
Ez
x2 +y2

l

z+
2

=
−
4π ε 0 (x 2 + y 2 ) 
 x 2 + y 2 + (z + l ) 2
2



q 
1
=
−
4π ε 0 
2
2
 x + y + (z + l ) 2
2

∫
s ds
 2
2
 a +s 


3
=
x2 +y2
l


2

l 2 
+ (z − )
2 
z−
qy
Ey



2
l 2 
+ (z − )
2 
z −
l


1

l 2 
2
2
x + y + (z − )
2 
−1
+c
2
a + s2
• Übergang auf Zylinderkoordinaten:
Er = Ex2 +Ey 2
r = x2 +y2
z =z
Er


l
l


z+
z−
q 
2
2

=
−

4π ε 0r  2
l
l
2
2
2
 r + (z + )
r + (z − ) 
2
2 

Ez
q 
=
4π ε 0 


1
 r 2 + (z + l ) 2
2




l 2 
+ (z − )
2 
1
−
r2
• Unendlich lange Linienladung
−
l
2
l
→ −∞
2
Annahme z = 0
Er =
q
4π ε 0r
: Ez = 0
→∞
(kein ausgezeichneter Punkt)
l
·
l 
r 2 +  
2
2
=
q
2π ε 0r
 
lim E r =
l →∞
q
2π ε 0r
r
⇒ E =
1
·
q
2π ε 0r
 2r 
1 + 

 l 
r
·e r
2
er ... zylindrisch radial
13
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Berechnung mittels Gauß’schem Gesetz:
r
r
r
r
∫ D ·dA = ε 0 ∫ E ·dA + ε0 ∫ E ·dA = ε0E r ∫ dA = ε 0E r 2π r l
AZyl
AMantel
ADeckel
1242
4
4r
r43
=0 , da E ⊥ dA
= Q = q ·l
AMantel
E r ·2π ε 0r ·l = q ·l
Er =
q
2π ε 0r
1.4.2. Die Divergenz eines Vektorfeldes
V04 – 09.11.2000
• Gleichung (1.30) gilt für beliebiges Volumen
V sehr klein wählen, so dass ρ = konst. ist:
r r
→ρ
∫ ρ dV = ρ ⋅V = ∫ D dA
V
A
r r
∫ D dA
r
A
ρ (r ) = lim
V →0
(1.31)
V
r r
Definition:
r
div D = lim
V →0
∫ D dA
A
(1.32)
V
div D = ρ
(1.33)
• div a ... Maß für die Quelldichte des Vektorfelds a
• (1.33) stellt die differentielle Form des Gauß'schen Gesetzes der Elektrostatik dar.
• Divergenz in kartesischen Koordinaten
Berechnung des Flusses durch die Flächen x = const. bzw. x + ∆x = const.:
[ ℜn ... Restglieder]
Taylorreihenentwicklung von Dx:
© by FI 2001

∆y
∆z
,z +
2
2
1)
D x  x , y +
2)
D x  x + ∆x , y +



∆y ∂D x
∆z ∂D x

 = D x (x , y , z ) +
+
+ ℜn 1
2 ∂y
2 ∂z

∂D x
∆y ∂D x
∆z ∂D x
∆y
∆z 
 = D x (x , y , z ) + ∆x
+
+
+ ℜn 2
,z +
∂x
2
2 
2 ∂y
2 ∂z
14
(1.34)
(1.35)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
• Nettofluß:
∆y∆z D x (x + ∆x ,...) − D x (x ,...)
123 
↑

R1 ≠R 2
≈
∂D x
∂x
∆x∆y∆z
(1.36)
∆A; Flächen bei
da ∆A = ± ∆A ex
x = const.; x+∆x = const.
analoges gilt auch für die Koordinaten-Richtungen y und z
(Hüllfluß aus ∆V)
• Gesamtfluß:
 ∂D
∂D y
∂D z
x∆2y4
z  x +
Ω≈∆
∆3
+
1
4
∂x
∂y
∂z

∆V




(1.37)
• Beim Grenzübergang  lim  verschwinden die Glieder höherer Ordnung (Rn
 ∆V →0 
r r
r
div D = lim
∫ D dA
A
∆V → 0
∆V
= lim
∆V → 0
0) und man erhält exakt:
∂D y
∂D z
∂D x
Ω
+
+
=
∂z
∂y
∂x
∆V
(1.38)
( →)
• Man definiert einen Differentialoperator – den Vektoroperator ∇
 ∂
∂
∂
∇ = 
+
+
 ∂x ∂y ∂z



... Nabla-Operator
1.4.3. Der Gauß'sche Integralsatz
• Betrachtet wird ein ausgedehntes, zusammenhängendes Raumgebiet V
r r
div D (r i )∆V i =
• i-tes Volumenelement:
r r
∫ D dAi
(1.39)
∆Ai
r
∫ div D dV
V
• Vergleich mit dem Gauß'schen Gesetz:
r r
(i)
∫ D dA = ∫ ρ dV
A
(ii)
N
r r
∑ div D (ri )∆Vi
∆V →0
= lim
i
N →∞
i =1
N
r r
r
∑ ∫ D (ri ) dAi
∆V → 0
= lim
i
N →∞
i =1 ∆Ai
r r
= ∫ D dA
(1.40)
A
... Gauß'sches Gesetz (GG)
V
r r
r
∫ D dA = ∫ div D dV
A
... Gauß'scher Integralsatz (GIS)
V
∫ (div D − ρ )dV
r
= 0 für beliebiges Volumen, daher
V
div D - ρ = 0
bzw.
div D(r) = ρ(r) ... differentielle Form des GG
15
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.5.
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
Arbeit im elektrischen Feld
1)
Eine Punktladung Q1 wird in einem feldfreien Raum positioniert
dafür ist keine Arbeit erforderlich
2)
Aus dem Unendlichen wird eine zweite Punktladung Q2 im Feld von Q1 bis zum Abstand r12 heranbewegt.
es muß gegen die z.B. abstoßende elektrische Feldkraft mechanische Arbeit verrichtet werden.
r
r
F mech = −Fel = −
Q1Q 2
4π ε 0 r
r
2
er
(1.41)
differentielle Arbeit (Energie), die bei der Verschiebung um ds geleistet werden muß
r
Q1Q 2
r
dW = Fmech ds = −
r r
4π ε 0 r 2
dW =
e r e r (−dr )
Q1Q 2
4π ε 0 r 2
dr
(1.42)
gesamter Arbeitsaufwand
W =
r12
r
r
∫ Fmech ds =
r =∞
r12
QQ
QQ
∫ 4π 1ε 2r 2 (−dr ) = 4π 1ε 2r 2
0
0
∞
r12
=
∞
Q1Q 2
4π ε 0 r12
2
(1.43)
• Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals:
Es gilt:
ds 1 =
dr
ds 2 =
cos α1
r r
1)
F ·ds 1 = F ds 1 cos α1 = F
2)
F ·ds 2 = F ds 2 cos α 2 = F
dr
cos α1
r r
dr
cos α 2
dr
cos α 2
cos α1 = F dr
cos α 2 = F dr
r r
r r
⇒ F ·ds 1 = F ·ds 2
d.h.
r r
r r
↓
W1 = − ∫ F ds 1 = − ∫ F ds 2 = W 2
c1
− da elektr . Kräfte
c2
kein Perpertuum möglich
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16
(1.44)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
• wird ein geschlossener Weg betrachtet:
r r
r r
W = ∫ F ds − ∫ F ds = W1 − W 2 = 0
c1
c2
r r
= ∫ F ds = 0
C ... beliebiger geschl. Weg
(1.45)
c
V05 – 16.11.2000
es wird keine Arbeit geleistet:
r
r
mit F = E Q 0 :
r r
∫ E ds
Q 0 ... Probeladung
(1.46)
=0
c
z.B.: Heranbringen einer dritten Ladung aus dem Unendlichen
P3
r
P3
r
r
r
r
W 3 = − ∫ F 3 ds = − ∫ (F13 + F 23 )ds
∞
=
∞
Q1Q 3
+
4π ε 0r13
W ges =
Q1Q 2
4π ε 0r12
Q 2Q 3
(1.47)
4π ε 0r 23
+
Q1Q 3
4π ε 0r13
+
Q 2Q 3
(1.48)
4π ε 0r23
Reihenfolge des Heranbringens spielt keine Rolle
W ges ist die potentielle elektrische Energie des Ladungssystems (ohne Selbstenergie der Ladung)
• N Ladungen:
W ges = W pot =
1 N N Qi Q j
∑∑
2 i =1 j =1 4π ε 0r 23
(1.49)
i =1
1.6.
Das elektrische Potential
• Ausgehend von der mechanischen Arbeit, die aufzuwenden ist, um eine Ladung Q 0 im elektr. Feld zu
verschieben, definiert man das el. Potential ϕ
r r
W = −Q 0 ∫ E ds = −Q 0ϕ
(1.50)
c
und erhält
r
ϕ (r ) = ϕ 0 −
P(rr )
r r
r
∫ E (r ) ds
Potentialfunktion
(1.51)
P0
mit ϕ0 ... Potential im Start-(Bezugs-)Punkt
17
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Potentialdifferenz
r
r
P (r 2 ) =rP2
r
ϕ (r 2 ) − ϕ (r1 ) = ϕ 2 − ϕ1 = −
r
r
r
∫ E (r )ds
= U 21
(1.52)
P (r1 ) = P1
P1
r r
∫ E ds
U 21 =
P2
P2 r
r
= − ∫ E ds = −U 12
(1.53)
P1
U 21 ist die auf die Einheitsladung ( Q 0 = 1C ) bezogene Arbeit, die aufgebracht werden muß, um diese
r
Ladung im Feld E von P2 zu P1 zu verschieben.
1.6.1. Das Gradient einer skalaren Funktion
• Betrachtet man zwei eng benachbarte Punkte, so gilt
r r
dϕ = −Eds
ϕ1(4
x4
+ dx , y + dy , z + dz )
444244444
3
=
− ϕ (x , y , z )
Taylor −Entwicklung →lineare Terme vorh .
=
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
= −(E x dx + E y dy + E z dz )
r
E = (E x , E y , E z ) = −(
(1.54)
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
,
,
) = − grad(ϕ )
∂x ∂y ∂z
(1.55)
• Gradient von ϕ (r):
r r
r
∂ϕ r
∂ϕ r
∂ϕ r
grad ϕ (r ) =
ex +
ey +
e z = ∇ϕ (r )
∂x
∂y
∂z
(1.56)
r
r
grad ϕ gibt die Richtung und die Größe (Betrag) der stärksten Änderung der Funktion ϕ (r ) im Punkt P (r ) an.
r
d.h. E = − grad ϕ zeigt vom hohen Potential (+) zum niedrigen Potential (-)
die elektr. Feldlinien stehen daher senkrecht zu den Äquipotentialflächen
• Potentialänderung in beliebiger Richtung:
r
dϕ = ds ·grad ϕ
(dϕ )max
r
= n ·grad ϕ
r
mit n ... Normale auf Äquipotentialfläche
1.6.2. Das Potential von Ladungsverteilungen
• Potential einer Punktladung:
Kugeloberflächen sind Äquipotentialflächen
r
E =
Q
r
4π ε 0r 2
er
(Q im Ursprung)
r
ϕ = ϕ0 −
P (r )r
∫ E ds
P0
P0 → P (∞) :
© by FI 2001
ϕ0 = 0 ... Bezugspunkt
18
(1.57)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
r
r
Q
ϕ (r ) = − ∫
r
∞ 4π ε 0r '
r
r
12
r3
Q dr '
dr ' e r = − ∫
e
2 r
2
∞ 4π ε 0 r '
ds '
=
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
Q
(1.58)
4π ε 0r
r
Punktladung in allgemeiner Lage: P (r )
r
ϕ (r ) =
Q
(1.59)
r r
4π ε 0 r − r '
r r
 1
Q
grad r r
4π ε 0
 r −r '
r
E (r ) = − grad ϕ (r ) =


 1
grad r r
 r −r



=


∂
1
∂x
(x − x ' )
+
2
r
+ (y − y ' )
2
+ (z − z ' )
2
ex
∂
1
∂y
( x − x ' ) 2 + (y − y ' ) 2 + (z − z ' ) 2
∂
+
∂z
r
ey
1
(x − x ' )
2
+ (y − y ' )
r
2
+ (z − z ' )
ez
2
2(x − x ' )
1
=−




r
ex
2 
2
2
2 
 ( x − x ' ) + (y − y ' ) + (z − z ' ) 


y − y'
−
3

2
2
2 
 ( x − x ' ) + (y − y ' ) + (z − z ' ) 


z − z'
−
3

2
2
2 
 ( x − x ' ) + (y − y ' ) + (z − z ' ) 


r r
r −r'
=−
r r 3
r −r'
r
E =
3
r
r
Q
r −r'
4π ε 0 rr − rr' 3
r
ey
r
ez
((1.7))
• Potential von N Punktladungen
r
ϕ (r ) =
N
∑ 4π ε
i =1
Qi
r r
r −r'
(1.60)
0
• Potential einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung
r
r
1
ρ (r ' )dv
ϕ (r ) =
r
r
4π ε 0 v∫ r − r '
• Flächenladungsverteilung
r
1
σ (r ' )dA
ϕ (r ) =
r
r
4π ε 0 A∫ r − r '
(1.61)
(1.62)
• Linienladungsverteilung
r
r
1
q (r ' )dl '
ϕ (r ) =
r r
∫
4π ε 0 c r − r '
(1.63)
z.B. Potential einer Konstanten Linienladung q der Länge l
l
q
ϕ (r ) =
4π ε 0
r
2
∫
−
l
dz '
2
2
x + y + (z − z ' )2
2
19
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
r
ϕ (r ) =
Lösung:
ELEKTRODYNAMIK I
l
l

z+
z−
q 
2 − arsinh
2
arsinh
4π ε 0 
x2 +y2
x2 +y2

=





l
z + + x 2 + y 2 + (z − z ' )2
q
2
ln
l
4π ε 0
z − + x 2 + y 2 + (z − z ' )2
2
r
E = − grad ϕ :
∂ϕ
,
∂x
Ex = −
• unendlich lange Linienladung
r r
r
ϕ (r ) = ϕ0 − ∫ E ds
ϕ (r ) = −
V06 – 23.11.2000
q
2π ε 0
z.B.
r
∫
r0
Ey = −
∂ϕ
,
∂y
Ez = −
∂ϕ
∂z
r
r
r
r
mit E = E r e r und ds = dr e r
dr
q
r
=
ln 0
r
r
2π ε 0
kreisförmige konstante Linienladung
Gesamtladung Q = q 2π ε 0 diff. Ladung (Punktladung) dQ = q · r 0 ·dφ
r0 · dφ ' ... Bogenelement
• Potential für Aufpunkte auf der z-Achse (Symmetrieachse):
r
ϕ (r ) = ϕ (z ) =
2π
∫
φ '=0
qr 0dφ
2
4π ε 0 r 0 + z 2
1
42r4
3
=
q
2
4π ε 0 r 0 + z 2
2π
·2π
∫ dφ ' = 2π
0
r −r '
ϕ (z ) =
q ·r0
2
2 ε 0 r0 + z 2
r
• Potential für beliebige Aufpunkte:
ϕ (r , z ) =
2π
∫
φ '=0
r
E = E z e z = − grad ϕ = −
aus Symmetriegründen:
q r0 z

2
2 ε 0  r 0 + z 2

r



3
ez
r ≠0!
qr 0 dφ '
2
∂ϕ (z )
ez =
∂z
2
4π ε 0 z + r 0 + r 2 − 2r ·r 0 cos φ '
rotationssymmetrisch
Integral nicht elementar lösbar ⇒ elliptische Integrale
r
r = (x , y , z ) y = 0 = (r , φ = 0, z )
© by FI 2001
20
ELEKTRODYNAMIK I
1.7.
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
W =
• Gl. (1.49)
1 N N Qi Q j
1 N
= ∑Qi
∑∑
2 i =1 j =1 4π ε 0rij
2 i =1
j ≠i
Qi Q j
N
∑ 4π ε
j =1
j ≠i
0 r ij
14
4r244
3
ϕ (r i ) =ϕ i
nach (1.60) das Potential an Stelle Qi
• für N Punktladungen gilt:
W =
1 N
∑ Q i ·ϕ i
2 i =1
(1.64)
r
r → r ',
• kontinuierliche Verteilung:
∑ →∫
v
W =
r
r
1
ρ (r ' )·ϕ (r ' ) dV '
2 v∫
(1.65)
r
div D = ρ
• mit Gl. (1.33):
W =
r r
r
1
ρ (r ' ) · div D (r ' ) dV '
∫
2V
(1.66)
partielle Integration:
Betrachtet man den Ausdruck
r
r
r
div(D ·ϕ ) = ∇·(D ⋅ ϕc ) + ∇·(D c ⋅ ϕ )
[∇ nur angewandt auf Größen ohne C]
r r
= ϕ ·div D + D ·gradϕ
W =−
r
(1.67)
r
1
1
D ·gradϕ dV '+ ∫ div(D ·ϕ ) dV '
2 v∫
2
1v44
42444
3
Umformung mit Hilfe des Gauß'schen Integralsatzes nach Gl. (1.40)
r
r r
∫ div a dV = ∫ a dA
v
W =−
A
r r
1 r
1
D grad ϕ dV ' + ∫ ϕ D dA
2 V∫
2A
(1.68)
• Betrachtet man den gesamten Raum V ∞ , so gilt ϕ = 0 auf A∞ :
r
mit E = − grad ϕ
W =
r r
1 r
E (r ' )·D (r ' ) dV '
2 v∫
(1.69)
∞
elektrostatische Energiedichte:
r
W (r ) =
1.8.
1 r r r r
E (r )·D (r )
2
Ws 
 2
m 
(1.70)
Die Poisson'sche und Laplace'sche Gleichung
(1.33)
r (1.21)
r (1.55)
• ρ = div D = ε 0 div E = − ε 0 div grad ϕ
r
r
ρ (r )
div gradϕ (r ) = −
(1.71)
ε0
Nabla-Operator-Schreibweise:
r r
∇·∇ϕ = (∇ • ∇)ϕ = ∇ 2ϕ = ∆ϕ
∆ = ∇•∇ =
∂2
∂x
2
+
∂2
∂y
2
+
∆ ... Laplace-Operator
∂2
(1.72)
(1.73)
∂z 2
21
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
r
ρ (x , y , z )
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
Poisson-Gleichung (partielle DGl 2. Ordnung)
=−
+
+
∆ϕ (r ) =
2
ε0
∂y 2 ∂z 2
∂x
(1.74)
Gl. (1.61) stellt die Lösung dieser DGl dar:
r
r
1
ρ (r ) dV '
ϕ (r ) =
r r
∫
4π ε 0 v
r −r '
(∞)
• Sind im betrachteten Gebiet keine Raumladungen enthalten, so gilt:
r
∆ϕ (r ) = 0 Laplace-Gleichung
(1.75)
z.B. Raumladungsdichte einer Punktladung
r
r r
ρ (r ) = Q δ (r − r ' )
(1.76)
r
r
0 für r ≠ r '
r r
∞ für r = r '
r
δ (r − r ' ) = 
mit
r
r
Dirac ' sche Deltafunktion
(Distribution )
r
δ (r − r ' ) = δ (x − x ' ) δ (y − y ' ) δ (z − z ' )
(1.77)
(1.78)
wichtige Eigenschaften
r r
1) ∫ δ (r − r ' ) dV ' = 1
(1.79)
v∞
2)
r
r
∫ f (r )δ (r
r
r
− r ' ) dV ' = f (r ' )
… Ausblendeigenschaft
(1.80)
v∞
• Punktladung
r
r r
Q
δ (r − r ' )
∆ϕ (r ) = −
ε0

Q
∆
r r
4π ε 0 r − r '

∆

 = − Q δ (rr − rr' )

ε0

1
r
r r
r = −δ (r − r ' )
4π r − r '
r
mit G (r − r ' ) =
(1.81)
1
r r
4π r − r '
... Green'sche Funktion des freien Raumes
(1.82)
Fundamentallösung der Poisson-Gleichung bei punktförmiger Erregung (Quelle)
• Lösung eines allgemeinen elektrostatischen Feldproblems:
Lösung der Poisson-(Laplace-)Gleichung unter Berücksichtigung der gegebenen Randbedingungen!
z.B.
ϕ
A∞
=0
ϕ (r ) =
© by FI 2001
1
ε 0 V∫∞
r
r r
ρ (r ' ) G (r , r ' ) dV '
(1.83)
22
ELEKTRODYNAMIK I
1.9.
V07 – 30.11.2000
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
Die Rotation eines Vektorfeldes
• Elektrostatik:
aus der Wegunabhängigkeit des Linienintegrals folgt, dass
r r
(Arbeitsintegral über einen geschlossenen Weg)
∫ E ·ds = 0
((1.46))
c
• Es gibt jedoch Felder, die in der Lage sind, auf einem geschlossenen Weg positive oder negative Arbeit zu
leisten.
Man spricht von sogenannten Wirbelfeldern:
r
E = E0
z.B.:
r r
y r
ex
l
y auf c
6
78
2π
r
e
φ
6444
47
4444
8
r
a ·sin φ r
sin φe x + cos φe y )a ·dφ
∫ E ds = ∫ E 0 l e x ·(1−4
444
42r 44444
3
c
φ =0
ds
r r
e x ·e x = 1,
r r
e x ·e y = 0
r r
∫ E ds = −E 0
c
a2
l
2π
sin2 φ dφ = −
∫
φ =0
2
E 0a 2 2π
(1 − cos(2φ ))dφ = − E 0a
∫
2l 0
2l
r
2π
E a2
1


a 2π
 φ − sin(2φ ) 
=− 0
2π = − E 0
l
2
2l
0

"KEIN elektr. Feld!" (kann durch keine Ladungsänderung erzeugt werden!)
• Betrachtet man eine immer kleinere Schleife, so ist zu erwarten, dass das Verhältnis des Linienintegrals zur
berandeten Fläche einen Grenzwert anstrebt.
• Dieser Grenzwert hängt natürlich von der Länge der infinitesimalen Schleife ab.
• Rotation des Vektorfeldes E
(engl. "rot"="curl")
r r
r
r
n · rot E = lim
∫ E ds
c
(1.84)
dA
dA → 0
Rotation = Wirbelstärke, Wirbeldichte
r
r
r
r
n · rot E = (rot E )n
... Komponente des Rotors in n -Richtung
z.B.
r
r
r
n → ex ,ey ,ez
...kartesische Komponenten
23
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Rotation in kartesischen Koordinaten:
Taylorentwicklung: (nach dem ersten Glied abbrechen)
•
1) E x (x +
∆x
∆x ∂E x
, y , z ) = E x (x , y , z ) +
·
+ ...
2
2 ∂x
(1.85)
2) E x (x +
∆x
∆x ∂E x
∂E x
+ ∆y
, y + ∆y , z ) = E x ( x , y , z ) +
·
+ ...
2
2 ∂x
∂x
(1.86)
r r
∫ E ·ds
:
Beitrag der Seiten in x-Richtung:
 
∂E x


∆x

∆x
∆x E x  x +
, y , z  − E x  x +
, y + ∆y , z  = −∆x ∆y
2
2
∂y
 



(1)-(2) :
(1.87)
Beitrag der Seiten in y-Richtung:
∂E y
∆x∆y
∂x
r r
∫ E ds
d.h.
c
(rot E ) z =
 ∂E y
∂E x
≈∆
y 
−
1x2∆3
∂
x
∂y
∆A 
∂E y
∂x
−




(1.88)
∂E x
∂y
(1.89)
r r
r r
• Untersucht man Schleifen für n = e x (x = const.) und n = e y (y = const.) :
r  ∂E
∂E y
rot E =  z −
 ∂y
∂z

r
e x +  ∂E x − ∂E z
 ∂z

∂x


 ∂E y
r
∂E x
e y + 
−
 ∂x
∂y


• Darstellung mit dem Nabla-Operator:
r r r
ex ey ez
r
rot E =
∂
∂x
r r
∂
= ∇x E
∂z
∂
∂y
Ex Ey Ez
r
E = E0
z.B.:
1)
r
y r
ex
l
r
e z ·rot E = lim
a →0
r r
, n = ez
r r
1
2
a π
∫ E ds
C
= lim
a →0
1 
a 2π
−E0
2 
l
a π
r
E r
rot E = − 0 e z
l
© by FI 2001
24

 = − E0

l

r
e z


(1.90)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
r
r
ex
2)
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
r
ey ez
r
∂
rot E = −
∂x
∂
∂y
E 0·
y
0
l
r
E
y r
∂
∂ 
 E 0 e z = − 0 = e z
=−
l 
∂z
l
∂y 
0
• Elektrostatik
r
E = − grad ϕ = −(
∂γ ∂ϕ ∂ϕ
,
,
)
∂x ∂y ∂z
r
r
r
ex ey ez
r
 ∂ 2ϕ
∂
∂ ∂
∂ 2ϕ
= −
−
rot E = −
 ∂y ∂z ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∂x ∂x ∂x
2
r
 2
e −  ∂ ϕ − ∂ ϕ
 x  ∂x ∂z ∂x ∂z


2
r
 2
e −  ∂ ϕ − ∂ ϕ
 y  ∂x ∂y ∂x ∂y


r
e = 0
 z

koordinatenfreier Beweis:
r
r r
rot E = − rot grad ϕ = −∇ × ∇ϕ = − (∇ × ∇)ϕ = 0
1424
3
= 0 , da gleiche
( parallele )
Vektoren
rot grad f = 0
r
rot E = 0
(in der Elektrostatik!)
r
E = E0
d.h.
y r
ex
l
(1.92)
ist kein Elektrostatisches Feld !
sondern ein Wirbelfeld
1.9.1. Der Stokes'scher Integralsatz
• Zerlegung einer zusammenhängenden (glatten) Fläche in infinitesimale Schleifen:
• Für jedes Element gilt:
r r
r r r
rot E (r ) · ∆Ai = ∫ E (r ) ds i
{r
r
(1.93)
∆c i
∆Ai · n
N
r
r r
r
∫ rot E ·dA = ∆Alim→0 ∑ rot E (ri ) · ∆Ai
i
A
N →∞
i =1
= lim
N
r r
r
∑ ∫ E (ri ) ·ds
∆Ai → 0
i =1 ∆c i
N →∞
r r
= ∫ E ds
c
r
r r
r
∫ rot E ·dA = ∫ E ds
A
[Integralsatz von Stokes]
(1.94)
c
25
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Elektrostatik:
r r
∫ Ed s
(1.94 )
→
=0
c
r
r
∫ rot E ·dA = 0
A
muß für beliebige geschlossene Kurven C bzw. umschlossene Flächen A gelten, daher
r
rot E = 0
2. Maxwellsche Gleichung der Elektrostatik
((1.92))
Für ein beliebiges Vektorfeld F gilt:
r r GIS
r
1) ∫ rot F ·dA = ∫ div rot F dV = 0 = 0
A
2)
v
r
r
∫ rot F ·dA
Stokes IS
=
A
d.h.
r r
∫ F ds = 0
c
r
∫ div rot F dV = 0
für beliebiges Volumen
v
r
daher div rot F = 0
1.10.
V08 – 07.12.2000
(1.95)
Leiter im elektrostatischen Feld
• Leiter besitzt frei bewegliche Ladungsträger
• Leiter im elektrostatischen Feld
es wirken Kräfte auf die bewegl. Ladungen
• Ladungen setzen sich in Bewegung und kommen erst dann zum Stillstand, wenn im Leiterinneren das
elektrische Feld verschwindet:
r
E i = − grad ϕ = 0
(1.96)
→ ϕ = const . ,
d.h., dass der gesamte Leiter (Innenraum und Oberfläche) ein konstantes Potential besitzt.
• Leitoberfläche ist eine Äquipotentialfläche, es gilt
r
(t ... tangential)
Et = 0
die Feldlinien des äußeren Feldes stehen also senkrecht zur Oberfläche
an der Oberfläche treten die sog. "Influenzladungen" auf.
© by FI 2001
26
(1.97)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
• mit Hilfe des Gauß'schen Gesetzes (1.27) folgt allgemein:
r r
∫ E dA = Q
lim ε 0
h →0
AQuader
14243
= σ AD
123
1)
... Fluß aus dem Quader ;
2)
... Feldlinien treten NUR durch die Deckfläche AD des Quaders aus!
2)
1)
r
Da E t = 0 (1.97) tritt der gesamte Fluß nur durch die Deckfläche aus:
r r
lim ε 0 ∫ E dA = ε 0 · E n · AD = σ · AD
h →0
bzw.
Dn = ε 0E n = σ
(σ ist i.A. eine Funktion des Ortes auf der Oberfläche)
(1.98)
1.10.1. Metallkugel im Feld einer Punktladung
resultierendes Feld:
E = E0 + Einfl
(1.99)
• Lösung des Feldproblems durch die Annahme einer fiktiven Bildladung außerhalb des Feldbereiches, im
feldfreien Innenraum des Leiters.
Begründung:
Bei der Untersuchung der Feld- bzw. Potentialverteilung zweier ungleichartiger Ladungen ( Q1 , Q 2 ) ergibt
sich für die spezielle Äquipotentialfläche ϕ = 0 eine Kugelfläche, die eine der beiden Ladungen umschließt.
z.B. Q1 ⟩ Q 2
Kugel um Q2
27
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS


1 

ϕ=
4π ε 0 



Q1
Q2
+
2
2
d

 x +  + y 2 + z 2
2

d

 x −  + y 2 + z 2
2

ELEKTRODYNAMIK I



 =0




Vorz. Q1 ≠ Vorz. Q 2 :
Q1
Q2
=
2
2

d
 x +  + y 2 + z 2
2


d
 x −  + y 2 + z 2
2

Durch Quadrieren ergibt sich:



Q12  x 2 − xd +


d2
2
+ y 2 + z 2  = Q 2  x 2 + xd +
+ y 2 + z 2



4
4



d2
2
2

 x − d Q1 + Q 2  + y 2 + z 2 = d 2 Q1Q 2
2
2

2 1 − Q2 
Q12 − Q 22
1444Q4
4
4444
424444444
444
3
)
(
Gleichung einer Kugel
⇔
( x − x k )2 + y 2 + z 2 = rk
2
Abstände der Ladungen vom Kugelmittelpunkt
r1 = x k +
r2 = x k −
d
2
d
2
=d
=d
r1r2 = rk 2 = d 2
Q12
Q12
− Q2
Q 22
Q12
(Q
− Q2
Q12Q 22
2
1
− Q2
(1.100)
2
(1.101)
2
(1.102)
)
22
r1 Q12
=
r2 Q 22
© by FI 2001
(1.103)
28
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
z.B.
geg.: zQ , rk
rk 2
zQ
Bildladung:
zQ ' =
aus (1.103)
Q ' = −Q
(1.104)
zQ '
zQ
= −Q
rk
zQ
Spiegelung einer Punktladung an einer leitenden Kugel !
(1.105)
Spiegelungsmethode !
• Lösung des Feldproblems:
Feld der Ladung Q und Q' außerhalb der Kugeloberfläche (anstelle der Influenzladungen)
1.10.2. Punktladung über einer unendlich ausgedehnten Ebene
• Beweis über Spiegelung an einer Kugel mit rk → ∞
z Q = rk + d 1
z Q ' = rk − d 2
zQ ' =
rk 2
rk 2
=
=
zQ
rk + d 1
rk
d
1+ 1
rk
29
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS




1 + d 1 

rk 
{


ε →0 


z Q ' ≈ rk 1 −

−1
≈1−
d1
+ −...
rk
Binominalreihe (nur erstes Glied)
d1 
 = rk − d 1 ≈ rk − d 2
rk 
rk → ∞
für
ELEKTRODYNAMIK I
⇒ d1 = d 2 = d
(1.106)
bzw mit (1.105): Q' = Q
(1.107)


Q ' = −Q 1
= −Q

d
1+

rk



wg r k → ∞ 


• Man kann natürlich die Spiegelung mehrerer Ladungen gleichzeitig betrachten und die entsprechenden Felder
der Ladungen und Bildladungen überlagern:
1.10.3. Spiegelung einer Punktladung an 2 leitenden halbunendlichen Ebenen (schließen Winkel α ein)
V09 – 14.12.2000
Bedingung: α =
π
n
mit n = 1,2,3,...
(1.108)
Die Anzahl der Bildladungen (Spiegelungen):
N = 2n - 1
z.B. α =
© by FI 2001
π
2
(1.109)
→ N = 3 ... Bildladungen
30
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
Überlagerung liefert Feld in P(r)!
1.10.4. Metallzylinder im Feld einer Linienladung
• Betrachtet man das Feld zweier dem Betrag nach gleichgroßer ungleichartiger Ladungen.
r
ϕ (r ) =
q
2π ε 0
ln
r2
r1
(1.110)
ϕ = const. (Äquipotentialflächen ) sind Kreiszylinderflächen mit
Kreise des Apollonius (
r2
= const.
r1
r2
= const.)
r1
• Problemstellung:
Es gilt:
y 1y 2 = rz 2
(1.111)
31
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
r
P (r ) → Pzyl
Beweis:
r1 = x z 2 + (y z − y 1 )2
rz = x z 2 + y z 2
r2 = x z 2 + (y z − y 2 )2
r2
2
r12
rz 2
y1
y2 =
mit 1.111 :
x z 2 + y z 2 − 2y z
=
2
2
rz 2 r z 4
+
y 1 y 12
x z + y z − 2y z y 1 +
r 22
r12
=
rz 2
y 12
y 12

r z 2 1 − 2



y
r 2
2
y1 1 − 2 z + z 2 

y 1 y 1 

=
= const. , daher (1.111) OK !!
Bildladung:
q' = -q
(1.112)
yQ ' = y 2 =
1.11.
y z rz 2 
+
y 1 y 12 
rz 2
y1
((1.111))
Der Kondensator und die Kapazität
• Kondensator: zwei voneinander isolierte Leiter an die eine Spannung angelegt wird.
beide Leiter (metall. Elektroden) werden aufgeladen (± Q)
• Definition der Kapazität
C =
Q
U

c
As 
F = V = V 


(1.113)
• Für zwei beliebig geformte Elektroden:
r r
r r
ε 0 ∫ E dA
C 12 =
A1
2
r r
∫ E ds
1
ε 0 ∫ E dA
=
1
A2
r r
= C 21
(1.114)
∫ E ds
2
z.B. Parallelplattenkondensator (ohne Randeffekte)
C =
ε0A
d
→ Q = σ ·A
© by FI 2001
(1.115)
, U = E d ·d =
32
σd
ε0
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.11.1. im Kondensator gespeicherte Energie
Aus Gleichung (1.69) folgt mit Gleichung (1.55)
1 r r
1
E · D dN = ε 0 ∫ grad2 ϕ dV
2 v∫
2 v
W =
(1.116)
• Erster Green'scher Integralsatz:
∫ [ψ∆φ + gradψ ⋅ gradφ ]dV
v
r
= ∫ ψ grad φ dA
A
Beweis: mittels Gauß'schem IS
r
r r
∫ div F dv = ∫ F dA
v
(1.40):
A
r
F = ψ grad φ
Annahme:
r
div F = div (ψ grad φ ) = ∇ · (ψ ∇φ ) = ψ∇ · ∇φ + ∇φ ⋅ ∇ψ = ψ∆φ + gradψ ⋅ grad φ
• Für ψ = φ = ϕ und ∆ϕ = 0
W=
(keine Raumladung)
r r
r
1
1
1
ε 0 ∫ grad2 ϕ dv = ε 0 ∫ ϕ grad ϕ ⋅ dA = − ∫ ϕ D dA
2A
2 v
2 A
(1.118)
• Für den Kondensator gilt:
Hüllfläche:
A = A1 + A2 + A∞ :
r r 1
r r 1
r r
1
ϕD dA + ∫ ϕD dA − ∫ ϕD dA
+
∫
2A
2
(*) 2 A1
2
∞
1A4
243
W =
= 0 , da ϕ
=
r
r
~
= wg. n = −n
A∞ = 0
r r 1
r r
1
ϕ1 D dA + ϕ 2 ∫ D dA
2 A∫
2 A
1
2
1
23
1
23
Q1
W =
(*)
Q2
1
(ϕ1Q1 + ϕ2Q2 )
2
(1.119)
• mit Q1 = Q und Q 2 = −Q :
W =
Q =CU
1
(ϕ1 − ϕ2 )Q = 1 UQ = 1 CU 2
2
2
2
(1.120)
• Bei Vorhandensein einer Raumladung zwischen den Elektroden:
∆ϕ = −
W =
1 ε
−
2 ε0
, d.h.
r r 1
r 1
1
1
ε 0 ∫ ϕgradϕ dA − ε 0 ∫ ϕ∆ϕ dV = ∫ ϕD dA + ∫ ϕρ dV
2A
2v
2 A
2 A
33
(vgl. Gl. (1.65) für V ∞ )
(1.121)
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
1.11.2. Kapazität zweier Zylinderelektroden
• Kapazität einer "Doppelleitung"
es werden zwei unendlich lange kreiszylindrische Elektroden mit gleichen Radien betrachtet.
r
ϕ (r ) =
Potentialverteilung:
q
2π ε 0
ln
r2
r1
z.B. auf der Oberfläche des Zylinders 1
a +d
− r0
q
=
ϕ=
ln 2
a −d
2
2π ε 0
r0 −
U
→U
2
C '=
bzw
C '=
C
q
=
=
l
U
π ε0
a + d − 2r 0
ln
2r 0 − a + d
(1.122)
π ε0

 a
 a
ln 
+ 
2r
 2r 0
 0

a
mit 
l

2

 − 1 




2
2

d 
 − r0 =   aus der Kreisgleichung

2
für a >> r0 gilt: a ≈ d
C '≈
d.h.
© by FI 2001
π ε0
a
ln
r0
(1.123)
q und –q sitzen im Zentrum des jeweiligen Zylinders
34
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.11.3. Kapazität zweier Kugelelektroden
V10 – 21.12.2000
z.B. symmetrische Anordnung zweier gleichgroßer kugelförmiger Elektroden
• die Randbedingungen ϕ1 =
U
2
, ϕ2 = −
U
Kugelfunktionstrecke
können nur durch unendlich viele Spiegelungen exakt erfüllt
2
werden.
ϕ(r ) =
• Startwert: einzelne Kugelelektrode:
Q0
Q 0 = Punktladung im Zentrum
4π ε 0R
⇒ ϕ1 =
u
2
=
Q0
4π ε 0R
⇒
Q 0 = 2π ε 0RU
• 1. Spiegelung:
-Q0 wird an der Kugel 1 gespiegelt
Q1 = −(−Q 0 )R
mit Gl.(1.105):
1
a
= Q0
R
a
R2
a
Position: GL. (1.104):
x1 =
Q1 ' = −Q1

a2 −R2
R 2 
= a 1 −

a
a 2 

;
x1' = a − x1 =
• 2. Spiegelung:
Q 2 = Q1
R
R
= Q1
x 1'
a
1
2
R
1− 2
a
= Q0
R2
a2
1
1−
R2
a2
Q 2 ' = −Q 2
x2 =
R2
R2
R2
=
=
x 1' a − x 1
a
x 2' = a − x 2
1
1−
R2
a2



1
R2
= a 1 −
a2
R2

1− 2

a


R2

1−2 2

a
 =a·
R2

1− 2

a

35
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• 3. Spiegelung:
R3
Q3 = Q0
a3
R2
x3 =
a
1
R2
a2
1−2
R2
a2
R2
1−2 2
a
1−
R2 R4
+
a2 a4
R2
1−2 2
a
1−3
x 3' = a − x 3 = a ·
• Gesamtladung auf der Elektrode
∞
∑Qi
Q =
= CU
mit
Q0
U =
2π ε 0 R
i =0
erhält man






2
3


1
1
R
R
R
+ 2
+ 3
+ ...
C = 2π ε 0R  1{ +
2
2
a
a
R
a
R
(Q 0 ) {

1− 2
1−2 2
(Q1 )


a
a
1
42
4
43
4
1
4
4
2
4
4
3


(Q1 )
(Q 3 )


R
• Reihe kann je nach geforderter Genauigkeit abgebrochen werden, da Qi proportional zu 
a
R

z.B. a >> R : C ≈ 2π ε 0R 1 + 
a

ϕ1 =
U
2
≈
C =
=
Q 1
1 

 −
4π ε 0  R a − R 
Q 1 1
Q a −R
 − =
4π ε 0  R a  4π ε 0 a · R
Q
≈ 2π ε 0R
U
−1
1
1−
R
a
R

1 + 
a
142
43
= 2π ε 0R
1+
R R2
+
+ ...
a a2
↓abgebrochen
R

≈ 2ϕ ε 0R 1 + 
a

z.B.
© by FI 2001
36
(1.124)
i

 kleiner wird.

ELEKTRODYNAMIK I
1.12.
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
Mehrleiterprobleme
• sind mehrere geladene Leiter vorhanden, so können folgende allgemeine Aussagen getroffen werden:
• Potential in einem beliebigen Punkt des Raumes
r
n
r
σ i (ri )
ϕ (r ) = ∑ ∫
r r dAi
i =1 A 4π ε 0 r − r i
(1.125)
i
r
r i zeigt zu allen Punkten auf der Oberfläche Ai
d.h. das Potential der j-ten Elektrode erhält man aus
r
n
σ i (ri )
ϕj = ∑ ∫
r
r dAi
i =1 Ai 4π ε 0 r j − r i
1
424
3
r ij
Qj =
mit
∫ σ j dA j
...Ladungen auf der j-ten Elektrode
Aj
∫ ϕ j σ j dA j
und
=
Aj
ϕj =
folgt
ϕj =
n
∑
i =1
σiσ j
n
∑∫∫
i =1 Ai A j
4ϕ ε 0r ij
dA j dAi = ϕ j Q j


 σi σ j

 1

dA j dAi  ·Q i

∫
∫


 Q i Q j Ai A j  4π ε 0 r ij

42444444
3
 144444
p ji

n
∑ p ji ·Qi







(linearer Zusammenhang)
(1.126)
i =1
mit den Potentialkoeffizienten
p ji =
1
Qi Q j
·∫
 σiσ j
∫  4π ε 0rij
Ai A j


dA j dAi 


(1.127)
Diese Koeffizienten sind unabhängig von den Ladungen, hängen also nur von der Geometrie der Leiter ab.
Es gilt:
p ji = pij .... Symmetrie
p ij ≥ 0
Gleichung (1.126) stellt eine Zeile des Gesamtgleichungssystems dar, wenn j = 1, ... , n variiert wird:
ϕ1 = p11 Q1 + p12 Q 2 + ...
ϕ n = p n 1 Q n + p n 2 Q 2 + ...
{ϕ } = [ p ]{Q }
bzw.
... (Matrixdarstellung des Gesamtgleichungssystems)
{Q }= [ p ] −1 {ϕ }
37
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
Qi =
d.h.
ELEKTRODYNAMIK I
n
∑ C ij ϕ j
(1.128)
j =1
mit C ij den sog. Influenzkoeffizienten (Elemente der inversen [p]-Matrix)
1) C ij = C ji ... Symmetrie
Es gilt
2) C ii ≥ 0
3) C ij ≤ 0 für i ≠ 0
4)
n
∑ C ij ≥ 0
i =1
Beweis:
1)
offensichtlich
2)
((1.128))
Q1 = C ii ϕi ≥ 0
⇒ C ii ≥ 0
3)
Q j = C ji ϕi ≤ 0
⇒ C ji ≤ o
4)
Gesamtladung:
∑Q j
n
(j ≠ i )
=
j =1
n
∑ C ji
n
∑ C ji ϕi
j =1
= ϕi
≥ 0
j =1
n
∑ C ji ≥ 0
j =1
(C ji = C ij )
• Führt man anstelle der Potentiale Potentialdifferenzen ein :
11
 6444C7
4448 

= −C 12
}
Q1 =  c 11 + c 12 + c 13 + ...ϕ1 + c 12 (ϕ 2 − ϕ1 ) + c 13 (ϕ 3 − ϕ1 ) + ...




Q 2 = c 21 (ϕ1 − ϕ2 ) + (c 22 + c 21 + c 23 + ...)ϕ2 + ...
M
bzw.
Q1 = C 11ϕ1 + C 12 (ϕ 2 − ϕ1 ) + C 13 (ϕ1 − ϕ 3 ) + ...
[ϕ1 = ϕ - 0 (bei r → ∞ : ϕ0 = 0)]
Q 2 = C 21 (ϕ 2 − ϕ1 ) + C 22 ϕ 2 + C 23 (ϕ 2 − ϕ 3 ) + ...
M
Q i = C ii ϕ i +
n
∑ C ij ( ϕ14
i −ϕj )
24
3
j =1
j ≠i
(1.129)
U ij ...Spannung
C ij ... Kapazitätskoeffizienten, Teilkapazitäten
© by FI 2001
38
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
z.B.
C ii =
mit
n
∑ c ij ≥ 0
j =1
C ij = −c ij ≥ 0
(i ≠ j)
(wg. c ij ≤ 0 )
C ij = C ji ... Symmetrie
1.13.
V11 – 11.01.2000
Elektrische Felder in Materie
• nichtleitende Medien (Dielektrika)
es sind keine frei beweglichen Ladungsträger (z.B. Elektronen) vorhanden.
• unter Wirkung eines elektrischen Feldes wird das Medium polarisiert, d.h.
1) bei nichtpolaren Atomen oder Molekülen tritt eine Trennung der Ladungsschwerpunkte auf
es entsteht ein elektrischer Dipol, der das von außen angelegte Feld schwächt
2) bei polaren Atomen oder Molekülen (sie besitzen ein "natürliches" Dipolmoment) werden die i. a.
statistisch verteilten Dipolmomente in Feldrichtung gedreht.
• In beiden Fällen nimmt man an, dass die Polarisation proportional zur elektrischen Feldstärke ist:
r
r
Polarisationsvektor:
P = ε0 χ E
mit χ ... el. Suszeptibilität
(1.130)
Für Medien nach 2) ist χ temperaturabhängig!
• Es gibt auch permanent polarisierte Medien:
Elektrete
1.13.1. Der elektrische Dipol
• Anordnung von zwei dem Betrag nach gleich großer, ungleichartiger Ladungen im Abstand d:
Q1 = Q 2 = Q
Q 2 = −Q 1
r
• Man definiert als Dipolmoment p :
r
r
r
p = Q (r + − r − )
bzw.
r
(1.131)
r
r
p = p = Q r+ − r− = Q d
(1.132)
39
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Dipolfeld:
... realer Dipol
• Der ideale elektrische Dipol ist charakterisiert durch:
r
Q → ∞
 endliches Dipolmoment p
d →0
• Potential eines Dipols
1
Q  1
r r − r r
4π ε 0  r − r +
r − r−

r
r
r − = r1
r
r
r
r + = r1 + dr1
r
ϕ (r ) =
mit
r
ϕ (r ) =
folgt




1
1 
Q 
r
r
r − r r 
4π ε 0  r − (r1 + dr1 )
r − r1 


Entwicklung des ersten Terms in eine Taylorreihe:
1
r
r
= r
r
r − (r1 + dr1 )
∂  1
r r
∂x 1  r − r1

z.B.

 = ∂
 ∂x
1

=−
1
r + dx 1
r − r1
∂  1
r r
∂x 1  r − r1



 + dy ∂  1
r r
1

∂y 1  r − r1




1

 ( x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 + (z − z 1 ) 2

∂  1
r r
∂x  r − r1



 + dz ∂  1
r r
1

∂z 1  r − r1



 (+...




+( x − x 1 )
 =
3


2
2
2

 ( x − x 1 ) + (y − y 1 ) + (z − z 1 ) 






r
dr1 = (dx 1 , dy 1 , dz 1 )
 1
grad1  r r
 r − r1

1
r
r
r
r − (r1 + dr1 )
  ∂
=
  ∂x
  1
 1

 rr − rr
1

 ∂
,
 ∂y
1

 1

 rr − rr
1

 1
r

r + dr1 · grad1  r r
 r − r1
r − r1

= r
1
 ∂
,
 ∂z
1

 1

 rr − rr
1









Potential
r
ϕ (r ) =
r
 1
Q dr1
· grad1  r r
4π ε 0
 r − r1

mit
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 1
grad1  r r
 r − r1





r r


 = r − r1 = − grad  1
r r
 r − rr 3
 r − r1


1
40




(1.133)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
• Potential eines Dipols:
r r r
r
 1 
p · (r − r1 )
p
· grad r r  =
4π ε 0
 r − r1  4π ε r − rr 3


0
1
r
ϕ (r ) = −
(1.134)
r
Quellpunkt ... r1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) ... Position des Dipols
r
... Punkt, in dem das Potential angegeben wird
Aufpunkt ... r = (x , y , z )
r
z.B.: r1 = 0 :
r r
p ·r
r
ϕ (r ) =
4π ε 0r 3
Dipol im Ursprung
(1.135)
• Elektrische Feldstärke
r
E = − grad ϕ = −
r r
r r
r r
 p ·r 
1 1
1 
 =
∇( p · r ) + ( p · r )∇ 3 
∇ 
4π ε 0  r 3
4π ε 0  r 3 
r 
1
r
r
r
r
r
r
r
r
∂
∂
∂
1) ∇( p · r ) =
( p x x )e x +
( p y y )e y +
( p z z )e z = p x e x + p y e y + p z e z = p
∂x
∂y
∂z
 1
2) ∇
r3
r
E =
r

r
 = −3
r5

(
1
4π ε 0r 3
)
r r
 r
p ·r r
−
+
p
r
3

r2 

(1.136)
r
r
z.B. p = p e z
keine φ -Abhängigkeit ! (Rotationssymmetrisch ,
r r
p · r = p · r · cos Θ :
r
ϕ (r , Θ) =
∂
= 0)
∂φ
p · cos Θ
4π ε 0r 2
r
• E in Kugelkoordinaten:
r
r
r
r
p = pe z = p · cos Θe r − p · sin Θe Θ
E r (r , Θ) =
E r (r , Θ) =
p
4π ε 0r 3
[− cos Θ + 3 cos Θ]
2p cos Θ
4π ε 0r 3
E Θ (r , Θ) =
p · sin Θ
4π ε 0r 3
Eφ = 0
1.13.2. Polarisation
• Betrachtet man die räumliche Verteilung der atomaren bzw. molekularen Dipolelemente in einem
makroskopischen Volumenelement dV:
r
dp =
r
∑ pi
... resultierendes Dipolmoment (makroskopisch)
i
r
( pi
"verschmiert", kontinuierlich verteilt in dV)
41
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
so definiert man die Polarisation als Volumendichte:
r dpr
(Polarisationsvektor)
P =
(1.137)
dV
V12 – 18.01.2000
• Potential eines polarisierten Mediums des Volumens V
Mit Gl.(1.134) und unter Berücksichtigung von

 grad 1
r r

r − r1

r r
1
r
ϕ (r ) =

1
 = grad 1
r r = − grad' r r

r −r '
r −r '

r r
( (1.133) mit r ' = r1 ... Quellpunktsvektor)
1
∫ P (r ' ) · grad' rr − r ' dV '
(1.138)
4π ε 0 V
Dieser Ausdruck lässt sich umformen:
r
r
r
r r
Es gilt
div (f ⋅ a ) = ∇ • (f ⋅ a ) = f ∇ • a + a • ∇f = f div a + a • grad f
r
r
1
a = P und f =
mit
r
r −r '
r
r
1 
1

r = div'  P · r r  − r r div' P

r −r '
r −r '  r −r '


r
r
r
1
1
div' P
P
ϕ (r ) =
div' r
dV ' −
r dV '
4π ε 0 V∫
4π ε 0 V∫ r − r '
r − r −'
r
P • grad'
1
bzw unter Berücksichtigung des Gauß'schen Integralsatzes (1.40) erhält man:
r r
r r
r
r
1
P (r ' ) • dA
1
div' P (r ' )
−
ϕ (r ) =
r
r
r
r dV '
4π ε 0 A∫ r − r '
4π ε 0 V∫ r − r '
(1.139)
Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem Potential von räumlichen und flächenhaften Ladungsverteilungen
[(1.61) und (1.62)], so kann man auch das Potential polarisierter Materie (Dipolverteilungen) als Volumenund Flächenverteilung von sogenannten Polarisationsladungen darstellen.
r
r r
σ p (r ) dA '
ρ p (r ' ) dV '
r
1
1
(1.140)
ϕ (r ) =
r r +
r r
4π ε 0 A∫ r − r '
4π ε 0 V∫ r − r '
mit
r r
r
ρ p (r ' ) = − div P (r ' )
r
σ p (r ' ) =
r
r
P ·dA '
r
dA '
(1.141)
r r
r
= P · n ' = Pn
(1.142)
• Im Gegensatz zu den frei beweglichen Ladungen ρ , σ (z.B. Elektronen im Leiter) bezeichnet man diese mit
Atomen/Molekülen verbundenen Polarisationsladungen als gebundene Ladungen !
z.B.
1) homogen polarisiertes Medium
div P = 0! ; σP = Pn
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42
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
2) inhomogen polarisiertes Medium
div P = -ρP
1.13.3. Homogen polarisierte Platte
r
r
E a : verursacht die Polarisation P (Ausrichtung bzw Erzeugung der Dipolelemente)
r
E p : resultierendes Feld in der Platte
Feldschwächung durch die Gegenwirkung der Dipolfelder (=Materiefeld)
r
E g : Gegenfeld (Materiefeld = Dipolfelder) wie bei einem Plattenkondensator
r
r
r
Ei = Ea +Eg
,
Eg =
Ei = Ea − χ Ei
→ Ei =
σp
ε0
=
p
ε0
(1.30)
=
χ Ei
Ea
(1.143)
1+ χ
1.13.4. Dielektrische Verschiebung im Medium
r
r
D = ε 0E
• Vakuum
((1.121))
r
r
D =εE
• Medium (linear)
( Ansatz )
(1.144)
mit ε ... Dielektrizitätskonstante des Mediums (Isolator)
z.B. Platte
r
r
r
r
r
r
Da = ε 0E a = ε 0 (1 + χ )E i = ε 0ε r E i = ε E i = D i
ε = ε0 εr
(1.145)
mit ε r = 1 + χ
... relative Dielektrizitätskonstante
(1.146)
• Eigenschaften von D
an der Grenzfläche zu Vakuum bzw. einem anderen Dielektrikum gilt:
Dna = Dni
(Stetigkeit der Normalkomponente)
43
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
• Allgemeiner Zusammenhang zur Polarisation
r r
r
r
r
r
r
D = ε 0 ε r E = ε 0 (1 + χ )E = ε 0E + ε 0 χE = ε 0 E + P
ELEKTRODYNAMIK I
(1.147)
diese Definition gilt allgemein für beliebige, inhomogen polarisierte Körper
z.B. homogen polarisierte Quader
r
• Die Polarisationsladungen σ p haben keinen Einfluss auf D
• Die Polarisationsladungen σ p sind die Quellen und die Senken des elektrischen Materiefelds.
• Sind freie Ladungen zusätzlich vorhanden, so gilt:
r
div(ε 0E ) = ρ = ρfrei +
(1.147)
=
ρp
{
r
r
div D − div P
(1.148)
geb . Ladungen
d.h.
r
div D = ρfrei
(1.149)
div P = − ρ p
((1.141))
• In der Elektrostatik gilt immer Gl. 1.92
r
rot E = 0
(wirbelfreies Feld)
r
damit ist E durch die Quellen ( ρfrei , ρ p ) eindeutig bestimmt.
r
• Dies gilt nicht nur für D , da im allgemeinen
r
rot D ≠ 0 ist.
Es gilt
r
r
r
r
rot D = rot(ε 0E ) + rot P = rot P
1424
3
(1.150)
=0
z.B.
r r
r r
∫ rot P dA = ∫ P ds
A
= P ·l ≠ 0
d.h.
r
rot P ≠ 0
C
An der Mantelfläche des homogenen polarisierten Quaders treten Wirbel der Polarisation und damit der
dielektrischen Verschiebung auf.
r
• Bei ρfrei = 0 und ρ p bzw σ p ≠ 0 ist D zwar quellenfrei , jedoch nicht wirbelfrei!!
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44
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.13.5. Verhalten der elektr. Feldgrößen an Grenzflächen
V13 – 25.01.2000
1)
Aus der Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes folgt:
r r
E ds
dh → 0 ∫
Mit Gl. (1.46) gilt:
lim
= µ (E 1t − E 2t ) = 0
(innerhalb der Schleife sind E1 , E2 konstant)
c
E 1t = E 2t
(1.151)
r
d.h. ein stetiger Übergang der Tangentialkomponente von E
2)
Aus der Quellenfreiheit ( pfrei = 0) der dielektr. Verschiebung folgt:
Nach Gl. (1.149) gilt:
r r
lim ∫ D dA = dA (D 2n − D1n ) = 0
dh → 0
(*)
D1 , D2 innerhalb des Quaders konstant!
A
D1n = D2n
(1.152)
r
d.h. stetiger Übergang der Normalkomponente von D
• Brechung der Feldlinien:
tan α1 =
E 1t
D
= 1t
E 1n
D1n
tan α 2 =
E 2t
D
= 2t
E 2n
D 2n
Nach (1.151) gilt:
D1t
D
= 2t
ε1
ε2
→
D1t =
ε1
D 2t
ε2
(1.153)
→
E 1n =
ε2
E 2n
ε1
(1.154)
und nach (1.152)
ε1E 1n = ε 2E 2n
45
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KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
sprunghafte Änderung von Dt und E n beim Übergang von ε1 zu
tan α1
E
D
ε
= 2n = 1t = 1
tan α 2
E 1n
D 2t
ε2
Brechung:
3)
ELEKTRODYNAMIK I
ε2 .
(1.155)
Sind in der Grenzfläche freie Ladungen σ frei vorhanden:
lim
dh → 0
r r
∫ D dA = dA (D 2n − D1n ) = Q
= σ fei dA
A
D 2n − D1n = σ frei
E 2n =
bzw
(1.156)
σ frei + ε1E 1n
ε2
damit ergibt sich für die Brechung:
tan α1
E
σ
+ ε1E 1n
= 2n = frei
tan α 2
E 1n
ε 2 E 1n
tan α1
σ
=1+
tan α 2
ε 0 E 1n
z.B. ε1 = ε 2 = ε 0
4)
(1.157)
Verhalten des Potentials:
2
r r
E ds
dh → 0 ∫
ϕ 2 − ϕ1 = − lim
1
= dl (E 2t − E 1t ) = 0
14243
= D (1.151)
ϕ1 = ϕ2
Mit
r r
r
E · n = −n · gra dϕ = −
(1.158)
∂ϕ
∂n
... Normalenableitung
(1.159)
folgt aus (1.156)
ε1
∂ϕ1
∂ϕ
− ε 2 2 = σ frei
∂n
∂n
(1.160)
1.13.6. Homogen polarisierte Kugel
• elektrisches Feld im Außenraum entspricht dem elektrischen Feld eines idealen elektrischen Dipols, der im
Zentrum der Kugel angeordnet ist.
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46
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
homogen polarisierte Kugel durch ein Verschieben zweier entgegengesetzt geladener Raumladungskugeln um
d erzeugt denken
• Gesamtdipolmoment:
p = P ⋅V =
3
4π r k
P
3
(1.161)
mit (1.136) ergibt sich folgendes Außenfeld:
3

2p  rk 
  cos Θ


3ε 0  r 
4π ε 0 r 3

3

p sin Θ
p  rk 
  sin Θ 
E Θ (r , Θ) =
=
3
3
ε
r
4π ε 0 r

0 


Eφ = 0



E r (r , Θ) =
2 p cos Θ
=
(1.162)
• Verteilung der Polarisationsladungen an der Kugeloberfläche
r r
r r
σ p = Pn = P · n = P · e z · e r = P · cos Θ
• An der Kugeloberfläche gilt mit (1.151):
(1.163)
( r = rk )
P
EΘ = EΘ =
sin Θ
a
i
ε0
3
innen
außen
mit (1.152) und (1.147) folgt:
ε 0E r i + P1
Θ = ε 0E r a
4cos
24
3
123
P
D na
n
144244
3
D ni
E r i = E ra −
P cos Θ
ρ
=−
cos Θ
3ε 0
ε0
E φi = 0
Durch Umwandlung der Kugeloberfläche in kartesische Koordinaten erhält man:
E xi = E ri sin Θ cos φ + E Θi cos Θ cos φ = 0
E yi = E ri sin Θ sin φ + E Θi cos Θ sin φ = 0
E zi = E ri cos Θ − E Θi sin Θ = −
P
3ε 0








(1.164)
Konstante elektrische Feldstärke auf der gesamten inneren Kugeloberfläche, d.h. nachdem keine weiteren
Ladungen ( ρfrei , ρ p ) im Kugelinneren vorhanden sind, gilt im gesamten Innenraum:
r
r
E i = E zi ez = −
ρ r
ez
3ε 0
(1.165)
• elektr. Potential
ϕa (r , Θ) =
r
P rk 3
cos Θ
3ε 0 r 2
E i = − grad ϕ i = −
(1.166)
∂ϕ r
p r
ez = − i ez
3ε 0
∂z
47
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
p
∂ϕi
=
3ε 0
∂z
V14 – 01.02.2000
ϕi =
→
P ⋅z
+
3ε 0
ELEKTRODYNAMIK I
const
123
=0
wg . ϕ i =ϕ a
(
(1.167)
r =r k
)
r
z.B. homogene dielektrische Kugel in einem homogenen elektrischen Feld E 0
r
r
r
Gesamtfeld:
E = E Mat + E 0
1) Außenraum:
E a = E 0 + E Dipol
z.B.:
r
r
r
r
E r 0 = E 0 cos Θ 
r r
E 0 = E 0 ez
:
E Θ0
E φ0
r

= E 0 sin Θ  + E Dipol

=0

r
r
r
r
P r
2) E p = E 0 + E Mat = E 0 −
ez
3ε 0
z.B.
Ei = E0 −
E0 = E0 e0
((1.162))
E r
 a
= E Θ a

E φa
homogenes, geschwächtes Feld
χ ε0 E i
P
= E0 −
3ε 0
3ε 0
Ei =
3E 0
3
=
E0
3+ χ
2 + εr
• Definition: Entelektrisierungsfaktor N:
Ei = E0 −N
Kugel:
P
ε0
(1.168)
N =
1
3
Platte:
Zylinder ( ∞ lang):
© by FI 2001
48
ELEKTRODYNAMIK I
1.14.
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
Kräfte im elektrischen Feld
1.14.1. Kräfte auf Leiter
• Kraft auf die Ladung Q im el. Feld E
r
r
F = Q ·E
((1.16))
r
dabei ist jedoch E das el. Feld, das ohne die Ladung Q vorhanden ist!
z.B. Plattenkondensator
r
F = ∫ dF = ∫ dQE =
A
A
Q
εΘA
Q
∫ Aσ
dA =
Q2
ε0A
FALSCH!
r
es wurde der Betrag von dQ zu E nicht ausgeklammert!
• Korrekte Betrachtung:
r
r
E (a ) = E n n =
so gilt auch (1.98):
σ r
n
ε0
dQ = σ dA
Zu dieser Feldstärke trägt das Element
r
dE =
σ
2ε 0
r
n
bei!
die restliche Ladungen auf der Elektrode (Q - dQ) und die Ladung außerhalb der Elektrode tragen
σ r (*)
n
bei!
dann den restlichen Feldanteil
2ε 0
(die Tangentialkomponenten-Anteile heben sich auf)
nur dieser Anteil
(*)
ist also bei der Kraftberechnung zu berücksichtigen.
• Kraft auf die Elektrode:
r
dF = dQ
r
σ r σ2
n =
dAn
2ε 0
2ε 0
r
F =
bzw.
∫
AEL
σ 2 (r ' ) r '
dA
2ε 0
(1.169)
z.B.: Plattenkondensator
F =
σ2
σ2
∫ 2ε 0 dA' = 2ε 0
A=
Q2
2ε 0 A
RICHTIG!
49
... (anziehende Kraft)
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
1.14.2. Prinzip der virtuellen Verschiebung (virtuelle Verrückung)
• Der Körper, an dem die Kräfte angreifen, wird um ein infinitesimal kleines Wegstück ds "virtuell" verschoben.
Die dazu nötige Arbeit wird vom Feld geleistet, wenn es sich um ein abgeschlossenen physikalisches System
handelt, in dem der Energieerhaltungssatz gilt:
r r
r r
dW + F ·ds = 0
, d.h.
F ·ds = −dW
(1.170)
z.B. Plattenkondensator:
1) Q = const.
W =
(Spannungsquelle ist abgeklemmt)
1
CU 2
2
mit U =
C =
Kapazität:
mit (1.170):
ε 0 ·A
x
W =
1 Q2
2 C
W =
1 Q2
x
2 ε 0 ·A
F · dx = -dW
dW
1 Q2
=−
dx
2 ε 0 ·A
folgt:
F =−
d.h.
F = F ·e x = −
r
2) U = const.
Q
:
C
r
Q2 r
ex
2ε 0 ·A
(anziehende Kraft)
(Spannungsquelle bleibt angeschlossen)
man spricht von einem gekoppelten physikalischen System:
r r
F1·d42
s +43
dW =
− dWQuelle
14243
von einem System
aufgenommeme
Energie
F ·dx = −dW − dWQuelle = −dW + dQ ·U
F =−
(1.171)
abgegebene Energie
des anderen Systems
(dWQuelle = -dQ·U)
dW dQ
+
U
dx
dx
dC
dC
dC
d
1
1
1
=− U2
+U 2
= U2
= U 2ε 0 A
dx
dx
dx
dx
2
2
2
1

x



ε A
1
= − U2 0
2
x2
mit
© by FI 2001
U =
Q Q ·x
=
:
C
ε0A
F =−
Q = const.:
F unabhängig von x
U = const.:
F ~ 1/x2
50
1 Q2
2 ε0A
... das gleiche Ergebnis!
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
1.14.3. Kräfte an der Grenzfläche zweier verschiedener Dielektrika
1)
D1 = σ = D :
E1 =
D
ε1
D2 = σ = D :
E2 =
D
ε2
• Energie im betrachteten Volumen:
(V = A·d)
W =
1 Q2 Q2  1
1 


=
+
2 C
2  C 1 C 2 
W =
Q2
2A
Fy = −
d −y
y

+
 ε
ε2
 1
dW
dy




=−
Q =const .
Q2
2A
A
Fy
A
 1
1 


ε − ε 
1
 2

Q
 D = σ = 
A

bzw. Kraft pro Fläche A:
Fy
(Reihenschaltung zweier Kondensatoren)
=
Q2  1
1  D2  1
1 
 −
=
 −



2  ε1 ε 2 
2 A 2  ε1 ε 2 
=
1
1
E 1D (1) − E 2D (2)
2
2
mech. Spannungen
(1.172)
(F parallel zu E, D)
2)
l ... Abmessung in z-Richtung
E1 = E
;
E2 = E
;
D1 = ε1E ;
D2 = ε2E
• Aufteilung der freien Ladungen auf den Elektroden
Q = Q1 + Q2 = D1A1 + D2A2 = E(ε1·l·x + ε2·l(a-x))=
W =
U
l (ε1 x + ε 2 (a − x ) ) = C ·U
d
1 Q2
Q 2d
=
2 C
2[ε1 x + ε 2 (a − x )]l
51
© by FI 2001
KAPITEL 1: ELEKTROSTATIK
E-TECHNIK 3. FS
Fx = −
• Kraft:
mit E =
dW
dx
=
Q =const .
ELEKTRODYNAMIK I
ε1 − ε 2
Q 2d
2l [ε1 x + ε 2 (a − x )]2
U
Q
=
d
l [ε1 x + ε 2 (a − x )]
folgt für die Kraft pro Fläche A=d·l :
Fx
1
1
1
= E 2 (ε1 − ε 2 ) = E (1)D1 − E (2)D 2
·l
2
2
2
d{
(1.173)
=A
Diese Kraft wirkt senkrecht zur Richtung der Felder E, D
Druckkräfte
• Berechnung über U = const.
Fx · dx = U·dQ – dW
Fx = U 2
© by FI 2001
1
1
dC 1 2 dC
dC
d
(C 1 + C 2 )
− U
= U2
= U2
2
2
dx 2
dx
dx
dx
=


1 2 d  ε1 ·l ·x ε 2 ·l ·(a − x )  1 2 l
= U

U
(ε1ε 2 )
+
2
dx  12
d 3 14
d 44
d
42
3 2

 C 1
C2
=
1
·d ·l ·E 2 (ε1 − ε 2 )
2
52
(Parallelschaltung d. Teilkap.)
Kapitel
2
2. DAS STATIONÄRE ELEKTRISCHE STRÖMUNGSFELD
2.1.
Elektrischer Strom und Stromdichte
• Der elektrische Strom ist strömende Ladung
• Ladungsträger sind Elektronen und Protonen, die ungebunden oder an Atome bzw. Moleküle gebunden
( positive oder negative Ionen) auftreten können.
• Wesentlich für den elektrischen Strom ist dabei der Nettobetrag der Ladung, der durch die Bewegung der
Ladungsträger transportiert wird.
so addieren sich z.B. in elektrolytischen Flüssigkeiten die in entgegengesetzter Richtung sich bewegenden
Ionen zu einem entsprechenden Gesamtstrom
• Definition: Der Strom I ist die gesamte pro Zeiteinheit ∆t bewegte Ladung Q durch die Fläche A
N Ladungsträger pro Volumen ∆V mit konstanter Geschwindigkeit v pro ∆t durch A:
z.B.:
N
ρ=
∑Qi
i =1
∆V
=
∆Q
∆t
(Raumladungsdichte)
((1.10))
r
I =
Strom:
r
r r
ρ·v ·A·∆t
= ρ ·v · A
∆t
(2.1)
Treten verschiedene Ladungsträger auf:
r r
I = ∑ ρ j ·v j · A
(2.2)
j
• Tatsächlich stellt die Geschwindigkeit v eine mittlere Driftgeschwindigkeit der einzelnen Ladungsträger dar:
r
v =
1
N
N
r
∑v i
(2.3)
i =1
• Als Stromdichte ergibt sich aus I = J · A und (2.1)
r
r
J = ρ ·v
2.2.
(2.4)
mechanisch bewegte Ladungsträger
Konvektionsstrom bzw. –dichte
im elektrischen Feld bewegte Ladungsträger
Leitungsstrom bzw. –dichte
Das Prinzip der Ladungserhaltung – Kontinuitätsgleichung
• Die Gesamtladung in einem beliebigen Volumen kann sich nur durch Zu- oder Abfluß von Ladungsträgern
verändern.
Es können Ladungen weder plötzlich entstehen, noch verschwinden.
• Für beliebige Stromdichteverteilung (ρ und v ortsabhängig) gilt für eine beliebig umrandete Fläche A:
r r
I = ∫ J ·dA
(2.5)
A
53
© by FI 2001
KAPITEL 2: STATIONÄRES EL. STRÖMUNGSFELD
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
• Betrachtet man das Abfließen einer Ladung aus einem Volumen durch die geschlossene Oberfläche:
 r r
Q (t + dt ) − Q (t ) = −dQ =  ∫ J dA dt

 A
r r
dQ
∫ J dA = − dt
=−
A
∂
∂t
r
∫ ρ (r ,t ) dV
(2.6)
V
bzw. mit dem Gauß'schen Integralsatz ((1.40))
r r
r
∫ J dA = ∫ div J dV
A
V
r

∫  div J
+
V
= −∫
V
∂ρ
dV
∂t
∂ρ 
 dV = 0
∂t 
gültig für beliebige Volumina
r
div J +
∂ρ
=0
∂t
... Kontinuitätsgleichung
(2.7)
• Für ein stationäres Strömungsfeld gilt, dass die Stromdichte überall zeitlich konstant ist, d.h.
r
r r
∂J
=0
, d.h. ∫ J dA = 0
∂t
A
r
div J = 0
2.3.
 ∂ρ


= 0 
 ∂t

(2.8)
Das ohmsche Gesetz
• Ursache elektrischer Ströme in leitfähigen Medien sind elektrische Felder:
r
r
J = κ ·E
κ ... spezifische elektrische Leitfähigkeit
Mit (2.8) gilt:
r
div κ · E = 0
( )
(2.9)
und bei κ = const.
div E = 0
(2.10)
• Unter Annahme, dass bei stationären Vorgängen die Gesetze der Elektrostatik gültig sind, d.h.
rot E = 0
folgt mit
((1.92))
E = - grad ϕ
((1.55))
die Laplace'sche Gleichung für das elektrische Potential ϕ :
div grad ϕ = ∆ϕ = 0
(2.11)
Analogie zur Elektrostatik (ρ = 0)
• bei ortsabhängiger Leitfähigkeit
div (κ grad ϕ ) = 0
(2.12)
• gerades Leiterstück zwischen zwei Elektroden mit der Potentialdifferenz U
κzul >> κ
Potential- und Feldverteilung im Leiterstück wie beim Plattenkondensator
© by FI 2001
54
;
κEl >> κ
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 2: STATIONÄRES EL. STRÖMUNGSFELD
E der Elektrodenanordnung
statische Aufladung des Leiterstücks, damit homogene Feldverteilung im Leiter erreicht wird.
Das Feld dieser Ladungen auf der Leiteroberfläche kompensiert die "Querkomponenten" des
Elektrodenfeldes.
man erhält als resultierendes Feld:
• I = J ·A = κ E A = κ
mit R =
U
U
A=
l
R
l
κA
(2.13)
… Ohmscher Widerstand
(2.14)
• für ein beliebig geformtes Leiterstück
R =
U
=
I
2
r r
1
r r =
∫ E ds
∫ J dA
A
1
κ
2
r r
∫ J ds
1
(2.15)
r r
∫ J dA
A
55
© by FI 2001
KAPITEL 2: STATIONÄRES EL. STRÖMUNGSFELD
2.4.
E-TECHNIK 3. FS
ELEKTRODYNAMIK I
Verhalten der Feldgrößen an Grenzflächen
1)
Quellenfreiheit des stationären Strömungsfeldes
r
div J dV
dh →0 ∫
lim
nach (2.18) gilt:
V
r r
r
J dA = dA (J 2n − J 1n ) = 0
dh →0 ∫
= lim
J 1n = J 2n
2)
(2.16)
Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes folgt analog zur Elektrostatik (1.151):
E 1t = E 2t
3)
(2.17)
Treten bei instationärer Strömung (zeitabhängige) Flächenladungen an der Grenzfläche auf, so gilt nach
(2.7):
r ∂ρ 

lim div J +
 dV = 0
dh → 0 ∫ 
∂t 
V

 r r
∂ρ
dV  = 0
= lim  ∫ J dA + ∫
dh → 0 
t
∂
V

A
∂σ
= dA (J 1n − J 2n ) +
dA = 0
∂t
{
räumlich konstant innerhalb von dA
J 2n − J 1n = −
∂σ
∂t
(2.18)
• Brechungsgesetz
J 1t
J
tan α1
= 1n
J 2t
tan α 2
(2.16)
=
=
J 2n
J 1t
J 2t
bzw.
tan α1
tan α 2
(2.17)
=
=
E 2n
E 1n
Aus (2.16) bzw. (2.17):
E 1n =
κ1
E 2n
κ2
(2.19)
J 1t =
κ1
J 2t
κ2
(2.20)
Brechung:
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tan α1
κ
= 1
tan α 2
κ2
(2.21)
56
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
κ1
→0
κ2
• Spezialfall:
2.5.
KAPITEL 2: STATIONÄRES EL. STRÖMUNGSFELD
tan α1 = 0 (α1 = 0°)
oder
tan α 2 → ∞ (α 2 = 90°)
Verlustbehaftete Dielektrika
(kein idealer Isolator; ε , κ)
• Befinden sich in einem leitfähigen Medium Raumladungen, so zerfließen diese, bis das elektrische Feld
verschwindet.
r
r r
∂ρ (r , t )
div J (r , t ) +
=0
(2.7)
∂t
r
r κ r
mit J = κ E = D
ε
r
und div D = ρ folgt:
r
r
∂ρ (r , t )
κ
ρ (r , t ) +
=0
∂t
ε
Lösung:
r
r
ρ (r , t ) = ρ (r ,0) ·e
−
mit t r =
z.B.
Cu:
(2.22)
t
tr
ε
κ
κ = 5,7 ·107
(2.23)
... Relexationszeit
1
As
; ε = ε0 = 8,854 ·10-12
Ωm
Vm
(2.24)
tr ≈ 1,55 ·10-19 s
• Plattenkondensator mit geschichtetem Medium
E 1n
κ
= 2
E 2n
κ1
• im stationären Fall gilt:
• D1n = ε1 E 1n
;
; J 1n = J 2n
((2.19))
D 2n = ε 2 E 2n
1) wenn σ = 0 in der Grenzfläche:
D1n = D2n
E 1n
ε
d.h.
= 2
E 2n
ε1
ε2 κ 2
=
ε1 κ 1
bzw
ε2
ε
= 1
κ 2 κ1
gefordert
, d.h.
t r 2 = t r1
... gleiche Relaxationszeiten, dann ist σ = 0
57
© by FI 2001
KAPITEL 2: STATIONÄRES EL. STRÖMUNGSFELD
E-TECHNIK 3. FS
D1n ≠ D2n
2) im allgemeinen Fall:
σ = D 2n − D1n = ε 2E 2n − ε1E 1n = ε 2
(
σ = J 1n t r 2 − t r1
ELEKTRODYNAMIK I
bzw. σ ≠ 0
J 2n
J
− ε1 1n
κ2
κ1
J 1n = J 2 n
=
stat . Strömung
 ε2
J 1n 
 κ2
−
ε1 

κ 1 
)
(2.25)
E 2n
ε
σ (t )
= 1 −
E 1n
ε 2 ε 2E 1n
"Elektrostatik":
Der stationäre Zustand tritt erst dann ein, wenn sich an der Grenzfläche die Flächenladung
σ(∞) [nach (2.25)] aufgebaut hat.
d
d 
1) U = E 1n d 1 + E 2n d 2 = J 1n  1 + 2 
κ
 1 κ2 
σ (∞) =
U
d1 d 2
−
κ1 κ 2
σ (∞) = U
bzw.
J1n
 ε 2 ε1 


κ − κ 
1
 2
ε 2κ 1 − ε1κ 2
d 1κ 2 − d 2κ 1
(2.26)
2) ε 2E 2n − ε1E 1n = σ (t )
3) κ 2E 2n − κ 1E 1n = −
∂σ (t )
∂t
ε κ −ε κ
∂σ σ
+
=U 2 1 1 2
∂t
t
d 1κ 2 + d 2κ 1
Lösung:

σ (t ) = σ (∞) 1 − e


mit τ =
... DGL
−
t
τ




(2.27)
d 1ε 2 − d 2ε1
d 1κ 2 − d 2κ 1
(2.28)
Vorgang beim Einschalten der Spannungsquelle!
σ(∞) ... stationärer Zustand!
2.6.
Die Leistung im elektrischen Strömungsfeld
r
r
r r
dW = dQ · E • ds = ρ dV · E •v dt
Energie zur Verschiebung der Ladung dQ in der Zeiteinheit dt um ds
mit (2.4):
r
r
J = ρv
© by FI 2001
r r
dW = E · J dV dt
58
(2.29)
ELEKTRODYNAMIK I
E-TECHNIK 3. FS
KAPITEL 2: STATIONÄRES EL. STRÖMUNGSFELD
• Leistung = Arbeit pro Zeit
dP =
r r
dW
= E · J dV
dt
(2.30)
• Leistung im gesamten Volumen dV
r r
P = ∫ E ·J dV = κ ∫ E 2 dV =
V
V
1
κ V∫
J 2 dV
(2.31)
Verlustleistung: elektrische Energie wird in Wärme umgewandelt
• Das elektrische Strömungsfeld stellt sich so ein, dass die Verlustleistung minimal wird.
(Prinzip der kleinsten Wirkung)
59
© by FI 2001
Index
i
Indexverzeichnis
[Elektrodynamik I]
Abfließen............................54
Abstand ........................ 16, 39
abstoßende..................... 7, 16
Änderung ...................... 18, 46
Anfangsbedingungen............... 6
Angriffspunkt ........................ 8
Apollonius...........................31
Äquipotentialfläche ...... 18, 26, 27
Äquipotentialflächen .......... 18, 31
Arbeit......3, 16, 17, 18, 23, 50, 59
Arbeitsaufwand.....................16
Arbeitsintegral......................23
atomaren............................41
Atome ...............................53
Atomen......................... 39, 42
Atomkern............................. 7
Aufladung...........................55
Aufpunkt ........................ 8, 41
Aufpunktsvektor..................... 8
Ausblendeigenschaft...............22
ausgedehnten .................. 4, 29
ausgedehntes.......................15
ausgezeichneter....................13
Ausrichtung.........................43
Außenfeld...........................47
Außenraum .................... 46, 48
äußeren .............................26
austretender........................12
Betrag..............5, 18, 31, 39, 49
bewegliche..........................26
beweglichen ................... 39, 42
bewegte......................... 6, 53
Bezugspunkt........................18
Bildladung................. 27, 29, 32
Bildladungen........................30
Binominalreihe......................30
Bogenelement......................20
Brechung............... 4, 45, 46, 56
Brechungsgesetz ............... 4, 56
Clark.................................. 6
Deckfläche..........................27
deduktives ........................ 3, 6
definiert ............8, 15, 17, 39, 42
Definition... 4, 8, 14, 32, 44, 48, 53
DGl...................................22
Dichte ................................ 5
Dielektrika.............. 4, 39, 51, 57
Dielektrikum........................43
dielektrische ........................48
dielektrischen.......................44
Dielektrizitätskonstante........ 7, 43
Differentialgleichungen............. 6
Differentialoperator ................15
differentielle .............. 14, 15, 16
differentiellen.......................12
Diffusion.............................. 6
Dipol.................... 4, 39, 40, 41
Dipolelemente ................. 41, 43
Dipolfeld.............................40
Dipolfelder.......................... 43
Dipolmoment..............39, 40, 41
Dipolmomente...................... 39
Dipols ...................4, 40, 41, 46
Dipolverteilungen.................. 42
diskreten............................. 8
Divergenz........................3, 14
Doppelleitung ...................... 34
Driftgeschwindigkeit............... 53
Druckkräfte......................... 52
Ebene ............................4, 29
Ebenen...........................4, 30
eingeschlossene.................... 12
Einheitsladung...................... 18
Einheitsnormalenvektor........... 10
Einschalten ......................... 58
eintretender........................ 12
Elektrete............................ 39
Elektrode........... 4, 36, 37, 49, 55
Elektroden 4, 32, 33, 34, 35, 51, 54
Elektrodenanordnung ............. 55
Elektrodenfeldes................... 55
elektrolytischen .................... 53
elektromagnetische................. 6
elektromagnetischer............. 3, 6
elektromagnetisches................ 6
Elektronen.................39, 42, 53
elektronische........................ 2
Elektrostatik 3, 6, 7, 11, 14, 23, 25,
26, 44, 54, 56, 58
elektrostatische .................... 21
elektrostatischen........ 3, 4, 22, 26
Elektrostatisches ................... 25
Elektrotechnik....................... 1
elektrotechnische................... 6
elementar........................... 20
Elementarladung.................... 5
Elemente-Methode.................. 6
elliptische ........................... 20
Empfangsanlagen................... 6
EMV-Probleme ...................... 6
Energie 3, 4, 16, 17, 21, 33, 51, 58,
59
Energiedichte....................... 21
Energieerhaltungssatz............. 50
Energietechnik ...................... 6
Entelektrisierungsfaktor........... 48
Erregung............................ 22
Erzeugung.......................... 43
Faraday .............................. 5
Feldanteil ........................... 49
Feldbegriffs.......................... 5
Feldbereiches....................... 27
Felder ... 4, 5, 6, 23, 30, 39, 52, 54
Feldes .............. 5, 26, 39, 45, 56
feldfreien....................... 16, 27
Feldgrößen.................. 4, 45, 56
Feldkonstante....................... 7
Feldkraft ............................ 16
61
Feldlinien ....... 4, 5, 18, 26, 27, 45
Feldprobleme .....................3, 6
Feldproblems ....... 3, 4, 22, 27, 29
Feldrichtung........................ 39
Feldschwächung................... 43
Feldstärke3, 4, 5, 8, 12, 39, 41, 47,
49
Feldverteilung..................54, 55
Fernwirkungstheorie ................ 5
fiktiven.............................. 27
finite .................................. 6
Fläche............. 23, 25, 51, 52, 53
Flächen.................... 14, 15, 26
flächenhaften...................... 42
Flächenladung..................... 58
Flächenladungen .................. 56
Flächenladungsdichte............3, 9
Flächenladungsverteilung ........ 19
Flächenverteilung ................. 42
Fluß ................ 3, 10, 11, 12, 27
Flussbegriff......................... 10
Flussdichte......................... 10
Flusses.............................. 14
Flüssigkeiten....................... 53
frei ......................... 26, 39, 42
freie.............................44, 46
freien ...........................22, 51
Fundamentallösung............... 22
gebunden .......................... 53
gebundene ......................... 42
Gegenfeld .......................... 43
Gegenwirkung ..................... 43
gekoppelt............................. 6
gekoppelten........................ 50
geladene ........................... 37
geladenen............................ 7
geladener........................... 47
gerades.......................... 4, 54
Gesamtdipolmoment........... 4, 47
Gesamtfeld.....................13, 48
Gesamtfluß......................... 15
Gesamtgleichungssystems ....... 37
Gesamtladung 4, 12, 20, 36, 38, 53
Gesamtstrom ...................... 53
geschichtetem.................. 4, 57
geschlossene.............. 10, 26, 54
geschlossenen..................... 23
geschlossener...................... 17
geschwächtes...................... 48
Geschwindigkeit ................... 53
Geschwindigkeitsfeld.............. 10
Gesetz ...3, 4, 7, 11, 12, 14, 15, 54
Gesetze............................. 54
Gesetzes.....................7, 14, 27
Gesetzmäßigkeiten...............3, 6
gespeicherte.................... 4, 33
gespiegelt .......................... 35
GG................................... 15
GIS.................................. 15
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INDEXVERZEICHNIS
gleichartige .......................... 5
Gradient......................... 3, 18
Gravitationsanziehung.............. 7
Gravitationstheorie.................. 5
Grenzfläche .. 4, 43, 46, 51, 56, 57,
58
Grenzflächen................ 4, 45, 56
Grenzübergang.....................15
Grenzwert...........................23
halbunendlichen................ 4, 30
heranbewegt........................16
Heranbringen.......................17
Heranbringens......................17
Hochfrequenztechnik ............... 6
Hochspannungs-Anlagen........... 6
Hohlkugeln........................... 7
homogen.................. 42, 44, 47
homogene ..................... 48, 55
homogenen.................... 44, 48
homogener..........................10
homogenes .................... 10, 48
Hüllfläche ...................... 12, 33
Hüllflächen..........................11
Hüllfluß ................ 10, 11, 12, 15
Hydromechanik.....................10
Induktion............................. 6
induktives......................... 3, 6
infinitesimal.........................50
infinitesimale .......................25
infinitesimalen ......................23
Influenzkoeffizienten ..............38
Influenzladungen.............. 26, 29
Ingenieurgeschick................... 6
inhomogen..................... 43, 44
inhomogener .......................10
Innenraum................ 26, 27, 47
inneren..............................47
inneres ..............................10
innerhalb....................... 45, 56
instationärer........................56
Integral..............................20
Integrale ............................20
Integralsatz........3, 15, 25, 33, 54
Integralsatzes ................. 21, 42
Integration..................... 13, 21
invariante ............................ 5
inversen .............................38
Ionen................................53
Isolator......................... 43, 57
Jupitersonde......................... 7
Kapazität ...........4, 32, 34, 35, 50
Kapazitätskoeffizienten............38
kartesische..................... 23, 47
kartesischen ................ 3, 14, 24
Kommunikationstechnik............ 6
kompensiert ........................55
Komponente........................23
Komponenten.......................23
komponentenweise................13
Kondensator................ 4, 32, 33
Kondensatoren.....................51
können .................... 35, 37, 53
konstant................... 45, 54, 56
konstante ...........................20
Konstanten..........................19
konstanter ..........................53
konstantes ..........................26
kontinuierlich .......................41
kontinuierliche...........3, 8, 12, 21
kontinuierlichen ............ 3, 19, 21
Kontinuitätsgleichung...... 4, 53, 54
Konvektionsstrom..................53
Koordinaten.....3, 8, 14, 15, 24, 47
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E-TECHNIK 3. FS
koordinatenfreier .................. 25
Koordinaten-Richtungen.......... 15
Koordinaten-Ursprung.............. 8
Körper.......................... 44, 50
Kraft.......... 4, 7, 8, 49, 50, 51, 52
Kraftberechnung................... 49
Kräfte......... 3, 4, 5, 26, 49, 50, 51
Kraftwirkung......................... 7
Kreise ............................... 31
kreisförmige ........................ 20
Kreisgleichung...................... 34
Kreiszylinderflächen ............... 31
kreiszylindrische.................... 34
Kugel. 4, 27, 28, 29, 35, 46, 47, 48
Kugelelektrode..................... 35
Kugelelektroden.................4, 35
Kugelfläche......................... 27
kugelförmiger ...................... 35
Kugelfunktionstrecke .............. 35
Kugelinneren ....................... 47
Kugelkoordinaten.................. 41
Kugelmittelpunkt................... 28
Kugeloberfläche...........11, 29, 47
Kugeloberflächen .................. 18
Kurven .............................. 26
Ladung 4, 5, 12, 17, 18, 20, 29, 49,
53, 54, 58
Ladungen 3, 5, 6, 7, 17, 26, 27, 28,
30, 31, 37, 39, 42, 44, 46, 47,
49, 51, 53, 55
Ladungsänderung.................. 23
Ladungsdichte....................... 8
Ladungserhaltung...............4, 53
Ladungsschwerpunkte ............ 39
Ladungssystems ................... 17
Ladungsträger..........6, 26, 39, 53
Ladungsträgern.................... 53
Ladungsverteilung ...... 3, 8, 12, 21
Ladungsverteilungen ... 3, 8, 18, 42
Länge....................5, 12, 19, 23
Laplace-Gleichung ................. 22
Laplace-Operator .................. 21
Leistung..................... 4, 58, 59
leitenden.................... 4, 29, 30
Leiter...... 4, 26, 32, 37, 42, 49, 55
Leiterinneren....................... 26
Leiteroberfläche.................... 55
Leiters............................... 27
Leiterstück.................. 4, 54, 55
Leiterstücks......................... 55
leitfähigen ..................... 54, 57
Leitfähigkeit ........................ 54
Leitoberfläche...................... 26
Leitungsstrom...................... 53
linear ................................ 43
linearer.............................. 37
Linienintegrals...................... 23
Linienladung3, 4, 12, 13, 19, 20, 31
Linienladungsdichte ................ 9
Linienladungsverteilung........... 19
Lösung . 3, 4, 6, 20, 22, 27, 29, 57,
58
Magnetfeldmessungen............. 7
magnetischen ....................... 6
magnetisches..................... 3, 6
Magnetostatik ....................... 6
makroskopisch ..................... 41
Makroskopische..................... 8
makroskopischen .................. 41
Mantelfläche........................ 44
Maschinen ........................... 6
Materie................... 4, 5, 39, 42
Materiefeld.......................... 43
62
ELEKTRODYNAMIK I
Materiefelds........................ 44
Matrixdarstellung.................. 37
Maxwell..................... 3, 5, 6, 7
Maxwellsche ....................... 26
Medien..........................39, 54
Medium............ 4, 39, 42, 43, 57
Mediums .....................4, 42, 43
Mehrleiterprobleme ............ 4, 37
Messung.............................. 7
Metallkugel...................... 4, 27
Metallzylinder................... 4, 31
Modellierung ......................... 6
Moleküle ............................ 53
Molekülen ......................39, 42
Montag ............................... 2
Nabla-Operator........ 3, 15, 21, 24
Nabla-Operator-Schreibweise.... 21
Näherung............................. 6
Nahwirkungstheorie................. 5
Nettobetrag........................ 53
Nettofluß ........................... 15
nichtleitende....................... 39
nichtpolaren........................ 39
Normale ............................ 18
Normalenableitung................ 46
Normalkomponente...........43, 45
numerische........................... 6
Oberfläche .. 10, 26, 27, 34, 37, 54
ohmsche......................... 4, 54
Ohmscher .......................... 55
ortsabhängig....................... 53
ortsabhängiger .................... 54
parallel.............................. 51
Parallelplattenkondensator....... 32
Parallelschaltung .................. 52
Parameterstudien ................... 6
partielle......................6, 21, 22
permanent ......................... 39
Perpertuum ........................ 16
Pfeilen ................................ 5
Platte ........................4, 43, 48
Plattenkondensator .. 4, 43, 49, 50,
54, 57
Poisson-Gleichung................. 22
polaren ............................. 39
Polarisation.... 4, 39, 41, 42, 43, 44
Polarisationsladungen.... 42, 44, 47
Polarisationsvektor............39, 42
polarisiert........................... 39
polarisierte.... 4, 39, 43, 44, 46, 47
polarisierten.................4, 42, 44
polarisierter........................ 42
polarisiertes....................42, 43
Potential3, 4, 6, 17, 18, 19, 20, 21,
26, 37, 40, 41, 42, 47, 54
Potentialänderung................. 18
Potentialdifferenz....... 3, 4, 18, 54
Potentialdifferenzen............... 38
Potentiale........................... 38
Potentialfunktion .................. 17
Potentialkoeffizienten............. 37
Potentials........................... 46
Potentialverteilung ............27, 34
Probeladung .................... 8, 17
Protonen......................... 7, 53
punktförmiger...................... 22
Punktladung 3, 4, 8, 11, 16, 18, 19,
20, 22, 27, 29, 30, 35
Punktladungen... 3, 7, 8, 12, 19, 21
Quader..........................27, 44
Quaders ................... 27, 44, 45
Quadrieren......................... 28
Quantenphänomene ................ 5
ELEKTRODYNAMIK I
quantisiert ........................... 5
quasistationäre ...................... 6
Quelldichte..........................14
Quelle ...............................22
Quellen....................... 5, 6, 44
Quellenfeld........................... 5
quellenfrei. ..........................44
Quellenfreiheit................. 45, 56
Quellpunkt ..........................41
Quellpunktsvektor.............. 8, 42
Querkomponenten.................55
radial ................................13
Radien...............................34
Randbedingungen.......... 6, 22, 35
Randeffekte.........................32
Raum........................... 16, 21
Raumes ........................ 22, 37
Raumgebiet.........................15
Raumladung ........................33
Raumladungen ................ 22, 57
Raumladungsdichte.....3, 8, 22, 53
Raumladungskugeln ...............47
Raumladungsverteilung ...........19
räumlich .............................56
räumliche ...........................41
räumlichen ..........................42
Raumpunkt .......................... 5
Reihenschaltung....................51
Relaxationszeiten ..................57
Relexationszeit .....................57
Restglieder..........................14
resultierendes ........ 27, 41, 43, 55
Richtung...5, 18, 23, 24, 51, 52, 53
Rotation..................... 3, 23, 24
rotationssymmetrisch..............20
Rotors ...............................23
ruhender............................. 6
Schleife......................... 23, 45
Schleifen ....................... 24, 25
schwächt............................39
Selbstenergie .......................17
Simulations-Software ............... 6
skalaren......................... 3, 18
skalares .............................10
Spannung...........................32
Spannungen........................51
Spannungsquelle .............. 50, 58
Speicherung ......................... 2
Spezialfall ...........................57
spezielle .............................27
spezifische..........................54
Spiegelung.........4, 29, 30, 35, 36
Spiegelungen.................. 30, 35
Spiegelungsmethode ..............29
sprunghafte.........................46
Startwert ............................35
stationäre................4, 6, 53, 58
stationären................ 54, 56, 57
E-TECHNIK 3. FS
stationärer.......................6, 58
stationäres.......................... 54
statische ............................ 55
statistisch........................... 39
stetiger.............................. 45
Stetigkeit............................ 43
Stillstand............................ 26
Strahlensatz........................ 11
Strom.............................4, 53
Stromdichte ................ 4, 53, 54
Stromdichteverteilung............. 53
Ströme ........................5, 6, 54
strömende.......................... 53
Strömung ........................... 56
Strömungsfeld.. 4, 6, 53, 54, 58, 59
Strömungsfeldes ................... 56
Substitution......................... 13
Superpositionsprinzip......... 3, 7, 8
Suszeptibilität ...................... 39
Symmetrie .................37, 38, 39
Symmetrieachse ................... 20
Symmetriegründen ................ 20
System...........................5, 50
Systems .............................. 5
Tangente............................. 5
tangential........................... 26
Tangentialkomponente............ 45
Tangentialkomponenten-Anteile . 49
Taylorentwicklung ................. 24
Taylorreihe ......................... 40
Taylorreihenentwicklung.......... 14
Teilkapazitäten..................... 38
temperaturabhängig............... 39
Trennung ........................... 39
Übergang...............3, 13, 45, 46
überlagern.......................... 30
Überlagerung....................... 31
Überlagerungsprinzip............ 3, 7
umrandete.......................... 53
umschließt .......................... 27
umschlossene ...................... 26
unendlich .......... 4, 20, 29, 34, 35
ungebunden........................ 53
ungleichartige....................... 5
ungleichartiger............27, 31, 39
Ursache............................. 54
Ursprung....................... 18, 41
Vakuum ............................. 43
Vakuums ............................. 7
Vektorfeld........................5, 26
Vektorfeldes................ 3, 14, 23
Vektorfelds ......................... 14
Vektoroperator ..................... 15
verändern........................... 53
Verhalten ...............4, 45, 46, 56
Verlustbehaftete ................4, 57
Verlustleistung ..................... 59
Verrückung ......................4, 50
63
INDEXVERZEICHNIS
verschieben....................17, 18
Verschiebung 4, 10, 16, 43, 44, 45,
50, 58
verschmiert ........................ 41
Verschmierung....................... 8
verschoben......................... 50
verschwinden..................15, 53
verschwindet...................26, 57
verteilt .............................. 41
verteilten........................... 39
Verteilung ................. 21, 41, 47
verursacht.......................... 43
Vervielfältigung...................... 2
virtuell .............................. 50
virtuelle.......................... 4, 50
virtuellen ........................ 4, 50
vollständig............................ 5
vollständigen......................... 6
Volumen..3, 12, 14, 15, 26, 42, 51,
53, 54, 59
Volumendichte..................... 42
Volumenelement ...........8, 15, 41
Volumens........................ 4, 42
Volumina ........................... 54
Vorgang ............................ 58
Wärme.............................. 59
Wegstück........................... 50
Wegunabhängigkeit........3, 16, 23
Weiterverarbeitung.................. 2
Wellen ................................ 6
Wellenausbreitung .................. 6
Wesentlich ......................... 53
Widerstand......................... 55
Winkel ........................... 4, 30
Wirbel......................... 5, 6, 44
Wirbeldichte........................ 23
Wirbelfeld ....................... 5, 25
Wirbelfeldern ...................... 23
wirbelfrei........................... 44
wirbelfreies......................... 44
Wirbelfreiheit ..................45, 56
Wirbelstärke ....................... 23
Wirbelstromprobleme ............... 6
zeitabhängige................... 6, 56
zeitlich .............................. 54
Zentrum................... 34, 35, 46
zerfließen........................... 57
Zerlegung .......................... 25
zusammenhängenden ............ 25
zusammenhängendes............. 15
Zustand............................. 58
Zylinder............................. 48
Zylinderelektroden ............. 4, 34
Zylinderkoordinaten............ 3, 13
Zylinders............................ 34
zylindrisch.......................... 13
© by FI 1999, 2000