Widerstandsnetzwerke Widerstandsnetzwerke
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Widerstandsnetzwerke Berechnung einfacher Netzwerke • Ersatzspannungsquelle • Überlagerungsverfahren • Maschenstromverfahren Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 1 Widerstandsnetzwerke Berechnung auf Basis einer Ersatzspannungsquelle Eine Schaltung wird derart vereinfacht, das ein aktives und ein passives Zweipol die Schaltung ersetzen. Auf Basis dieser Ersatzschaltung lassen sich alle Ströme und Spannungen berechnen. Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 2 1 Widerstandsnetzwerke Berechnung auf Basis einer Ersatzspannungsquelle 1. Berechnung der Ersatzwiderstände Ri = R3 + (R1 + R2 )⋅ R4 (R1 + R2 ) + R4 RX = R8 + (R5 + R6 )⋅ R7 (R5 + R6 ) + R7 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 3 Widerstandsnetzwerke Berechnung auf Basis einer Ersatzspannungsquelle I IR3 2. Berechnung der Leerlaufspannung I R3 = 0 U R 3 = I R 3 ⋅ R3 = 0 0 = V2 − V1 + I ⋅ (R1 + R2 + R4 ) U R 4 = I ⋅ R4 = Vers V1 − V2 I= R1 + R2 + R4 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 4 2 Widerstandsnetzwerke Berechnung auf Basis einer Ersatzspannungsquelle I UKL 3. Berechnung der Klemmspannung und des Stroms 0 = −Vers + I ⋅ R X + I ⋅ Ri Vers I= Ri + Rx U KL = I ⋅ R X U KL = Vers − I ⋅ Ri Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 5 Widerstandsnetzwerke Berechnung nach dem Überlagerungsverfahren Sind in einer Schaltung nur lineare Widerstände und Spannungsquellen vorhanden, so kann der Strom in jedem Zweig der Schaltung als Summe der Teilströme der einzelnen Spannungsquellen ermittelt werden. I1 I2 I3 I4 I11 I21 I31 I41 I12 I22 I32 I42 I1 = I11 + I12 I 2 = I 21 + I 22 I 3 = I 31 − I 32 I 4 = I 41 − I 42 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 6 3 Widerstandsnetzwerke Berechnung nach dem Maschenstromverfahren I1 I2 I3 IA Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 7 Widerstandsnetzwerke Berechnung nach dem Maschenstromverfahren 1. Jeder unabhängigen Masche wird ein Strom zugeordnet. Die Richtung dieses Maschenstroms kann man beliebig wählen, sie gilt als positiv. Man trifft die Zuordnung der Maschenströme so, das durch den interessierenden Maschenzweig nur ein Strom fließt. 2. Aufstellung der Gleichungen für die ausgewählten Maschen auf Grund des Maschensatzes. 3. Aus dem Gleichungssystem der Maschensätze ist der gesuchte Strom zu berechnen. Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 8 4 Widerstandsnetzwerke Berechnung nach dem Maschenstromverfahren Masche IA R21 R11 R31 U1 − U 2 = I A ⋅ ( R1 + R2 + R4 + R6 + R7 ) − I 2 ⋅ R4 − I 3 ⋅ (R6 + R7 ) Masche I2 R12 R22 R32 0 = − I A ⋅ R4 + I 2 ⋅ (R3 + R4 + R5 ) − I 3 ⋅ R5 Masche I3 R13 R23 R33 U 2 = − I A ⋅ ( R6 + R7 ) + I 2 ⋅ R5 + I 3 ⋅ (R5 + R6 + R7 ) Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 9 Widerstandsnetzwerke Berechnung nach dem Maschenstromverfahren Die Maschengleichungen als Matrixgleichung geschrieben: U = RI U 1 − U 2 R11 0 = R21 U R 2 31 R12 R22 R32 R13 I A R23 ⋅ I 2 R33 I 3 R −1 ⋅ U = R −1 ⋅ RI R −1 ⋅ U = I I = R −1 ⋅ U Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 10 5 Widerstandsnetzwerke Berechnung einfacher Netzwerke 1 R1 ⋅U0 R ⋅R R1 + 2 L R2 + RL R2 ⋅ RL R2 + RL ⋅U 0 U2 = R ⋅R R1 + 2 L R2 + RL U1 = I= I U1 I2 U2 IL U0 U0 = R R + R2 ⋅ RL 1 R2 + RL I2 = U2 R2 IL = U2 RL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 11 Widerstandsnetzwerke Berechnung einfacher Netzwerke 2 A IR6 UR6 Zu berechnen sind Strom und Spannung über dem Widerstand R6. Die Berechnung soll auf Basis des Überlagerungsverfahrens und des Zweipolverfahren (Ersatzspannungsquelle) erfolgen. B Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 12 6 Ideale Spannungsquelle I K U = U KL = U R + U KL = I ⋅ RL UKL RL UKL - U L I Die Spannungsquelle hat keinen Innenwiderstand und die Klemmspannung bleibt bei beliebigem Strom konstant. Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 13 Reale Spannungquelle I K U KL U KL + I max - U Ui UKL RL =U −U i = U − I ⋅ Ri = I ⋅ RL U U = I= Ri Ri + RL Ri1=0 UKL Ri Ri3>Ri2>Ri1 > L Ri3 Ri2 I Die Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand und die Klemmspannung nimmt mit größerem Strom ab. Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 14 7 Ideale Schalter UR U S = U q −U R R I= + I US =Uq − I ⋅ R US - Uq Uq R + RSCH Schalter geschlossen Schalter geöffnet RSCH I= RSCH OFFEN = ∞Ω Uq I =0 R US = 0 RSCH GESCLOSSEN = 0Ω US =Uq Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 15 Reale Schalter UR US = Uq −U R R I= I US = Uq − I ⋅ R + US RP - Uq Uq R + RSCH Schalter geschlossen RSCH RS RSCH = RS ⋅ RP ≈ RS RS + RP R U S = U q 1 − R + RS Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin Schalter geöffnet RSCH = RP U S = U q 1 − R R + R P 16 8 Schalterkennlinie Imax I= US RS R1 R U R Uq −US = R R bei U q= konstant und R1<R<R2 für US=0...Uq I= R2 I= Uq US-geschlossen US RP U US-offen Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 17 9
