Peg_v3. (seit 5.11.00)
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Wechselspannung Spannung Gleichspannung + Wechselspannung Zeit - Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 1 Wechselspannungserzeugung Überschuß - Kraft e + Mangel N Bewegung α Feld F = B ⋅ Q ⋅ v ⋅ sin α F = Q[vB ] S Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 2 1 Wechselspannungserzeugung Leiterschleife im Magnetfeld N U Winkel S Leiterschleife Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 3 Kreisfrequenz Bei einer Umdrehung des Punktes wird ein Weg auf dem Umfang von: Einheitskreis r =1 α U = 2 ⋅π ⋅ r zurückgelegt. Bei r = 1 ist der Weg gleich 2π. Der Vollkreis entspricht 360° oder in Bogenmaß 2π. 1 T ω = 2 ⋅π ⋅ f f = f - Frequenz T - Zeit für einen Umlauf oder auch Periodendauer ω - Kreisfrequenz Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 4 2 Kreisfrequenz ω = 2 ⋅π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ Einheitskreis y r ωt 1 T 1 ω ⋅ t = 2 ⋅π ⋅ ⋅ t T t ω ⋅ t = 2 ⋅π ⋅ T t x= T α y = r ⋅ sin (α ) y = r ⋅ sin (ω ⋅ t ) sin (α ) = sin (ω ⋅ t ) Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 5 Kennwerte der Wechselspannung û - Amplitude u Frequenz u - Momentanwert +ϕ -ϕ f = t - Zeit ωt 1 T ω = 2 ⋅π ⋅ f Augenblicks- oder Momentanwert u = uˆ ⋅ sin (ω ⋅ t + ϕ ) T - Periodendauer ϕ - Phasenverschiebung Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 6 3 Effektivwert T R ⋅ I 2 ⋅ T = R ⋅ ∫ i 2 ⋅ dt U R= I P =U ⋅I T W = R ⋅ ∫ i 2 ⋅ dt 0 0 T P = R⋅I 2 W = P ⋅t W = R ⋅ I ⋅T 2 I= 1 ⋅ i 2 ⋅ dt T ∫0 I= 1 ˆ2 ⋅ i ⋅ sin 2 (ωt )dt T ∫0 T T Effektivwert I = iˆ ⋅ 1 sin 2 (ωt )dt T ∫0 I eff = iˆ = 0,707 ⋅ iˆ 2 Der Effektivwert der Wechselspannung, ist der Wert eines Gleichstroms, der innerhalb einer Periode die gleiche Arbeit wie der Wechselstrom leistet. Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 7 Wechselstromwiderstand Grundelemente R L Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin C 8 4 Wechselstromwiderstand Ohmscher Widerstand u R = R ⋅ i = R ⋅ iˆ ⋅ sin(ω ⋅ t ) Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 9 Wechselstromwiderstand Ohmscher Widerstand iR u iR u R Phasenverschiebung iR ϕ =0 u Ohmscher Widerstand R= Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin U I 10 5 Wechselstromwiderstand Kapazitiver Widerstand uC = uˆC ⋅ sin (ω ⋅ t ) iC = C ⋅ π cos (ω ⋅ t ) = sin ω ⋅ t + 2 duC π = ω ⋅ C ⋅ uˆC ⋅ cos(ω ⋅ t ) = BC ⋅ uˆC ⋅ sin ω ⋅ t + dt 2 BC = 1 = ω ⋅C XC Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 11 Wechselstromwiderstand Kapazitiver Widerstand iC u iC u C Phasenverschiebung ϕ iC u ϕ = +90° Kapazitiver Blindwiderstand U 1 1 XC = C XC = = IC ω ⋅ C 2 ⋅π ⋅ f ⋅ C Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 12 6 Wechselstromwiderstand Induktiver Widerstand iL = iˆL ⋅ sin (ω ⋅ t ) XL =ω ⋅L uL = L ⋅ BL = 1 1 = XL ω ⋅ L di π = ω ⋅ L ⋅ iˆ ⋅ cos(ω ⋅ t ) = X L ⋅ iˆ ⋅ sin ω ⋅ t + dt 2 π cos(ω ⋅ t ) = sin ω ⋅ t + 2 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 13 Wechselstromwiderstand Induktiver Widerstand iL u iL u u L iL ϕ Phasenverschiebung ϕ = −90° Induktiver Blindwiderstand XL = UL IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin X L = ω ⋅ L = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L 14 7 Wechselstromwiderstand Übersicht X L = ω ⋅ L = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L R R XL XC = 1 1 = ω ⋅ C 2 ⋅π ⋅ f ⋅ C XC f f f I I U U U I Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 15 Komplexer Zeiger Im A Y Gaußsche Zahlenebene α Re X A =1 A = cos α + j ⋅ sin α X = cos α Y = sin α Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 16 8 Zeigerdiagramm + X Z ϕ Richtung R - Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 17 Komplexe Zahlen Z = Z ⋅ e jϕ Z = Z ⋅ cos(ϕ ) + j ⋅ Z ⋅ sin(ϕ ) X = Z ⋅ sin(ϕ ) R = Z ⋅ cos(ϕ ) Z = R+ j⋅X X ϕ = arctan R Z = R2 + X 2 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 18 9 Rechnen mit Komplexen Zahlen Addition Z = Z1 + Z 2 Z 1 = Z1 ⋅ e jϕ 1 = Z1 ⋅ cos (ϕ 1 ) + j ⋅ Z1 ⋅ sin (ϕ 1 ) = R1 + j ⋅ X 1 Z 2 = Z 2 ⋅ e jϕ 2 = Z 2 ⋅ cos (ϕ 2 ) + j ⋅ Z 2 ⋅ sin (ϕ 2 ) = R2 + jX 2 Z = ( R1 + R2 ) + j ( X 1 + X 2 ) ϕ = arctan Z= ( X1 + X 2 ) (R1 + R2 ) (R1 + R2 )2 + ( X 1 + X 2 )2 Z = Z ⋅ e jϕ Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 19 Rechnen mit Komplexen Zahlen Subtraktion Z = Z1 − Z 2 Z 1 = Z1 ⋅ e jϕ 1 = Z1 ⋅ cos (ϕ1 ) + j ⋅ Z1 ⋅ sin (ϕ1 ) = R1 + j ⋅ X1 Z 2 = Z 2 ⋅ e jϕ 2 = Z 2 ⋅ cos(ϕ2 ) + j ⋅ Z 2 ⋅ sin (ϕ2 ) = R2 + jX 2 Z = (R1 − R2 ) + j ( X 1 − X 2 ) ϕ = arctan Z= ( X1 − X 2 ) (R1 − R2 ) (R1 − R2 )2 + ( X 1 − X 2 )2 Z = Z ⋅ e jϕ Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 20 10 Rechnen mit Komplexen Zahlen Multiplikation Z = Z1 ⋅ Z 2 Z 1 = Z1 ⋅ e jϕ = Z1 ⋅ cos(ϕ1 ) + j ⋅ Z1 ⋅ sin (ϕ1 ) = R1 + j ⋅ X 1 1 Z 2 = Z 2 ⋅ e jϕ 2 = Z 2 ⋅ cos (ϕ 2 ) + j ⋅ Z 2 ⋅ sin (ϕ 2 ) = R2 + jX 2 Z = Z1 ⋅ Z 2 ϕ =ϕ1 +ϕ 2 Z = Z ⋅ e jϕ = Z 1 ⋅ Z 2 ⋅ e ( j ϕ 1 +ϕ 2 ) Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 21 Rechnen mit Komplexen Zahlen Division Z= Z1 Z2 Z 1 = Z1 ⋅ e jϕ 1 = Z1 ⋅ cos (ϕ1 ) + j ⋅ Z1 ⋅ sin (ϕ1 ) = R1 + j ⋅ X 1 Z 2 = Z 2 ⋅ e jϕ 2 = Z 2 ⋅ cos (ϕ 2 ) + j ⋅ Z 2 ⋅ sin (ϕ 2 ) = R2 + jX 2 Z= Z1 Z2 ϕ = ϕ1 −ϕ 2 Z = Z ⋅ e jϕ = Z1 j (ϕ 1 −ϕ 2 ) ⋅e Z2 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 22 11 Berechnungsgleichungen Übersicht Z = Z ⋅ e jϕ Z = Z ⋅ cos (ϕ ) + j ⋅ Z ⋅ sin(ϕ ) X = Z ⋅ sin (ϕ ) R = Z ⋅ cos (ϕ ) Z = R+ j⋅ X X ϕ = arctan R Z = R2 + X 2 Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 23 Komplexe Zeiger bei R Im U I I R U R Re Z= U U ⋅ e j 0° U j 0° = = ⋅ e = R ⋅ e j 0° I I ⋅ e j 0° I Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 24 12 Komplexe Zeiger bei C Im I U I U XC Re XC U U ⋅ e j 0° U − j 90° = = ⋅e = Z ⋅ e − j 90° I I ⋅ e + j 90° I Z = Z ⋅ cos( − 90°) + j ⋅ Z ⋅ sin (− 90°) Z= Z = 0 − j ⋅ X C = X C ⋅ e − j 90° Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 25 Komplexe Zeiger bei L Im U I U XL XL Re I j 0° U U ⋅e U = ⋅ e + j 90° = Z ⋅ e + j 90° = I I ⋅ e − j 90° I Z = Z ⋅ cos( + 90°) + j ⋅ Z ⋅ sin (+ 90° ) Z= Z = 0 + j ⋅ X L = X L ⋅ e + j 90° Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 26 13 Reihenschaltung Z = R + jX L − jX C U UR I R Z = R + j ⋅ (X L − X C ) ϕ = arctan UL Z = R 2 + (X L + X C ) L UC X L − XC R 2 •Strom über alle Elementen gleich. •Gesamtspannung ergibt sich aus der Summe der Teilspannungen. C Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 27 RC Schaltung I U R UR UC I C U = I ⋅R + I ⋅ X 2 U =I⋅ R +X 2 U = I ⋅Z 2 2 C U UC U = U R2 + U C2 2 UR Z = R 2 + X C2 2 C ϕ = arctan − XC R Z = Z ⋅ e jϕ Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 28 14 RC Schaltung UR UR -ϕ -ϕ UC U UC R>XC XC>R U Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 29 RL Schaltung UL U R UR UL L U = U R2 + U L2 U = I ⋅R + I ⋅ X 2 2 U =I⋅ R +X 2 U = I ⋅Z 2 2 L U I I UR Z = R 2 + X L2 2 L ϕ = arctan XL R Z = Z ⋅ e jϕ Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 30 15 RL Schaltung U R>XL XL>R UL U UL +ϕ +ϕ UR UR Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 31 RLC Schaltung U UR UL R I UC UL U ϕ L I UC UC UR C U = U R2 + (U L − U C ) 2 U = I ⋅ R2 + (X L − X C ) 2 U = I ⋅Z Z = R 2 + (X L + X C ) 2 ϕ = arctan X L − XC R Z = Z ⋅ e jϕ Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 32 16 RLC Schaltung XL>XC UC UL XC>XL U UL I +ϕ UC -ϕ I UC U UC Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 33 Parallelschaltung ØSpannung über allen Elementen gleich. ØGesamtstrom ergibt sich aus der Summe der Teilströme. I IR U R IL L IC IL IC IR C U I IL U =U R =U L =U C I = IR + I L + IC Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 34 17 Parallelschaltung I = I R2 + (I C − I L ) 2 R= U U U U = R + C − L Z R XC XL 2 1 1 1 1 = + − Z R XC X L 2 Y = G 2 + (BC − BL ) 2 U I I= U R 2 U = U R = U L = UC 2 Y= BC = 1 R 1 Z G= 1 XC BL = 1 XL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 35 Parallelschaltung tan ϕ = I C − I L U ⋅ (BC − BL ) ( BC − BL ) = = IR U ⋅G G Y = Y ⋅ e jϕ Z= 1 1 1 = = ⋅ e − jϕ jϕ Y Y ⋅e Y Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 36 18 Parallelschaltung BC BL Y kapazitiv I eilt U voraus G Induktiv I eilt U nach BL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 37 RC Schaltung I IR U R IC IL IC I C U IR U =U R =UC IL I = I R + IC Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 38 19 RC Schaltung I = I R2 + I C Y = G 2 + BC tan ϕ = Y = Y ⋅ e jϕ 1 1 1 = + Z R XC 2 2 2 2 I C U ⋅ BC BC = = IR U ⋅ G G Z= 1 1 1 = = ⋅ e − jϕ jϕ Y Y ⋅e Y Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 39 RC Schaltung I IR IC IC U R I C U IR Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 40 20 RC Schaltung I IR U R IC IL IC I C U IR IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 41 RC Schaltung I I IC IR U R IC C U IR Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 42 21 RL Schaltung I IR U R IL IR L U I IL U =U R =U L I = IR +IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 43 RL Schaltung I = I R2 + (− I L ) 1 1 1 = + − Z R XL 2 2 2 Y = G 2 + (− BL ) 2 tan ϕ = Y = Y ⋅ e jϕ − I L U ⋅ (− BL ) − BL = = IR U ⋅G G Z= 1 1 1 = = ⋅ e − jϕ jϕ Y Y ⋅e Y Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 44 22 RL Schaltung I IR U R IL IR L IL U I Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 45 RL Schaltung I IR U R IL IR L U I IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 46 23 RL Schaltung I IR U R IL L IR IL U I Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 47 RLC Schaltung I IR U R IL L IC IL IC IR C U I U =U R =U L =U C IL I = I R + IL + IC Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 48 24 RLC Schaltung 1 1 1 1 − = + Z R X C X L 2 I = I + (I C − I L ) 2 2 R 2 Y = G 2 + (BC − BL ) 2 tan ϕ = I C − I L U ⋅ (BC − BL ) (BC − BL ) = = IR U ⋅G G Y = Y ⋅ e jϕ Z= 1 1 1 = = ⋅ e − jϕ Y Y ⋅ e jϕ Y Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 49 RLC Schaltung IL I IR U R IL L IC I IC IR C U IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 50 25 RLC Schaltung I IR U R IL L IC IL IC IR C U I IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 51 RLC Schaltung I IR U R IL L IC C IC IR U IL IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin I 52 26 RLC Schaltung I IR IL IC IC U R L C U IR IL I IL Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 53 Transformation Parallelschaltung in Reihenschaltung Z = RR + jX R = RR + jX R = 1 1 = Y GP − jBP GP + jBP G B = 2 P 2+j 2 P 2 2 2 GP + BP G P + BP G P + BP G RR = P2 Y B X R = P2 Y Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin j 2 = −1 j 3 = −1 j 4 = +1 1 =−j j 54 27 Transformation Reihenschaltung in Parallelschaltung Y = GP − jBP = GP − jBP = 1 1 = Z RR + jX R RR + jX R R X = R2 + j R2 2 2 Z Z RR + X R R GP = R2 Z BP = XR Z2 j 2 = −1 j 3 = −1 j 4 = +1 1 =−j j Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 55 Berechnung von Netzwerken I f=7500Hz IR U IL IC R L C 10Ω 0,2mH 527,5nF ? Welche Phasenverschiebung ruft die Schaltung bei einer Frequenz von f=7500Hz zwischen dem Gesamtstrom und der Spannung hervor , und durch was für ein Blindschaltelement ( Kondensator oder Spule) und dem ohmschen Widerstand läßt sich für die angegebene Frequenz die Schaltung ersetzen. Liers - PEG-Vorlesung WS2000/2001 - Institut für Informatik - FU Berlin 56 28
