Die Peanoschen Axiome

In dieser Ausarbeitung handelt es sich es um die Menge der natürlichen Zahlen und
deren Eigenschaften. In der Analysis werden häug zunächst die reellen Zahlen als vollständig geordneter Körper betrachtet und die natürlichen Zahlen als die kleinste induktive
Teilmenge der reellen Zahlen deniert. Die Konstruktion der natürlichen Zahlen ist auch
axiomatisch möglich. Damit beschäftigte sich der Mathematiker Giuseppe Peano (18581932), dessen Denition in dieser Ausarbeitung genutzt wird, um einige Eigenschaften der
natürlichen Zahlen zu beweisen.
Denition 1 (Die Peanoschen Axiome).
S
Nachfolgefunktion
(i) Es ist
1 ∈ N,
(ii) Es sei
n ∈ N.
(iii) Es gilt
Es gibt eine Menge
N
und eine sogenannte
mit folgenden Eigenschaften.
d.h.
N
ist nicht leer.
Dann ist
1 6= S(n)
S(n) ∈ N.
für alle
n ∈ N,
d.h. 1 ist kein Nachfolger von einem Element aus
N.
(iv) Für alle
m, n ∈ N
S(m) = S(n)
mit
folgt
m = n,
d.h.
S:N→N
(v) Das Prinzip der Induktion: Es sei A eine Teilmenge von
N
ist injektiv.
mit folgenden Ei-
genschaften.
(a) Es gilt
1 ∈ A.
(b) Für alle
n∈A
Dann gilt, dass
ist
A=N
S(n) ∈ A.
ist.
Bemerkung.
Wir schreiben
Bemerkung.
Es sei A eine Menge, für deren Elemente die Aussage einer Aussagenform
ϕ(n), n ∈ N
S(1) = 2, S(2) = 3,
wahr ist. Um die Identität
der Aussagenform
(a) Die Aussage
(b) Für alle
ϕ
zu beweisen, sind folgende Eigenschaften
nachzuweisen.
ϕ(1)
n∈N
A=N
usw.
ist wahr (Anker).
folgt aus der Wahrheit von
ϕ(n),
dass
ϕ(S(n))
wahr ist (induktive
Hypothese).
Lemma 2.
Die Bildmenge
S(N)
von S ist
N \ {1}.
Es sei A = {1} ∪ S(N). Dann ist 1 ∈ A und aus n ∈ A folgt S(n) ∈ A (denn
S(n) ∈ A für alle n ∈ N). Folglich ist A = N (Induktion) und da 1 ∈
/ S(N) ist, ist
S(N) = N \ {1}.
Beweis.
Bemerkung.
existiert die
S : N → N \ {1} ist
−1
Umkehrabbildung S
: N \ {1} → N.
Die Funktion
surjektiv und damit bijektiv. Damit
Denition 3 (Addition der natürlichen Zahlen).
+:N×N→N
induktiv durch
(a)
n + 1 := S(n),
(b)
n + S(m) := S(n + m)
2
Für alle
n, m ∈ N
sei die Addition
deniert.
Bemerkung.
Hier ist
n + 2 = n + S(1) = S(n + 1),
n + 3 = n + S(2) = S(n + 2),
usw.
In den folgenden Lemmata werden einige Eigenschaften der Addition durch Induktion
bewiesen.
Lemma 4.
Beweis.
Für alle
n∈N
gilt
1 + n = n + 1.
Dies zeigen wir durch Induktion über n.
(a) Für n = 1 ist 1 + n = 1 + 1 = n + 1.
(b) Es sei nun 1 + n = n + 1 für ein n ∈ N. Dann gilt
(Denition von +, (b))
(Induktive Hypothese)
(Denition von +, (a))
(Denition von +, (a))
1 + S(n) = S(1 + n)
= S(n + 1)
= (n + 1) + 1
= S(n) + 1
und somit
1 + S(n) = S(n) + 1.
Lemma 5.
Beweis.
Es sei
m ∈ N.
Dann gilt
(m + 1) + n = (m + n) + 1
für alle
n ∈ N.
Dies zeigen wir durch Induktion über n.
(a) Für n = 1 ist (m + 1) + n = (m + 1) + 1 = (m + n) + 1.
(b) Es gelte (m + 1) + n = (m + n) + 1 für ein n ∈ N. Dann ist
(m + 1) + S(n) = S((m + 1) + n)
= S((m + n) + 1)
= S(S(m + n))
= S(m + S(n))
= (m + S(n)) + 1
und somit
(m + 1) + S(n) = (m + S(n)) + 1.
3
(Denition von +, (b))
(Induktive Hypothese)
(Denition von +, (a))
(Denition von +, (b))
(Denition von +, (a))
Satz 6.
Es sei
Beweis.
Dies zeigen wir durch Induktion über m.
n ∈ N.
m+n=n+m
Dann gilt
für alle
m ∈ N.
(a) Für m = 1 ist m + n = 1 + n = n + 1 = n + m.
(b) Es gelte m + n = n + m für ein m ∈ N. Dann gilt
(Denition von +, (a))
(Lemma 5)
(Induktive Hypothese)
(Denition von +, (a))
(Denition von +, (b))
S(m) + n = (m + 1) + n
= (m + n) + 1
= (n + m) + 1
= S(n + m)
= n + S(m)
und somit
S(m) + n = n + S(m).
Bemerkung.
Eine binäre Verknüpfung
∗
auf einer Menge A mit
r∗s=s∗r
für alle
r, s ∈ A heiÿt kommutativ. Folglich ist nach Satz 6 die Addition auf N kommutativ.
Satz 7.
Für alle
Beweis.
Die Aussage wird in ähnlicher Weise zu Satz 6 bewiesen.
Bemerkung.
m, n, p ∈ N
ist
(m + n) + p = m + (n + p).
Eine binäre Verknüpfung
∗
auf einer Menge A mit
(r ∗ s) ∗ t = r ∗ (s ∗ t)
für alle
r, s, t ∈ A
Satz 8.
Für ein
Beweis.
Dies zeigen wir durch Induktion über m.
heiÿt assoziativ. Folglich ist nach Satz 7 die Addition assoziativ auf
m∈N
gibt es kein
n∈N
mit
N.
n + m = m.
(a) Für m = 1 ist n + 1 = S(n) 6= 1, d.h. es gibt kein n ∈ N mit n + 1 = 1.
(b) Es gelte n + m 6= m für ein m ∈ N. Dann gilt
n + S(m) = S(n + m) 6= S(m).
Bemerkung.
Da + kommutativ ist, gilt analog
n + m 6= m
für jedes
m, n ∈ N.
Bemerkung. Eine binäre Verknüpfung ∗ hat ein neutrales Element i∗ ∈ A, wenn i∗ ∗a = a
und
a ∗ i∗ = a
Satz 9.
für alle
Es seien
a ∈ A.
m, n, p ∈ N
Nach Satz 8 gibt es kein neutrales Element i+
mit
m + n = m + p.
4
Dann gilt
n = p.
∈ N.
Beweis.
Die Aussage wird in ähnlicher Weise zu den vorherigen Ergebnissen bewiesen.
Denition 10 (Multiplikation der natürlichen Zahlen).
Multiplikation
×:N×N→N
Für alle
m, n ∈ N
sei die
durch
(a)
n × 1 := n,
(b)
n × S(m) := (n × m) + n
deniert.
Satz 11.
Für alle
der Multiplikation
Lemma 12.
n∈N
auf N.
gilt
n × 1 = 1 × n = n,
d.h. 1 ist neutrales Element bezüglich
Wenn ein neutrales Element für eine binäre Verknüpfung
∗
auf einer Menge
A existiert, ist es eindeutig.
Beweis.
Seien i1 , i2 neutrale Elemente bezüglich ∗. Dann gilt
(i2 ist neutrales Element)
(i1 ist neutrales Element)
i1 = i1 ∗ i2
= i2 .
Satz 13.
auf
Für alle
m, n ∈ N
gilt
m × n = n × m,
d.h. die Multiplikation ist kommutativ
N.
Beweis.
Die Aussage wird analog zum Beweis der Kommutativität der Addition gezeigt.
Satz 14.
Für alle
assoziativ auf
Beweis.
m, n, p ∈ N
gilt
m × (n × p) = (m × n) × p,
d.h. die Multiplikation ist
N.
Die Aussage wird analog zum Beweis der Assoziativität der Addition gezeigt.
Satz 15.
Für alle
m, n, p ∈ N
gilt
(m + n)p = mp + np.
Dies zeigen wir durch Induktion über p.
Für p = 1 ist
Beweis.
(m + n)p = (m + n) × 1 = m + n
=m×1+n×1
= mp + np.
(Denition von ×, (a))
(Denition von ×, (a))
(b)
(a) Es gelte nun (m + n)p = mp + np für ein p ∈ N. Dann ist
(m + n) × S(p) = ((m + n)p) + (m + n)
= (mp + np) + (m + n)
= (mp + m) + (np + n)
= mS(p) + nS(p)
(Denition von ×, (b))
(Induktive Hypothese)
(+ ist ass. & komm.)
(Denition von ×, (b))
und da nach Satz 13 die Multiplikation kommutativ ist, gilt auch
m(n + p) = mn + mp.
5
Bemerkung.
Seien
∗ : A × A → A, ∨ : A × A → A
zwei binäre Verknüpfungen auf einer
Menge A mit der Eigenschaft, dass
r ∗ (s ∨ t) = (r ∗ s) ∨ (r ∗ t)
und
(r ∨ s) ∗ t = (r ∗ t) ∨ (s ∗ t)
r, s, t ∈ A gilt.
heiÿt ∗ ist distributiv
für alle
Dann
über
∨
und folglich ist nach Satz 15 die Multiplikation distri-
butiv über die Addition.
Denition 16 (Potenzierung).
m
(m, n) 7→ n
Für alle
m, n ∈ N
sei die Potenzierung
N × N → N,
induktiv durch
(a)
n1 := n,
(b)
nS(m) := n × nm
deniert.
Die folgenden Sätze werden durch Induktion bewiesen.
Satz 17.
Für alle
n∈N
Satz 18.
Für alle
m, n, p ∈ N
gilt
nm × np = nm+p .
Satz 19.
Für alle
m, n, p ∈ N
gilt
(np)p = nm × pm .
Satz 20.
Für alle
m, n, p ∈ N
gilt
npm = (np )m .
Bemerkung.
(z.B. für für
gilt
1n = 1.
In der Regel gilt
n=2
und
mn 6= nm
p = 3),
(z.B. für
m=2
und
n = 1)
und
(np )m 6= n(p
m)
so dass Potenzierung weder kommutativ noch assoziativ
ist. Nach Satz 19 ist Potenzierung einseitig distributiv.
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