Darstellungsformen von Zahlen

Darstellungsformen von Zahlen
Teilnehmer:
Lukas Deubel
Immanuel-Kant-Oberschule, Berlin
Christoph Gehrke
Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin
Leon Ochmann
Herder-Oberschule, Berlin
Anastasia Prokudina
Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin
Matthias Salz
Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin
Maximilian Schade
Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin
Gruppenleiter:
Jürg Kramer
Humboldt-Universität zu Berlin
Mitglied im DFG-Forschungszentrum
Matheon
Mathematik für Schlüsseltechnologien
Anna v. Pippich
Humboldt-Universität zu Berlin
Mitglied im DFG-Forschungszentrum
Matheon
Mathematik für Schlüsseltechnologien
Giovanni De Gaetano
Humboldt-Universität zu Berlin
Seitdem Menschen zählen, sind die unterschiedlichsten Zahlsysteme zur Darstellung von Zahlen entstanden. Die uns heute vertraute Darstellung ist die
Dezimaldarstellung. In unserem Alltag begegnen uns jedoch auch andere Darstellungen, wie beispielsweise die Binärdarstellung in unseren Rechnern, d.h.
die Darstellung einer Zahl zur Basis
2.
Neben den vielen Vorteilen der De-
zimaldarstellung hat diese auch Nachteile. Zum Beispiel können rationale
Zahlen sowohl abbrechende als auch periodische Dezimalbruchentwicklungen
besitzen. Auÿerdem gibt es Darstellungsformen, die irrationale Zahlen wesentlich eektiver approximieren als die Dezimaldarstellung.
Die sogenannten Kettenbrüche liefern eine Darstellungsform reeller Zahlen,
mit der die oben genannten Nachteile des Dezimalsystems behoben werden.
Wir werden beweisen, dass die rationalen Zahlen genau durch die abbrechenden Kettenbrüche charakterisiert werden. Desweiteren werden wir sehen, dass
irrationale Zahlen durch Kettenbrüche optimal approximiert werden.
Interessant ist jetzt die Frage nach den irrationalen Zahlen, welche durch
periodische Kettenbrüche dargestellt werden. Das einfachste Beispiel ist der
Kettenbruch
[1; 1, 1, 1, . . .]; es zeigt sich, dass dieser Kettenbruch die quadra33
tische Irrationalität
√
ω = (1+ 5)/2 darstellt. Allgemeiner werden wir zeigen,
dass die periodischen Kettenbrüche genau den Lösungen quadratischer Gleichungen mit ganzzahligen Koezienten entsprechen. Schlieÿlich wollen wir
die sogenannte Farey-Benachbartschaft und sogenannte Farey-Folgen untersuchen.
1
g -adische
Die
Zahldarstellung
Zuerst erinnern wir an zwei wichtige Sätze der elementaren Zahlentheorie.
Die sogenannte
mit
b 6= 0
Division mit Rest
besagt, dass für gegebene Zahlen
eindeutig bestimmte Zahlen
q, r ∈ N
a = q · b + r,
existieren. Der
Zahl
r0 ∈ N
mit
r<b
Euklidische Algorithmus besteht in fortgesetzter Division einer
mit Rest durch
r1 ∈ N,
wie folgt:
r0 = a0 · r1 + r2 ,
r1 = a1 · r2 + r3 ,
0 < r2 < r1
0 < r3 < r2
.
.
.
.
.
.
rn−1 = an−1 · rn + rn+1 ,
rn = an · rn+1 ,
Da die Folge
a, b ∈ N
(ri )
0 < rn+1 < rn
rn+2 = 0.
der auftretenden Reste streng monoton fallend ist und nur
natürliche Zahlen enthält, gibt es einen Rest, der gleich Null ist, sagen wir
rn+2 = 0.
Somit endet der Euklidische Algorithmus und man zeigt leicht,
dass der letzte von Null verschiedene Rest, d.h.
Teiler von
r0
und
r1
rn+1 , der gröÿte gemeinsame
ist.
Möchte man nun eine reelle Zahl identizieren, z.B. um sie schriftlich zu
übermitteln, so benötigt man ihre Darstellung bzgl. einer Basis
g.
Satz 1.1. Es sei g ∈ N>1 . Jede reelle Zahl c besitzt eine Darstellung der
Form
c=
`
X
i=0
i
ai · g +
∞
X
bi · g −i ,
(ai , bi ∈ {0, 1, . . . g − 1}).
i=1
Diese Darstellung heiÿt die g -adische Darstellung von c und wir schreiben
auch c = a` . . . a0 , b1 b2 . . ..
34
Beweis.
Wir schreiben die reelle Zahl
[c] ∈ Z
Anteils
c
zunächst als Summe ihres ganzen
und ihres gebrochenen Anteils
{c} ∈ [0, 1):
c = [c] + {c}.
Für den gebrochenen Anteil
{c}
erhalten wir schrittweise:
{c} = b1 · g −1 + r1 , r1 = b2 · g −2 + r2 , r2 = b3 · g −3 + r3 , . . .
d.h.
b1 = [g{c}], b2 = [g 2 r1 ], b3 = [g 3 r2 ],
{c} =
∞
X
bi · g −i ,
(ri ∈ R, ri < g −i ),
usw.. Somit ergibt sich insgesamt
(bi ∈ {0, 1, . . . , g − 1}).
i=1
Analog ergibt sich für den ganzen Anteil mit Hilfe von Divison mit Rest
[c] =
`
X
ai · g i ,
(ai ∈ {0, 1, . . . , g − 1});
i=0
hierbei ist
`∈N
die gröÿte natürliche Potenz mit
g ` < [c].
Somit ergibt sich
insgesamt die behauptete Darstellung.
Die rationalen Zahlen lassen sich nun wie folgt charakterisieren.
Satz 1.2. Die g-adische Darstellung einer reellen Zahl c ist endlich oder
periodisch genau dann, wenn c rational ist.
Beweis.
Darstellung von c ∈ R genau k (k ∈ N) Nachc̃
kommastellen, dann können wir c = k mit c̃ ∈ Z schreiben. Somit ist c als
g
Quotient zweier ganzer Zahlen selbst rational. Ist die g -adische Darstellung
Besitzt die
p ∈ N>0 , dann können wir
p
die Periode eliminieren, indem wir die Dierenz z := c · g − c bilden. Da z
per Konstruktion eine endliche g -adische Darstellung besitzt, ist z rational
z
und somit ist auch c = p
rational.
g −1
von
c∈R
g -adische
jedoch periodisch mit Periodenlänge
Ist umgekehrt eine rationale Zahl
c =
a
gegeben, so berechnet sich die
b
adische Darstellung rekursiv:
a = q0 · b + r0
g
i+1
· ri = qi+1 · b + ri+1
(r0 < b, r0 ∈ {0, 1, . . . , b − 1});
(ri < b, ri ∈ {0, 1, . . . , b − 1}; i ≥ 0).
35
g-
Man erkennt, dass es nur
b
mögliche Reste für die Reste
ri
gibt, sodass es
nach dem Schubfachschluss zu einer Wiederholung kommen muss. Folglich
wiederholen sich die Reste ab der ersten dieser Stellen, sprich die
Darstellung von
die
g -adische
c ist periodisch. Umfasst die
c Darstellung abbrechend.
g -adische
Periode nur Nullen, dann ist
von
Satz 1.3. Eine rationale Zahl q =
(a, b ∈ Z mit ggT(a, b) = 1) hat eine
endliche g -adische Darstellung genau dann, wenn b als Primteiler nur die
Primfaktoren von g besitzt.
Beweis.
a
b
als Primteiler nur die Primfaktoren von g besitzt, erkennt
a
sofort, dass die zugehörige
man durch geeignetes Erweitern des Bruches
b
g -adische Darstellung endlich ist. Besitzt q = ab umgekehrt eine endliche
g -adische Darstellung, so können wir wieder q = gq̃k mit c̃ ∈ Z und k ∈ N
k
k
schreiben, d.h. es gilt a · g = q̃ · b. Da b|(q̃ · b), folgt sofort b|(a · g ), und wegen
ggT(a, b) = 1 muss somit b|g k gelten. Dies beweist die Behauptung.
2
2.1
Falls
b
Kettenbrüche
Darstellung rationaler Zahlen
Wir beginnen mit dem folgenden Beispiel
37
1
1
1
=2+
=2+
=2+
= [2; 1, 5, 2].
13
1
1
13
1+
1+
11
11
1
5+
2
2
Die platzsparende Notation
37
13
= [2; 1, 5, 2]
verallgemeinert man wie folgt.
Denition 2.1. Wir denieren einen endlichen Kettenbruch über
[a0 ] := a0 ,
1
[a0 ; a1 , . . . , an−1 , an ] := a0 ; a1 , . . . , an−2 , an−1 +
.
an
Dabei ist in allgemeinster Form ai ∈ R, es wird aber meist angestrebt, dass
a0 ∈ Z und ai ∈ N\{0} für alle i > 0 ist.
36
Bemerkung.
Aus der Denition ergibt sich die ausgeschriebene Form
1
[a0 ; a1 , a2 , . . .] = a0 +
.
1
a1 +
a2 +
1
..
.
Damit lässt sich die Bezeichnung Kettenbruch nachvollziehen.
Algorithmus
N\{0}
(Euklidischer Algorithmus)
.
[a0 , a1 , . . . , an ] mit a0 ∈ Z
dazu ai und ri , sodass:
als Kettenbruch
darzustellen. Wähle
r0 = a0 r1 + r2 ,
Allgemein ndet
r1 = a1 r2 + r3 , . . .
i
h
ri
sich also ai =
ri+1
und
r0
, r0
r1
∈ Z, r1 ∈
ai ∈ N\{0} für i ≥ 1
Es ist der Bruch
rj−1 = aj−1 rj + rj+1 , rj =aj rj+1 .
n
o−1
ri+1
ri+1
ri
und
=
, bis
∈ Z.
ri+2
ri+1
ri+2
r0
liefert, zeigt
r1
vollständige Induktion. Trivialerweise ist ein endlicher Kettenbruch mit ganDass dieses Verfahren einen Kettenbruch mit
zen
ai , i ∈ N,
[a0 ; a1 , . . . , aj ] =
stets eine rationale Zahl. Damit gilt der folgende
Satz 2.2. Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher Kettenbruch darstellen
und jeder endliche Kettenbruch notiert eine rationale Zahl.
Bemerkung.
Die Darstellung einer rationalen Zahl als Kettenbruch ist jedoch
r
nicht eindeutig; zum Beispiel gilt 0 = [a0 ; a1 , . . . , aj ] = [a0 ; a1 , . . . , aj − 1, 1],
r1
1
da aj = (aj −1)+ ; damit lässt sich stets eine zweite Darstellung nden. Ver1
bietet man jedoch die 1 als letztes Element, so ist die Kettenbruchdarstellung
in der Tat eindeutig, wie später gezeigt wird.
2.2
Unendliche Kettenbrüche
Wir wollen auch zu einer irrationalen Zahl eine Kettenbruchdarstellung nden. Da jeder endliche Kettenbruch eine rationale Zahl notiert, müssen wir
zunächst unendliche Kettenbrüche denieren.
Denition 2.3. Für eine Folge ganzer Zahlen (ai )i∈N , ai > 0 für alle i > 0,
ist der unendliche Kettenbruch deniert als
[a0 , a1 , . . .] := lim [a0 , a1 , . . . , ai ].
i→∞
37
Wir wollen nun die Konvergenz der unendlichen Kettenbrüche nachweisen.
Dazu werden wir zunächst den
i-ten
Kettenbruch in einer anderen Form
darstellen, die es uns erlaubt, Aussagen über die Konvergenz zu treen. Dies
pi
, die wir wie folgt denieren:
geschieht über Näherungsbrüche Ai =
qi
p−2 := 0, p−1 :=1, pi := ai pi−1 + pi−2
q−2 := 1, q−1 :=0, qi := ai qi−1 + qi−2 .
(2.1)
Lemma 2.4. Für alle i ∈ N gilt mit einem X ∈ R die Gleichheit
[a0 ; a1 , . . . , ai−1 , X] =
Beweis.
pi−1 X + pi−2
.
qi−1 X + qi−2
Der Beweis erfolgt mit Hilfe vollständiger Induktion unter Anwen-
dung der Rekursionsvorschriften (2.1).
Der Spezialfall
X = ai
beschert uns nun das Gewünschte:
[a0 ; a1 , . . . , ai ] =
pi
= Ai .
qi
Mit Hilfe vollständiger Induktion beweist man nun das folgende Lemma.
Lemma 2.5. Es gelten die äquivalenten Gleichungen
pi−1 qi − pi qi−1 = (−1)i ,
(−1)i
Ai−1 − Ai =
,
qi−1 qi
Weiter gilt
Ai − Ai−2
(−1)i ai
=
qi−2 qi
(∀i ≥ −1, i ∈ Z),
(2.2)
(∀i ≥ 1, i ∈ N).
(∀i ≥ 2, i ∈ N).
Ai alternieren und die Abi → ∞ gegen 0 gehen, da qi ≥ i für alle i ≥ 1 gilt. Dies
besagt, dass alle Ai mit geradem i streng monoton wachsen und alle Ai mit
ungeradem i ≥ 3 streng monoton fallen. Es ergibt sich somit für die Näherungsbrüche Ai die Ungleichungen
Dieses Lemma besagt, dass die Näherungsbrüche
stände zudem für
A0 < A2 < A4 < . . . < A5 < A3 < A1 .
38
Da beide Teilfolgen
(A2n )n∈N
und
(A2n+1 )n∈N
durch die Glieder der jeweils
anderen Folge beschränkt und streng monoton sind, müssen beide konvergieren; da der Abstand wie oben bemerkt gegen 0 geht, konvergiert die gesamte
Folge
(An )n∈N
gegen einen Grenzwert
Grenzwert irrational ist. Angenommen,
α. Es
α = ab
bleibt zu zeigen, dass dieser
mit
a ∈ Z, b ∈ N\{0}.
wissen, dass
Ai 6= α für alle i ≥ 0 gilt, folgt
aqi − bpi 1
= |α − Ai | < |Ai+1 − Ai | = 1 .
≤
bqi
bqi qi qi+1
Damit folgt
qi+1 < b
(qi )i∈N
für alle
i ≥ 0.
Da wir
Dies ist aber unmöglich, da die Folge
unbeschränkt ist. Zusammenfassend haben wir somit folgenden
Satz 2.6. Ein unendlicher Kettenbruch [a0 ; a1 , . . .] mit ganzzahligem a0 und
natürlichen ai für i ≥ 1 notiert eine irrationale Zahl.
Bemerkung.
Der Beweis der Konvergenz eines jeden unendlichen Ketten-
bruchs berechtigt uns zur Denition 2.3.
2.3
Darstellung irrationaler Zahlen
Da uns bei der Darstellung einer rationalen Zahl der Euklidische Algorithmus
zu den Kettenbruchelementen verholfen hat, versuchen wir zunächst, diesen
sinnvoll auf eine irrationale Zahl
Algorithmus.
α0
zu erweitern:
ri
, ai = [αi ] und
ri+1
sich der Euklidische Algorithmus wie folgt:
Es sei
αi =
αi+1 = {αi }−1 .
Dann schreibt
−1
αi = ai + αi+1
.
αi > 1 für alle i ≥ 1 und αi ∈
/ Q. Auÿerdem ist a0 ∈ Z
alle i ≥ 1.
Dabei ist oensichtlich
und
ai ∈ N\{0}
für
Lemma 2.7. Für alle i ∈ N mit aus obigem Algorithmus gefundenen ai und
αi gilt
α = [a0 ; a1 , . . . , ai−1 , αi ].
Der Beweis dieses Lemmas erfolgt wieder über vollständige Induktion. Dabei
ist das letzte Element des endlichen Kettenbruchs jedoch noch irrational.
39
Satz 2.8. Jedes α ∈ R lässt sich eindeutig als Kettenbruch darstellen. Im
endlichen Fall (also α ∈ Q) muss die 1 als letztes Glied eines mindestens
zweigliedrigen Kettenbruchs ausgeschlossen werden.
Beweis.
Es ist zuerst noch zu zeigen, dass sich jedes irrationale
in einen Kettenbruch entwickeln lässt. Wir notieren
sodass
α = [a0 ; a1 , . . . , ai , αi+1 ]
αi
α
eindeutig
wie in Lemma 2.7,
gilt. Nach Lemma 2.4 gilt
α=
pi αi+1 + pi−1
.
qi αi+1 + qi−1
Daraus folgern wir
α−
qi pi−1 − pi qi−1 (2.2)
(−1)i
pi
=
=
,
qi
qi (qi αi+1 + qi−1 )
qi (qi αi+1 + qi−1 )
was die Abschätzungen
|α − Ai | <
impliziert. Damit ist
α
1
1
≤
qi (qi + 1)
i(i + 1)
(2.3)
der Grenzwert der Näherungsbruchfolge, d.h. es gilt
limi→∞ Ai = α.
Es muss noch gezeigt werden, dass die Darstellung auch eindeutig ist. Dies
geschieht mittels Beweis durch Widerspruch und vollständiger Induktion.
Wir nehmen also an, es gebe die folgenden zwei Kettenbruchentwicklungen:
[a0 ; a1 , . . .] = α = [a00 ; a01 , . . .].
Wir betrachten nun die Aufgabe, die Elemente des Kettenbruchs zu einem
αi
zu bestimmen und bedienen uns dabei voriger Überlegungen. Dann muss −1
0−1
0
wie im beschriebenen Algorithmus ai +αi+1 = ai +αi+1 gelten. Daraus folgt
−1
0−1
0
aber, da 0 < αi+1 , αi+1 < 1 ist, dass ai = ai gelten muss, die ersten beiden
Elemente also gleich sind. Nun ist das Problem auf das Problem der Dar0
stellung der αi+1 und αi+1 zurückgeführt, wo dieselben Überlegungen wieder
angestellt werden können. Damit müssen sich beide Darstellungen gleichen
und der Beweis durch Widerspruch ist vollbracht.
Diese Überlegungen sind auch auf die Darstellung rationaler Zahlen übertragbar. Dabei sind zwei Punkte zu beachten: Erstens muss wie oben bemerkt das
letzte Element der Kettenbrüche ungleich
1 sein. Zweitens muss die Möglich-
keit unterschiedlicher Gliederanzahlen der beiden Darstellungen in Betracht
40
gezogen werden. In diesem Fall muss jedoch mit Längen i und mindestens
0−1
i + 1 gelten, dass ai − a0i = αi+1
∈ (0; 1) gilt, da αi+1 > 1. Dies ist allerdings
0
ein Widerspruch zur Ganzzahligkeit von ai und ai .
Bemerkung.
α
Wie die Approximation (2.3) besagt, lässt sich eine reelle Zahl
Ai deutlich besser approximieren als durch
einer g -adischen Darstellung gewonnen werden.
durch die Näherungsbrüche
Näherungsbrüche, die aus
Für den Satz von Lagrange benötigen wir zuerst die
Denition 2.1.
Eine Zahl x ist genau dann reell-quadratisch, wenn KoeA, B, C ∈ Z, A 6= 0 existieren, sodass Ax2 + Bx + C = 0 gilt, wobei
2
Diskriminante B − 4AC > 0 und keine Quadratzahl ist.
zienten
die
Satz 2.9
(Satz von Lagrange)
. Jede reell-quadratische Irrationalzahl α hat
einen unendlichen periodischen Kettenbruch.
Bemerkung.
lynom mit
Um Satz 2.9 zu beweisen, wird zunächst ein quadratisches Po-
α
als Nullstelle hergeleitet. Dann wird gezeigt, dass nach der
obigen Nomenklatur alle
αi
Lösungen von quadratischen Gleichungen mit
derselben Diskriminante sind. Auÿerdem kann gezeigt werden, dass die Anzahl der möglichen Koezienten der Gleichungen beschränkt ist. Damit gibt
es für die unendlich vielen
αi
nur endlich viele mögliche Werte; daraus folgt
nach dem Dirichletschen Schubfachprinzip, dass für ein
αi = αi+h
existiert, woraus wiederum
ai = ai+h
i
ein
h ∈ N
mit
folgt. Damit ist der Ketten-
bruch periodisch und der Satz bewiesen.
Bemerkung.
Die Umkehrung des Satzes 2.9 ist ebenfalls gültig und wurde
von Euler bewiesen.
3
3.1
Goldener Schnitt und Farey-Folgen
Ein Beispiel: der Goldener Schnitt
Der einfachste unendliche Kettenbruch, auf den aber bisher noch nicht eingegangen wurde, ist der Kettenbruch, der ausschlieÿlich aus Einsen besteht:
[1; 1̄] = 1 +
1
1+
41
1
1+ 1
..
.
.
Da die Zahl
x,
die unter dem ersten Bruchstrich steht, aufgrund der be-
sonderen Gestalt des Kettenbruches genau gleich diesem ist, ergibt sich die
1
⇐⇒ x2 − x − 1 = 0. Diese Gleichung hat die Lösungen
Gleichung: x = 1 +
x
x1,2
Somit folgt, dass
Lösung
x2
1
= ±
2
[1; 1̄] = x1
√
2
1
1± 5
1+
=
.
2
2
s
ist die Gegenzahl des kleinen goldenen
Bemerkung.
Φ ist;
Schnitts φ.
gleich dem goldenen Schnitt
die negative
Auf die gleiche Weise kann man auch andere periodischen Ket-
tenbrüche berechnen: man formt die Gleichung so um, dass der ganze Kettenbruch wieder dem unteren Teil des Bruches entspricht, setzt diesen Teil
mit dem Gesamten gleich und löst die entstehende quadratische Gleichung.
Wir erinnern nun an die folgende Denition
Denition 3.1. Der Mediant zweier Brüche
a
b
und
a0
b0
ist gegeben durch
a a0
a + a0
⊕ 0 =
.
b
b
b + b0
Betrachten wir nun die Folge
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
;
;···
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
der Näherungsbrüche
(Ai ) von [1; 1̄], so beobachten wir, dass jedes Folgenglied
der Mediant seiner beiden Vorgänger ist.
3.2
Farey-Folgen
In diesem Zusammenhang tritt eine Eigenschaft zu Tage, die für eine bestimmte Folgen typisch sind, die sogenannten Farey-Folgen.
Denition 3.2. Die n-te Farey-Folge Fn ist die geordnete Menge aller voll-
ständig gekürzten Brüche 0 ≤ ab ≤ 1, deren Nenner nicht gröÿer als n ist,
angeordnet vom kleinsten bis zum gröÿten Bruch.
42
Die ersten drei Farey-Folgen sind:
F1 =
0 1
,
1 1
,
F2 =
0 1 1
, ,
1 2 1
,
F3 =
0 1 1 2 1
, , , ,
1 3 2 3 1
.
Aus dieser Aufzählung lassen sich zwei Vermutungen ableiten: Zum Einen
fällt auf, dass diese Mengen gewissermaÿen symmetrisch sind: Addiert man
1
zwei Farey-Brüche derselben Farey-Folge, die gleich weit vom Zentrum
2
1
entfernt sind, so erhält man stets 1. Die Zahl
stellt also gewissermaÿen
2
die Symmetrieachse einer Farey-Folge dar. Eine weitere Auälligkeit besteht
0
0
darin, dass der Betrag der Dierenz a b − b a zweier aufeinanderfolgender
0
a a
Brüche , 0 einer Farey-Folge stets 1 ist.
b b
Denition 3.3. Zweier beliebige Brüche
wenn
a
b
und
a0
b0
heiÿen Farey-benachbart,
a a0 − = 1
b
b0 bb0
oder äquivalent dazu |a0 b − ab0 | = 1 gilt.
Satz 3.4. Zwei aufeinanderfolgende Brüche ab , ab0 in einer Farey-Folge sind
0
Farey-benachbart.
Beweis.
Es seien
existieren
a
b
x, y ∈ N
a0
benachbarte Farey-Brüche. Da ggT(a, b) = 1 gilt,
b0
mit bx − ay = 1. Wenn (x0 , y0 ) eine Lösung dieser Glei-
<
(x0 + t · a, y0 + t · b) zu. Also ist der Abstand
y -Werte |yt+1 − yt | = b. Demnach gibt es eine
Lösung (x, y), sodass 0 ≤ n − b < y ≤ n gilt. Da x, y ∈ N und beide im
x
richtigen Bereich liegen, ist
∈ Fn , also:
y
chung ist, trit das auch für
zweier aufeinanderfolgender
x
bx
ay + 1
a
1
a
=
=
= +
> .
y
by
by
b by
b
Angenommen es gilt
x
y
>
a0
, dann folgt
b0
0
1
x a
x a0
a
a
b0 x − a0 y ba0 − ab0
= − =
− 0 +
−
=
+
by
y
b
y
b
b0
b
b0 y
bb0
1
1
b+y
n
1
≥ 0 + 0 = 0
> 0 ≥ .
b y bb
b by
b by
by
43
Dies ist ein Widerspruch, also war unsere Annahme falsch und wir folgern
a
x
a0
a0
x
< ≤ 0 =⇒ = 0 =⇒ x = a0 ; y = b0 =⇒ a0 b − ab0 = 1.
b
y
b
y
b
Dies beweist die Behauptung.
Farey-Folgen besitzen folgende weitere Eigenschaften.
Satz 3.5. Jeder Bruch einer Farey-Folge ist Mediant seiner beiden Nachbarn.
Beweis.
Dies zeigt man durch eine elementare Rechnung.
Satz 3.6. Es seien ab , ab0 Farey-benachbarte Brüche mit ab < ab0 . Dann gilt:
0
0
a
a + a0
a0
<
<
.
b
b + b0
b0
Zudem ist
Beweis.
a+a0
b+b0
der Bruch zwischen
a
b
und
a0
b0
mit dem kleinsten Nenner.
Dies zeigt man durch eine elementare Rechnung.
Mit Hilfe von Farey-Folgen lässt sich schlieÿlich der folgende Approximationssatz von Dirichlet beweisen.
Satz 3.7. Es seien α ∈ R und n ∈ N. Dann existieren p, q ∈ Z mit
ggT(p, q) = 1 und 0 < q < n derart, dass gilt:
1
α − p ≤
.
q
q(n + 1)
Literatur
[1] P.
Bundschuh,
Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin,
1998.
[2] B. Werner, Kettenbrüche. Probevorlesung für Erstsemester, Online-Skript,
2008.
44