Kettenbrüche - Mathematisches Institut Heidelberg

Kettenbrüche
Martin Solte
Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis
(Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)
Zusammenfassung: Die vorliegende Arbeit soll einen Einblick in die Welt der Kettenbrüche bieten. Hierzu werden regelmäßige Kettenbrüche untersucht. Im ersten Abschnitt wird
eine kleine Einführung in das Thema gegeben und das Verfahren zur Entwicklung reeller
Zahlen in Kettenbrüche vorgestellt. Der zweite Abschnitt behandelt den Zusammenhang von
rationalen Zahlen und endlichen Kettenbrüchen. Hier wird der Begriff der Näherungsbrüche
eingeführt und deren Eigenschaften untersucht. Der dritte Abschnitt befasst sich mit dem
Grenzwert unendlicher Kettenbrüche und deren Eigenschaften. Der vierte Abschnitt konkretisiert schließlich die Vorteile der Approximation reeller Zahlen durch Näherungsbrüche.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definition des Kettenbruchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Der Algorithmus zur Berechnung von Kettenbrüchen . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2 Endliche Kettenbrüche
2.1 Darstellung rationaler Zahlen . . . . . . . .
2.2 Näherungsbrüche . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bildungsgesetz der Näherungsbrüche
2.2.2 Eigenschaften der Näherungsbrüche .
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3
3
4
4
5
3 Unendliche Kettenbrüche
3.1 Konvergenz und Irrationalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Periodische Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
10
4 Annäherung reeller Zahlen
4.1 Eine Abschätzung des Approximationsfehlers . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kettenbrüche als beste rationale Näherung . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
5 Resümee
15
Literatur
16
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1 Einleitung
1.1 Motivation
Die Entwicklung der Theorie der Kettenbrüche ist durch das Bedürfnis, Brüche oder
schwer fassbare Zahlen zu approximieren, motiviert worden. Kettenbrüche fanden Verwendung bei der Annäherung von Verhältnisgrößen in Form von Brüchen, zur Ermittlung von Schaltjahren bei der Kalenderberechnung, zur Annäherung natürlicher
Konstanten wie e oder π und zum Beweis der Irrationalität bestimmter Zahlen.
Der niederländische Astronom Christiaan Huygens, der 1680 bei der Planung eines mechanischen Modells des Sonnensystems auf ein Problem stieß, ist das Paradebeispiel für
die ganzzahlige Approximation von Verhältnisgrößen mit Hilfe von Kettenbrüchen: Er
musste die Zahnanzahl von zwei Zahnrädern bestimmen, die dem Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten zweier Planeten bei ihrem Umlauf um die Sonne entsprechen.
bestimmt worden. Zahnräder
Dieses Verhältnis war durch eine Messung als 77708431
2640858
mit derart vielen Zähnen lassen sich jedoch schlecht mechanisch konstruieren, weshalb
er vor die Aufgabe gestellt war, dieses Verhältnis möglichst gut anzunähern. Eine naive
= 777
. Die Anzahl der Zähne ist allerdings immer
Näherung wäre zum Beispiel 77700000
2600000
26
noch zu groß und der relative Fehler ist mit 1, 6% zu hoch. Auf die Lösung des Problems
wird später eingegangen, zunächst sollen einige Grundlagen geklärt werden.
1.2 Definition des Kettenbruchs
Definition 1.1 Ein Kettenbruch ist ein fortgesetzter Bruch der Form
b1
a0 +
a1 +
a2 +
wobei ai , bi ∈ Z.
,
b2
b3
a3 + . . .
Kettenbrüche, für die b1 = b2 = · · · = 1 gilt, heißen regelmäßig.
Diese bilden die Klasse der Kettenbrüche, die am besten erforscht ist. In dieser Ausarbeitung werden nur regelmäßige Kettenbrüche untersucht, weshalb im Folgenden auf
den Zusatz "regelmäßig"verzichtet, und nur noch von Kettenbrüchen gesprochen wird.
Man schreibt einen regelmäßigen Kettenbruch in gekürzter Form:
1
a0 +
=: [a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . ]
1
a1 +
a2 +
1
a3 + . . .
Die a1,2,... werden Teilnenner genannt und in der Kurzschreibweise von a0 durch das
Semikolon optisch getrennt.
1
1.3 Der Algorithmus zur Berechnung von Kettenbrüchen
Um eine reelle Zahl in einen Kettenbruch zu entwickeln, so dass gilt x = [a0 ; a1 , . . . ],
wird nun ein Algorithmus angegeben.
Definition 1.2 Sei x ∈ R. Definiere den Kettenbruchalgorithmus durch
• Setze zunächst a0 := bxc
• Bilde nun rekursiv eine Folge durch
ai = bαi c und αi+1 = (αi − ai )−1 , i ∈ N0 .
• Falls für ein n ∈ N0 gilt αn ∈ Z, breche den Algorithmus ab. Dann gilt an = αn .
1
und durch schrittweises Substituieren erhält man einen
Es gilt nun αi = ai + αi+1
Kettenbruch, der unter Umständen endlich ist:
x = α0 = a0 +
1
= a0 +
α1
1
a1 +
1
α2
1
= · · · = a0 +
1
a1 +
a2 +
1
a3 +
..
.
(an−1 +
1
)
an
Bemerkung 1.3
1. Es gilt stets x = [a0 ; a1 , . . . , aj−1 , αj ] (im endlichen Fall nur für j ≤ n).
Begründung: Dies erkennt man leicht an dem Bildungsgesetz.
2. Existiert an für ein n ≥ 1, dann gilt αn > 1 und an ≥ 1.
Begründung: Da an existiert, ist nach Konstruktionsvorschrift αn−1 ∈
/ Z. Daraus
folgt an−1 < αn−1 < an−1 + 1, also 0 < αn−1 − an−1 < 1.
Es ergibt sich αn = (αn−1 − an−1 )−1 > 1 und daher auch an = bαn c ≥ 1.
Beispiel 1.4 Anwendung des Kettenbruchalgorithmus auf einige Zahlen ergibt
•
19
51
•
77708491
2540858
•
√
= [0; 2, 1, 2, 6]
= [29; 2, 2, 1, 5, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 14, 2, 2]
2 = [1; 2, 2, 2, . . .]
• π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 31, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, . . .]
2
2 Endliche Kettenbrüche
2.1 Darstellung rationaler Zahlen
Satz 2.1 Die Kettenbruchentwicklung von x ∈ R bricht genau dann nach endlich
vielen Schritten ab, wenn x rational ist.
Beweis: Die Hinrichtung ist trivial, denn ein endlicher Kettenbruch lässt sich von unten
her auflösen und da alle Teilnenner ganze Zahlen sind, ist der Wert des Kettenbruchs
eine rationale Zahl.
Um die Rückrichtung zu beweisen, greift man auf den Euklidischen Algorithmus zurück,
der eigentlich dazu dient den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen zu ermitteln. Sei x ∈ Q. x lässt sich schreiben als x = rr01 , mit r0 , r1 ∈ Z, und o.B.d.A. r1 > 0.
ri
mit Quotienten ai und
Aus dem Euklidische Algorithmus (wiederholte Division ri+1
Rest ri+2 ) erhält man insgesamt folgende Gleichungen:
r0 = a0 r1 + r2 ,
r1 = a1 r2 + r3 ,
..
.
rn−1 = an−1 rn + rn+1 ,
rn = an rn+1
(2.1)
0 < r2 < r1 ;
0 < r3 < r2 ;
0 < rn+1 < rn ;
0 < rn+1 .
Dabei sind alle ai , ri ganze Zahlen. Da die Reste ri für i ≥ 2 positiv sind und nach
Annahme r1 > 0, sind alle a1 , a2 , . . . , an positiv. Die Folge der (ri )i≥1 ist streng monoton
fallend und nach unten durch 0 begrenzt – also muss sie nach endlich vielen Schritten
enden. Zu (1) ist äquivalent:
ri
ri+1
= ai +
ri+2
rn
(i = 0, . . . , n − 1, falls n ≥ 1) ,
= an .
ri+1
rn+1
ri
Setzt man nun αi := ri+1
, so erhält man schrittweise x = [α0 ] = [a0 , α1 ] = [a0 , a1 , α2 ] . . .
und nach endlich vielen Schritten x = [a0 , a1 , . . . , an ].
q.e.d.
Corollar 2.2 Ein Kettenbruch ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Es gilt nämlich:
[a0 ; a1 , . . . , an ] = [a0 ; a1 , . . . , an − 1, 1 ]
Dies ist jedoch die einzige Mehrdeutigkeit die auftreten kann.
Begründung: Ist an > 1, dann gilt an = (an − 1) + 11 . Man erhält also die Darstellung
an = [an − 1; 1]. Wenn andererseits an = 1 ist, dann gilt [an−1 ; 1] = an−1 + 1.
Dass dies die einzige Mehrdeutigkeit ist, die auftreten kann, sieht man am Beweis für
die Eindeutigkeit von unendlichen Kettenbrüchen. Daher sei an dieser Stelle nur auf
Satz 3.4 verwiesen.
3
2.2 Näherungsbrüche
Definition 2.3 Der Kettenbruch, der aus der Kettenbruchentwicklung [a0 ; a1 , . . . , an ]
durch einen Abbruch nach dem k-ten Teilnenner ak entsteht, heißt k-ter Näherungsbruch und wird mit Kk bezeichnet.
Kk = [a0 ; a1 , . . . , ak ] , wobei 0 ≤ k ≤ n.
Beispiel 2.4
19
51
= [0; 2, 1, 2, 6]
K0 = [0] = 0
1
1
=
2
2
1
1
=
= [0; 2, 1] = 0 +
1 3
2+
1
1
3
= [0; 2, 1, 2] = 0 +
=
8
1
2+
1
1+
2
19
= [0; 2, 1, 2, 6] =
51
K1 = [0; 2] = 0 +
K2
K3
K4
2.2.1 Bildungsgesetz der Näherungsbrüche
Wie man an Bsp. 2.4 sieht, ist die intuitive Berechnung der Näherungsbrüche eines
Kettenbruchs, indem man ihn von unten her auflöst, sehr umständlich. Durch ein rekursives Bildungsgesetz für Zähler und Nenner kann man die Berechnung erheblich
vereinfachen. Außerdem kann man mit Hilfe dieser Rekursionsformel die Grenzwerte
unendlicher Kettenbrüche untersuchen, was in Abschnitt 3 behandelt wird.
Definition 2.5 Definiere zu der Folge der Teilnenner a0 , a1 , . . . , an eines Kettenbruchs
zwei neue Folgen (pi ) und (qi ) gemäß den Rekursionsformeln
(2.2)
p−2 := 0, p−1 := 1, pi := ai pi−1 + pi−2 ,
q−2 := 1, q−1 := 0, qi := ai pi−1 + pi−2 , für i = 0, . . . , n.
Satz 2.6 Es gilt nun mit den in 2.5 definierten Folgen (pi ) und (qi )
Kk =
pk
, für 0 ≤ k ≤ n
qk
Beweis: Sei ein Kettenbruch gegeben [a0 ; a1 , . . . , an ] .
Für k = 0 gilt: p0 = a0 · 1 + 0 = a0 , q0 = 0 · a0 + 1 = 1, also K0 = pq00 = a10 was
offensichtlich stimmt. Angenommen die Behauptung stimme für ein k. Dann gilt für
4
den (k + 1)-ten Näherungsbruch:
1
Kk+1 = [a0 ; . . . , ak , ak+1 ] = a0 ; . . . , ak−1 , ak +
ak+1
1
ak + ak+1
pk−1 + pk−2
=
1
qk−1 ak + ak+1 + qk−2
nach Induktionsvoraussetzung
=p
=
z
}|k
{
pk−1 ak + pk−2 + apk−1
k+1
qk−1 ak + qk−2 + aqk−1
{z
} k+1
|
mit (2.2)
=qk
=
pk ak+1 + pk−1
pk+1
=
qk ak+1 + qk−1
qk+1
2.2.2 Eigenschaften der Näherungsbrüche
Zur weiteren Untersuchung von Näherungsbrüchen sind folgende Eigenschaften nützlich.
Lemma 2.7
(i)
(qk )k∈N0 wächst mindestens so schnell wie die Fibonacci-Zahlen und es gilt qk ≥ k
für k ≥ 1.
(ii)
Es gilt:
(2.3)
(2.4)
(iii)
pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 ,
k
pk qk−2 − pk−2 qk = ak (−1) ,
für 1 ≤ k ≤ n;
für 2 ≤ k ≤ n.
pk und qk sind teilerfremd.
Beweis:
(i)
Da q0 = 1 und alle ak≥1 ≥ 1 erkennt man dies leicht am Bildungsgesetz (2.2) der
Folge (qk )k∈N0 .
(ii)
(2.3) gilt offensichtlich für k = 1, wegen a1 a0 + 1 − a0 a1 = (−1)0 . Angenommen
(2.3) gelte für ein k, mit 1 ≤ k ≤ n. Dann gilt für (k + 1)
pk+1 qk − pk qk+1 = (ak+1 pk + pk−1 ) qk − pk (ak+1 qk + qk−1 )
= ak+1 pk qk + pk−1 qk − ak+1 pk qk − pk qk−1
= − (pk qk−1 − pk−1 qk)
= −1 · (−1)k−1
mit (2.2)
nach Voraussetzung
= (−1)(k+1)−1
5
Damit ist (2.3) bewiesen.
k−1
=
Hieraus folgt pqkk − pqk−1
ak =
qk −qk−2
.
qk−1
(−1)k−1
qk qk−1
und nach Umstellung von (2.2) gilt außerdem
Erweitert man nun (2.4) mit
1
qk qk−2
> 0, ergibt sich
pk pk−2
pk pk−1 p−1 pk−2
−
=
−
+
−
qk
qk−2
qk
qk−1
q−1
qk−2
pk qk−1 − pk−1 qk pk−1 qk−2 − pk−2 qk−1
=
+
qk qk−1
qk−1 qk−2
(−1)k
(−1)k−1
+
=
qk qk−1
qk−1 qk−2
wegen (2.3)
=
1k−2 (−1)k−1 + qk (−1)k
qk qk−1 qk−2
=
(−1)k (qk − qk−2 )
(−1)k (qk − qk−2 )
=
qk qk−2 qk−1
qk qk−2
qk−1
|
{z
}
=ak
Multipliziert man beide Seiten mit qk qk−2 erhält man (2.4).
(iii)
Sei d = ggT (pk , qk ). Dann gilt mit (2.3) die Teilerbeziehung d | (−1)k−1 . Wegen
k−1
pk
q
− pk−1 qdk = (−1)d
∈ Z, folgt d = 1 – also sind pk und qk teilerfremd.
d k−1
Satz 2.8 Die Folge der Näherungsbrüche mit geradem (bzw. ungeradem) Index ist
streng monoton steigend (bzw. fallend) und jeder Näherungsbruch mit geradem Index
ist kleiner als jeder Näherungsbruch mit ungeradem Index.
(i)
(ii)
(iii)
K0 < K2 < K4 < . . .
K1 > K3 > K5 > . . .
K2s < K2r+1 ,
r, s ∈ N0
Beweis: Aus 2.4 folgt
ak
qk qk−2
1
= Kk + (−1)k ak
qk qk−2
| {z
}
Kk+2 − Kk = (−1)k
⇔Kk+2
>0
⇒ Ist k eine gerade Zahl k = 2j, j ∈ N0 , gilt K2j+2 < K2j und damit ist (i) gezeigt.
Ist k eine ungerade Zahl k = 2j + 1 für j ∈ N0 , gilt K2j+3 < K2j+1 und damit ist
(ii) gezeigt.
6
k−1
Durch Erweiterung von (2.3) mit qk qk−1 erhält man Kk − Kk−1 = (−1)
, k ∈ N. Da
qk qk−1
qk qk−1 > 0 ist, ergibt sich hieraus, dass K0 < K1 , K1 > K2 , K2 < K3 , K3 > K4 , . . .,
und allgemein
K0 < K1 und K2j < K2j+1 , j ∈ N
gilt. Zusammen mit (i) und (ii) ergibt sich
K2s ≤ K2s+2r < K2s+2r+1 ≤ K2r+1 , für alle s, r ∈ N
und damit (iii)
Corollar 2.9 Insbesondere ist mit Satz 2.8 gezeigt, dass zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche die gesuchte rationale Zahl einschließen.
, sind wie in Beispiel 2.4 berechnet
Beispiel 2.10 Die Näherungsbrüche für x = 19
51
1
1
3
K0 = 0, K1 = 2 = 0.5, K2 = 3 ≈ 0.333 . . . , K3 = 8 = 0.375, K4 = x ≈ 0.372.
wird von jeweils zwei aufeinEs gilt offensichtlich K0 < K2 < K4 < K3 < K1 und 19
51
anderfolgenden Näherungsbrüchen eingeschlossen.
Beispiel 2.11 Zahnrad-Problem von Christiaan Huygens
Das eingangs erwähnte Problem, eine möglichst genaue, rationale Näherung von 77708431
2649858
zu bestimmen, die einen möglichst kleinen Nenner haben soll, löste Christiaan Huygens
mit Hilfe von Näherungsbrüchen. Bereits der dritte Näherungsbruch lieferte ihm mit
einem Umsetzungsverhältnis von 206 zu 7 eine befriedigende Lösung: Die Anzahl der
Zähne ist beinahe viermal so klein wie bei der naiven Schätzung (zur Erinnerung: 777
)
26
1
und der relative Fehler beträgt mit ca. 0.01% lediglich etwa 160 des Fehlers bei der naiven Schätzung (≈ 1.6%). Auf die Genauigkeit der Approximation durch Kettenbrüche
wird in Abschnitt 4 noch genauer eingegangen.
7
3 Unendliche Kettenbrüche
Für die Näherungsbrüche unendlicher Kettenbrüche gelten dieselben Rekursionsformeln und Eigenschaften, wie sie in den Abschnitten 2.2.1 und 2.2.2 für endliche Kettenbrüche aufgezeigt wurden. In den Beweisen und Herleitungen hat die Endlichkeit
nämlich keine Rolle gespielt. In diesem Abschnitt sollen nun unendliche Kettenbrüche
näher untersucht werden.
3.1 Konvergenz und Irrationalität
Satz 3.1 Liegt ein unendlicher Kettenbruch [a0 ; a1 , a2 , . . .] mit a0 ∈ Z und allen
a1 , a2 , . . . ∈ N vor, so konvergiert die unendliche Folge der Näherungsbrüche.
Beweis: Mit Satz 2.8 erhält man folgende unendliche Gleichungskette für die Näherungsbrüche des Kettenbruchs:
K0 < K2 < K4 < . . . < K2n < . . . < K2n+1 < . . . < K5 < K3 < K1 .
Die Näherungsbrüche mit geradem Index bilden eine streng monoton steigende Folge und sind nach oben (etwa durch K1 ) begrenzt. Also konvergiert diese Folge von
unten gegen einen Grenzwert, den wir als α bezeichnen. Andererseits bilden die Näherungsbrüche mit ungeradem Index eine streng monoton fallende Folge und sind nach
unten (etwa durch K0 ) begrenzt. Also konvergiert diese Folge von oben gegen einen
Grenzwert, den wir α0 nennen. Wegen K2n < K2n+1 gilt für die Grenzwerte der Folgen
K2n < α < α0 < K2n+1 . Mit Lemma 2.7 gilt nun:
s→∞
0 ≤ α0 − α < K2s+1 − K2s ≤ (q2s+1 q2s )−1 ≤ ((2s + 1) 2s)−1 −−−→ 0.
Es gilt also α0 = α.
Definition 3.2 Da für jeden unendlichen Kettenbruch die Folge der Näherungsbrüche konvergiert, liegt es nahe, diesen Grenzwert als den Wert des Kettenbruchs zu
definieren.
[a0 ; a1 , a2 , . . .] := lim [a0 ; a1 , . . . , ak ] = lim Kk
k→∞
k→∞
Corollar 3.3 Der Wert eines unendlichen Kettenbruchs ist eine irrationale Zahl.
Beweis: Sei ein unendlicher Kettenbruch gegeben, der den Wert α hat. Sei α ∈ Q, etwa
α = ab , mit a, b ∈ Z und b > 0. Es muss α 6= Kk , für alle k ≥ 0 gelten, denn sonst wäre
der Kettenbruch endlich. Da wir aus dem endlichen Fall wissen, dass α zwischen zwei
aufeinander folgenden Näherungsbrüchen liegt (vgl. Corollar 2.9), gilt
a
0 < |α − Kk | = | − Kk | < |Kk+1 − Kk | = (qk qk+1 )−1 .
(2.3)
b
b
Multipliziert man nun mit der positiven Zahl bqk , erhält man 0 < |aqk − bpk | < qk+1
.
Da qk nach Lemma 2.7.i) für k → ∞ unbeschränkt wächst, kann man k groß genug
wählen, so dass b < qk gilt. Mit solch einem k ergibt sich also:
0 < |aqk − bpk | <
8
b
<1
qk
Das bedeutet, dass zwischen 0 und 1 eine ganze Zahl existieren muss, da a, b, pk , qk ∈ Z.
Dies ist ein Widerspruch!
3.2 Eindeutigkeit
Satz 3.4 Gilt für zwei unendliche Kettenbrüche
[a0 ; a1 , a2 , . . .] = [b0 ; b1 , b2 , . . .]
dann gilt ai = bi für alle i ≥ 0.
Beweis: Seien zwei unendliche Kettenbrüche [a0 ; a1 , a2 , . . .] und [b0 ; b1 , b2 , . . .] gegeben,
die denselben Wert α haben.
Setze αn := [an ; an+1 , an+2 . . . , ] und βn := [bn ; bn+1 , bn+2 , . . .]. Nun gilt (vgl. Bemerkung 1.3)
[a0 ; a1 , a2 , . . .] = [a0 ; . . . , αn ] und [b0 ; b1 , b2 , . . .] = [b0 ; . . . , βn ] , für alle n ∈ N0 .
Es ist also zu zeigen: Wenn [a0 ; . . . , αn ] = [b0 ; . . . , βn ] gilt, dann muss ai = bi und
αn = βn für alle i, n ∈ N0 mit i ≤ n folgen.
Für n = 0 gilt dies offensichtlich, da α = [α0 ] = [β0 ], woraus folgt, dass α0 = bαc = β0 .
Sei nun vorausgesetzt die Behauptung stimme für ein n ∈ N0 . Dann gilt für (n + 1):
[a0 ; . . . , an−1 , an , αn+1 ] = [b0 ; . . . , bn−1 , bn , βn+1 ]
1
1
= b0 ; . . . , bn−1 , bn +
⇔ a0 ; . . . , an−1 , an +
αn+1
βn+1
1
1
= a0 ; . . . , an−1 , bn +
⇔ a0 ; . . . , an−1 , an +
αn+1
βn+1
1
1
⇒ an +
(3.1)
= bn +
αn+1
βn+1
1
1
<1
(3.2)
⇒ |bn − an | = −
αn+1 βn+1 nach Voraussetzung
Die letzte Ungleichheit ergibt sich daraus, dass αn+1 , βn+1 > 1 sind. Da an und bn ganze
Zahlen sind, muss wegen (3.2) an = bn gelten. Zusammen mit (3.1) ergibt sich nun,
dass auch αn+1 = βn+1 gilt.
Bemerkung 3.5 Da bei endlichen Kettenbrüchen für das letzte Glied an = αn ≥ 1
ist, ist die einzige Mehrdeutigkeit an dieser Stelle möglich.
9
3.3 Periodische Kettenbrüche
Zunächst sollen einige Beispiele für die Kettenbruchentwicklung irrationaler Zahlen
betrachtet werden.
√
Beispiel 3.6 2 = [1; 2, 2, 2, . . .]
√
√
√
Aus
2−1
2 + 1 ergibt sich 2 = 1 + 1+1√2 . Setzt man die rechte Seite der
√
√
√ Gleichung in sich selbst für 2 ein, erhält man 2 = 1; 2, 1 + 2 . Setzt man dies
induktiv fort ergibt sich [1; 2, 2, 2, . . .].
√
Beispiel 3.7
5+1
2
= [1; 1, 1, 1, 1, 1, . . .]
√
√
√
5+1
Analog
zum vorherigen Beispiel schließt man aus 5−1
= 1, dass 5+1
=
2√
2
2
√
5−1
5+1
1
1 + 2 = 1 + √5+1 folgt, und somit induktiv auf 2 = [1; 1, 1, 1, . . .].
√
2+ 5−1
2
=
2
Bemerkung 3.8 Die Kettenbruchentwicklung der goldenen Zahl ist also diejenige, mit
den kleinstmöglichen Koeffizienten ai = 1 für alle i ∈ N0 , die deshalb am langsamsten
konvergiert. Als noble Zahlen gelten diejenigen, deren unendliche Kettenbruchentwicklung ab einem gewissen Glied nur noch 1 als Teilnenner enthalten. Durch ihre Verwandschaft mit der goldenen Zahl ist ihnen gemeinsam, dass sie sich durch rationale
Zahlen nur sehr schlecht approximieren lassen. Die goldene Zahl gilt daher auch als die
nobelste aller Zahlen.
Der folgende Satz kennzeichnet die Periodizität von unendlichen Kettenbrüchen.
Leonhard Euler zeigte die einfachere Hinrichtung, die bedeutendere Umkehrung geht
auf Joseph-Louis Lagrange zurück. Ein Beweis dieses Satzes kann in [4] § 20 nachgelesen
werden.
Satz 3.9 Satz von Euler und Satz von Lagrange
x ∈ R hat genau dann eine Darstellung als unendlicher, periodischer Kettenbruch,
wenn x eine reell-quadratische Irrationalzahl ist (d.h. x ∈
/ Q ist Lösung einer quadra2
tischen Gleichung aX + bX + c = 0, a 6= 0 mit rationalen Koeffizienten a, b, c).
Beispiel 3.10 Nicht periodische, unendliche Kettenbrüche
Zur Verdeutlichung des Satzes 3.9 sollen hier noch Beispiele für nicht periodische Kettenbrüche angegeben werden.
√
3
2 = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, . . .]
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 31, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, . . .]
Es gibt auch Zahlen, deren Kettenbruchdarstellung gewisse Regelmäßigkeiten aufweisen, ohne periodisch zu sein. Zum Beispiel hat Leonhard Euler die Identität e =
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, . . .] bewiesen. Dieser Kettenbruch ist nicht periodisch, die Teilnenner können aber durch eine rekursive Folge bestimmt werden.
10
4 Annäherung reeller Zahlen
Dass man reelle Zahlen mit Hilfe von Näherungsbrüchen approximieren kann, haben
wir gesehn. Wie gut diese Annäherung ist, bzw. ob es nicht eine bessere gibt, soll nun
untersucht weren.
4.1 Eine Abschätzung des Approximationsfehlers
Sei
pn
qn
der n-te Näherungsbruch der irrationalen Zahl α
Lemma 4.1 Es gilt α −
pn
qn
=
(−1)n
qn (qn αn+1 +qn−1 )
Beweis:
1
α = [a0 ; . . . , an , αn+1 ] = a0 ; . . . , an−1 , an +
αn+1
1
pn−1 an + αn+1
+ pn−2
=
1
qn−1 an + αn+1
+ qn−2
pn αn+1 + pn−1
qn αn+1 + qn−1
qn (pn αn+1 + pn−1 ) − pn (qn αn+1 ) + qn−1
pn
=
⇒α−
qn
qn (qn αn+1 ) + qn−1
(−1)n
=
qn (qn αn+1 ) + qn−1
=
mit (2.2)
mit (2.3)
Satz 4.2 Es gilt
0<
1
qn (qn+1 + qn )
< |α −
pn
pn+1 pn
1
|<|
− |=
qn
qn+1
qn
qn qn+1
Beweis: Die die zweite Ungleichheit folgt aus Lemma 4.1 mit Beachtung von α > 1 und
dritte Ungleichheit aus der Tatsache, dass zwei aufeinander folgende Näherungsbrüche
den Grenzwert des Kettenbruchs einschließen. Die letzte Gleichheit folgt aus (2.3).
11
4.2 Kettenbrüche als beste rationale Näherung
In diesem Abschnitt soll der Frage nachgegangen werden, ob sich zur Approximation
von irrationalen Zahlen nicht andere rationale Zahlen als die Näherungsbrüche besser
eignen. Hierzu wird zunächst der Begriff der besten Näherung definiert.
Definition 4.3 Man nennt eine rationale Zahl ab mit a ∈ Z, b ∈ N eine beste Näherung
für α ∈ R, wenn für alle c ∈ Z, d ∈ N mit dc 6= ab und d ≤ b gilt: |dα − c| > |bα − a|.
Es wird sich zeigen, dass die Approximation durch Näherungsbrüche in diesem Sinne
eine beste Näherung darstellt: Die Abweichung von einer irrationalen Zahl α und einem
ihrer Näherungsbrüche Kn ist betragsmäßig kleiner als die Abweichung zwischen α und
jeder rationalen Näherung, die denselben oder einen kleineren Nenner hat.
Zunächst sei folgendes Lemma vorangestellt:
Lemma 4.4 Sei Kn der n-te Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von α ∈ R\Q.
Wenn a, b ∈ Z mit 1 ≤ b < qn+1 sind, dann gilt
|qn α − pn | ≤ |bα − a|.
Beweis: Man betrachtet zunächst das lineare Gleichungssystem:
pn β + pn+1 γ = a
qn β + qn+1 γ = b
(4.1)
Wegen (2.3) ist die Determinante des LGS (−1)n+1 und man erhält durch Auflösen
nach γ und β zwei eindeutige, ganzzahlige Lösungen:
(4.2)
β = (−1)n+1 (qn+1 a − pn+1 b)
(4.3)
γ = (−1)n+1 (pn b − qn a)
Es muss β 6= 0 sein, denn mit (4.2) würde sonst qn+1 a = pn+1 b gelten. Hieraus würde
die Teilerbeziehung qn+1 | b folgen, da pn+1 , qn+1 teilerfremd sind (vgl. Lemma 2.7.
Dann müsste auch qn+1 ≤ b folgen, was ein Widerspruch zur Annahme 1 ≤ b < qn+1
ist.
Nun unterscheidet man zwei Fälle:
1. Sei γ = 0 angenommen. Dann entnimmt man dem LGS, dass (4.1) a = pn β und
b = qn β gilt. Hieraus folgt, dass das Lemma dann schon erfüllt ist:
|bα − a = |β||qn α − pn | ≥ |qn α − pn |
2. Sei γ 6= 0 angenommen.
(a) Sei γ < 0. Mit (4.1) gilt dann qn β = b − qn+1 γ > 0. Da qn positiv ist muss
also β > 0 sein.
(b) Sei γ > 0. Dann gilt b < γgn+1 , also qn β = b − qn+1 γ < 0 und daher β < 0.
12
β und γ haben also unterschiedliche Vorzeichen.
Da zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche α einschließen, gilt
0 < qn α − pn
0 > qn α − pn
und
und
qn+1 α − pn+1 < 0,
qn+1 α − pn+1 > 0,
für gerade n,
für ungerade n.
Daher ergibt sich, dass β (qn α − pn ) und γ (qn+1 α − pn+1 ) das gleiche Vorzeichen
haben. Es gilt also:
(4.4) |β (qn α − pn ) + γ (qn+1 α − pn+1 ) | = |β (qn α − pn ) | + |γ (qn+1 α − pn+1 ) |
Nun muss man die Erkenntnisse folgendermaßen anwenden:
|bα − a| = | (qn β + qn+1 γ) α − (pn β + pn+1 γ) |
= |qn βα + qn+1 γα − pn β − pn+1 γ|
= |β (qn α − pn ) + γ (qn+1 α − pn+1 ) |
= |β||qn α − pn | + |γ||qn+1 α − pn+1
> |β||qn α − pn |
≥ |qn α − pn |
mit (4.1)
mit (4.4)
beachte Annahme γ 6= 0
Hierdurch sind alle Fälle abgedeckt und das Lemma ist bewiesen.
Lemma 4.5 Sei 1 ≤ b ≤ qn , dann gilt für die rationale Zahl ab die Ungleichung:
α − pn ≤ α − a qn b
Beweis: Angenommen es gelte α − pqnn > α − ab . Daraus würde
pn |qn α − pn | = qn α − > α −
qn
a ≥ b α −
b
a = |bα − a|
b
folgen, was aber ein Widerspruch zu Lemma 4.4 ist.
Die Ergebnisse aus Lemma 4.4 und Lemma 4.5 werden in folgendem Corollar zusammengefasst:
Corollar 4.6 Für α ∈ R und a, b ∈ Z mit 1 ≤ b < qn gilt:
α − pn ≤ α − a qn b
Hieraus folgt der
Satz 4.7 Jeder Näherungsbruch Kn , n ≥ 1 von α ∈ R ist eine beste Näherung von α.
Abschließend wird noch gezeigt, dass eine rationale Zahl, die bezüglich ihres Nenners
dicht an α liegt, ein Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von α ist.
13
Satz 4.8 Sei α ∈ R\Q. Dann ist eine rationale Zahl ab mit b ≥ 1, welche α − ab <
erfüllt, einer der Näherungsbrüche Kn = pqnn der Kettenbruchdarstellung von α.
1
2b2
Beweis: Sei ab kein Näherungsbruch von α.
Da die Folge der (qn )n∈N0 streng monoton steigt, existiert ein eindeutig bestimmtes
n ∈ N, so dass qn ≤ b < qn+1 gilt. Mit Lemma 4.4 folgt für dieses n:
a 1
|qn α − pn | < |bα − a| = b α − <
b
2b
Durch Multiplikation mit qn−1 erhält man:
p
n
α − < 1
qn 2qn b
Nach Annahme ist
a
b
6=
pn
.
qn
Mit der Dreiecksungleichung und bqn > 0 gilt nun:
1
|bpn − aqn | pn a pn
≤
= − ≤ − α + α −
bqn
bqn
qn
b
qn
a 1
1
+ 2
<
b
2bqn 2b
Nun formt man die Ungleichung um:
1
bqn
1
⇔
bqn
⇔ 2b
⇔ b
1
1
+ 2
2bqn 2b
b + qn
< 2
2b qn
< b + qn
< qn
<
Dies ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung qn ≤ b < qn+1
Man kann also zusammenfassend sagen, dass die Approximation reeller Zahlen durch
die Näherungsbrüche der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung die beste rationale Näherung darstellt.
Christiaan Huygens hat also, ohne dass ihm dieses Resultat bekannt war, sein ZahnradProblem optimal gelöst!
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5 Resümee
Die Arbeit sollte einen einführenden Überblick zur Theorie der Kettenbrüche geben.
Es wurde gezeigt, wie man eine reelle Zahl durch einen Kettenbruch darstellen kann,
und mit welchen Mitteln man diesen untersuchen kann. Anhand von endlichen Kettenbrüchen wurden das Bildungsgesetz der Näherungsbrüche definiert und auf unendliche
Kettenbrüche ausgeweitet. So konnte gezeigt werden, dass der Wert eines unendlichen
Kettenbruchs eine irrationale Zahl ist.
Besonders interessant erschien mir bei Bearbeitung des Themas die Anwendung, schwer
zu fassende Zahlen mit rationalen Zahlen zu approximieren. Denn wegen dieser Anwendung eignet sich das Thema im Hinblick auf meinen späteren Beruf als Gymnasiallehrer
auch für eine Mathematik-AG, oder um es eventuell in der Oberstufe als Referatsthema
zu verteilen.
Anhand der Untersuchung der Näherungsbrüche konnte eine Abschätzung des relativen
Fehlers bei der Approximation durch Kettenbrüche angegeben werden. Um eine reelle
Zahl druch eine rationale zu approximieren, ist mit der Kettenbruchentwicklung sogar ein optimales Verfahren gegeben. Im Standardwerk zum Thema Kettenbrüche von
Oskar Perron (siehe [4]) kann man weitere zahlentheoretische Spezifizierungen zur Periodizität von Kettenbrüchen nachlesen. Dort findet sich auch eine Zusammenfassung
des Zusammenhangs von Kettenbrüchen und transzendenten Zahlen.
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Literatur
[1] Bauer, Friedrich L. - Haenel, Christoph, Übersehene numerische Aspekte in
der Geschichte der Kettenbrüche (= Bayerische Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abhandlungen 174), München 2007.
[2] Bundschuh, Peter: Einführung in die Zahlentheorie, 5. überarb. u. aktual. Aufl.,
Berlin - Heidelberg - New York 2002.
[3] Forster, Otto: Algorithmische Zahlentheorie, Braunschweig - Wiesbaden 1996.
[4] Perron, Oskar: Die Lehre von den Kettenbrüchen Band I. Elementare Kettenbrüche, 3. verbesserte und erw. Auflage, Stuttgart 1954.
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