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Mengenlehre
1) Gegeben sei die Menge A mit allen Natürlichen Zahlen zwischen 4 und 14, die durch drei
teilbar sind und die Menge = 7; 9; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 .
Geben Sie die Lösungsmenge auf je 2 Varianten an (2xAufzählung und 2xEigenschaften).
a)
⋃
b)
⋂
c)
\
d)
\
2) Gegeben sei die Menge = 1; 2; 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 .
Bei welchen der gegebenen Zerlegungen handelt es sich um eine Klasseneinteilung?
a)
b)
c)
=
1; 5 ; 8 ; 2; 3; 4; 7 ; 5
=
1; 7; 8 ; 2; 3; 4 ; 5 ; 6
=
5 ; 2; 3; 4 ; 6 ; 7 ; 8; 1
3) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck und geben Sie die angewandten Gesetze an.
∨ !!!!!!!
∧ "# ∧
$∨ "∨
̅ ∨ $"#
Aussagenlogik
4) Die Semantik einer aussagenlogischen Formel und ihr Wahrheitswert erhalten wir durch
die rekursiv definierte Auswertungsfunktion & ∗ : )*+, -" → **/ in Abhängigkeit der
Belegungsfunktion &: - → **/. Bestimmen Sie die Gültigkeit folgender Formeln !
(1) H ( p , q , r ) := (( p ∨ ( q ∧ r )) ∨ ¬( p ∨ ¬r ) ∨ F für
(a)
(b)
(2) A( a ,b , c ) := ¬( a ∧ b ) → ( b ↔ c ) für
(a)
(b)
(3) T ( m , n ) := ( m ∧ ¬n ) ∨ ( W ∧ n ) für
(a)
(b)
(4) P( x , y , z ) := y → ( ¬x ∧ z ) ↔ y → ¬( x ∨ ¬z )
(a)
(b)
β( p ) = W , β( q ) = W , β( r ) = W
β( p ) = F , β( q ) = W , β( r ) = F
β( a ) = W , β(b ) = F , β( c ) = W
β( a ) = F , β(b ) = W , β( c ) = W
β( m ) = W , β( n ) = W
β( m ) = F , β( n ) = W
β( x ) = W , β( y ) = F , β( z ) = W
β( x ) = F , β( y ) = W , β( z ) = W
5) Geben Sie zu der gegebenen Aussage die KNF und DNF an.
A( p, q, r ) = (r ∨ ( p → q )) ∧ (¬r ∨ q )
6) Zeigen Sie mittels Resolution, dass folgende Implikation gilt.
A( p, q ) = p → q ↔ ¬p ∨ q
Relationen
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7) Geben Sie die Eigenschaften der folgenden Relation an:
{(a, b) ∈ ΝxΝ |
}
a − b = 2 ⋅ k ; k ∈ Ν Ν = {0,1,2,...}.
8) Geben Sie die Eigenschaften der folgenden Relation an:
{
}
ψ = x × y ∈ ℜ 2 xℜ 2 | (x1 )2 + (x2 )2 = ( y1 )2 + ( y2 )2 ; x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 )
Funktionen
9) Geben Sie zu den Funktionen deren Definitionsbereich an und bestimmen die
Schnittpunkte an
a)1
" = √13 − 3 ∧ 4 " =
b) 5
"=
67 8
7 8 9:7
;79:
− <79=6 ∧ >
−1
"=
7?;
<7
10) Begründen Sie bei den folgenden Aufgaben, warum es sich um eine Funktion handelt und
welche weiteren Eigenschaften diese besitzt.
{( x, y) ∈ RxR | 2 ⋅ y = e
α ⋅x
}
;α ∈ Ζ
Folgen
11) Begründen Sie mittels Differenz- oder Quotientenmethode die Monotonie der gegebenen
Folge und beweisen deren Beschränktheit.
@A = √2 + C ?6A ; D > 0
12) Untersuchen Sie bei der Folge die Konvergenz. Berechnen Sie dazu die Monotonie und
Schranken und geben den zugehörigen Grenzwert an.
@A9= = F@A + 2;@= = 2,25HDID ≥ 1
Vollständige Induktion
13) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage über die Teilbarkeit
gültig ist.
9K + 7; n ≥ 0istdurch8teilbar
14) Beweisen Sie das die Bernoulli-Ungleichung 1 + D ∙ @ ≤ 1 + @"A ; D ∈ ℕ gültig ist.
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Grenzwerte
15) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und geben das angewandte Verfahren an.
3  3 
a) lim  − 1 +  
x
x→∞
x

x  

 cos(5π − x ⋅ π ) 

4x − 8


x e ⋅
c) lim
x →∞
b) lim

x →2

3x 2 − 5x + 7 

x − 8 + 6 x 2 
16) Berechnen Sie von der gegebenen Folge den Grenzwert für D → ∞. Ab welchem Element
ist die Abweichung von diesem Wert kleiner als 0,05?
@A =
1 5−2
∙
3 2+5
17) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert auf zwei Arten.
lim
2
7→_ 1
3 ∙ √9 + 2 − 1
Funktionseigenschaften
18) Prüfen Sie für welche Parameter die folgende Funktion stetig und differenzierbar ist.
 x 2 + ax + b; x ≥ 1
f ( x) = 
 x(2 − b) + 2a; x < 1
19) Prüfen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen.
a) f ( x) = (cos(x))4 − ln x 2 + 42
b) h( x) = 4 sin 3 ( x) −
4
+ 2x 3
x5
Ableitungen
20) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen.
a) f ( x) = 12x 2 ⋅ 5x
(
b) g ( x) = 0,25 ⋅ 3x3 − cos2 ( x)
)
c) h( x) =
2⋅ x − 5
2 x6
21) Berechnen Sie von der folgenden Funktion die Wendepunkte und Extrempunkte.
f ( x) =
1 3
9
x − 3x 2 + x + 42
2
2
22) Berechnen Sie den Definitionsbereich und ermitteln ggf. die Ersatzfunktion.
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"=
−2 6−4 +4
2 < − 2 6 − 16 + 24
<
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Mengenlehre
23) Gegeben sei die Menge A mit allen Ganzen Zahlen zwischen -3 und 7, die durch 2 teilbar
sind und die Menge B = {− 1;2;3;5;7;8;9} .
Geben Sie die Lösungsmenge auf je 2 Varianten an (2xAufzählung und 2xEigenschaften).
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) A / B
d) B / A
24) Gegeben sei die Menge A = {T , O, R} .
Geben Sie die zugehörige Potenzmenge P ( A) an und geben an, welche der gegebenen
Aussagen wahr bzw. falsch sind?
a) ROT ∈ P (A)
d) {T }∈ P( A)
g) {TO} ⊂ P ( A)
c) {{TR}} ⊂ P(A)
f) {{TOR}}∈ P(A)
i) {{ }} ⊂ P( A)
b) { } ⊂ P ( A)
e) R ⊂ P(A)
h) { }∈ P(A)
25) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck und geben Sie die angewandten Gesetze an.
A ∩ ( B ∩ A) ∪ ( A ∪ B ) ∪ ( A ∩ B )
Aussagenlogik
26) Bestimmen Sie die Erfüllungsmenge Ε der folgenden Aussagenverbindung. Geben Sie
anschließend an, ob es sich um eine Tautologie, Kontingenz bzw. Kontradiktion handelt.
a) A( p, q, r ) = p → ( q ∨ r ) ↔ ¬( q ∨ r ) → ¬p
b) A( p, q, r ) := ¬( p → ( q ∨ r )) ∨ ( q ∧ r )
c) A(a, b, c) := a ∧ b → c ↔ a ∧ (b → c)
27) Prüfen Sie, ob die beiden Ausdrücke A1 ( x, y , z ) := ( x ∧ y ) ∨ (¬x ∨ ¬y ) → z und
A2 ( x, y, z ) := x ∨ y → z identisch sind. Begründen Sie Ihre Lösung.
28) Testen Sie mittels Resolution, ob die gegebene Folgerung gültig ist.
A( p, q, r ) := (( p → q ) ∧ ¬q ∧ (¬p → r )) → r
Relationen
29) Betrachte die Menge aller Zahlentripel = ,
Relation xQy ⇔| x |=| y | mit x, y ∈ R 3 ?
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`
6, <, " .
Welche Eigenschaften besitzt die
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30) Gegeben ist die folgende Situation:
∑ = {∇, ∞, ⊥} wird die Menge L(∑ ) , die aus allen Strings der Länge
3 mit Symbolen aus ∑ besteht, gebildet. Wir definieren die Relation R mit
R = {( x, y ) ∈ L(∑ ) xL(∑ ) | x und y haben die selbe Anzahl gleicher Zeichen}
Beschreiben Sie die Menge L(∑ ) durch Aufzählung ihrer Elemente und beweisen die
Auf dem Alphabet
Eigenschaften der Relation.
Funktionen
31) Geben den Definitionsbereich an und berechnen die Nullstellen der Funktionen.
1
4
1
2
7
4
b) g ( x) = x5 − x 4 + x3 + x 2
a) f ( x ) = 7 x − 12 − x
32) Gegeben sind zwei Funktionen 1 ∈ ℝ → ℝ6 und 4 ∈ ℝ6 → ℝ mit 1 " = 2 , 3 + 1"
und 4 , " = − 5 . Bestimmen Sie die Kompositionen 4 ∘ 1 und 1 ∘ 4.
Folgen
33) Bestimmen Sie mittels Differenz- und Quotientenmethode die Monotonie der Folge.
3
@A = 4 − ; D ≥ 1
D
34) Geben Sie von den rekursiven Folgen die intuitive Darstellung und auch die explizite
Definition an und beweisen diese.
a) @A =
=
cdef
=
;@= = 6
b) @A = @A?= + 2 ∙ D + 1;@= = 2
35) Zeigen Sie:
Die Folge
a)
b)
c)
d)
an
sei rekursiv gegeben mit an+1 = 1 ⋅ an2 + 1; a1 = 4 für
2
n ≥1.
Die Folge ist streng monoton wachsend oder fallend.
Die Folge besitzt eine obere und untere Schranke.
Die Folge ist konvergent.
Berechnen Sie den Grenzwert.
Vollständige Induktion
36) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage gültig ist.
3A9= + 2<A9= ; D ≥ 05ghIH+iℎ5hC5/k@+
37) Zeigen Sie, dass D6 ≥ D + 5; D > 2 gilt.
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Grenzwerte
38) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und geben das angewandte Verfahren an.
 sin(x) − cos(x) 

cos(2 x)


4

 ln(1 + ln(2 − x) 

sin(πx)


a) limπ 
x→
⋅
c) lim
x →0 

b) lim
x →1 


; (2 Arten)
4+ x −2
2x
39) Bestimmen Sie den Grenzwert mittels einer geeigneten Substitution.
1
liml m ∙ /D n op
7→_
Funktionseigenschaften
40) Überprüfen Sie ob die gegebene Funktion an der Stelle x=0 stetig und differenzierbar ist.
f ( x) = ( x − 1)e
−x
41) Prüfen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen.
a) f ( x) = 3
2
x
2
(
− x 4 − 12
2
x
)
3
b) h( x) = − sin(3x) + 5 x
Ableitungen
42) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen.
a) h( x) =
4 ⋅ ln x
sin( x)
b) g ( x) =
3 3 5 cos(3)
x ⋅
5
2x
( )
4
4
c) f ( x) = x3 −
3 x
43) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und geben den Definitionsbereich an.
f ( x) = 3 ⋅ 4 + 5x − x 2
44) Berechnen Sie den Definitionsbereich und ermitteln ggf. die Ersatzfunktion.
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"=
−2 6−4 +4
2 < − 2 6 − 16 + 24
<
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Mengenlehre
45) Gegeben sei die Menge A mit allen Natürlichen Zahlen kleiner gleich 36, die durch vier
teilbar sind und die Menge = 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40 .
Geben Sie die Lösungsmenge auf je 2 Varianten an (2xAufzählung und 2xEigenschaften).
⋃
b)
b)
⋂
\
c)
d)
\
46) Gegeben sei die Menge = @; k; i ; I ; C ; 1 ; 4; ℎ .
Welchen der gegebenen Aussagen bzgl. Element bzw. Teilmenge sind wahr?
c) {b; c; d }∈ A
f) {a; g ; { f ; {e}}}; {d } ⊂ A
i) g ; {d }∈ A
b) {{b; c}}; {g ; h} ⊂ A
e) {{e}; f }∈ A
h) {{d ; f ; c}} ⊂ A
a) a; g ; d ∈ A
d) { }; {{d }} ⊂ A
g) { }; h ∈ A
47) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck und geben Sie die angewandten Gesetze an.
(
)
X ∪ (Y ∩ 1) ∪ X ∩  Y ∪ Y ∩ X 


Aussagenlogik
48) Geben Sie für die folgenden beiden Schaltungen die zugehörigen Aussageformeln an und
zeigen Sie, dass beide Ausdrücke äquivalent zueinander sind (Begründung).
I.
x
y
z
⟶
⟶
II.
y
z
x
∨
∨
49) Formen Sie den folgenden Ausdruck unter Benennung aller angewandten Gesetze um?
F ( x, y, a, b, c) := ((x ∧ y) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∧ ((x ∧ y) ∨ ¬a ∨ ¬b ∨ ¬c)
50) Bestimmen Sie die zugehörige KNF und DNF?
A( p, q, r ) = p → (q ∨ r ) ↔ ¬(q ∨ r ) → ¬p!
Relationen
51) Gegeben sei die Menge Μ =
∈ ℤs_ | ,*I2 = 0 (geraden, positiven Zahlen).
Begründen Sie alle relevanten Eigenschaften.
⊿ = v ; " ∈ Μ × Μ|
= & 6 ; & ∈ ℕ_ x
52) Bestimmen Sie alle Eigenschaften der Relation ≤ auf der Fläche R 2 definiert durch
( x1 , y1 ) ≤ ( x2 , y 2 ) ⇔ x1 ≤ x2 und y1 ≤ y 2
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Funktionen
53) Geben Sie den Definitionsbereich an und bestimmen die Schnittpunkte der Funktionen.
a) f ( x) = 4 − 5 ⋅ 16 + x 2 ; g ( x) = 2 x − 7 ⋅ x 2 + 16
b) i ( x ) = x 2 ⋅ ( x 8 − 30 x 3 ); j ( x ) = 32 + x 5
54) Untersuchen Sie die gegebenen Relationen auf Funktionseigenschaft und benennen deren
Eigenschaften. Machen Sie sie anschließend bijektiv.
a)
, " ∈ ℝ × ℝ| = g5D6
b)
, " ∈ ℝ × ℝ| = 7 8 ?z + 3
c)
:
"
, " ∈ ℝ × ℝ| = /D √ − 4#
Folgen
55) Bestimmen Sie mittels Differenz- und Quotientenmethode die Monotonie der Folge.
2 A
@A = 3 + n o ; D ≥ 0
5
56) Geben Sie von den rekursiven Folgen die intuitive Darstellung und auch die explizite
Definition an und beweisen diese.
b) @A9= = 3 ∙ @A ;@= = 3
b) @A = 1; 9; 17; 25
57) Zeigen Sie:
Die Folge an sei rekursiv gegeben mit an+1 = 3 2an + 25; a1 = 1 für
e) Die Folge ist streng monoton wachsend oder fallend.
f) Die Folge besitzt eine obere und untere Schranke.
g) Die Folge ist konvergent.
h) Berechnen Sie den Grenzwert.
n ≥1.
Vollständige Induktion
58) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage gültig ist.
36A + 7; D ≥ 05ghIH+iℎ8hC5/k@+
59) Zeigen Sie, dass 2A > D< ; D ≥ 10 gilt.
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Grenzwerte
60) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und geben das angewandte Verfahren an.


  2 + 6  − 3 + 4 
a) lim

x → ∞
x
x

x2
4


 sin 4 ( x) − 3 sin(x) 


 2 x ⋅ cos(2 x) 


;2 Arten
 5 − 4x + 9 

b) lim
x →0 
⋅
c) lim
x →4 
3x − 12
61) Berechnen Sie von der gegebenen Folge den Grenzwert für D → ∞. Ab welchem Element
ist die Abweichung von diesem Wert kleiner als 0,001?
@A = 0,1 ∙
5 +3
4+2
Funktionseigenschaften
62) Überprüfen Sie ob die Funktion für alle reellen Zahlen stetig und differenzierbar ist.
x

 x −2;x > 3
f ( x) = 
2
− x 2 + 9; x ≤ 3
 3
63) Wie müssen die beiden Parameter @; k ∈ ℕ gewählt werden, damit die Funktion sowohl
stetig als auch differenzierbar ist?
a ⋅ sin x + b ⋅ cos x + b + 1; x ≥ 0
f ( x) = 
x
−x
 b ⋅ e + a ⋅ e + 4 x; x < 0
64) Prüfen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen.
a) f ( x) =
2
2
− (( x − 3) ⋅ ( x + 3) + cos( x)
4
x
b) h( x) =
sin( x)
−2
− (4 x ) + (5x − x 7 )
cos( x)
Ableitungen
65) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen.
a) h( x) =
4x 3 − 5
(2 x − 7) 2
b) g ( x) = 3e x ⋅
1
2x − 3
c) f ( x) = x5 ⋅
3sin(x)
ln x
66) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und geben den Definitionsbereich an.
f ( x) = 9 −
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13
21 − 3x 2
x −1
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