Arithmetik Klausur zur Übung 2009

Arithmetik Klausur zur Übung 2009 - Lösungshinweise
1. Auf der Menge NxN der Paare natürlicher Zahlen betrachten wir die Relation R, die
definiert ist durch:
(a,b) R (c,d) € a + d = b + c
a) Man zeige, dass R eine Äquivalenzrelation auf NxN ist.
b) Welche Paare natürlicher Zahlen gehören zur Äquivalenzklasse von (1,5) ?
1.a) Äquivalenzrelation:
reflexiv:
zz: für alle x aus N gilt x R x, hier: (a,b) R (a,b) € a+b=b+a
erfüllt wegen der Kommutativität d. Addition
symmetrisch:
zz: für alle (a,b) R (c,d) gilt (c,d) R (a,b)
es gelte: (a,b) R (c,d) € a+d=b+c
zz: (c,d) R (a,b) € c+b=d+a
erfüllt wegen der Kommutativität d. Addition (kann man ganz leicht umordnen)
transitiv:
zz: für alle x,y,z gilt: wenn xRy und yRz -> xRz
hier: wenn (a,b) R (c,d) und (c,d) R (e,f) gilt, dann gilt auch (a,b) R (e,f)
es gelte: (a,b) R (c,d) € a+d=b+c und (c,d) R (e,f) € c+f=d+e
addiere die beiden Gleichungen: a+d+c+f =b+c+d+e
übrig bleibt: a+f=b+e, also gilt auch (a,b) R (e,f) € a+f=b+e
qed
1.b) laut Def. gilt: (1,5) R (c,d) € 1+d=5+c
also: d=4+c und c=d-4
in Frage kommen also alle Zahlenpaare aus N, bei denen d um 4 größer ist als c.
also Äquivalenzklasse von (1,5)=( (2,6),(3,7),(4,8),(5,9),…)
2. Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge M.
Man beweise: (A\ B) \ C = A\ (B\ C) € A geschnitten C = leere Menge
Erinnerung: U\ V = U geschnitten nicht-V
2.
Diese Aufgabe habe ich mit einer Zugehörigkeitswertetabelle bewiesen. Dies ist so ähnlich,
wie bei den Wahrheitswertetafeln.
Unterschied: 1 heißt hier: x ist Element von
0 heißt hier: x ist nicht Element von
Es gibt hier die 3 Mengen A, B, C, wo x ein Element sein kann oder auch nicht.
In die Tabelle kommen erstmal alle möglichen Kombinationen für x in A,B,C.
A\ B heißt also, dass x in A ist, aber nicht in B. In der Tabelle entspricht dies einer 1 für x in
A und einer 0 für x in B. Dies gilt analog auch für die anderen (Klammer-)ausdrücke.
Eine Gleichheit von (A\ B) \ C = A\ (B\ C) besteht dann, wenn x Element aus (A\ B) \ C und
gleichzeitig auch Element aus A\ (B\ C) ist oder wenn x aus beidem kein Element ist. Also
wenn in beiden Spalten eine 1 steht oder in beiden Spalten eine 0 steht.
A geschnitten C heißt, dass x gleichzeitig in A und C sein muss. Also ist x nur drin, wenn
Spalte A und Spalte C beide eine 1 haben.
Da in der leeren Menge nie ein Element x enthalten ist, ist A geschn. C nur gleich der leeren
Menge, wenn A geschn. C auch leer ist, also kein x enthält, also in der Spalte den Wert 0 hat.
Bleibt noch zz, dass (A\ B) \ C = A\ (B\ C) € A geschnitten C = leere Menge. Dies ist analog
zur Aussagenlogik. Beide Mengen (A\ B) \ C = A\ (B\ C) und A geschn. C=leere Menge haben
identische Elementwerte. Wenn x in einer Menge enthalten ist, ist x auch immer in der
anderen und wenn x in einer nicht drin ist, ist es auch nie in der anderen Menge drin. In der
letzten Spalte ist sozusagen eine Tautologie entstanden, also ist die Aussage für alle
möglichen Kombinationen von Elementen in A,B,C wahr.
A
B
C
A\ B
(A\ B) \ C
B\ C
A\ (B\ C)
(A\ B) \ C =
A\ (B\ C)
A geschn. C
1
0
1
0
0
0
A geschn.
C=leere
Menge
0
1
0
1
1
1
(A\ B) \ C = A\ (B\ C)
€ A geschnitten C =
leere Menge
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Zugehörigkeitswertetabellen kann man, glaube ich, bei Friedhelm Padberg, Elementare
Zahlentheorie üben.
3.a) Man gebe eine Relation auf der Menge {1, 2, 3} an, die reflexiv und symmetrisch, aber
nicht transitiv ist.
b) Man gebe eine Relation auf der Menge {1, 2, 3} an, die reflexiv und transitiv, aber nicht
symmetrisch ist.
c) Man gebe eine Relation auf der Menge {1, 2, 3} an, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv ist.
3.a)
R=( (1,1),(2,2),(3,3), (1,3),(3,1),(2,3),(3,2))
3.b)
R=( (1,1),(2,2),(3,3),(3,2))
3.c)
R= leere Menge
4. Durch Angabe der zugehörigen Klasseneinteilungen gebe man alle Äquivalenzrelationen ~
auf der Menge N der natürlichen Zahlen an, die die beiden folgenden Eigenschaften haben:
(1) für alle a, b aus N gilt a ~ b => (a + 2) ~ (b + 2)
(2) 1 ~ 3 und 2 ~ 4
Es gilt laut (2): 1 ~ 3, also folgt aus (1) (1+2) ~ (3 + 2), kurz 3 ~ 5
Also gilt auch 3 ~ 5, daraus folgt wiederum aus (1) (3+2) ~ (5 + 2), kurz 5 ~ 7, etc.
Es gilt noch laut (2): 2 ~ 4, also folgt aus (1) (2+2) ~ (4 + 2), kurz 4 ~ 6
Also gilt auch 4 ~ 6, daraus folgt wiederum aus (1) (4+2) ~ (6 + 2), kurz 6 ~ 8, etc.
Es gibt also 2 verschiedene Äquivalenzklassen. Die Klasse der geraden natürlichen Zahlen
und die Klasse der ungeraden natürlichen Zahlen:
1=( 1,3,5,7,9,11,… ) und
2=( 2,4,6,8,10,… )
5.
Die Induktion spare ich mir. Die habe ich nicht so hundertprozentig fertig bekommen und es
kommt garantiert eine andere dran ;o)